ESCALAS
Importância da escala:
O uso de uma escala é indispensável quando se faz necessário representar um objeto
graficamente mantendo a proporção entre suas partes ou em relação a outros objetos.
Escala numérica é a razão entre a dimensão gráfica e a dimensão real de um determinado
objeto.
d/D = 1/Q
·
D = dimensão real do objeto
·
d = dimensão gráfica do mesmo objeto
·
Q = fator de redução ou ampliação
·
1/Q = título da escala
Exemplo:
O lado de um quadrado que mede 8,0 m será desenhado com 4,0 cm se o título da escala
utilizada for 1/200,
d =D/Q
d = 8,0 / 200
d = 0,04 m = 4,0 cm
Profª. Deli Garcia Ollé Barreto
Escala gráfica é a representação gráfica (o desenho) da escala numérica.
Exemplo:
Neste exemplo foi escolhida a escala gráfica de título 1/75.
Para desenhá-la deve ser calculado o valor de 10 m nesta escala, ou seja,
10 / 75 = 0,1333 m = 13,3 cm.
Usando a divisão gráfica de um segmento ( explicado na página seguinte ), este espaço foi
dividido em 10 partes iguais a 1 m.
Do lado esquerdo do zero da escala foi colocado o espaço de 1 m e este espaço dividido em 10
partes iguais. Esta unidade chama-se “talão da escala” onde serão medidos décimos do metro.
Obs. A quantidade de unidades da escala depende do espaço onde vamos desenhá-la.
Supondo que o espaço fosse de 10 cm, o cálculo seria:
d = 0,10 logo
D = 0,10 x 75 = 7,5 m
Neste caso a escala teria somente 6,5 m porque a primeira unidade seria reservada ao talão.
Profª. Deli Garcia Ollé Barreto
DIVISAÕ GRÁFICA DE UM SEGMENTO – Teorema de TALES DE MILETO
Para dividir o segmento AB em 5 partes iguais, por exemplo:;
* Traçar uma reta auxiliar que tenha qualquer inclinação em
relação ao segmento AB e que lhe seja concorrente nos pontos A
ou B.
* Marcar 5 segmentos de mesmo tamanho sobre a reta auxiliar;
* Desenhar o triângulo ABC.
* Traçar paralelas ao segmento AC pelos pontos marcados sobre a reta auxiliar .Estas
paralelas dividem o segmento AB em 5 partes iguais.
Na página seguinte uma breve explicação sobre o matemático
Tales de Mileto
Profª. Deli Garcia Ollé Barreto
Tales de Mileto
Período: c. 625 - 546 a.C.
Assuntos matemáticos envolvidos:
•Geometria: teorema de Tales; semelhança de triângulos; ângulos;circunferência; cálculo da altura da pirâmide;
Texto do site:
http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/tales.html
Para alguns historiadores da matemática antiga, a geometria demonstrativa iniciou-se com Tales de Mileto, um dos sete
sábios da Grécia. Foi o fundador da escola jônica, escola de pensamento dedicada à investigação da origem do universo e
de outras questões filosóficas, entre elas a natureza e a validade das propriedades matemáticas dos números e das figuras.
Tales é uma figura imprecisa historicamente, pois não sobreviveu nenhuma obra sua. O que sabemos é baseado em antigas
referências gregas à história da matemática que atribuem à ele um bom número de descobertas matemáticas definidas.
Pouco sabemos sobre a vida e obra de Tales. Supõe-se que começou sua vida como mercador, tornando-se rico o suficiente
para dedicar a parte final de sua vida ao estudo e a realização de algumas viagens. Supõe-se que viveu algum tempo no
Egito onde provavelmente aprendeu geometria e na Babilônia onde entrou em contato com tabelas e instrumentos
astronômicos. Faz parte do seu mito o fato de ter previsto o eclipse solar de 585 a.C., embora muitos historiadores da
ciência duvidem que os meios existentes na época permitissem tal proeza. Atribui-se a Tales o cálculo da altura das
pirâmides, bem como o cálculo da distância até navios no mar, por triangulação. Tales foi o primeiro personagem
conhecido a quem associam-se descobertas matemáticas. Acredita-se que obteve seus resultados mediante alguns
raciocínios lógicos e não apenas por intuição ou experimentação. Os fatos geométricos cuja descoberta é atribuída a Tales
são:
•A demonstração de que os ângulos da base de dois triângulos isósceles são iguais;
•A demonstração do seguinte teorema: se dois triângulos tem dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então são
iguais;
•A demonstração de que todo diâmetro divide um círculo em duas partes iguais;
•A demonstração de que ao unir-se qualquer ponto de uma circunferência aos extremos de um diâmetro AB obtém-se um
triângulo retângulo em C. Provavelmente, para demonstrar este teorema, Tales usou também o fato de que a soma dos
ângulos de um triângulo é igual a dois retos;
•Tales chamou a atenção de seus conterrâneos para o fato de que se duas retas se cortam, então os ângulos opostos pelo
vértice são iguais.
Profª. Deli Garcia Ollé Barreto
Exercícios de escalas
1. Representar uma escala gráfica cujo título e 1/125 e outra com título igual a 1/75.
2. Um terreno retangular de 12 x 18 metros está desenhado na escala 1/150.Quanto mede
sua área gráfica?
3. Uma circunferência de raio igual a 6,0m foi desenhada com raio igual a 3,75cm. Em que
escala está o desenho?
4. Qual a área real do terreno retangular desenhado abaixo?
U-m
Esc - 1/85
6. Qual a área real do terreno abaixo representado na escala 1/200 ?
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7. Qual escala deve ser usada para desenhar uma sala de 5,0m por 10,0m numa folha de
papel formato A4?
Dimensões do papel A4: 210 x 297 mm. Analisar o melhor aproveitamento para a folha de
papal sem esquecer as margens.
8.Qual a escala para as seguintes situações:
Medida real
10,0m
20,0m
10,0m
20,0m
30,0m
02,0m
Medida do desenho
10cm
10cm
4cm
1cm
75cm
20cm
Escala
...../......
...../......
...../......
...../......
...../......
...../......
9. Um segmento de 2,0m será representado no desenho por:
9.1
9.2
1/50 ........................................
1/25 ........................................
10. O desenho de uma janela tem sua largura = 3,0 cm. Qual sua medida real?
1/25 ............/.................
1/75 ............/.................
1/50 ............/.................
11. Um centro de convenções tem dimensões 100m X 75m:
Qual as dimensões do papel para uma escala de 1/100?
Qual a escala máxima a ser adotar para um papel com as dimensões de 40 X 30 cm ?
Considerando que as escalas mais conhecidas são 1/250, 1/200, 1/100, 1/75, 1/50, 1/25,
1/20, 1/10, e 1/5, qual a escala mais adeqüada para desenhar seu projeto utilizando o
papal com o formato A0 (dimensão 841/1189 mm)?
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FIGURAS SEMELHANTES - HOMOTETIA
Polígonos semelhantes são aqueles que têm ângulos iguais e lados proporcionais
A
B´
Os triângulos ABC e A´B´C´
são semelhantes.
A´
C
B
C´
As dimensões do triângulo ABC são o dobro das dimensões do trianguço A´B´C´e esta
proporção entre suas medidas chama-se razão de semelhança.
Partindo do triângulo ABC e usando a razão ½ chega-se ao triângulo A´B´C´, no
entanto, se a origem é o triângulo A´B´C´ e a razão é 2, encontra-se o triângulo ABC.
O segmento AB é semelhante ou homólogo de A´B´ da mesma forma os outros lados
dos triângulos.
A semelhança de triângulos é importante dentro do desenho geométrico e em
particular na divisão de segmentos em partes iguais ou proporcionais, usada no
estudado de escala gráfica.
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HOMOTETIA
Homotetia é a operação gráfica que permite desenhar figuras semelhantes com uma
particularidade: os lados semelhantes são paralelos.
A
A´
O
C´
C
B
Os elementos da homotetia são:
B´
A´B´/ AB = B´C´/ BC = C´A´/ CA = ½
Oa´/ OA = OB´/ OB = OC´/OC = ½
O = centro de homotetia
OA = raio vetor do ponto A;
OB = raio vetor do ponto B;
OC =raio vetor do ponto C
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OBS: Cada ponto da figura tem seu próprio raio vetor e só pode deslocar-se sobre seu
raio vetor.
Na figura abaixo a razão de homotetia é 3/5 entre o triângulo maior e o menor.
Como os lados homotéticos são paralelos basta estabelecer esta razão em apenas um de seus
raios vetores e traçar os lados semelhantes paralelos entre si.
O raio vetor do ponto A está dividido em 5 partes iguais o que foi possível através da divisão
gráfica tendo a reta u como auxiliar. O ponto A´ que é o homotético de A ocupa a terceira parte
desta divisão. Após encontrar o ponto A´ basta traçar o lado A´C´ paralelo ao lado AC partindo
do ponto A´ até o raio vetor de C e o lado A´B´ é paralelo ao lado AB partindo do ponto A´ até o
raio vetor de B.
B
B´
+
C´
o (centro de homotetia)
C
A
A´
U
OBS: O centro de homotetia pode ser qualquer ponto do plano da figura plana.
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A homotetia pode ser direta ou inversa .
Quando a razão de semelhança é positiva a homotetia é direta mas quando a razão é
negativa a homotetia é inversa.
A figura abaixo mostra o resulatado de uma homotetia inversa.
Neste caso a razão é -3/5 e as três unidades da divisão encontram-se na porção
negativa do raio vetor do ponto A, dando origem ao ponto homotético A´. Para encontrar
os outros pontos o procedimento é semelhante ao caso anterior, bastando traçar
paralelas aos lados homotéticos.
B
-3
-2
-1
A´
O
C
C´
1
2
A
B´
3
4
5
Os dois casos mostrados tratam de redução de figuras.
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Isto ocorre quando a razão de homotetia é menor do que a unidade.
Quando a razão é maior do que a unidade a homotetia mostra uma ampliação.
No exemplo a seguir a razão usada entre as figuras é de 5/2. Neste caso um dos raios vetores
(o do ponto A), está dividido em duas unidades iguais e o ponto A´está localizado a 5 unidades
do centro de homotetia (ponto O).
B
O
C
C´
2
4
3
1
A
5
A´
Exercício:
Desenhar uma logomarca conhecida e fazer sua figura homotética usando as razões:
1/3;
4/5;
3/2;
-3/5.
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