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Circunferência e Círculo.
Professor: Isaac Pimentel.
Curso: Circunferência e Círculo.
1. Circunferência.
Lugar geométrico, no plano, dos pontos eqüidistantes de um mesmo ponto O comum chamado origem ou centro e a
distância comum é chamada de raio R da circunferência:
R
O
Circunferência de raio R.
2. Círculo.
É o conjunto formado pelo interior mais a fronteira da circunferência.
R
O
Círculo.
3. Ângulo inscrito numa circunferência.
Um ângulo está inscrito numa circunferência quando seu vértice pertence a esta circunferência e é formado por duas
cordas.
1º) Caso:
B
α
A
α
R
R
β
O
R
D
Sendo  o ângulo externo do triângulo isósceles ABO, pela propriedade do ângulo externo de um triângulo:
1) 2   , porém:
2)   arcoBD .
Igualando (1) a (2):
3)  
arcoBD
, ou seja, um ângulo inscrito na circunferência é igual a metade do aro interceptado pelos seus lados.
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2º) Caso:
B
R
α
θ
A
O
β
C
R
D
Dos triângulos isósceles ABO e AOD:
4)      , porém, por (3),  
5)  
arcoBC
arcoBC arcoCD
arcoCD

e
, assim,  
, ou seja:
2
2
2
2
arcoBD
, ou seja, um ângulo inscrito na circunferência é igual a metade do aro interceptado pelos seus lados.
2
B
3º) Caso:
D


A

C
O
Dos triângulos ABO e ACO:
6)      , porém, por (3),  
7)  
arcoDC
arcoBC arcoDC
arcoBC

e
, assim  
, ou seja:
2
2
2
2
arcoBD
, ou seja, um ângulo inscrito na circunferência é igual a metade do aro interceptado pelos seus lados.
2
4. Ângulo interno a uma circunferência ou excêntrico interior.
Um ângulo diz-se interno à uma circunferência quando é formado por duas cordas que se interceptam no interior da
circunferência, porém fora de seu centro.
A
B

C

D

E
Observando que  é um ângulo externo do triângulo ECD, então:
8)      , porém, pelo ângulo inscrito,  
9)  
arcoBD
arcoAE
e
, assim:
2
2
arcoBD  arcoAE
, ou seja: o ângulo externo é igual a média aritmética dos arcos interceptados pelos seus
2
lados.
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5. Ângulo externo a uma circunferência ou excêntrico exterior.
Um ângulo diz-se externo a uma circunferência quando é formado por duas cordas que se interceptam fora da
circunferência.
A

B

D

C
D
Observe que      , ou seja:
10)      e que  é um ângulo externo do triângulo DBE e  e  inscritos então:
11)  
arcoAD
e
2
12)  
arcoBC
, assim,
2
arcoAD  arcoBC
, ou seja: o ângulo excêntrico exterior é igual a metade da diferença dos arcos interceptado
2
pelo seus lados.
13)  
6. Ângulo inscrito onde um dos lados é tangente à circunferência.
A
C


D

B
Da soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer e dos triângulos isósceles ABC e ADB temos:
14) De ABC:   arcoAB ;
15) Da soma dos ângulo internos de ABC: 2  90o      180
16) Isolando o  em (15):  
arcoAB
.
2
Aproveitamos ainda a mesma figura para observar que para o ângulo , no triângulo ABD:

arcoAB  arcoAB  360o  arcoAB  arcoAB

17) 2    180o , ou seja,   180o       180o 
, ou
 
 


2
2
2
2






seja:
18)  
arcoBA  arcoAB
, Novamente, o ângulo excêntrico é igual a metade da diferença dos arcos interceptado pelos
2
seu lados.
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