Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
Prof. Romel Dias Vanderlei
Mecânica dos Sólidos I
Bibliografia:
Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resistência dos
Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo: McGrawHill, 2006. 758p.
Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.. Resistência dos Materiais. Trad. Celso
Pinto Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1995. 1255p.
Gere, J. M.; GOODNO, B. J.. Mecânica dos Materiais. Trad. Luiz
Fernando de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittencourt e
Demetrio C. Zachariadis. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 858p.
Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. Trad. Arlete Simille Marques.
Rev. Tec. Sebastião Simões da Cunha Jr. 7ª ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2010. 637p.
Timonshenko, S. P.; Gere, J. E. Mecânica dos Sólidos. Trad. José
Rodrigues de Carvalho. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros
Técnicos e Científicos, 1984.
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CAPÍTULO 1:
CONCEITO DE TENSÃO
1.1 Introdução
Mecânica dos Materiais Sólidos é um ramo
da mecânica que estuda as relações entre
“Cargas Externas” aplicadas a um corpo
sólido deformável e a intensidade das
“Forças Internas” que atuam dentro do corpo.
Abrange também o cálculo da “Deformação”
do corpo e do estado da sua “Estabilidade”.
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1.1 Introdução
Método das Seções:
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A força FR e o momento MR representam a resultante
das forças elementares que se encontram distribuídas
em toda a área da seção transversal analisada.
1.1 Introdução
A resistência do corpo às forças internas (FR)
depende da capacidade do material resistir à
intensidade das forças elementares distribuídas.
Ou seja, a ruptura depende:
Intensidade de FR;
Área da seção transversal;
Características do material.
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1.2 Tensão
TENSÃO: é força por unidade de área.
X
σx
τxz
τxy
Y
FRx 
A 

FRy 
τ xy =

A 
F 
τ xz = Rz 
A 
σx =
FRx
FRz
Z
FRy
Grandeza Vetorial
A tensão que atua perpendicular ao plano da seção é chamada
TENSÃO NORMAL (σ
σ) [sigma].
A tensão que atua paralela ao plano da seção transversal é
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chamada TENSÃO DE CISALHAMENTO (ττ) [tau].
1.2 Tensão
Unidade no sistema SI:
σ ou τ =
F N
⇒ Pascal → Pa
A  m 2 
Múltiplus do Pascal:
kPa = 103Pa = 103 N/m2 [quilo]
MPa = 106Pa = 106 N/m2 [mega]
GPa = 109Pa = 109 N/m2 [giga]
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1.3 Tensão Normal
Conceito de barra prismática:
Seção transversal constante;
Alongamento uniforme;
Forças internas distribuídas uniformemente na seção.
1.3 Tensão Normal
Hipóteses:
As seções permanecem planas durante a deformação;
Material homogêneo;
Material isotrópico.
FR
⇒ Tensão Normal Média
A
∆F
σ = lim
⇒ Tensão em um ponto
∆A→0 ∆A
da seção transversal
σ méd =
Considera-se tensão normal
uniforme quando a força aplicada
passa pelo centróide da seção.
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1.3 Tensão Normal
Tensão Normal de Tração (+)
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Tensão Normal de Compressão (-)
Exemplo
Luminária de 80kg suportada por duas hastes AB e BC.
Determine a tensão normal em cada haste, sabendo
que dAB = 10mm e dBC = 8mm.
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1.4 Tensão de Cisalhamento
F
2
V=
τ méd =
V
⇒ Tensão de Cisalhamento Média (Pa)
A
Supõe-se que é a mesma em cada ponto na seção.
Na realidade ocorrem tensões de cisalhamento na
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seção muito maiores do que as previstas pela τméd.
1.4.1 Cisalhamento Simples
Há apenas uma superfície de cisalhamento
∑F
x
τ méd =
=0⇒ F = P
P F
=
A A
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1.4.2 Cisalhamento Duplo
Há duas superfície de cisalhamento
∑F
x
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τ méd =
= 0 ⇒ F = 2⋅ P ⇒ P =
F
2
P
F
=
A 2⋅A
1.5 Tensão de Esmagamento
σE =
P
P
=
AN t ⋅ d
A = área da superfície do semicilindro
AN = valor nominal médio = t x d
t = espessura da chapa
d = diâmetro do conector
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1.6 Tensões em Plano Oblíquo
m
n
As tensões são distribuídas de maneira uniforme na
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seção “mn”, e a orientação da seção é especificada
pelo ângulo θ entre o eixo horizontal e a normal (n).
A resultante da força “P” pode ser decomposta em duas
componentes, uma força Normal (F) e uma de
Cisalhamento (V), que é tangente ao plano “mn”.
1.6 Tensões em Plano Oblíquo
As tensões normal e de cisalhamento na seção “mn”
são obtidas por:
σn =
F
Aθ
e
τn =
V
Aθ
Aθ é a área da seção inclinada:
cos θ =
θ
A
A
⇒ Aθ =
Aθ
cos θ
A
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1.6 Tensões em Plano Oblíquo
Convenção de sinais:
Tensões normais: (+) para tração e (–) para compressão
Tensões de cisalhamento: (+) tendem a produzir uma
rotação no sentido antihorário.
Logo, as tensões podem ser calculadas da seguinte
forma:
F P ⋅ cosθ P
= cos 2 θ
=
Aθ A
A
cosθ
P ⋅ senθ
V
P
τn = −
=−
= − senθ ⋅ cos θ
A
Aθ
A
cosθ
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σn =
1.6 Tensões em Plano Oblíquo
Fazendo:
σx =
P
A
1
(1 + cos2θ )
2
1
senθ ⋅ cos θ = sen2θ
2
cos 2 θ =
Tensões em uma seção inclinada:
σ n = σ x cos 2 θ =
σx
2
(1 + cos 2θ )
τ n = −σ x senθ ⋅ cos θ = −
σx
2
sen2θ
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1.6.1 Tensões Máximas
Tensão normal máxima:
θ = 0°
→
σ máx = σ x
Tensões de cisalhamento máxima:
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θ = ±45°
τ máx =
σx
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Exemplo
Uma barra de área A = 1200mm2 é comprimida por uma
força axial P = 90kN.
Determine: a) as tensões agindo na seção inclinada θ=25º;
b) o estado de tensão total para θ=25º e mostre as tensões
em um elemento de tensão.
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1.7 Tensão Admissível
Os materiais que constituem a estrutura são
caracterizados através de ensaios de laboratório pela
carga necessária para causar ruptura.
Teste de Tração:
Esboço no quadro
Resistência última ou de ruptura do material:
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σu =
Pu
Ai
Pu = carga última
Ai = área inicial
1.7 Tensão Admissível
Para o dimensionamento,estabelece-se um nível de
tensão abaixo da nível de ruptura, designado por
tensão admissível:
(σ adm
ou σ ) e
Coeficiente de Segurança (C.S.):
C.S . =
σu
σ adm
→
(τ adm
ou
τ)
σu

σ adm = C.S .

τ = τ u
 adm C.S .
A segurança é garantida pelas inequações:
σ máx ≤ σ adm
τ máx ≤ τ adm
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Exemplo
Dimensionar a seção transversal de uma barra supondo
seção quadrada e os seguintes dados:
P = 500kN ;
σ u = 420MPa;
C.S. = 2
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Esboço no quadro
Exemplo
Sabendo-se que o rebite é feito de aço com τadm = 32MPa,
determine o diâmetro dos rebites para F = 200kN.
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