Unidade 11 - Probabilidade
Probabilidade Empírica
Probabilidade Teórica
Probabilidade Empírica
Existem probabilidade que são baseadas
apenas uma experiência de fatos, sem
necessariamente apresentar uma base
teórica.
Tais probabilidades são denominadas
probabilidades empíricas.
As probabilidades empíricas são utilizadas
nas situações em que pretendemos observar
com que frequência certos eventos ocorrem.
Probabilidade Empírica
Exemplo
Existem 4200 estudantes
em um curso pré-vestibular.
O gráfico de setores a
seguir mostra, por exemplo,
que o curso de Medicina é o
mais procurado. Se um
estudante qualquer deste
curso pré-vestibular é
aleatoriamente escolhido,
qual a probabilidade de
prestar Direito?
Probabilidade Empírica
Solução
A probabilidade de
escolher ao acaso um
estudante que prestará
vestibular num curso
de Direito é o número
de estudantes que
prestarão o curso de
Direito dividido pelo
total dos alunos do
curso pré-vestibular..
Logo,
P=
número de estudantes que prestarão Direito
número total de estudantes do curso pré - vestibular
966
23
P=
=
= 0,23 = 23%
4200 100
Probabilidade Empírica
Observe na figura a
relação entre alguns
eventos e suas
correspondentes
probabilidades.
Probabilidade Teórica
As probabilidades teóricas são
utilizadas nos experimentos
equiprováveis, ou seja, nos
experimentos cujos resultados
têm a mesma probabilidade de
ocorrência.
Imagine um lançamento de um
dado comum e a observação
do resultado obtido na face
superior.
Mesmo que todos os resultados
tenham chance de ocorrer, o
resultado que será observado é
imprevisível.
Os experimentos que
apresentam resultados
imprevisíveis são denominados
experimentos aleatórios.
Assim, lançar um dado comum
e observar o resultado é um
experimento aleatório.
O conjunto formado por todos
os resultados possíveis do
experimentos é denominado
espaço amostral do
experimento, e denotado por S.
Os espaço amostral de um
lançamento de um dado
comum é
Probabilidade Teórica
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Vamos definir o que vem a
ser evento.
Evento aleatório ou
simplesmente evento é um
subconjunto qualquer do
espaço amostral.
Por exemplo, o subconjunto
das faces serem par: A de
S, A = {2; 4; 6}.
Portanto é o evento formado
pelos resultados pares no
lançamento do dado
Outros possíveis eventos:
B = {1; 3; 5} faces ímpares;
C = {2; 3; 5} faces primos;
D = {1} nº f < 2; etc.
Conclusão:
Enquanto espaço amostral é
o conjunto formado por
todos os resultados
possíveis de um
experimento, evento é
qualquer subconjunto do
espaço amostral.
Probabilidade Teórica
Generalizando
Dado um experimento equiprovável qualquer, para calcular a
probabilidade teórica de ocorrência de um certo evento A,
basta dividir o número de resultados do evento A pelo número
total de resultados do espaço amostral S:
número de resultados do evento A
P=
número de resultados do espaço amostral S
n( A)
P=
n(S )
Probabilidade Teórica
Exemplos
1) Um dado comum é lançado. Qual é a
probabilidade de o número obtido ser maior
que 4?
Solução
Deteminar o espaço amostra :
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} → n(S ) = 6
Estamos interessados nos resultados que
são maiores que 4.
Portanto : A = {5; 6} → n( A) = 2
n( A) 2 1
Logo : P =
= = ≅ 33,33%
n(S ) 6 3
Resposta : A probabilidade de o número obtido ser maior que 4 é 33,33%
Probabilidade Teórica
Exemplos
2) Dois dados comuns são lançados. Qual a probabilidade de a soma
dos resultados ser 6
a)
b)
Solução:
Se dois dados comuns
são lançados, pelo
princípio multiplicativo,
existem 6 x 6 = 36
resultados possíveis no
espaço amostral. Assim
n(S) = 36
Os 36 resultados
possíveis são
apresentados, a seguir,
em pares, juntamente
apresentam soma 6
Probabilidade Teórica
Exemplos
O evento A formado pelos resultados cuja a
soma é 6, é:
A = {(1, 5); (2, 4); (3, 3); (4, 2); (5, 1)}
Logo, n(A) = 5
Desta forma, a probabilidade de obter 6 é
n( A) 5
P=
=
≅ 13,8%
n(S ) 36
Evento complementar
Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum, qual a
probabilidade de não ser uma figura?
O espaço amostral do experimento “retirar ao acaso uma carta
do baralho” é constituído pelas 52 cartas de todo o baralho.
Entre as 52 cartas, existem 12 que são figuras:
E as 40 demais não são figuras.
Evento complementar
⇒ A : a carta é uma figura
⇒ A : a carta não é uma figura (evento complementar de A)
Logo,
⇒ a probabilidade de a carta ser uma figura é P(A ) =
( )
⇒ e a de não ser é P A =
12
52
40
52
Este exemplo ilustrou uma situação em que temos eventos complementares.
Dois eventos A e A são complementares em relação
ao mesmo espaço amostral S, quando A ∩ A = O
eA∩A =S
Evento complementar
A∩A=O
A
A ∩A =S
AA
S
Evento complementar
Observe no diagrama abaixo os eventos A e A de um espaço amostral finito S e não vazio;
Sendo n (A ) o número de resultados do evento A, podemos escrever que :
( )
n (A ) + n A = n (S)
dividindo todos os termos por n (S)
( )
n (A ) n A n (S)
+
=
n (S) n (S) n (S)
substituindo as probabilidades correspontendes
( )
P(A ) + P A = 1 → (a soma das probabilidades é 1 ou 100%)
substraindo P(A ) de ambos os membros da última equação, concluimos que :
Evento complementar
A probabilidade de um evento qualquer não
ocorre é 1 menos a probabilidade deste
evento ocorrer.
( )
P A = 1 - P(A )
Evento complementar
Exemplo
Com uma oposta em um único cartão de 6 números, qual a
probabilidade de alguém não ganhar o prêmio máximo na
Mega Sena?
Solução
A probabilidade P(A ) de alguém ganhar o prêmio máximo na Mega Sena é
Jogando nos 15 números máximos por cartela
n( A)
1
P=
=
≅ 0,00000002
n(S ) 50063860
( )
Logo, a probabilidade P A de alguém não ganhar o prêmio máximo é
( )
P A = 1 − P(A )
1
P A = 1−
50063860
( )
50063859
PA =
≅ 0,99999998 ≅ 99,99%
50063860
( )
Regra da Soma de Probabilidades
Retirando uma carta de um
baralho comum, qual a
probabilidade de ser um
figura ou uma carta de
copas?
Solução
Um baralho possui 12
figuras e 13 cartas de copas
entre suas 52 cartas.
Como estamos interessados
nas figuras ou nas cartas de
copas, vamos começar
somando as probabilidades:
P (figuras) + P (copas) =
12 13
+
52 52
Entretanto existem 3 cartas que
são simultaneamente figuras e
de copas.
Regra da Soma de Probabilidades
Portanto, não encontraremos a respostas simplesmente
somando as probabilidades.
Como as 3 cartas comuns foram contabilizadas tanto entre as
figuras, quanto as de copas, é preciso subtrair a probabilidade
de a carta retirada ser uma figura de copas.
12 13 3
P (carta figuras ou de copas) = + −
52 52 52
P (carta figuras ou de copas) =
12 + 13 - 3 22 11
=
=
≅ 42,3%
52
52 26
Regra da Soma de Probabilidades
Generalizando
A probabilidade de ocorrer o evento A ou o
evento B é dada pela soma da probabilidade
de A com a de B, menos a probabilidade
simultânea de A e B.
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)
Usando as operações entre conjuntos,
podemos também expressá-la de uma outra
maneira, porém equivalente:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Regra da Soma de Probabilidades
Exemplo
No lançamento de um dado comum, qual a probabilidade de se
obter um número ímpar ou maior que 4?
Solução:
Espaço amostra: S = {1; 2; 3; 4; 6} → n(S) = 6
Evento A: A = {1; 3; 5} → n(A) = 3
Evento B: B = {5; 6} → n(B) = 2
Evento A ∩ B: A ∩ B = {5} → n(A ∩ B) = 1
Probabilidade de A ∪ B :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = P(A ∩ B)
P(A ∪ B) =
3 2 1 3 + 2 −1 4 2
+ − =
= = ≅ 6,6%
6 6 6
6
6 3
Regra da Soma de Probabilidades
Observação
Pode ser provar que para três eventos A, B e
C a regra da soma de probabilidade é dada
por:
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando é
impossível ocorrerem simultaneamente. Assim, A e
B são mutuamente exclusivos se A ∩ B = O
Por exemplo, no lançamento de um dado, os
eventos A: “o número observado é maior que 4” e B:
“o número observado é menor que 3” são
mutuamente exclusivos:
A = {5; 6}
B = {1; 2}
Eventos mutuamente exclusivos
Dois eventos mutuamente exclusivos não
apresentam resultados comuns.
Portanto
Se dois eventos A e B são mutuamente
exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou
B é simplesmente, a soma das probabilidade
de A e B, ou seja,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Eventos mutuamente exclusivos
Exemplo
Se uma carta é selecionada aleatoriamente de um baralho
comum, qual a probabilidade de ser rei ou uma dama?
Num baralho, não existem cartas que sejam simultaneamente
rei e dama.
Os eventos “ser um rei” e “ser uma dama” são, portanto
mutuamente exclusivos.
Como existem 4 reis e 4 damas entre as 52 cartas do baralho,
a probabilidade de retirarmos um rei ou uma dama é a soma
das probabilidades individuais de cada um.
P( rei ou dama) = P(rei) + P(dama)
P( rei ou dama) =
4
4
8
2
+
=
= ≅ 15,38%
52 52 52 13
Regra do Produto de Probabilidades
Sendo A e B eventos de um mesmo espaço
amostral, a probabilidade de ocorrer A e B,
indica-se por P(A ∩ B), é a probabilidade de
A multiplicada pela probabilidade de B, dada
a ocorrência de A.
P(A ∩ B) = P(A) .P(B/A)
Regra do Produto de Probabilidades
Observação
A regra do produto de probabilidade também
pode ser expressa da seguinte maneira:
P(A ∩ B) = P(A) .P(A/B)
Isto ocorre porque P(A ∩ B) = P(B ∩ A)
Regra do Produto de Probabilidades
Exemplo
Uma urna tem 10 bolas, sendo
3 azuis e 7 brancas. Duas
retiradas ao acaso,
sucessivamente e sem
reposição. Qual a probabilidade
de a primeira ser azul e a
segunda ser branca?
Solução:
Na primeira retirada, há na urna
3 bolas azuis entre todas as 10
bolas.
Logo a probabilidade de a
primeira ser azul é de 3/10.
Se as retiradas são efetuadas
sem reposição, o número total
de bolas na urna vai diminuindo
uma unidade a cada retirada.
Após a retirada da primeira
bola azul, há 7 bolas brancas
entre todas as 9 bolas
restantes.
Portanto, a probabilidade de a
segunda bola ser branca, dado
que a primeira foi azul é 7/9.
P( A1 ∩ B2 ) = P( A1 ).( B2 / A1 )
P ( A1 ∩ B2 ) =
3 7 21 7
=
≅ 23,3%
. =
10 9 90 30
Probabilidade Condicional
A probabilidade do evento A, dada a
ocorrência do evento B, representa por
P(A/B), é a probabilidade de ocorrer A e B,
dividida pela probabilidade do evento B.
P( A ∩ B)
P( A / B) =
, P( B) ≠ 0
P( B)
Probabilidade Condicional
É importante perceber que, em P(A/B), o
cálculo refere-se à probabilidade de A na
certeza da ocorrência do evento B.
Assim, o evento B é certo, enquanto que o
evento A é incerto.
Probabilidade Condicional
1º Observação
Analogamente, a probabilidade de evento B,
dada pela ocorrência do evento A, é dada
por:
P( A ∩ B)
P ( B / A) =
, P( A) ≠ 0
P( A)
Probabilidade Condicional
2º Observação
Em geral, P(A/B) não é igual a P(B/A).
Isto ocorre porque, apesar de ambas as
probabilidades condicionais apresentarem o
mesmo numerador, cada uma delas tem um
denominador diferente, já que a informação
conhecida não é a mesma.
Probabilidade Condicional
Exemplo
a)
b)
Um pescador sai diariamente para pescar
com probabilidade de 30% em dias de
chuva e de 80% nos demais dias. Se onde
ele mora, a probabilidade de chuva num dia
qualquer é de 40%, então
Qual a probabilidade de que o pescador vá
pescar amanhã?
Qual a probabilidade de chover em um dia
em que o pescador foi pescar?
Probabilidade Condicional
Solução
Vamos representar adequadamente cada um dos eventos :
1) P(C) = 40% é a probabilidade de ocorrer chuva num dia qualquer;
2) P(C) = 60% é a probabilidade de não ocorrer chuva num dia qualquer;
3) P(P/C) = 30% é a probabilidade de pesca em um dia de chuva;
4)P(P/ C) = 80% é a probabilidade de pesca em um dia de não chuva.
Probabilidade Condicional
Solução
a)
Qual a probabilidade de que o pescador vá pescar
amanhã?
O fato de ser amanhã ou qualquer outro dia, não
altera a probabilidade.
A pergunta também não especifica se é um dia de
chuva ou não.
Assim, no cálculo, devemos considerar a pesca
tanto em dias de chuva, quanto em dias de não
chuva.
Probabilidade Condicional
Solução
a)
P ( pesca) = P[(Chuva e pesca ) ou ( Nãochuva e Pesca )]
P( P) = P(C ∩ P) + P(C ∩ P)
Desmembrando as interseções por meio da regra do produto de probabilidade.
P(P) = P(C).P(P/C) + P(C).P(P/ C)
Substituindo as probabilidade correspondentes
P(P) = 40%.30% + 60%.80%
12
48
60
P( P) =
+
=
= 60%
40 30 60 80
P(P) =
.
+
.
100 100 100
100 100 100 100
Portanto, independente da ocorrência de chuva, a probabilidade de pesca 60%.
Probabilidade Condicional
Solução
b)
Qual a probabilidade de chover em um dia em que
o pescador foi pescar?
A probabilidade de chover em um dia em que o
pescador foi será representado por P
(Chuva/Pesca).
Observe que, neste caso, temos uma
probabilidade condicional, pois P (Chuva/Pesca) é
a probabilidade de ocorrer chuva, sabendo-se que
o pescador foi a pesca.
Usando a relação da probabilidade condicional,
temos:
Probabilidade Condicional
Solução
b)
P(Chuva e pesca )
P (Chuva / pesca) =
P(Pesca )
P (C ∩ P)
P (C / P) =
P (P )
O resultado indica que, das vezes
em que o pescador vai pescar,
em 20% delas chove.
Substituindo as probabilidade
12
12 100 12
100
P (C / P) =
=
.
=
= 0,20 = 20%
60 100 60 60
100
Logo, a probabilidade de chuva em um dia em que o pescador foi pescar é 20%
Exemplo 1: Uma carta é sorteada de um baralho comum, que possui 13
cartas (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K) de cada naipe (ouros, copas,
paus e espadas). Determine a probabilidade de sortearmos uma carta e
sair um rei, sabendo que a carta sorteada foi de ouros.
1ª SOLUÇÃO: Pela fórmula
Evento A = sair um rei, p = 4/52 = 1/13, já que o baralho comum possui
4 reis, dentre as 52 cartas.
Evento B = sair uma carta de ouros p = 13/52, já que o baralho comum
tem 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.
Evento A ∩ B = sair um rei de ouros = 1/52, pois só existe um rei de
ouros entre as 52 cartas.
1
p(A ∩ B) 52
1
p
(A/B)
=
=
=
Aplicando a fórmula dada, teremos:
13 13
p(B)
52
2ª SOLUÇÃO: Poderíamos obter diretamente a resposta, considerando
que, como saiu uma carta de ouros, o universo se restringe às 13
cartas de ouros, das quais, uma é o rei, logo a probabilidade procurada
é p = 1/13.
O exemplo mostrado serve para ilustrar uma importante situação no
cálculo das probabilidades: aquela na qual a probabilidade condicional
de A na certeza de B é igual à probabilidade de A (ou seja a ocorrência
de B não influi na probabilidade de ocorrência de A). Nesse caso,
dizemos que os eventos A e B são INDEPENDENTES. E, nesse caso,
temos:
p(A ∩ B)
p(A/B) = P(A) =
p(B)
p(A ∩ B) = p(A) . P(B)
EVENTOS INDEPENDENTES
Exemplo 2: Uma moeda honesta e um dado são lançados. Qual a
probabilidade de obtermos cara e um número primo?
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, teremos: p = ½ . 3/6 =
¼ = 25%.
Exemplo 2) (UNIRIO – 2008) Leia a tirinha abaixo:
Lúcio está certo: desde o dia 07/07/2007, existem dois grupos de 7
Maravilhas do Mundo: as 7 do Mundo Antigo e as 7 do Mundo Moderno e
nenhuma pertence a ambos os conjuntos. Suponha que se escolham,
aleatoriamente, duas entre essas 14 Maravilhas. Determine a
probabilidade de ambas estarem em um mesmo grupo.
SOLUÇÃO: Como são eventos independentes, para que as sorteadas
estejam num dos grupos, teremos a probabilidade igual a 7/14 x 6/13 =
3/13. Como são dois grupos, a resposta será 6/13.
EXEMPLO 3: Um sistema de segurança tem dois dispositivos que
funcionam de modo independente e que tem probabilidades iguais a 0,2
e 0,3 de falharem. Qual é a probabilidade de que pelo menos um dos
dois componentes não falhe?
SOLUÇÃO: Como são dispositivos INDEPENDENTES (A = falha o
primeiro, B = falha o segundo), a probabilidade de que os dois falhem
(A ∩ B) será dada por p = 0,2 x 0,3 = 0,06.
Como que se deseja é que, ao menos um deles não falhe, estamos
diante da probabilidade complementar do evento calculado
anteriormente, logo, a probabilidade procurada será igual a:
p = 1 – 0,06 = 0,94 = 94%.