Exercício Um dos mais conhecidos códigos de barras usados na identificação de produtos vendidos no varejo (supermercados, livrarias, etc.) é o chamado EAN de 13 dígitos, cuja estrutura é mostrada
abaixo:
Conforme se ve, as barras correspondem a quatro blocos de dígitos, que devemos ler a partir da
esquerda: o código do país origem do produto (este bloco pode conter 2 ou 3 dígitos; os USA são
um exemplo de código de país com 2 dígitos e o Brasil um exemplo com 3), o código da empresa
que fabricou o produto (este bloco tem 5 ou 4 dígitos, conforme o bloco do país), o código do
produto na empresa fabricante e um dígito de controle (check digit). Este último serve para
detectar erros de leitura pelos aparelhos decodificadores (os leitores de códigos de barras). A
matemática do EAN-13 está na obtenção do dígito de controle.
Indicando os 13 dígitos, da esquerda para a direita, como
d 1 , d 2 , ⋯ ,d 13 , temos:
d 1d 3 ⋯d 11  3×d 2d 4  ⋯ d 12 d 13 ≡ 0 mod 10.
No caso do código da figura:
13579113×246802d 13=3636d 13 =72d 13 ≡ 0 mod 10 , de modo que
d 13=8. Verifique!
obtemos
Suponha que V. comprou algo e a leitora na caixa do supermercado não conseguiu ler o código de
barras, cuja parte numérica era: 7890001105209. Pergunta-se: que dígitos basta que a operadora
de caixa digite manualmente para registrar sua compra? Qual o código do Brasil no EAN?
Resp.:
10520 e 789.
Exercício Mostrar que
Resp.
32n−2n sempre é divisível por 7, para todo n inteiro natural.
32n =9 n ≡ 2n mod 7
Exercício Achar o resto da divisão de 2718 9999 por 13.
Resp.:
Inicie dividindo 2718 por 13, obtendo 2718=113×209 . Logo 2718 ≡ 1 mod 13, etc.
Exercício 2
Mostrar que 2n n1 nunca é divisível por 3, qualquer que seja n inteiro natural.
Resp.:
Estude o que ocorre nas três possibilidades para n mod 3 : n ≡ 0,1,2 .
Exercício Vamos mostrar, por dois métodos distintos, que n 35n sempre é divisível por 6, para qualquer
n inteiro positivo.
Primeiro métodoa).- Completar a tabela seguinte, sempre trabalhando mod 6:
n
0
1
2
3
4
5
5n
n3
n 35n
b).- Deduzir que n 35n sempre é divisível por 6.
Segundo métodoa).- Partindo de que n n1 sempre é par, deduza que 3nn1  é divisível por 6.
b).- Verifique que n13 5 n1=n3 5n3nn16 .
c).- Deduzir, dos itens anteriores, que dizer que n 35n é divisível por 6 é o mesmo que dizer
que n13 5 n1 é divisível por 6.
d).- Conclua que n 35n é divisível por 6.
Exercício Suponhamos que um inteiro N escreva-se
5, com a , b ,c diferentes de zero:
N=cabc no sistema de numeração posicional de base
N=c ×53 a×52 b×5c .
Em base 8, este mesmo número se escreve N=aba. Pede-se:
a).- Mostrar que N=65 a8 b e disto deduzir que 40 a=126 c−3 b.
b).- Mostre que 40 a ≡ 0 mod 3 , e disso deduzir o valor de a.
c).- Mostrar que b ≡ 0 mod 2 ; deduzir os valores de b e c.
d).- Escrever N em base 5.
PROBLEMAS OLÍMPICOS
Problema - (ORM/2011)
Tome a e b inteiros positivos e tais que 1ab é divisível por 3. Pergunta-se se ab
também é divisível por 3.
Resp.:
Trabalhando em mod 3, obviamente ab ≡ 2 . Resta determinar a e b , sabendo que ab ≡ 2 .
Problema - (ORM/2011)
Seja n=8225 . Pede-se:
a).- determinar o resto da divisão de n por 3;
b).- entre os múltiplos de 3, determinar o primeiro número maior do que n.
Resp.:
a).- em mod 3: 2 ≡ −1 , de modo que 8225 ≡ −13 −1 25 , etc.
b).- na expressão de n, o que ocorre ao trocarmos o 8 por 9, 10, etc.?
Problema – (ORM/2010)
a).- Qual o resto da divisão de N=4 325 por 7?
b).- Dentre os números que deixam resto 2 ao serem divididos por 7, qual o primeiro maior que N
Resp.:
Imite o que foi feito no exercício anterior.
Problema - (ORM/2010)
Mostre que 41 divide 220−1 .
Resp.:
Duas coisas são claras: temos de trabalhar em mod 41 e precisamos transformar 220 em algo da
forma a b , com a próximo de 41. Ora 210=1024=24×4140 , de modo que 210 ≡ 40 ≡ −1 ,
logo 220 ≡ −12 ≡ 1 , etc.
Problema Achar todos os números inteiros x que resolvem a equação 8 x ≡ 7 mod 5 .
Resp.:
No que segue, trabalharemos exclusivamente com mod 5.
Iniciamos simplificando a equação. Como 8 ≡ 3 e 7 ≡ 2 , a equação fica 3 x ≡ 2 .
A seguir, examinemos o que ocorre com os produtos y x mod 5, conforme mostra a tabela
vemos que os possíveis valores de 3 x são 0, 3, 1, 4, 2. Logo, os valores de 3 x ≡ 2 são os x
inteiros tais que x ≡ 4 , ou seja, são os inteiros que podem ser escritos como: x=45k , onde
k é um número inteiro.
Problema O objetivo deste problema é investigar se o conjunto dos números primos congruentes a (-1) módulo 4 é finito ou infinito.
(No que segue, todas as congruências serão mod 4 )
a).- Mostrar que para todo primo p3 temos ou p ≡ 1 ou p ≡ −1 . Dar exemplos para
cada uma dessas alternativas.
b).- Supondo que o conjunto dos primos congruentes a -1 mod 4 seja finito, seja A o produto deles
e consideremos B = 4A – 1. Mostrar que B ≡ −1 .
c).- Seja q um divisor primo de B. Mostrar que q não é nenhum dos fatores produzindo A.
d).- Mostrar que existe ao menos um divisor primo de B que é congruente a -1 mod 4.
e).- Conclua que o conjunto dos primos congruentes a -1 mod 4 tem de ser infinito.
Resp.:
a).- todos esses primos são ímpares (p=2 está fora), logo é impossível termos p ≡ 0 ou p ≡ 2 ;
tomando p=3 e p=5 vemos que podem ocorrer as possibilidades p ≡ 3 ≡−1 e p ≡ 1 .
b).- imediato.
c).- por absurdo, se q for um dos fatores que produziram A, q divide 4A; ora, como ele é suposto
também dividir B, seguiria que q dividiria 4A – B = 1, uma impossibilidade para um primo.
d).- novamente, raciocinamos por absurdo; se nenhum dos divisores primos de B for congruente
a -1, pelo item (a) eles teriam de ser congruentes a 1, logo também B seria congurente a 1, o
que contradiria o item (b).
e).- os itens anteriores mostram que se o conjunto dos primos congruentes a -1 mod 4 fosse finito, então existiria um outro primo diferente deles e também valendo -1 mod 4: absurdo. Logo,
o tal conjunto tem de ser infinito.