PROBABILIDADE
Adriane Violante de Carvalho Ramos
1
1.
INTRODUÇÃO A PROBABILIDADE .......................................................................... 4
1.1.
1.1.1.
1.1.2.
1.1.3.
1.1.4.
1.2.
1.2.1.
1.2.2.
1.3.
1.3.1.
1.3.2.
1.3.3.
1.3.4.
DEFINIÇÕES INICIAIS ....................................................................................................... 4
EXPERIMENTO ............................................................................................................... 4
EVENTO ........................................................................................................................ 4
EVENTO SIMPLES .......................................................................................................... 4
ESPAÇO AMOSTRAL ...................................................................................................... 4
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE ...................................................................................... 5
DEFINIÇÃO CLÁSSICA .................................................................................................... 5
DEFINIÇÃO COMO FREQÜÊNCIA RELATIVA .................................................................... 6
TIPOS DE EVENTOS .......................................................................................................... 7
EVENTOS COMPLEMENTARES ........................................................................................ 7
EVENTOS COMPOSTOS................................................................................................... 7
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES ....................................................................... 8
EVENTOS INDEPENDENTES ............................................................................................ 8
2. AXIOMAS DE PROBABILIDADE ........................................................................................ 9
3. TEOREMAS DE PROBABILIDADE................................................................................... 10
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
TEOREMA DA SOMA ....................................................................................................... 10
PROBABILIDADE CONDICIONAL .................................................................................... 11
TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO ..................................................................................... 12
TEOREMA DE BAYES E PARTIÇÕES ................................................................................ 13
4. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS................................................................................................. 16
4.1. DEFINIÇÃO ........................................................................................................................... 16
4.2. FUNÇÃO DE PROBABILIDADE ............................................................................................... 16
4.3. PARÂMETROS DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA .................................................................... 18
4.3.1. MÉDIA OU ESPERANÇA MATEMÁTICA ................................................................................ 18
4.3.2. VARIÂNCIA......................................................................................................................... 19
4.3.3. DESVIO PADRÃO ................................................................................................................. 19
5. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA.............................................................................................. 23
5.1. DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA E DISTRIBUIÇÃO MARGINAL .................................................... 23
5.2. PARÂMETROS DE UMA DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA .............................................................. 25
5.2.1. COVARIÂNCIA .................................................................................................................... 25
5.2.2. CORRELAÇÃO ..................................................................................................................... 26
5.3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES .......................................................................... 27
2
6. ALGUNS MODELOS DE PROBABILIDADES .................................................................. 31
6.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL OU DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI ............................................. 31
6.2. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON.................................................................................................. 32
6.3. DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA .................................................................................... 33
6.4. DISTRIBUIÇÃO NORMAL ...................................................................................................... 34
6.4.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ....................................................................................... 35
6.4.2. DISTRIBUIÇÃO NORMAL NÃO PADRÃO ............................................................................... 37
7. TESTE DE HIPÓTESES ....................................................................................................... 41
7.1. DEFINIÇÃO DE HIPÓTESE: ................................................................................................... 41
7.2. HIPÓTESE NULA E HIPÓTESE ALTERNATIVA ...................................................................... 42
7.3. ERROS DO TIPO I E II ........................................................................................................... 42
7.4. TESTES UNILATERAL E BILATERAL ..................................................................................... 43
BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 45
3
1. Introdução a Probabilidade
1.1. Definições Iniciais
1.1.1. Experimento
Qualquer processo que permita ao pesquisador fazer observações.
1.1.2. Evento
Coleção de resultados de um experimento.
1.1.3. Evento Simples
Qualquer resultado que não comporta decomposições. Se o evento permitir
decomposições ele é dito composto.
1.1.4. Espaço Amostral
Consiste de todos os eventos simples de um experimento.
Exemplo 1: Experimento: arremesso de um dado.
Evento simples: face 3
Espaço amostral: EA = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo 2: Experimento: arremesso de um par de dados
Evento composto: resultado 7.
Esse resultado pode ser obtido através de vários eventos simples: (1,6),
(2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Espaço amostral: EA = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5),
(1,6),....,(6,3),(6,4), (6,5)} num total de 36 eventos.
NOTAÇÃO:
P – probabilidade
P(A) – probabilidade de ocorrer o evento A
Os eventos serão sempre denotados por letras maiúsculas.
4
QUESTÃO: Como saber o número de elementos do espaço amostral?
Basta tomarmos a quantidade de eventos simples do experimento elevado ao número de
vezes que o experimento será feito.
Exemplo 3: No arremesso de 2 dados devemos tomar a quantidade de faces do dado
6 e elevá-lo a 2 que é a quantidade de vezes que o dado será lançado, assim 62 = 36
e, portanto esse experimento terá 36 eventos simples.
Exemplo 4: No lançamento de 3 moedas teremos 23 = 8 eventos, pois temos 2
possibilidades na moeda (cara ou coroa) sendo lançada 3 vezes.
1.2. Definição de Probabilidade
Existem duas definições para Probabilidade: a definição clássica e a
definição como uma freqüência relativa.
1.2.1. Definição Clássica
Suponha que um experimento tenha n eventos simples, cada um com a
mesma chance de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s eventos dentre as n
maneiras possíveis, então:
número de maneiras que A pode ocorrer s
P( A) =
=
número total de eventos simples
n
Exemplo 5: Joga-se um dado não viciado uma vez. Qual a probabilidade de ocorrer
a face 3?
EA = {1, 2, 3, 4, 5,6}→ n = 6
Evento A = face 3 → s = 1
1
P( A) = = 0,1666 ou 16,66%
6
Exemplo 6: Ao lançarmos uma moeda honesta 3 vezes, qual a probabilidade de dar
2 caras?
Para facilitar denotaremos cara = c e coroa = k.
EA = {ccc, cck, ckc, ckk, kkk, kkc, kck, kcc} → n = 8
A = 2 caras → s = 3
3
P( A) = = 0,375 ou 37,5%
8
5
1.2.2. Definição como Freqüência Relativa
Realize um experimento um grande número de vezes e conte quantas vezes
o evento A ocorre. Então P(A) é estimada como:
número de ocorrências do evento A
P( A) =
número de repetições do experimento
Exemplo 7: Qual a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser
atingida por um raio?
Nesse caso não temos a mesma probabilidade para os dois casos possíveis:
ser atingido por um raio e não ser atingido por um raio.
Assim precisamos usar a definição como freqüência relativa, para isso
devemos recorrer a um estudo já feito. Por exemplo, se numa determinada cidade
foram contabilizadas 260.000 quedas de raios durante um determinado período do
ano sendo 371 pessoas atingidas, teríamos então:
371
P( A) =
≅ 0,0014 ou 0,14%
260000
Exercícios:
1. Qual a probabilidade de sua resposta em uma questão de múltipla escolha, com
5 respostas possíveis, estar errada respondendo à questão aleatoriamente?
n=5
s=4
4
P( A) = = 0,8 ou 80%
5
2. Uma empresa de seguros estudou as causas de morte por acidente doméstico e
obteve o seguinte resultado: 160 mortes causadas por quedas, 120 mortes por
envenenamento e 70 por queimaduras. Selecionado um caso aleatoriamente,
qual a probabilidade de que a morte tenha sido causada por envenenamento?
Total = 350
Envenenamento = 120
120
P( A) =
= 0,343
350
6
3. Determine a probabilidade de que um casal com 3 filhos tenha exatamente 2
meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina sejam as mesmas.
EA = {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH}
n=8
s=3
3
P( A) = = 0,375
8
4. Selecionado um ano aleatoriamente, determine a probabilidade de o dia da
Páscoa cair:
a. Numa quarta-feira
P(A) = 0 → evento impossível
b. Num Domingo.
P(A) = 1 → evento de ocorrência certa
Observação:
Para qualquer evento A sempre temos 0 ≤ P(A) ≤ 1
1.3. Tipos de Eventos
1.3.1. Eventos Complementares
O complemento de um evento A, que será denotado por Ā ou AC, consiste
em todos os resultados do espaço amostral em que A não ocorre.
Dessa maneira dois eventos são complementares se um é o complementar do
outro.
Observe que A ∪ AC = Espaço Amostral
Exemplo 8: No lançamento de um dado, se A for o evento relacionado a face par,
teremos AC como dar face ímpar.
1.3.2. Eventos Compostos
São os eventos que combinam dois ou mais eventos simples.
Exemplo 9: Dar soma 9 no lançamento de dois dados é um evento composto, pois
teríamos 4 possibilidades para essa soma: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3).
7
1.3.3. Eventos Mutuamente Excludentes
Dois eventos são mutuamente excludentes se não podem ocorrer
simultaneamente.
Exemplo 10: Ao lançar um dado não podemos ter face 3 e face 6 ao mesmo tempo.
Observação: Eventos complementares são mutuamente excludentes.
1.3.4. Eventos Independentes
Dois eventos, A e B, são independentes se a ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência do outro.
Se A e B, não são independentes, então são ditos dependentes.
Exemplo 11: Jogar uma moeda e um dado são eventos independentes, pois o
resultado da moeda não afetará o resultado do dado.
8
2. Axiomas de Probabilidade
Antes de qualquer coisa precisamos saber o que são axiomas:
DEFINIÇÃO:
Axioma: Afirmação que se admite como verdadeira sem exigência de
demonstração e da qual podemos deduzir proposições.
Os Axiomas de Probabilidade são:
1. Para todo evento A temos 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Seja S um espaço amostral, então P(S) = 1.
3. Se A e B são eventos mutuamente excludentes então,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
9
3. Teoremas de Probabilidade
3.1. Teorema da Soma
Sejam A e B dois eventos quaisquer, temos que:
P( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B)
Exemplo 12: Numa pesquisa obtivemos os seguintes dados sobre três jornais e
quantos dias da semana são lidos pelos entrevistados. Suponhamos que cada
entrevistado só possa escolher um dos jornais.
Todos os dias
Fim de semana
Total
Jornal A
125
35
160
Jornal B
140
18
158
Jornal C
110
44
154
Total
375
97
472
a) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de
ser alguém que leia o jornal A ou o jornal C?
Nesse caso os eventos são mutuamente excludentes, aplicamos então o
axioma 3.
160 154 314
P( A ∪ C ) = P ( A) + P (C ) =
+
=
= 0,665
472 472 472
b)Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de
obter alguém que lê o jornal B ou só lê jornal no fim de semana?
Utilizando o teorema da soma:
P( B ∪ fim) = P ( B) + P ( fim) − P( B ∩ fim) =
158 97
18
237
+
−
=
= 0,502
472 472 472 472
10
Observação:
Seja A um evento qualquer.Temos que A e AC são eventos mutuamente
excludentes, logo pelo axioma 3:
P( A ∪ AC ) = P( A) + P( A C )
Mas A ∪ AC = Espaço Amostral, e assim pelo axioma 2:
P( A ∪ A C ) = 1
Portanto,
P( A) + P ( A C ) = 1
Exemplo 13: Se a probabilidade de chover for igual a 0,4, então qual é a
probabilidade de não chover?
Chuva e não-chuva são eventos complementares , logo
P(não chuva) = 1 – 0,4 = 0,6
3.2. Probabilidade Condicional
Chamamos de probabilidade condicional a probabilidade de um evento
ocorrer sabendo que outro evento já ocorreu e que essa ocorrência influenciará o
segundo evento. Denotamos por P(B/A) e lemos: a probabilidade de B ocorrer
sabendo que A já ocorreu.
Exemplo 14: Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma é 6, qual a
probabilidade de ter ocorrido a face 2 em um deles?
A = soma 6 → {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2),(5,1)}→ 5 possibilidades
Queremos agora que a face 2 tenha ocorrido já sabendo que a soma dos
dados é 6:
B = face 2 → {(2,4),(4,2)}→ 2 eventos
Assim,
2
P( B / A) = = 0,4
5
11
3.3. Teorema da Multiplicação
Se A e B, são eventos dependentes, então:
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B / A)
Se ao contrário, A e B forem independentes, então:
P ( A ∩ B ) = P ( A).P ( B )
Exemplo 15: Na extração de 2 cartas de um baralho comum com 52 cartas,
determine a probabilidade da 1ª carta ser um ás e a 2ª carta ser um rei, sabendo que \
não houve a reposição da 1ª carta.
4 4
16
P(ás ∩ rei) = P (ás).P(rei / ás) = . =
= 0,006
52 51 2652
Exemplo 16: Ao lançar um dado honesto duas vezes, qual a probabilidade de dar as
faces 1 e 3?
Nesse caso o 2º evento não está condicionado ao 1º.
1 1 1
P(1 ∩ 3) = P (1).P (3) = . =
= 0,0277
6 6 36
Observação: com reposição → eventos independentes
sem reposição → eventos dependentes
Exemplo 17: Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Três peças são retiradas
aleatoriamente, uma após a outra, sem reposição. Encontre a probabilidade de todas
as três peças serem não defeituosas.
No lote, temos 4 peças defeituosas e 8 peças boas. Queremos que as três
peças retiradas estejam boas, assim
8 7 6
336
P(boa ∩ boa ∩ boa) = . . =
= 0,2545
12 11 10 1320
Observação: OU → ∪
E→∩
1
2
e a de B acertar é de .
4
5
Qual é a probabilidade do alvo ser atingido, se ambos atirarem, sabendo que um não
afeta a chance do outro acertar?
Exemplo 18: A probabilidade de A acertar um alvo é de
Queremos então que A acerte ou B acerte, então pelo teorema da soma:
12
P( A ∪ B) = P ( A) + P ( B) − P( A ∩ B) =
1 2
+ − P ( A ∩ B)
4 5
Precisamos saber o valor de P(A ∩ B) , como estamos supondo que são
eventos independentes, temos que:
1 2 1
P( A ∩ B ) = P( A).P( B ) = . =
4 5 10
Substituindo, teremos:
1 2 1 5 + 8 − 2 11
=
= 0,55
P( A ∪ B) = + −
=
4 5 10
20
20
3.4. Teorema de Bayes e Partições
Sejam A e B eventos mutuamente excludentes de um espaço amostral S, de
maneira que A ∪ B = S. Dessa maneira dizemos que A e B são uma partição de S.
Seja X um evento qualquer, pelo Teorema de Bayes é possível determinar a
probabilidade condicional de uma das partições de S sabendo que X ocorreu, ou
seja,
P( A).P( X / A)
P( A / X ) =
P( A).P( X / A) + P ( B).P( X / B)
Exemplo 19: Suponha uma determinada peça de computador utilizada por uma
empresa seja fabricada por duas fábricas: 60% pela fábrica A e 40% por outra
fábrica. Suponha ainda que as taxas de defeito das fábricas sejam de 35% para a
fábrica A e 25% para a outra. Qual a probabilidade de uma peça defeituosa,
escolhida aleatoriamente , ter vindo da fábrica A?
X → estar defeituosa
P(A) = 0,6
P(B) = 0,4
P(X/A) = 0,35
P(X/B) = 0,25
P(A/X) = ?
P( A / X ) =
0,6.0,35
0,21
0,21
=
=
= 0,6774
0,6.0,35 + 0,4.0,25 0,21 + 0,1 0,31
13
Exemplo 20: Três máquinas A, B e C produzem 50%, 30% e 20% respectivamente
do total de peças de uma fábrica. As percentagens de produção defeituosa dessas
máquinas são de 3%, 4% e 5%, respectivamente. Suponha que uma peça retirada
aleatoriamente seja defeituosa, qual a probabilidade de ela ter sido produzida pela
máquina B?
X → estar defeituosa
P(A) = 0,5
P(B) = 0,3
P(C) = 0,2
P(X/A) = 0,03
P(X/B) = 0,04
P(X/C) = 0,05
P(B/X) = ?
P( B).P( X / B )
=
P( A).P( X / A) + P( B).P( X / B ) + P(C ).P( X / C )
0,3.0,04
0,012
0,012
=
=
=
= 0,3243
0,5.0,03 + 0,3.0,04 + 0,2.0,05 0,015 + 0,012 + 0,010 0,037
P( B / X ) =
Exercícios:
5. Numa pesquisa realizada numa universidade obtevesse os seguintes resultados:
Homens Mulheres Total
Fumantes
45
30
75
Não fumantes
75
50
125
Total
120
80
200
a) Escolhido aleatoriamente um dos 200 entrevistados, qual a probabilidade de ser
homem?
120
P(homem) =
= 0,6
200
b) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade de ser
mulher ou ser fumante?
P(mulher ∪ fumante) = P(mulher ) + P( fumante) − P(mulher ∩ fumante) =
80
75
30 125
+
−
=
= 0,625
200 200 200 200
c) Escolhido aleatoriamente um dos entrevistados, qual a probabilidade ser homem
ou ser não fumante?
P(homem ∪ não fumante) = P(homem) + P(não fumante) − P (homem ∩ não fumante) =
=
=
120 125 75 170
+
−
=
= 0,85
200 200 200 200
14
6. Retiram-se duas cartas de um baralho, sem reposição da 1ª carta, determine a
probabilidade de:
a) ser um valete e um 2;
4 4
16
P(valete ∩ 2) = . =
= 0,006
52 51 2652
b) ser uma dama de copas e um 7;
P(dama de copas ∪ ∩7) =
1 4
4
. =
= 0,0015
52 51 2652
c) ser uma carta de ouros e um ás de paus;
13 1
13
P(ouros ∩ ás de paus) = . =
= 0,0049
52 51 2652
d) serem as duas cartas de espadas;
13 12 156
P(espada ∩ espada) = . =
= 0,0588
52 51 2652
e) serem dois ases.
P(ás ∩ ás ) =
4 3
12
. =
= 0,0045
52 51 2652
7. Num certo colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres têm mais do que 1,70m
de altura. Além disso, 60% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é
selecionado aleatoriamente e tem mais de 1,70 m de altura, qual é a probabilidade
de o estudante ser uma mulher?
X → mais de 1,70 m.
P(A) = 0,6
P(B) = 0,4
P(X/A) = 0,01
P(X/B) = 0,04
P(A/X) = ?
0,6.0,01
0,006
0,006
P( A / X ) =
=
=
= 0,2727
0,6.0,01 + 0,4.0,04 0,006 + 0,016 0,022
15
4. Variáveis Aleatórias
4.1. Definição
Uma variável aleatória é uma variável que tem um único valor numérico
para cada resultado de um experimento. Denotaremos por letras maiúsculas.
Uma primeira etapa no estudo de variáveis aleatórias é a determinação dos
valores que a variável pode assumir.
Exemplo 21: Seja o experimento que consiste em selecionar aleatoriamente 7
acidentes aéreos e contar quantos envolvem aviões da Empresa Gaivota.
A variável aleatória representa o número de acidentes com aviões dessa
empresa dentre as 7 ocorrências selecionadas, assim:
X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Exemplo 22: No lançamento de 2 moedas contamos o número de coroas que
aparecem.
A variável aleatória representa o número de coroas e assim,
X ∈ {0, 1, 2}
Observação: A variável é dita aleatória pois só conhecemos seu valor após o
experimento ter sido realizado.
Além de identificar os possíveis valores de uma variável aleatória, podemos
atribuir uma probabilidade a cada um desses valores.
4.2. Função de Probabilidade
Quando conhecemos todos os valores de uma variável aleatória juntamente
com suas respectivas probabilidades, temos uma função ou distribuição de
probabilidade.
16
Exemplo 23: Suponha que a distribuição de probabilidade do número de acidentes
com a Empresa Gaivota dentre os 7 analisados, seja:
X P(X)
0 0,210
1 0,367
2 0,275
3 0,115
4 0,029
5 0,004
6
0
7
0
Qualquer função de probabilidade deve satisfazer as seguintes condições:
1. 0 ≤ P(X) ≤ 1 para todo X
2.
∑ P( X ) = 1
Exemplo 24: Determine a distribuição de probabilidade.
EA = {CC, CK, KC, KK}
X P(X)
0
1
4
1
2
4
2
1
4
Exemplo 25: Seja P( X ) =
X
, onde X ∈ {0, 1, 2}. Essa lei define uma distribuição
3
de probabilidade?
X
0
1
2
P(X)
0
1
3
2
3
17
Exemplo 26: Seja P( X ) =
X
, onde X ∈ {0, 1, 2, 3}. Essa lei define uma
5
distribuição de probabilidade?
X
0
1
2
3
P(X)
0
1
5
2
5
3
5
4.3. Parâmetros de uma variável aleatória
4.3.1. Média ou Esperança Matemática
Notação: E(X) ou µ ou x
E ( X ) = ∑ X .P( X ) = X 1 .P( X 1 ) + X 2 .P( X 2 ) + ....
Exemplo 27: Utilizando os dados do caso dos acidentes aéreos com a empresa
Gaivota, teremos:
E ( X ) = 0.0,210 + 1.0,367 + 2.,275 + 3.,0115 + 4.0,029 + 5.0,004 + 6.0 + 7.0
E ( X ) = 0,367 + 0,550 + 0,345 + 0,116 + 0,020
E ( X ) = 1,398
Exemplo 28: No exemplo das duas moedas, teremos:
1
2
1
E ( X ) = 0. + 1. + 2.
4
4
4
2 2
E( X ) = +
4 4
E( X ) = 1
18
4.3.2. Variância
Notação: Var(X)
Var ( X ) =
[∑ X
2
]
.P ( X ) − ( E ( X ) )
2
Exemplo 29: No caso dos acidentes aéreos:
2
Var ( X ) = 1.0,367 + 2 2.0,275 + 3 2.0,115 + 4 2.0,029 + 5 2.0,004 − (1,398)
[
Var ( X ) = [0,367 + 1,1 + 1,035 + 0,464 + 0,1] − 1,9544
Var ( X ) = 3,066 − 1,9544 = 1,1116
]
Exemplo 30: No caso das coroas:
1
 2
2
Var ( X ) = 1. + 2 2.  − (1)
4
4


2 
Var ( X ) =  + 1 − 1
4 
Var ( X ) = 0,5
4.3.3. Desvio Padrão
Notação: DP(X) ou σ(X)
DP ( X ) = Var ( X )
Exemplo 31: No caso dos acidentes aéreos:
DP ( X ) = 1,1116 = 1,0543
Exemplo 32: No caso das coroas:
DP ( X ) = 0,5 = 0,7071
CURIOSIDADE:
O assunto probabilidade está diretamente ligado aos jogos de azar. Quem nunca
se perguntou qual a chance de se ganhar na loteria?
Assim podemos utilizá-la para saber se um jogo é favorável ou desfavorável
para o jogador, vejamos:
19
Exemplo 33: Um jogador lança uma moeda não viciada duas vezes. Ganha $1,00
ou $2,00 caso ocorra 1 ou 2 caras respectivamente. Por outro lado perde $5,00 se
não ocorrer cara. Ache o valor esperado do jogo e diga se ele é favorável ou não
para o jogador.
EA = {CC, CK, KC, KK}
X
0
1
2
P(X)
1
4
2
4
1
4
$
-5
+1
+2
Devemos calcular a esperança desse experimento, colocando no lugar dos
valores de X, a quantia em dinheiro relacionada:
1
2
1 − 5 + 2 + 2 −1
E ( X ) = −5. + 1. + 2. =
=
= −0,25
4
4
4
4
4
Logo o jogo é desfavorável!
Exercícios:
8. Determine em cada item se é uma distribuição de probabilidade. Em caso
afirmativo, determine sua esperança, variância e desvio padrão.
a)
X P(X)
0
0,53
1
0,24
2
0,23
É função de probabilidade.
E ( X ) = 1.0,24 + 2.0,23 = 0,24 + 0,46 = 0,7
Var ( X ) = [1.0,24 + 4.0,23] − (0,7) 2 = [0,24 + 0,92] − 0,49 = 0,67
DP ( X ) = 0,67 = 0,8185
20
b)
X P(X)
-1
0,3
1
0,2
2
0,1
3
0,4
É função de probabilidade.
E ( X ) = −1.0,3 + 1.0,2 + 2.0,1 + 3.0,4 = −0,3 + 0,2 + 0,2 + 1,2 = 1,3
Var ( X ) = [1.0,3 + 1.0,2 + 4.0,1 + 9.0,4] − (1,3) 2 = [0,3 + 0,2 + 0,4 + 3,6] − 1,69 = 2,81
DP ( X ) = 2,81 = 1,6763
c)
X P(X)
0
0,35
1
0,48
2
0,16
Não é função de probabilidade.
3
1
e P(coroa) = , é lançada 3
4
4
vezes. Seja X a variável aleatória que representa o número de caras ocorridas. Ache
a distribuição de probabilidade, a esperança, a variância e o desvio padrão.
EA = {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC,KCK, KCC}
X P(X)
9
27
27 9 54 81 144
0
1
E ( X ) = 1. + 2. + 3.
=
+
+
=
= 2,25
64
64
64 64 64 64 64
64
1
9
27
27 
 9
 9 108 243 
Var ( X ) = 1. + 4. + 9.  − (2,25) 2 =  +
+
− 5,0625
64
64
64 
64 
 64
 64 64
2
27
= 5,625 − 5,0625 = 0,5625
64
DP ( X ) = 0,5625 = 0,75
3
27
9. Uma moeda viciada, de maneira que P(cara) =
64
21
10. Um jogador lança 3 moedas não viciadas. Ganha $5,00 se ocorrerem 3 caras,
$3,00 se ocorrerem 2 caras e $1,00 se somente 1 cara ocorrer. Por outro lado perde
$15,00 se 3 coroas ocorrerem. Encontre o valor esperado do jogo.
X
0
P(X)
1
8
1
3
8
2
3
8
3
1
8
1
3
3
1
E ( X ) = −15. + 1. + 3. + 5. =
8
8
8
8
$
-15
+1
+3
+5
− 15 + 3 + 9 + 5 2
= = 0,25
8
8
22
5. Distribuição Conjunta
5.1. Distribuição Conjunta e Distribuição Marginal
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias de um mesmo espaço amostral.
Suponhamos que X ∈ {x1, x2, ..., xn} e Y ∈ {y1, y2, ..., ym}, assim para cada par
ordenado (xi, yi) definiremos sua probabilidade por
P ( X = xi , Y = y i ) = h ( xi , y i )
Essa função h é chamada de distribuição conjunta ou função de
probabilidade conjunta e é usualmente dada na forma de uma tabela:
y2
...
ym
soma
X\Y
y1
x1
h(x1,y1) h(x1,y2) ... h(x1,ym)
f(x1)
x2
h(x2,y1) h(x2,y2) ... h(x2,ym)
f(x2)
...
...
...
...
...
...
xn
h(xn,y1) h(xn,y2) ... h(xn,ym)
f(xn)
soma
g(y1)
g(y2)
...
g(ym)
As funções f e g são definidas por:
f(xi) é a soma dos valores da linha i
g(yi) é a soma dos valores da coluna j
Essas funções são chamadas de Distribuições Marginais e são as
distribuições individuais de X e Y.
Exemplo 34: Uma moeda é lançada 3 vezes. Seja X igual a 0 ou 1, se ocorrer cara
ou coroa no 1º lançamento, respectivamente. Seja Y a variável relacionada ao
número de caras que ocorram. Determine a distribuição conjunta de X e Y.
EA = {CCC, CCK, CKC, CKK, KKK, KKC, KCK, KCC}
X ∈ {0, 1}
Y ∈ {0, 1, 2, 3}
Para facilitar separamos o EA segundo os valores de X, ou seja,
X = 0 → CCC, CCK, CKC, CKK
X = 1 → KKK, KKC, KCK, KCC
23
X\Y
0
0
0
1
1
8
1
8
soma
1
1
8
2
8
3
8
2
2
8
1
8
3
8
3
1
8
0
soma
4
8
4
8
1
8
Exemplo 35: Dois cartões são selecionados aleatoriamente de uma caixa que
contém 5 cartões numerados da seguinte forma:
1, 1, 2, 2, 3
Seja X a soma dos números que aparecem nos cartões e seja Y o maior dos
dois números. Determine a distribuição conjunta de X e Y.
EA = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)}
X ∈ {2, 3, 4, 5}
Y ∈ {1, 2, 3}
X = 2 → (1, 1)
X = 3 → (1, 2), (2, 1)
X = 4 → (1, 3), (2, 2), (3, 1)
X = 5 → (2, 3), (3, 2)
X\Y
1 2 3 soma
2
1 0 0
1
8
8
3
0 2 0
2
8
8
4
0 1 2
3
8 8
8
5
0 0 2
2
8
8
soma 1 3 4
8 8 8
24
5.2. Parâmetros de uma Distribuição Conjunta
Já vimos até agora 3 tipos de parâmetros: Esperança, Variância e Desvio
Padrão. Essas medidas só podem ser calculadas em distribuições individuais.
Veremos agora 2 parâmetros para as distribuições conjuntas:
5.2.1. Covariância
Notação: Cov(X, Y)
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ).E (Y )
onde
E ( XY ) = ∑ X .Y .H ( X , Y )
Exemplo 36: Utilizando a tabela do exemplo 34, calcule a covariância:
Precisamos inicialmente calcular E(XY), E(X) e E(Y):
1
2
1
1
2
1
E ( XY ) = 0.0.0 + 0.1. + 0.2. + 0.3. + 1.0. + 1.1. + 1.2. + 1.3.0
8
8
8
8
8
8
2 2 1
E ( XY ) = + =
8 8 2
1
1 1
E ( X ) = 0. + 1. =
2
2 2
1
3
3
1 3 6 3 3
E (Y ) = 0. + 1. + 2. + 3. = + + =
8
8
8
8 8 8 8 2
Substituindo esses valores:
1 1 3 1 3 2 − 3 −1
Cov( X , Y ) = − . = − =
=
2 2 2 2 4
4
4
Exemplo 37: Utilizando o exemplo 35, teremos:
1
2
1
2
2
E ( XY ) = 2.1. + 3.2. + 4.2. + 4.3. + 5.3.
8
8
8
8
8
2 12 8 24 30 76 19
E ( XY ) = + + +
+
=
=
8 8 8 8
8
8
2
1
2
3
2 2 6 12 10 30 15
=
=
E ( X ) = 2. + 3. + 4. + 5. = + + +
8
8
8
8 8 8 8
8
8
4
1
3
4 1 6 12 19
E (Y ) = 1. + 2. + 3. = + +
=
8
8
8 8 8 8
8
Substituindo:
19 15 19 19 285 304 − 285 19
Cov( X , Y ) =
− . =
−
=
=
2 4 8
2
32
32
32
25
5.2.2. Correlação
Notação: ρ(X,Y)
ρ( X ,Y ) =
Cov ( X , Y )
D P ( X ).D P (Y )
Exemplo 38: Utilizando novamente o exemplo 34:
Precisamos calcular inicialmente os valores do desvio padrão, para isso
calculamos a variância, utilizando o valor da esperança calculado no exemplo 36:
2
1 1
1 1 1
 1
Var ( X ) =  0. + 1.  −   = − =
2 2
2 4 4
 2
DP ( X ) =
1 1
= = 0,5
4 2
3
3
1  3
3 + 12 + 9 9 24 9 6 3
 1
Var (Y ) =  0. + 1. + 4. + 9.  −   =
− =
− = =
8
8
8  2
8
4 8 4 8 4
 8
2
3 1,732
=
= 0,866
4
2
Substituindo teremos:
− 0,25
− 0,25
ρ( X ,Y ) =
=
= −0,5773
0,5.0,866 0,433
DP (Y ) =
Exemplo 39: Utilizando novamente o exemplo 35, com os valores calculados no
exemplo 37, teremos:
2
3
2   15 
4 + 18 + 48 + 50 225 120 225 15
 1
Var ( X ) =  4. + 9. + 16. + 25.  −   =
−
=
−
=
8
8
8  4 
8
16
8
16 16
 8
2
DP ( X ) =
15 3,8729
=
= 0,9682
16
4
3
4   19  1 + 12 + 36 361 49 361 31
 1
Var (Y ) = 1. + 4. + 9.  −   =
−
=
−
=
8
8  8 
8
64
8 64 64
 8
2
31 5,5677
=
= 0,6959
64
8
E então:
0,5937
0,5937
ρ( X ,Y ) =
=
= 0,8812
0,9682.0,6959 0,6737
DP (Y ) =
26
5.3. Variáveis Aleatórias Independentes
Duas variáveis aleatórias X e Y de um mesmo espaço amostral S, são
consideradas independentes se:
h( xi , y i ) = f ( xi ).g ( y i )
Exemplo 40: Sejam X e Y varáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta.
Verifique se X e Y são variáveis independentes.
X\Y
2
3
4
soma
1
0,06 0,15 0,09
0,3
2
0,14 0,35 0,21
0,7
soma
0,2
0,5
0,3
Para que X e Y sejam independentes, elas devem satisfazer a condição dada
acima, verificando teremos:
h(1,2) = f (1).g (2) = 0,3.0,2 = 0,06
h(1,3) = f (1).g (3) = 0,3.0.5 = 0,15
h(1,4) = f (1).g (4) = 0,3.0,3 = 0,09
h(2,2) = f (2).g (2) = 0,7.0,2 = 0,14
h(2,3) = f (2).g (3) = 0,7.0,5 = 0,35
h(2,4) = f (2).g (4) = 0,7.0,3 = 0,21
Logo X e Y são variáveis aleatórias independentes!
Exemplo 41: Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as
seguintes distribuições individuais:
X f(X)
Y
g(Y)
1
0,7
-2
0,3
2
0,3
5
0,5
8
0,2
Encontre a distribuição conjunta e verifique que Cov(X,Y) = 0.
Como as variáveis são independentes basta calcularmos os valores da função
h a partir da definição:
X\Y
-2
5
8
soma
1
0,21 0,35 0,14
0,7
2
0,09 0,15 0,06
0,3
soma 0,3 0,5 0,2
Precisamos calcular agora o valor da covariância:
E ( XY ) = 1.(−2).0,21 + 1.5.0,35 + 1.8.0,14 + 2.(−2).0,09 + 2.5.0,15 + 2.8.0,06
E ( XY ) = −0,42 + 1,75 + 1,12 − 0,36 + 1,5 + 0,96 = 4,55
E ( X ) = 1.0,7 + 2.0,3 = 0,7 + 0,6 = 1,3
E (Y ) = (−2).0,3 + 5.0,5 + 8.0,2 = −0,6 + 2,5 + 1,6 = 3,5
E, portanto:
Cov( X , Y ) = 4,55 − 1,3.3,5 = 4,55 − 4,55 = 0
27
Observação:
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então Cov(X,Y) = 0.
Exercícios:
11. Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta:
X\Y
-3
2
4
soma
1
0,1 0,2 0,2
0,5
3
0,3 0,1 0,1
0,5
soma 0,4 0,3 0,3
a) Ache as distribuições individuais de X e de Y;
X f(X)
Y
g(Y)
1
0,5
-3
0,4
3
0,5
2
0,3
4
0,3
b) Ache Cov(X,Y);
E ( XY ) = 1.(−3).0,1 + 1.2.0,2 + 1.4.0,2 + 3.(−3).0,3 + 3.2.0,1 + 3.4.0,1
E ( XY ) = −0,3 + 0,4 + 0,8 − 2,7 + 0,6 + 1,2 = 0
E ( X ) = 1.0,5 + 3.0,5 = 0,5 + 1,5 = 2
E (Y ) = (−3).0,4 + 2.0,3 + 4.0,3 = −1,2 + 0,6 + 1,2 = 0,6
Cov( X , Y ) = 0 − 2.0,6 = −1,2
c) Ache ρ(X,Y);
Var ( X ) = (1.0,5 + 9.0,5) − 2 2 = 0,5 + 4,5 − 4 = 1
DP ( X ) = 1
Var (Y ) = (9.0,4 + 4.0,3 + 16.0,3) − 0,6 2 = 3,6 + 1,2 + 4,8 − 0,36 = 9,24
DP (Y ) = 9,24 = 3,0397
− 1,2
− 1,2
=
= −0,3947
1.3,0397 3,0397
d) Responda: X e Y são independentes?
Não, pois a sua covariância é diferente de 0.
ρ( X ,Y ) =
28
12. Suponha que X e Y sejam variáveis aleatórias independentes, com as seguintes
distribuições individuais:
X f(X)
Y
g(Y)
1 0,25
-1
0,2
2 0,35
0
0,3
3
0,4
1
0,5
Encontre a distribuição conjunta e determine o valor da covariância.
X\Y
-1
0
1
1
0,05 0,075 0,125
2
0,07 0,105 0,175
3
0,08 0,12
0,2
soma 0,2
0,3
0,5
Cov(X,Y) = 0.
soma
0,25
0,35
0,4
13. Um casal tem 3 filhos. Seja X a variável aleatória associada ao número de
meninas e seja Y a variável que toma os valores 1 ou 2 conforme o filho caçula seja
homem ou mulher, respectivamente. Determine a distribuição conjunta e os valores
da covariância e da correlação.
EA = {HHH, HHM, HMH, HMM, MMM, MMH, MHM, MHH}
X ∈ {0, 1, 2, 3}
Y ∈ {1, 2}
X = 0 → HHH
X = 1 → HHM, HMH, MHH
X = 2 → HMM, MHM, MMH
X = 3 → MMM
X\Y
1
2
soma
0
0
1
1
8
8
1
2
1
3
8
8
8
2
1
2
3
8
8
8
3
0
1
1
8
8
soma
4
4
8
8
29
2
1
1
2
1 2 2 2 8 6 20 5
E ( XY ) = 1.1. + 1.2. + 2.1. + 2.2. + 3.2. = + + + + =
=
8
8
8
8
8 8 8 8 8 8 8
2
3
3
1 3 6 3 12 3
E ( X ) = 1. + 2. + 3. = + + =
=
8
8
8 8 8 8 8 2
4
4 4 8 12 3
E (Y ) = 1. + 2. = + =
=
8
8 8 8 8 2
5 3 3 5 9 10 − 9 1
= = 0,25
Cov( X , Y ) = − . = − =
2 2 2 2 4
4
4
3
1  3
3 12 9 9 24 − 18 6 3
 3
Var ( X ) = 1. + 4. + 9.  −   = + + − =
= =
8
8  2
8 8 8 4
8
8 4
 8
2
DP ( X ) =
3 1,732
=
= 0,866
4
2
4 3
4 16 9 20 − 18 2 1
 4
Var (Y ) = 1. + 4.  −   = + − =
= =
8 2
8 8 4
8
8 4
 8
2
1
= 0,5
4
0,25
0,25
ρ( X ,Y ) =
=
= 0,5773
0,866.0,5 0,433
DP (Y ) =
30
6. Alguns Modelos de Probabilidades
Vimos até agora, experimentos simples e fáceis de se encontrar a
distribuição de probabilidade. Porém existem alguns modelos de experimentos que
são mais complexos e por essa razão requerem um modelo mais elaborado para
representar as sua probabilidades. Esses modelos foram estudados por grandes
matemáticos que os tornaram mais simples através de fórmulas ou até mesmo
criando uma tabela de valores.
Veremos então alguns desses modelos:
6.1. Distribuição Binomial ou Distribuição de Bernoulli
Seja um experimento com dois resultados possíveis, chamaremos um dos
resultados de sucesso e o outro de fracasso.
Se a probabilidade do sucesso for p então a probabilidade do fracasso será
q = 1 – p.
Para calcularmos a probabilidade de ocorrerem exatamente x sucessos em n
repetições do experimento, utilizaremos a seguinte fórmula:
n!
P ( x) =
. p x .q n − x
x!.(n − x)!
RECORDANDO!
O símbolo fatorial (!) denota o seguinte produto:
5! = 5.4.3.2.1
2! = 2.1
0! = 1 (por definição)
Para facilitar nossas contas é importante observar a seguinte propriedade dos
fatoriais:
5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 5.4.3!
Assim,
10! 10.9.8.7! 10.9.8
=
=
= 120
7!.3!
7!.3!
3.2
ou seja, desenvolvemos o fatorial do numerador até o maior fatorial do
denominador, de maneira que eles se simplificarão.
31
Exemplo 42: Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de ocorrerem
exatamente 2 caras?
Sucesso → cara (sempre denotaremos de sucesso o que está sendo pedido)
1
p=
2
1
1
q=1- =
2
2
x=2
n=6
2
6!
1 1
P ( 2) =
.  . 
2!(6 − 2)!  2   2 
6− 2
2
4
6!  1   1 
6.5.4! 1 1 6.5 1 15
=
.  .  =
. . =
. =
= 0,2343
2!.4!  2   2 
2!.4! 4 16
2 64 64
Exemplo 43: Se quisermos agora a probabilidade de ocorrer pelo menos 4 caras?
Devemos então calcular P(4)+P(5)+P(6)
4
2
6!  1   1 
6.5.4! 1 1 6.5 1 15
.  .  =
. . =
. =
P ( 4) =
4!.2!  2   2 
4!.2! 16 4
2 64 64
5
P(5) =
1
6!  1   1 
6.5! 1 1 6
.  .  =
. . =
5!.1!  2   2 
5!.1! 32 2 64
6!  1 
. 
6!.0!  2 
6
0
1
1
.  =
64
2
15 + 6 + 1 22
P(4) + P(5) + P(6) =
=
= 0,3437
64
64
P(6) =
6.2. Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é utilizada para determinar a probabilidade de um
evento em um intervalo específico. Esse intervalo pode ser tempo, distância, área ou
qualquer unidade análoga.
Por exemplo, o número de chamadas telefônicas por minuto, o número de
erros de impressão por página de um livro ou ainda, o número de partículas emitidas
por uma substância radioativa.
A fórmula é dada por:
λ x .e −λ
P ( x) =
x!
onde λ é a média de ocorrência do evento x.
Observação:
O número e é um número irracional de grande uso na matemática. Seu valor
é aproximadamente 2,71828 e é chamado de algarismo neperiano.
32
Utilizaremos uma tabela para determinarmos os valores de e − λ .
Exemplo 43: Suponha que 300 erros de impressão estejam distribuídos
aleatoriamente em 500 páginas de um livro. Encontre a probabilidade de em uma
página qualquer conter exatamente 2 erros.
Precisamos determinar o valor de λ que nessa caso será a média de erros por
página, ou seja,
300
λ=
= 0,6
500
Assim,
0,6 2.e −0,6 0,36.0,549 0,1976
=
=
= 0,0988
P ( 2) =
2!
2
2
Exemplo 44: Durante a 2ª Guerra Mundial o sul de Londres foi dividido em 576
sub-regiões de mesma área. A região toda foi atingida por 288 bombas. Escolhida
aleatoriamente uma das sub-regiões, determine a probabilidade dela ter sido
atingida exatamente 3 vezes.
288
λ=
= 0,5
576
0,5 3.e −0,5 0,125.0,607 0,0758
P(3) =
=
=
= 0,0126
3!
3.2
6
6.3. Distribuição Hipergeométrica
Seja uma população finita com um número A de sucessos e um número B de
fracassos. Se tirarmos uma amostra de n elementos, sem reposição, então a probabilidade
de obter x elementos do tipo A será:
A!
B!
( A + B)!
P ( x) =
.
÷
x!.( A − x)! (n − x)!.(B − n + x)! n!.( A + B − n)!
Exemplo 45: Em uma caixa há 100 parafusos com 10 destes defeituosos. Foram
tirados 5 parafusos dessa caixa. Qual a probabilidade de retirarmos exatamente 1
defeituoso?
A = 10 B = 90 n = 5 x = 1
10! 90!
100! 10.9! 90.89.88.87.86! 100.99.98.97.96.95!
.
÷
=
.
÷
=
1!.9! 4!.86! 5!.95!
9!
4.3.2.86!
5.4.3.2.95!
90.89.88.87
5.4.3.2
5
3066228000
= 10.
.
= 10.90.89.88.87.
=
= 0,3393
4.3.2
100.99.98.97.96
100.99.98.97.96 9034502400
P(1) =
33
Exemplo 46: Numa loteria um apostador escolhe 6 números entre 54. Sorteando-se
posteriormente uma combinação ganhadora, qual a probabilidade de acertar 5 dentre
os 6 números ganhadores?
A = 6 B = 48 n = 6 x = 5
6! 48!
54!
6.5! 48.47! 54.53.52.51.50.49.48!
P(5) =
.
÷
=
.
÷
=
5!.1! 1!.47! 6!.48! 5! 47!
6.5.4.3.2.48!
6.5.4.3.2
207360
= 6.48.
=
= 0,000001
54.53.52.51.50.49 18595558800
6.4. Distribuição Normal
Uma variável aleatória tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e
apresenta a forma de um sino:
E é dada pela fórmula:
y=
1
−( x−µ )2
.e
2. DP 2
2π .D P
Pela fórmula verificamos que a distribuição normal depende do valor da média (µ) e
do desvio padrão DP.
34
6.4.1. Distribuição Normal Padrão
É uma distribuição normal com média igual a 0 e desvio padrão igual a 1.
Para determinarmos a probabilidade desejada, calculamos a área da região
correspondente na curva de Gauss.
Exemplo 47: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão.
Determine P( 0 ≤ X ≤ 1,2)
Devemos calcular área azul. Porém na prática, utilizamos uma tabela já construída.
Essa tabela nos fornece a área da região entre 0 e um valor t. Assim basta
procurarmos na tabela o valor 1,2:
P( 0 ≤ X ≤ 1,2) = 0,3849
Observações:
1. A área da curva toda é por definição igual a 1.
2. Os lados da curva são simétricos.
35
Exemplo 48: Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão.
Determine:
a) P( 0 ≤ X ≤ 1,42) = 0,4222
b) P( -0,37 ≤ X ≤ 0) = 0,2673
c) P( -1,37 ≤ X ≤ 2,01) = P( 0 ≤ X ≤ 2,01) + P( -1,37 ≤ X ≤ 0) =
= 0,4778 + 0,4147 = 0,8925
d) P( 0,65 ≤ X ≤ 1,26) = P( 0 ≤ X ≤ 1,26) - P( 0 ≤ X ≤ 0,65) =
= 0,3962 – 0,2422 = 0,1540
e) P( X ≥ 1,03) = 0,5 – 0,3485 = 0,1515
36
f) P( X ≤ 0,72) = 0,5 + 0,2642 = 0,7642
6.4.2. Distribuição Normal Não Padrão
Nossa tabela só pode ser usada quando a variável aleatória tem distribuição normal
padrão. Assim quando tivermos trabalhando com uma variável normalmente distribuída
não padrão, devemos padronizá-la, aplicando a seguinte fórmula:
x−µ
z=
DP
onde x é o valor na distribuição não padrão e z é o valor padronizado.
Exemplo 49: Suponha que a temperatura durante o mês de junho seja normalmente
distribuída com média de 25° C e desvio padrão de 2° C. Encontre a probabilidade
de a temperatura num certo dia de junho estar entre 20° C e 28° C.
Queremos saber o valor de P( 20 ≤ X ≤ 28).
Para que possamos utilizar a tabela devemos tornar essa variável padrão:
20 − 25
z=
= −2,5
2
28 − 25
z=
= 1,5
2
Assim temos que P( 20 ≤ X ≤ 28) = P( -2,5 ≤ Z ≤ 1,5)
E agora podemos utilizar a tabela:
Portanto:
P( 20 ≤ X ≤ 28) = P( -2,5 ≤ Z ≤ 1,5) = 0,4938 + 0,4332 = 0,927
37
Exemplo 50: Suponha que as idades de 800 pacientes sejam normalmente
distribuídas com média igual a 66 anos e desvio padrão de 5 anos. Encontre o
número de pacientes com idade maior ou igual a 72 anos.
72 − 66
z=
= 1,2
5
P( X ≥ 72) = P( Z ≥ 1,2) = 0,5 − 0,3849 = 0,1151
Assim o número de pacientes com idade superior a 72 anos é:
0,1151 . 800 = 92 pacientes
Exercícios:
2
de probabilidade de vitória sempre que joga. Se A jogar 4 partidas,
3
encontre a probabilidade de A vencer:
a) Exatamente 2 partidas;
14. Um time A tem
2
2
0
4
4!  2   1 
4.3.2! 4 1
4 24
.  .  =
. . = 6. =
= 0,2962
2!.2!  3   3 
2!.2 9 9
81 81
b) Pelo menos uma partida;
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 − P (0)
P ( 2) =
4!  2   1 
1
P(0) =
.  .  =
= 0,0123
0!.4!  3   3 
81
P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1 − 0,0123 = 0,9877
c) Mais que a metade das partidas
3
1
4!  2   1 
4.3! 8 1
8 32
P(3) =
.  .  =
. . = 4. =
3!.1!  3   3 
3! 27 3
81 81
4
0
4!  2   1 
16
P ( 4) =
.  .  =
4!.0!  3   3 
81
32 16 48
P(3) + P(4) =
+
=
= 0,5925
81 81 81
38
15. Suponha que 180 erros de impressão são distribuídos aleatoriamente em um livro de
200 páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha:
a) Nenhum erro;
180
λ=
= 0,9
200
0,9 0.e −0,9
P(0) =
= 0,407
0!
b) 1 erro;
0,91.e −0,9
P(1) =
= 0,9.0,407 = 0,3663
1!
c) 2 erros.
0,9 2.e −0,9 0,81.0,407 0,3296
=
=
= 0,1648
P ( 2) =
2!
2
2
16. Numa sala de aula tem 45 alunos sendo 60\% mulheres. Numa prova apenas 10 alunos
obtiveram nota superior a 8. Qual a probabilidade de existirem 8 mulheres nesse grupo?
A = 27 B = 18 n = 10 x = 8
27! 18!
45!
P(8) =
.
÷
=
8!.19! 2!.16! 10!.35!
27.26.25.24.23.22.21.20.19! 18.17.16! 45.44.43.42.41.40.39.38.37.36.35!
=
.
÷
=
8.7.6.5.4.3.2.19!
2.16!
10.9.8.7.6.5.4.3.2.35!
27.26.25.24.23.22.21.20 18.17
10.9.8.7.6.5.4.3.2
=
.
.
=
8.76.5.4.3.2
2 45.44.43.42.41.40.39.38.37.36
27.26.25.24.17
164689200
=
=
= 0,2129
43.41.39.38.37.8 773378736
17. Seja X uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre:
a) P( -0,81 ≤ X ≤ 1,13)
b) P( 0,53 ≤ X ≤ 2,03)
c) P( X ≤ 0,73)
d) P(X ≥ 0,25)
39
18. Suponha que os pesos de 2.000 estudantes do sexo masculino sejam distribuídos
normalmente com média de 70kg e desvio padrão de 8kg. Encontre o número de estudantes
com peso:
a) Menor ou igual a 60kg;
60 − 70
z=
= −1,25
8
P( X ≤ 60) = P ( Z ≤ −1,25) = 0,5 − 0,3944 = 0,1056
b) Entre 65kg e 68kg;
65 − 70
z=
= −0,625
8
68 − 70
z=
= −0,25
8
P(65 ≤ X ≤ 68) = P(−0,62 ≤ Z ≤ −0,25) = 0,2324 − 0,0987 = 0,1337
c) Maior ou igual a 80kg.
80 − 70
z=
= 1,25
8
P( X ≥ 80) = P ( Z ≥ 1,25) = 0,5 − 0,3944 = 0,1056
40
7. Teste de Hipóteses
7.1. Definição de Hipótese:
Uma Hipótese, em Estatística, é uma afirmação feita sobre uma propriedade
de uma população.
Exemplos de hipóteses:
• Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano não é igual a 37º C.
• A porcentagem de motoristas hospitalizados em conseqüência de acidentes é menor
no caso de carros equipados com airbag do que no caso sem esse equipamento.
• Quando se utilizam equipamentos novos na fabricação de altímetros para aviões, a
variação nos erros é reduzida tornando os dados mais consistentes.
Antes de iniciar o cálculo de uma probabilidade baseada numa hipótese,
devemos analisar uma amostra para distinguir entre resultados que podem ocorrer
facilmente e os que dificilmente ocorrem. Vejamos o exemplo seguinte:
Exemplo 51: Uma empresa americana lançou um produto que garantia que os casais
aumentariam em 85% a chance de terem um filho e em 80% a de terem uma filha. Esse
produto era vendido numa embalagem azul se o casal quisesse um menino e numa
embalagem rosa se quisessem uma menina. Suponha que se fez um experimento com 100
casais que queriam ter meninas e que todos seguiram as instruções corretas da embalagem
rosa. O que se pode concluir sobre a eficácia desse produto se as 100 crianças
compreendem:
a) 52 meninas?
b) 97 meninas?
Solução: a) Normalmente esperamos de 100 crianças que 50 sejam meninas, assim o
resultado de 52 meninas está próxima dos 50 esperados e então não podemos
concluir que o produto seja eficaz. Pois sem a utilização do produto esses casais
poderiam obter o mesmo resultado.
b) A ocorrência de 97 meninas entre 100 crianças é extremamente improvável e
poderia se r explicada de duas maneiras: ou ocorreu algo raro por puro acaso ou
o produto é realmente eficaz. Como a chance de nascer 97 meninas por puro
acaso é baixa, concluímos então que o produto é eficaz.
:
41
7.2. Hipótese Nula e Hipótese Alternativa
Hipótese Nula: (denotada por H0) é uma afirmação sobre o valor de um parâmetro
populacional que se deseja aceitar ou rejeitar.
Hipótese Alternativa: (denotada por H1) é a hipótese contraditória, ou seja, é a afirmativa
que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa.
7.3. Erros do Tipo I e II
Erro do Tipo I: Consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
A probabilidade de ocorrer um erro do tipo I é chamada de nível de
significância e se denota por α. O valor de α é normalmente pré-determinado.
Erro do tipo II: Consiste em não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa.
Usa-se o símbolo β para representar a probabilidade de um erro do tipo II e β
pode ser desconhecido.
Controle dos erros de Tipo I e II:
Uma das etapas do teste de hipóteses é a escolha do nível de significância α.
Entretanto não escolhemos o valor de β. Matematicamente os valores de α, β e n (tamanho
da amostra) estão correlacionados, então na prática determinamos os valores de α e n, e
assim β seria determinado.
A escolha de α depende da seriedade do erro do tipo I. Para erros do tipo I
com conseqüências sérias devemos escolher valores pequenos de α. E então se escolhe um
tamanho n de amostra tão grande quanto for razoável para analisar a hipótese.
Exemplificando: Um pacote de bombons do tipo M&M contém 1498 unidades e o peso
médio de cada bombom deve ser pelo menos 0,9085g, pois o pacote anuncia o peso total de
1361g. Um pacote de aspirinas contém 30 tabletes, cada um com 325mg de aspirina.
Se o peso médio dos bombons não for 0,9085g as conseqüências serão
irrelevantes, inclusive se o peso for maior ninguém reclamará.
Ao contrário se os tabletes conterem mais aspirina do que o necessário, a
empresa fabricante poderá ser acionada na justiça pois poderão fazer mal aos
consumidores.
Dessa maneira ao testar a afirmação µ = 0,9085g para os bombons podemos
escolher α = 0,05 e um tamanho de amostra n = 100; já para testar a afirmação µ = 325mg
para os tabletes de aspirina podemos escolher α = 0,0 e um tamanho de amostra n = 500.
42
7.4. Testes unilateral e bilateral
Para entender os teste unilateral e bilateral precisamos saber o que é uma
região crítica.
Região Crítica: É o conjunto de todos os valores que levam à rejeição da hipótese nula.
Exemplo 52: Médicos afirmam que a temperatura média do corpo humano é 37º C. Numa
amostra com 100 pessoas sadias acusou que a temperatura média era de 36,4º C com desvio
padrão de 0,3º C. Seguindo uma distribuição normal teríamos:
z=
36,4 − 37 − 0,6
=
= −2
0,3
0,3
Nesse exemplo a região crítica consiste nos valores inferiores a z = -2 ou superiores a z = 2.
•
•
Teste Bilateral: quando a região crítica está situada nas duas regiões extremas da
curva. Rejeitamos a hipótese nula se nossa estatística de teste estiver na região
crítica. Nesses casos o nível se significância é dividido igualmente entre as duas
regiões que constituem a região crítica.
Teste Unilateral: quando a região crítica está localizada em apenas uma das regiões
extremas. Pode ser Unilateral esquerdo quando a região crítica é a região da
esquerda ou Unilateral direito se for a região da direita. Nesses casos a área da
região crítica é α.
43
Exemplo 53: Após obter amostras nas bombas de gasolina de um posto, uma agência de
propaganda afirmou que os consumidores estão sendo prejudicados em virtude da seguinte
condição: quando o marcador indica 1 galão, a quantidade média de combustível é inferior
a 1 galão.
a) Expresse a afirmação de que os consumidores estão sendo prejudicados
µ<1
b) Identifique a hipótese nula: H0
H0 = µ ≥ 1 (deve sempre ter a igualdade)
c) Identifique a hipótese alternativa: H1
H1 = µ < 1
d) Identifique esse teste como bilateral, unilateral esquerdo ou unilateral direito
Esse teste é unilateral esquerdo pois a hipótese nula é rejeitada se µ < 1, ou
seja, para valores menores que 1.
Exemplo 54: Muitos passageiros de navios de cruzeiro utilizam adesivos para evitar o
enjôo. Testa-se uma afirmação sobre a quantidade da dosagem média, com nível de
significância α = 0,05. Utilizando uma distribuição normal, determine os valores que
determinam a região crítica quando o teste é:
a) Bilateral
b) Unilateral esquerda
c) Unilateral direita
Solução:
a) Como o teste é bilateral o valor de α é dividido entre as duas regiões o que
determina uma área de 0,025 em cada região. Para encontrar o valor na tabela de
distribuição normal padrão, precisamos achar a área vermelha 0,5 - 0,025 = 0,475.
Procurando na tabela vemos que z = 1,96 e z = - 1,96.
b) Em um teste unilateral esquerdo temos α = 0,05 que é a área da região crítica à
esquerda de maneira que a área vermelha é igual a 0,5 – 0,05 = 0,45. Olhando na
tabela encontramos z = -1,645.
c) Como a distribuição é simétrica, para o teste unilateral direito encontraremos
z
= 1,645.
44
Bibliografia
Triola, M. – Introdução à Estatística. Editora LTC.
Soares, J. F.; Farias, A. A. e César C. C. – Introdução à estatística.
Editora Guanabara.
Tanaka, O. K. e Pereira, W. – Estatística: conceitos básicos. Editora
Makron Books.
Lipschutz, S. – Probabilidade. Editora Makron Books.
45