Professora Adriana Borssoi
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COEME - Grupo de Matemática
Matemática 3 – Ensino Médio – Turma M31
Atividades sobre Polinômios
Identificação:
24 de Agosto de 2007.
E01: (UFPE) – Qual o resto da divisão do polinômio x3 – 2x2 + x + 1 por x2 – x + 2 ?
a) x + 1
b) 3x + 2
c) -2x + 3
d) x – 1
e) x – 2
E02: (UEM-PR) – A divisão do polinômio 2x4 + 5x3 – 12x + 7 por x – 1 oferece o seguinte resultado:
a) Q = 2x3 + 7x2 + 7x – 5 e R = 2
b) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 2
3
2
c) Q = 2x + 3x – 3x – 9 e R = 16
d) Q = 2x3 + 7x2 – 5x + 2 e R = 0
e) Q = 2x3 + 3x2 – 15x + 22 e R = 2
E03: (UFRS) – A divisão de p(x) por x2 + 1 tem quociente x – 2 e resto 1. O polinômio P(x) é:
a) x2 + x – 1
b) x2 + x + 1
c) x2 + x
d) x3 – 2x2 + x – 2
e) x3 – 2x2 + x – 1
E04: (UFSE) – Dividindo-se o polinômio f = x4 pelo polinômio g = x2 – 1, obtém-se quociente e resto, respectivamente, iguais a:
a) x2 + 1 e x + 1
b) x2 – 1 e x + 1
c) x2 + 1 e x – 1
d) x2 – 1 e -1
e) x2 + 1 e 1
E05: (FATEC-SP) – Se um fator do polinômio P(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2 é Q(x) = x2 -3x + 1, então o outro fator é:
a) x – 2
b) x + 2
c) -x – 2
d) -x + 2
e) x + 1
E06: (UFPA) – O polinômio x3 – 5x2 + mx – n é divisível por x2 – 3x + 6 . Então, os números m e n são tais que m + n é igual a:
a) 0
b) 12
c) 24
d) 18
e) 28
E07: (UFPA) – Sejam P e Q dois polinômios de grau n e m respectivamente. Então, se r é o grau de R , resto da divisão de P por Q ,
temos:
a) r = n/m
b) r = n – m
c) r ≤ m
d) r < m
e) r < n – m
E08: (EESCUSP) – Seja Q o quociente e R o resto da divisão de um polinômio A por um polinômio B. Então, quando A é dividido
por 2B :
a) quociente é 2Q e o resto 2R
b) quociente é Q/2 e o resto R/2
c) quociente é Q/2 e o resto é R
d) quociente é 2Q e o resto R
e) quociente é 2Q e o resto R/2
E09: (FGV-SP) O resto da divisão de 5x2n - 4x2n+1 - 2 ( n é natural) por x+1 é igual a:
a) 7
b) 8
c) –7
d) 9
e) –9
E10: (UFCE) Se x2+px-q é divisível por (x+a), então:
a) a2=ap
b) a2+pa=q
c) a2-q=ap
d) p-q=a
e) n.d.a
E11: (UEL-PR) O valor de K para que o polinômio p(x)= kx2+kx+1 satisfaça a sentença p(x) –x = p(x-1) é :
a) -1/2
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 3/2
E12: (UFPA) Sabendo-se que os restos das divisões de x2+px+1 por x-a e x+2 são iguais, então o valor de p é:
a) -2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 2
E13: (PUC-BA) Dividindo-se um polinômio f por 8x2+1 obtém-se quociente 3x-1 e resto 4x-2. Qual é o resto da divisão de f por x-1
a) 22
b) 20
c) 10
d) –2
e) –10
E14: (FGV-SP)- Para que o polinômio P(x)= x3-8x2+mx-n seja divisível por (x+1). (x-2), m.n deve ser igual a :
a) -8
b) 10
c) –70
d) 8
e) –6
E15: (UFPE) Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais. Assinale a alternativa certa para o resto da divisão de p(x) por x2-5x+6,
sabendo-se que p(2)= 2 e p(3)= 3:
a) 2x+1
b) x+1
c) x-3
d) x-2
e) x
E16: (PUC-SP)- O resto da divisão do polinômio p(x)= (x-1). (x-2).(...).(x-n)+b pelo polinômio g(x)= x é:
a) b
b) (-1)n b
c) n! + b
d) (-1)n n!
e) (-1)n n! + b
E17: (CEFET-PR) – Os valores de A e B de forma que
a) 1 e -2
b) -1 e -2
c) -1 e 2
x +1
A
B
são, respectivamente:
= +
x2 − x x x − 1
d) 1 e 2
e) -2 e -1
E18: (UFPA) – Dos polinômios abaixo, qual o único que pode ser identicamente nulo?
a) a2 . x3 + (a – 1)x2 – (7-b)x
b) (a + 1)x2 + (b2 – 1)x + (a – 1)
c) (a2 + 1)x3 – (a – 1)x2
3
2
1
2 3
2
d) (a – 1)x – (b + 3)x + (a – 1)
e) a x - (3 + b) x - 5x
E19: (UNIFOR – CE) – Dados os polinômios p, q e r de graus 2, 4 e 5,respectivamente,é verdade que o grau
de p + q + r :
a) não pode ser determinados
b) pode ser igual a 2
c) pode ser igual a 4
d) pode ser menor que 5 e) é igual a 5;
2x − x +1 A
B
com x ≠ 0 e x ≠ −1 , é correto afirmar que o produto A.B é igual a:
= +
x( x + 1)
x x +1
b) -2
c) 0
d) 2
e) 3
E20: (PUC – MG) – Se
a) -3
E21: (UEL – PR) – Sendo f, g e h polinômios de graus 4, 6 e 3, respectivamente, o grau de (f + g).h será:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 18
e) 30
E22: (UFPR) – Se os polinômios P(x) = 4x4 – (r + 2)x3 – 5 e Q(x) = sx4 + 5x3 – 5 são idênticos, então r3 – s3 é:
a) 279
b) -343
c) -407
d) -64
e) -279
E23: (PUC – SP) – O polinômio P(x) = (x – 1).(x – 2)2.(x – 3)3 .(…).(x – 10)10 tem grau:
a) 10
b) 10!
c) 102
d) 110
e) 55
E24: (UFV–MG) – Para que o polinômio segundo grau P(x) = ax2 – bx + c seja o quadrado do polinômio Q(x) = dx + e, é necessário
que:
a) b2 = 4c
b) b2 = 4ac
c) b2 = 4a
d) b2 = 4a2 c
e) b2 = 4a2
E25: (VUNESP – SP) – Sabe-se que a soma dos n primeiros termos da sucessão ak = k.(k + 1), k = 1,2,3,... é um polinômio em de grau
3.Esse polinômio é:
n3 + 3n 2 + 2n
n3 − 3n 2 + 2n
n3 n
a)
b)
c)
d) 3n3 − n
e) n3
−
3
3
3 3
E26: Seja a um número real e seja p( x) =
3 − x −1
2
a − x −1 :
0
0
4
1− x
a) Para a=1, encontre todas as raízes da equação p(x)=0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x)=0 tem uma única raiz real.
E27: O gráfico de uma função f : IR → IR tal que
f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 , {an , an −1 ,..., a2 , a1 , a0 } ⊂ IR , é:
a) -3 é raiz simples
b) -3 é raiz de multiplicidade par
c) 4 pode ser raiz dupla
d) Se não houver mais raízes reais além de -3 e 4, então o menor valor possível de n é 5.
e) Se não houver mais raízes reais e α > 4 , então se pode ter f (α ) > 0 .
E28: Determine a e b de modo que
x
2 x -1
b
≡ x 2 - 2 x -1 .
x-a
⎡1 x x 2 ⎤
⎢
⎥
E29: (UF-RN) O resto da divisão do polinômio P ( x) = det ⎢1 a a 2 ⎥ por x – b é :
⎢1 b b 2 ⎥
⎣
⎦
a) o polinômio nulo
b) x – a
c) a – b
d) b – a
e) a – x
E30: ( UCDB-MT) Um polinômio de terceiro grau é divisível por 2 x 2 - 5 x + 2 e por 2 x 2 - 7 x + 3 , e dividindo por x – 1 deixa resto
8. Tal polinômio é:
a) 8 ( x – 3) ( x – 2) (2 x - 1)
b) 4 ( x - 3) ( x - 2) ( 2 x -1)
c) ( x – 3) ( x – 2) ( 2 x – 1)
d) 8 ( x -3) (x + 2) ( 2 x – 1)
e) 4 ( x -3) ( x + 2) ( 2 x -1)
E31: (U. F. Pelotas – RS) O polinômio P ( x) = 2 x3 + 4 x 2 − 4 x + c é idêntico ao polinômio
Então, a soma a + b + c é:
a) 8
b) 4
c) 0
d) 6
e) – 2
(a + b) x3 + (c + 2) x 2 − a x + (a - 2)
E32: (Unifor – CE) Sabe-se que - 2 é raiz do polinômio f ( x) = x 4 + 4 x3 + x 2 − 6 x . A forma fatorada de f é :
a) x ( x + 2) ( x – 1) ( x + 3)
b) x ( x + 2) ( x – 1) ( x – 3)
c) x ( x + 2) ( x +1) ( x – 3)
d) x ( x – 2) ( x - 1) ( x +3)
e) x ( x – 2) ( x + 1) ( x – 3)
E33: (Ucsal- BA) O número complexo 2 i é raiz da equação 2 x 4 − 5 x 3 + 10 x 2 - 20 x + 8 = 0 . Relativamente às raízes reais dessa
equação, é verdade que:
a) têm soma 5/2
b) o produto é - 1
c) são todas números inteiros
d) são irracionais
e) são inexistentes
E34: (UF – AL) Sabe-se que o polinômio f = 3 x 4 + 2 x 3 − 13 x 2 − 8 x + 4 é divisível por g = g = x 2 - x - 2 . As duas menores
raízes reais de f têm soma igual a :
−1
−5
−7
a)
b)
c)
d) – 3
e) - 4
3
3
3
E35: (U. F. Juiz de Fora – MG) Se α é uma raiz da equação x 2 + x + n = 0 , em que n é um inteiro positivo, podemos afirmar
que α é igual a :
a) 2 n
b) n
c)
d) n 2
n
e) 0
E36: (UF- SE) Se uma equação polinomial com coeficientes reais admite as raízes i, 1 – i e – 2, então o seu grau é:
a) no máximo 5
b) no mínimo 5
c) certamente 5
d) no mínimo 3 e) certamente 3
E37: (UF – PE) O produto de duas raízes da equação 2 x 3 - 8 x 2 + k x - 8 = 0 é igual a 2. Então, o valor de k é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 11
e) 12
E38: (UF – RS) O polinômio p( x) = x 3 + 10 :
a) não tem raízes reais
b) tem raiz positiva e duas imaginárias c) tem uma raiz tripla
d) tem uma raiz negativa e duas imaginárias
e) tem três raízes reais distintas
E39: ( Ucsal – BA) Um polinômio f, de grau 3, admite 2 e 3 como raízes. Se na divisão de f por x – 5 obtém – se resto 60, então f pode
ser igual a:
b) 3 x 3 - 57 x + 90
c) x 4 - 5 x 3 + 5 x 2 + 5 x - 6
a) 2 x 3 - 10 x 2 + 12 x
d) x 3 + 5 x 2 + 6 x + 5
e) x 3 − 19 x + 30
E40: (Fatec – SP) Sejam os números reais a, b e c, com a < b < c, as raízes da equação 3 x 3 + x 2 − 2 x = 0 . É verdade que:
5
2
1
a) c - a =
b) c - b = c) b – a = -1
d) a + b = e) b + c = -1
3
3
3
E41: ( PUC – PR) Ao calcular a soma das duas maiores raízes da equação x 3 + 7 x 2 + 14 x + 8 = 0 sabendo que as três raízes em
P. G., obtemos:
a) - 2
b) - 3
c) - 4
d) - 5
e) - 6
E42: ( U. F. Lavras – MG) As raízes da equação (1 − x 4 ) ( x3 − 2 x 2 − 15 x) = 0 são:
a) 0, 1 + i, 1 – i, 2 + i, 2 – i
2 , − 2 , 3 2 , −3 2
d)
b) 0, 1, -1, 2, -2
c) 0, 1, -1, i, - i, -3, 5
e)
2 + i , 2 − i , 0, 1, -1
E43: ( UFF- RJ) O polinômio P(x) = x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2 também pode ser escrito como P(x) = ( x-1) n (x − p ) . Assim, o
valor de p é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) - 1
e) - 2
E44: ( UCDB- MT) Sabe-se que -1 é uma das raízes da equação 6 x3 + 7 x 2 - 14 x - 15 = 0 . Então, o conjunto solução dessa
equação é:
5 -3
5 2
5 3
5 3
5 -2
a) −1, ,
b) −1, - ,
c) −1, ,
d) −1, - ,
e) −1, ,
3 2
3 3
3 2
3 2
3 3
{
} {
}
{
}
{
} {
}
E45: ( Fuvest- SP) O polinômio p( x) = x 4 + x3 - x 2 - 2 x - 2 é divisível por x 2 + a , para um certo número real a. Pode-se,
pois, afirmar que o polinômio p:
a) não tem raízes reais
b) tem uma única raiz real
c) tem exatamente duas raízes reais distintas
d) tem exatamente três raízes reais distintas
e) tem quatro raízes reais distintas