NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais surgiram da necessidade de representar partes de um inteiro.
O conjunto dos números racionais engloba todos os algarismos na forma de a/b, com b ≠ 0.
O conjunto é representado pela letra Q maiúscula.
Número racional é todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fracção)
dois inteiros
O conjunto dos números racionais é representado por
é definido por:
Os números racionais opõem-se aos números irracionais que são representados por .
» Representa o conjunto dos racionais não negativos
» Representa o conjunto dos números racionais não positivos
O número zero também faz parte do conjunto dos racionais.
» Representa o conjunto de números racionais não nulos ou seja não tem o zero.
É comum usar um asterisco ao lado do símbolo
» Representa o conjunto de números racionais positivos, sem o zero
» Representa o conjunto de números racionais negativos, sem o zero
Há quatro formas de se apresentarem os números racionais:
Frações (próprias ou impróprias), números mistos (que é uma variação das frações
impróprias), números decimais de escrita finita e, por fim, as dízimas, que são números
decimais em cuja escrita aparecem períodos numéricos infinitos. Eis alguns exemplos:
Fração:
Numeral misto (mistura um número inteiro com uma fracção): 5 » é o mesmo que
Números decimais de escrita finita: 8,35;
Dízimas periódicas: 8,(23); 1,23(5); 7,23(965);
Nesta notação os números entre parênteses repetem-se ao infinito.
+
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
Multiplicar um determinado número por 0, 1, 2, 3, 4, … obtém-se um resultado que é seu
múltiplo.
Por exemplo, ao multiplicarmos por 3 os números 0, 1, 2, 3, 4, 5,
M3
0
0
1
3
2
6
3
9
4 5 …
12 15
X3
Obtemos os seus respetivos múltiplos
DIVISOR DE UM NÚMERO
Divisor de um número é um número inteiro qualquer que o divide um número exato de vezes.
Por exemplo, quais são os divisores de 18?
D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
NÚMEROS PRIMOS
Diz-se número primo todo o número que apenas admite 2 divisores distintos: o “um” e ele
próprio.
Exemplo de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…
Repare-se que o número 1 não é primo, pois só é divisível por ele próprio, portanto não tem 2
divisores distintos.
NÚMEROS COMPOSTOS
Chama-se número composto, todo o número que admite mais que 2 divisores distintos
Exemplo de números compostos: 4, 6, 9, 10, 12,…
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Critério de divisibilidade por 2
Um número inteiro é divisível por 2, se e só se o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6, ou 8, ou
seja número par
Ex.: 270; 312; 24; 546; 198
Critério de divisibilidade por 3
Um número inteiro é divisível por 3 se e só se a soma dos seus algarismo for múltiplo de 3
ex.: 534 » 5+3+4=12 » 12 é múltiplo de 3
Critério de divisibilidade por 4
um número inteiro é divisível por 4 se e só se os 2 últimos algarismos forem divisíveis por 4
ex.: 1924; 2352
Critério de divisibilidade por 5
Um número inteiro é divisível por 5 se e só se o número das unidades for igual a zero ou 5
ex.: 130; 1675
Critério de divisibilidade por 9
Um número inteiro é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos for múltiplo de 9
Ex.: 24354 » 2+4+3+5+4=18 » 18 é múltiplo de 9
Critério de divisibilidade por 10
Um número inteiro é divisível por 10 se e só se o seu algarismo das unidades for igual a zero
ex.: 1352670; 50; 1990 » o algarismo das unidades é igual a zero
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
Para decompor um número em factores primos, é necessário escrever esse número em forma
de produto (multiplicação) de números primos.
Vejamos como se pode escrever o número 24:
24= 4 x 6
Não são
primos
24= 2 x 12
é primo
Não é primo
24= 3 x 8
24= 3 x 2 x 4
é primo
24= 3 x 2 x 2 x 2
São primos
Não é primo
São primos
Não é primo
Portanto somente 3x2x2x2 é a decomposição em factores primos do número 24
A forma de decompor um número inteiro será dividir esse número pelo seu menor divisor
primo.
Do quociente (resultado da divisão) obtido, divide-se novamente pelo seu menor divisor primo
repete-se a operação até alcançar um quociente igual a 1.
Depois escreve-se o número num produto de factores e quando este se repetem, utilizamos a
notação das potências.
Exemplo de decomposição do número 72
72 2
12 36 2
0 16 18 2
0 0 9 3
0 3 3
0 1
72
36
18
9
3
1
Quocientes
sucessivos
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
ou seja 72 = 23 x 32
2
2
2
3
3
Divisores primos
(a ordem crescente dos
divisores facilita o cálculo)
MÁXIMO DIVISOR COMUM e MÍNIMO MULTIPLO COMUM
Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números é o maior dos seus divisores comuns
e é igual ao produtos dos factores primos comuns elevados ao menor expoente
Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números é o menor dos múltiplos comuns,
excluindo o zero, e é igual ao produto dos factores primos comuns e não comuns elevado ao
maior expoente
Exemplo de m.d.c e m.m.c. dos números 72 e 60
Cálculo em simultâneo
m.m.c.
m.d.c.
Cálculo em separado
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
60
30
15
5
1
72
36
18
9
3
1
2
2
3
5
60
30
15
15
5
5
1
2
2
2
3
3
5
72 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23x32
60 = 2 x 2 x 3 x 5 = 22 x 3 x 5
m.d.c. (72, 60) = 22 x 3 = 12
m.m.c. (72, 60) = 23 x 32 x 5 = 360
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois números dizem-se primos entre si quando o m.d.c. entre eles é igual a 1
Ex.: 16 e 19 são números primos entre si