DIVISIBILIDADE POR
7
Arnaldo Umbelino Junior
Montes Claros, MG
São conhecidos bons critérios para saber, sem efetuar a divisão, se um
número inteiro é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 e 11. Um critério para a
divisão por 7 é explicado através do exemplo abaixo:
N = 2.068.357.219.307 e consideremos os números n1 = 307,
n2 = 219, n3 = 357, n4 = 68 e n5 = 2, obtidos pela separação dos
algarismos de N, em grupos de três algarismos da direita para a esquerda.
Seja
Sejam a1 , a 2 , a 3 , a 4 e a 5 os restos da divisão desses números por
sete, respectivamente. Observa-se que esses restos são facilmente
determinados sem efetuar as divisões, pela subtração de múltiplos de 70 ou
7, do seguinte modo:
307 − 280 = 27, 27 − 21 = 6 , logo, a1 = 6;
219 − 210 = 9, 9 − 7 = 2 , logo, a2 = 2;
357 − 350 = 7, 7 − 7 = 0 , logo, a3 = 0;
68 − 63 = 5 , logo, a4 = 5
e a5 = 2.
Seja agora N ′ = a1 − a2 + a3 − a4 + a5 = ∑ ( −1) k ak .
A regra é: N é divisível por 7 se e somente se N’ é divisível por 7. No
nosso caso, N ′ = 6 − 2 + 0 − 5 + 2 = 1 , que não é divisível por 7; logo, N
também não é divisível por 7. (Usando o critério, o leitor poderá verificar
que o número N = 1 068 357 219 307 é divisível por 7.)
Nota da RPM:
Vamos demonstrar a validade da regra para um natural qualquer.
Para isso, usaremos, para os naturais a e b, o conceito de
congruência: dizemos que “a é congruente a b módulo 7”, que denotamos
por a ≡ b (mod 7) , se e somente se b − a é divisível por 7. Logo,
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SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
a ≡ b (mod 7) ⇔ b − a é divisível por 7.
O leitor poderá verificar as afirmativas a seguir (ver RPM 10, pág. 40,
RPM 7, pág. 25, RPM 22, pág. 7):
Se a é um múltiplo de 7, então a ≡ 0 (mod 7) .
Se a ≡ b (mod 7) , então b ≡ a (mod 7) .
Se a ≡ b (mod 7) e b ≡ b' (mod 7) , então a ≡ b' (mod 7) .
Se a ≡ b (mod 7) e c ≡ d (mod 7) , então
a + c ≡ b + d (mod 7) , a − c ≡ b − d (mod 7) e ac ≡ bd (mod 7) .
Se a ≡ b (mod 7) , então a k ≡ bk (mod 7) para k ≥ 1 inteiro.
Vamos agora demonstrar a regra, usando esses resultados.
Seja N um número natural e n1, n2 , L, nm os números obtidos pela
separação dos algarismos de N, por pontos, em grupos de três algarismos da
direita para a esquerda, como no exemplo. Sejam a1, a2 , L, am os restos da
divisão desses números por sete, respectivamente.
Então,
N = n1 + n2 × 1000 + n3 × 10002 + L + nm × 1000m −1 .
exemplo inicial, temos
No
N = 307 + 219 × 1000 + 357 × 1000 2 + 68 × 1000 3 + 2 × 1000 4 .
Como 1000 ≡ −1(mod 7) , pois 1001 é divisível por 7, temos
1000k ≡ ( −1) k (mod 7) , k = 1, 2, 3, K .
Assim, dado um natural a, se b é o resto da divisão de a por 7, temos
a ≡ b (mod 7) , então:
a × 1000 k ≡ a × ( −1) k (mod 7) ≡ b × ( −1) k (mod 7) . Logo,
n1 + n 2 × 1000 + n 3 × 1000 2 + L + n m × 1000 m −1 ≡
[a1 + a 2 ( −1) + a 3 ( −1) 2 + L a m ( −1) m −1 ] (mod 7), ou N ≡ N ' (mod 7) .
Portanto, N ≡ 0 (mod 7) ⇔ N ' ≡ 0 (mod 7) .
Para o número N considerado no exemplo, temos
N = 2.068.357.219.307 ≡ [6 + 2( −1) + 0( −1)2 + 5( −1) 3 + 2( −1)4 ] (mod 7)
≡ 1 (mod 7) e, como 1 não é divisível por 7, N também não é.
Ver outros critérios para divisibilidade por 7 nas RPM 12, pág. 24; RPM
6, pág. 21; RPM 10, pág. 33.
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 43, 2000
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