Lista de exercícios – n° 05 – Resolução - Probabilidade e Estatística – PRE-01
Prof. Dr. Marcelo de Paula Corrêa
Probabilidade
1) Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 vermelhas, 4 brancas e 5
azuis. Determinar a probabilidade dela:
a) ser vermelha:
P(V) = 6/15 = 2/5
b) ser branca:
P(B) = 4/15
c) ser azul:
P(A) = 5/15 = 1/3
d) não ser vermelha:
P=(ÑV) = 9/15 = 3/5
e) ser vermelha ou branca:
P(V ou B) = 10/15
f) de que 3 bolas sejam retiradas na ordem vermelha, branca e azul, quando cada bola
for recolocada: P(V∩B∩A) = P(V).P(B).P(A) = (2/5).(4/15).(1/3)= 8/225 (ev. indep.)
g) o mesmo, porém quando as bolas não forem recolocadas:
P(V∩B∩A) = P(V).P(B|V).P(A|BV) = (6/15).(4/14).(5/13)= 4/91 (ev. dep.)
2) Um dado honesto é lançado duas vezes.
a) Determine a probabilidade de ocorrer um 4, 5 ou 6 no primeiro lance e um 1, 2 3 ou 4
no segundo lance.
P(1,2,3,4|4,5,6) = P(1,2,3,4).P(4,5,6) = (4/6).(3/6)=(2/3).(1/2)=(2/6)= (1/3)
b) Agora, determine a possibilidade de aparecer um 4, pelo menos uma vez, em dois
lances.
A = 4 no 1o lance; B = 4 no 2o lance
A<B não são mutuamente exclusivos => ou A, ou B, ou ambos.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Porém, A + B são independents = > então P(A∩B) = P(A).P(B)
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A).P(B) = (1/6) + (1/6) – (1/36) = (11/36)
3) Uma bolsa contém 4 bolas brancas e 2 pretas; outra contém 3 brancas e 5 pretas. Se
for retirada uma bola de cada bolsa, determine a probabilidade de:
a) ambas serem brancas:
P(B1,B2) = P(B1∩B2) = P(B1).P(B2) ´= (4/6).(3/8) = (1/4)
(indep.)
b) ambas serem pretas:
P(P1,P2) = P(P1).P(P2) = (2/6).(5/8) = (5/24)
(indep.)
c) uma ser branca e a outra preta.
P(B1,P2) + P(P1,B2) = P(B1).P(P2) + P(P1).P(B2) = (13/24)
4) Determinar a probabilidade de haver meninos e meninas em famílias com 3 crianças,
admitindo-se as mesmas possibilidades para ambos.
O = menino, A = menina
As probabilidades seriam:
P(OOO) = P(O).P(O).P(O) = 1/8
P(AAA) = P(A).P(A).P(A) = 1/8
P(2O 1A) = P(OOA) + P(OAO) + P(AOO) = 3/8
P(1O 2A) = P(OAA) + P(AAO) + P(AOA) = 3/8
5) Se uma pessoa é aleatoriamente escolhida, determine a probabilidade dela ter
nascido:
a) no dia 7 de setembro (ignore os anos bissextos).
P(7set.) = (1/365)
b) em setembro?
P(set) = (30/365)
c) em um dia da semana que termine com “a” ou “o”
P(AO) = 1
6) Recalcule a probabilidade do item “a” do exercício 5 considerando que:
a) os anos bissextos ocorrem a cada quatro anos.
P(7setbix) = (4/1461)
b) os anos bissextos ocorrem em anos divisíveis por 4, exceto que eles saltam 3 de cada
4 anos centesimais (isto é, terminados em 00). Por exemplo, 1700, 1800 e 1900 não
foram bissextos, mas 2000 foi.
P(bix4) = (400/146097)
7) Baixe o arquivo “dados_paciencia.txt” relativo a 500 resultados de jogos de paciência
no MS-Windows e estime a probabilidade:
a) de ganhar quando se joga paciência
P(A) = (77/500)
b) de virar todo o baralho ganhando $ 208.
P(208) = (13/500)
8) Uma pesquisa mostrou que 58% dos brasileiros acreditam que há vida fora da Terra.
Qual é a probabilidade de se sortear uma pessoa que não tenha essa crença?
P(ÑA) = 1 – P(A) = 1 – 0,58 = 0,42
9) Dado o seguinte conjunto de dados:
Bacia Hidrográfica A B C D E F G H I J
Cheia / Seca C C S C S C S S S C
Afluentes 5 6 2 7 6 8 8 9 11 4
a) Qual a probabilidade de se selecionar uma bacia que se apresente em condições de
cheia ou tenha 8 afluentes?
P(AUB) = P (A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B)
P(AUB) = (5/10) + (2/10) – (10/100) = (6/10)
b) Qual a probabilidade de uma vez selecionada uma bacia que se apresente em
condições de cheia, ela tenha 8 afluentes?
P(A∩B) = P(A).P(B|A) = (5/10). (1/5) = (1/10)
10) Coisas de estudantes...
a) Quatro estudantes afirmam que os pneus de seus carros furaram e, por esta razão, não
puderam comparecer à prova. Para confirmar as alegações, o professor pede que os
estudantes identifiquem o pneu furado. Se nenhum pneu furou e eles escolheram
aleatoriamente um pneu que supostamente teria furado, qual é a probabilidade de que
escolham o mesmo pneu?
P(4E) = (1/4).(1/4).(1/4).(1/4) = 1/256
b) Um professor aplica uma prova composta de 10 questões do tipo verdadeiro/falso e
afirma que a aprovação requer, no mínimo, 7 respostas corretas. Suponha que um aluno
despreparado (o que não é o caso dos alunos da hídrica e da ambiental) chute todas as
questões. Qual a probabilidade de que as 7 primeiras respostas estejam certas e as 3
últimas erradas? A probabilidade encontrada é igual à probabilidade aprovação?
P(7C,3E) = (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2). (1/2) = 1/1024
c) Suponha que seu despertador tenha uma probabilidade de 0,975 de funcionar.
Qual é a probabilidade de que ele não funcione na manhã de um importante exame
final?
P(ÑA) = 1 – 0,975 = 0,025
Se você tem dois despertadores idênticos, qual a probabilidade de quem ambos não
funcionem?
P(2ÑA) = 0,000625
Com um despertador, você tem 97,5% de chances de ser acordado. Qual é a
probabilidade de ser acordado com os dois despertadores?
P(2A) 1 - 0,000625 = 0,999375