CONGUENCIA MODULO M E ARITMÉTICA MODULAR : CONCEITOS,
RESULTADOS E APLICAÇOES
Viviane Azevedo Da Silva ¹
Clicia Valladares Peixoto Friedmann ²
Além da aritmética usual no conjunto dos numéros inteiros, podemos explorar uma ritmética
modular que envolve o conceito de congruência módulo m (m inteiro maior que 1) . As operações
de adição e multiplicação são definidas em um conjunto finito Zm cujos elementos são classes
residuais, sendo cada classe, um subconjunto de números inteiros que têm restos da divisão por m
sempre iguais a um determinado resto r. A congruência modulo m e aritmética modular têm muitas
aplicações. Dentre elas,a justificativa para critérios de divisibilidade, exemplificação de conceitos
que envolvem as propriedades das operações, construção de códigos e no estudo e modelagem de
fenômenos periódicos que envolvem diferentes campos do conhecimento como: matemática (teoria
dos jogos, teoria dos grafos), física, artes, música e etc..
Este trabalho está baseado numa parte das atividades que foram desenvolvidas num projeto de
Iniciação Científica que findou em agosto de 2011. O projeto foi sobre congruência modulo m, suas
propriedades, equações diofantinas lineares e aritmética modular. Neste texto, temos como objetivo
introduzir o conceito de congruência módulo m, a aritmética modular e exemplificar algumas
aplicações iniciais do conceito de congruência módulo m que foram pesquisadas pela bolsista de
Iniciação Científica.
CONGRUÊNCIA MÓDULO M
A congruência módulo m é uma relação de equivalência no conjunto dos números inteiros de tal
forma que dados dois inteiros a e b, a é congruente a b módulo m, onde m é um número inteiro
positivo, se e somente se, a diferença a - b for divisível por m. Usaremos a notação por a ≡ b (mod
m), se os números inteiros a e b são congruentes módulo m (m pertencente a Z, m >0).
São válidos os seguintes resultados:
Se a e b são inteiros, temos que a ≡ b (mod m) se, e somente se, existir um inteiro k tal que a-b =
km.
A congruência define uma relação de equivalência, pois atende às propriedades reflexiva, simétrica
e Transitiva.
Se a, b, c e m são inteiros, m>0, tais que a ≡ b (mod m), então
a + c ≡ b + c (mod m) 2) a – c ≡ b – c (mod m) 3) ac ≡ bc(mod m)
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¹ Discente do Curso de Matemática, UNIGRANRIO
² Docente da Escola de Educação, Ciências, Letras, Artes e Humanidades, UNIGRANRIO
Se a, b, c, d e m são inteiros, m>0 tais que a ≡ b(mod m) e c ≡ d(mod m), então
a + c ≡ b + d (mod m) 2) a – c ≡ b – d (mod m) 3) ac ≡ bd(mod m)
Temos que as propriedades 3.1 e 3.3 podem ser estendidas respectivamente para um número finito
de parcelas e de fatores.
ARITMÉTICA MODULAR
Neste texto, vamos considerar o conjunto Zm = { 0, 1, 2, . . , m-1}, sendo m um número inteiro
positivo e r pertencente a Zm uma classe residual, ou seja, r = { y pertencentes a Z : r ≡ y (mod
m)}. Podemos observar que a classe residual r é formada por todos os números inteiros cuja divisão
por m tem resto r. Definimos então as seguintes operações módulo m.
Para todo a e b pertencentes a Zm
a + b = r , se r é o resto da divisão de (a + b) por m, r ≡ (a+b) (mod m) (adição modular)
a x b = s, se s é o resto da divisão de (a x b) por m, s ≡ (axb) (mod m) (multiplicação modular)
Por exemplo, dado Z7 = { 0, 1, 2, . . , 7-1} = { 0, 1, 2, . . , 6} então, 3 + 5 = (3 + 5) = 1, pois 3+5 = 8
e o resto da divisão de 8 por 7 é 1 , logo 8 ≡ 1 (mod 7) e 4 . 5 = (4 . 5) = 6, pois 4x5 = 20 e o resto
da divisão de 20 por 7 é 6, logo 20 ≡ 6 ( mod 7)
As operaçoes acima estão bem definidas e independem do representantes das clasess. Na aritmética
modular, trabalhamos com o conceito de congruência módulo m. São válidas as seguintes
propriedades em relação às operações de adição e multiplicação modular:
Sejam a, b, c elementos quaisquer de Zm e m um número inteiro positivo então,
a + b e a x b pertencem a Zm (fechamento) 2 ) a + b = b+a e a x b = b x a (comutatividade)
(a + b) + c = a +( b + c) e (a x b) x c = a x( b x c) (associatividade)
a+ 0 = 0+a = a e ax1=1xa = a ( existência de elemento neutro, sendo 0 e 1 ,respectivamente, os
elementos neutros da adição e da multiplicação em Zm). No caso da multiplicação, a não pode ser
igual a 0.
ax( b+c) = axb+ axc ( distributividade)
a+ (m-a) = (m-a) + a = 0 ( sendo m- a o elemento simétrico aditivo de a em Zm)
Além das propriedades acima, podemos garantir que, um elemento de Zm terá simétrico
multiplicativo (inverso) se ele e m forem primos entre si e diferentes de 0. Nesse caso, dado a
pertencente a Zm tal que MDC(a, m) = 1 então existe b pertencente a Zm, tal que axb=1. Em Z6
,todos os elementos têm simétrico aditivo, o mesmo não acontece quanto aos simétricos
multiplicativos. Por exemplo, como o MDC( 2, 6) = 2, logo não existe y tal que 2 x y = 1. De fato,
2 x 0 =0 , 2 x 1 =2, 2x 2 =4, 2 x 3 =0, 2 x 4 =2, 2 x 5 =4.
APLICAÇÕES DE CONGRUÊNCIA MÓDULO M E ARITMÉTICA MODULAR
Usamos congruência modulo m e aritmética modular em diversas aplicações, tais como: critérios de
divisibilidade, códigos numéricos de identificação (códigos de barras, números dos documentos de
identidade, CPF, CNPJ, ISBN, criptografia e outros) e otimização de redes de computadores, entre
outros. A seguir, mostramos três exemplos dessas utilizações.
CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 11
Seja n um número inteiro positivo de algarismos a0 a1 a2 a3 ... as. Como a base de nosso sistema
de numeração é 10, podemos escrever n= a0 a1 a2 a3 ... as da seguinte forma: a0 a1 a2 a3 ... as=
a0+ a110+ a2102+ a3103+. . . + as10s. Temos que 10 ≡ -1 (mod11) então 10 i ≡ 1 ( mod11) se i for
par, caso contrário, 10 i ≡ -1 ( mod11). Aplicando as propriedades de congruência módulo 11,
vemos que a0 ≡ a0 (mod 11), a2102≡ a2 (mod 11), . . ., a2k 102k≡ a2k (mod 11) e a1 10≡ - a1
(mod 11), a3 103≡ - a3 (mod 11), . . . ,a2k+1 102k+1≡ -a2k+1 (mod 11). Somando os termos pares
temos a0 + a2 + . . . + a2k ≡ a0 + a2102 + . . . + a2k 102k+. . . (mod 11) e os termos ímpares (-a1 a3 - . . . - a2k+1 )≡ a1 10+ a3103 + . . . + a2k+1 102k+1+. . . (mod 11), logo (a0 + a2 + . . . + a2k )–
(a1 + a3 + . . . + a2k+1 ) ≡ a0+ a110+ a2102+ a3103+. . . + as10s (mod11) Se n é divisível por 11
então n ≡ 0 ( mod 11), logo a0+ a110+ a2102+ a3103+. . . + as10s ≡ 0 ( mod 11) e portanto (a0 + a2
+ . . . + a2k )– (a1 + a3 + . . . + a2k+1 ) ≡ 0 ( mod 11), o que acarreta que (a0 + a2 + . . . + a2k ) ≡
(a1 + a3 + . . . + a2k+1 ( mod 11). Então n será divisível por 11 se e somente se (a0 + a2 + . . . + a2k
)– (a1 + a3 + . . . + a2k+1 ) também for.
CÓDIGOS
Um dos códigos de barras mais usados no mundo todo é o EAN-13, constituído de 13 algarismos
(dígitos). Os três primeiros dígitos do código representam o país de registro do produto; os quatro
dígitos seguintes identificam o fabricante; os próximos cinco identificam o produto e o último, é o
dígito de controle, que é calculado através da congruência, módulo 10, sendo que os fatores que
compõem a base de multiplicação são os dígitos 1 e 3, que vão se repetindo da esquerda para a
direita.
Se a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 é a seqüência formada pelos 12 primeiros dígitos,
devemos multiplicá-los, nessa ordem, por {1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3} e somar os produtos
obtidos. Vamos representar por S a soma obtida. O dígito que está faltando, representado por a13,
deve ser tal que ao ser somado com S, obtemos um múltiplo de 10, isto é, o número S + a13 deve
ser múltiplo de 10, ou seja, S + a13 ≡ 0 (mod 10).
Vejamos um exemplo: código de barras dado por: 0 12 3456 78900X ( X é o dígito de controle)
Cálculos para a determinação do dígito de controle
012345678900
131313131313
Efetuando os produtos, temos: 0 + 3 + 2 + 9 + 4 + 15 + 6 + 21 + 8 + 27 + 0 + 0 = 95
Dividindo 95 por 10, obtemos quociente 9 e resto 5. Logo, o dígito de controle X será igual a 5 (10
– 5). Podemos observar que 95 + 5 = 100 (múltiplo de 10).
REDE DE INTERCONEXÃO
Algumas das topologias usuais em redes de interconexão têm relação com figuras geométricas
conhecidas: ciclos (polígonos), grades, toro discreto e hipercubo. Os vértices representam
processadores e os lados ou arestas são as ligações entre processadores. Podemos usar congruência
módulo m para designar atividades
conjuntamente, entre processadores e ligações sem gerar
conflitos e de forma equilibrada. Apresentamos um exemplo simples: funcionamento de uma rede
poligonal múltipla de 3, com n lados, n maior ou migual 3. Ao associarmos um mesmo número a
processadores e ligações, permitimos que eles sejam acionados ao mesmo tempo. Seja V= {v0, v2,
v3, . . , vn-1}o conjunto de vértices de Cn e E= {l0, l2, l3, . . , ln-1} seus lados (ligações). Como n
é múltiplo de 3 então n= 3k, k maior ou igual a 1. Construímos a função c: VUE {0, 1, 2} tal que
c(vi) = i ( mod3) e c(li) = i+2 (mod3) e otimizamos a situação.
Podemos observar que os exemplos acima servem como elementos motivadores para aprendermos
congruência modulo m e verificarmos o uso da aritmética modular, sendo que o ultimo exemplo
dado não é usualmente explorado nos livros textos que tratam do assunto. .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
COUTINHO, S. C. Números inteiros e criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA, 2005.
DOMINGUES H., IEZZI G. Álgebra Moderna. São Paulo: Atual Editora, 1982.
LOZANO, FRIEDMANN, JURKIEWICZ , Coloração total equilibrada de grafos – Um modelo
para redes de interconexão. Pesqui. Oper. vol.28 no.1 Rio de Janeiro Jan./Apr. 2008
HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de
Matemática, 2005.
SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos números. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
PEREIRA DE SÁ, I. A aritmética modular e suas aplicações no cotidiano.
Disponível em : <www.magiadamatematica.com> Acesso em: 25 Fev. 2011