Curso de Engenharia Civil
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. Romel Dias Vanderlei
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CAPÍTULO 2:
TENSÃO E DEFORMAÇÃO:
Carregamento Axial
2.1 Deformação Específica
O diagrama carga x deformação é referente a
barra analisada, não podendo ser usado para
prever deformações de outras barras com
outras dimensões.
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2.1 Deformação Específica
Deformação Total: δ ou ∆L = Lf – L
Deformação Específica Normal (ε) [epsilon]: é a
deformação por unidade de comprimento.
ε=
∆L
L
Unidade: Adimensional (L/L)
Valores muito pequenos:
Ordem de grandeza de 10-6
Representada por µ (micro)
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2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Caracteriza as propriedades do material e não
depende das dimensões da amostra.
A relação (σ x ε) depende:
Tipo do material;
Intensidade do esforço aplicado.
É também denominada relação constitutva do
material.
A relação é medida através de ensaios de tração
ou compressão.
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2.2 Diagrama Tensão - Deformação
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
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2.2 Diagrama Tensão - Deformação
De maneira geral, existem os materiais Dúcteis e
Frágeis:
Materiais Dúcteis:
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Sofrem grandes deformações antes de atingir a
ruptura (com ou sem limite de escoamento). Ex.:
aço, alumínio.
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:
1- OA: a deformação é
proporcional a tensão até
atingir o limite de
proporcionalidade (σp) no
ponto A.
2- BC: patamar de
escoamento, o ponto B
representa o limite de
escoamento (σe).
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2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Materiais Dúcteis com patamar de escoamento:
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3- O ponto D caracteriza o nível
máximo de tensão, Tensão
de Ruptura (σu).
4- O ponto E é o ponto de
ruptura.
5- Descarregando-se em um
ponto C’ do diagrama, fora
do limite elástico, as
deformações ocorrem
segundo uma linha paralela a
AO,porém conservando uma
deformação residual.
2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Materiais Dúcteis sem patamar de escoamento:
O limite de escoamento (σe) no ponto B, corresponde a
uma deformação residual de 0,2% se a barra for
descarregada.
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2.2 Diagrama Tensão - Deformação
Materiais Frágeis:
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São aqueles que sofrem ruptura de forma brusca
(não apresentam deformações consideradas). Ex.:
concreto, vidro, cerâmica.
2.3 Lei de Hooke
É a relação de proporcionalidade entre a
σ
tensão e a deformação.
O coeficiente de proporcionalidade (E) entre a
tensão (σ) e a deformação (ε) é chamado de
MÓDULO DE ELASTICIDADE (ou MÓDULO
DE YOUNG).
tgα =
σi
σ = E ⋅ε
α
εi
ε
σi
=E
εi
→ Lei de Hooke
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2.3 Lei de Hooke
Material elástico linear: obedece a Lei de Hooke;
Material não elástico: não obedece a Lei de
Hooke;
Material Plástico: material não elástico com
deformação residual;
Material Elastoplástico: material com
comportamento elástico, e após certo valor de
tensão, apresenta deformações residuais.
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Esta disciplina estuda apenas materiais com
comportamento Elástico. (Teoria da Elasticidade)
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
Sendo válida a lei de Hook, pode-se determinar a
deformação de uma barra carregada axialmente.
σ=
P
;
A
ε=
∆L
;
L
σ = E ⋅ε
Combinando-se estas equações, a deformação é
dada por:
P⋅L
E⋅A
EA → rigidez axial da barra
∆L = δ =
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2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
Estas equações são válidas para materiais
homogêneos (E=const.) e barras de seção
constante (A=const.)
Em casos em que as seções transversais sejam
variáveis ou o material varie também em
determinados trechos, a expressão de “δ” pode
ser usada dividindo o problema em partes onde
a equação seja individualmente satisfeita.
O deslocamento total pode ser determinada por:
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P ⋅L
δ =∑ i i
i Ei ⋅ Ai
L
δ =∫
ou
0
Px ⋅ dx
E ⋅ Ax
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
Diagrama de Esforço Normal
2P
L/3
1
L/3
2
L/3
3
2P
P
EA – Rigidez Axial
+
P
P
-
+
P
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2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
Trecho 1:
Trecho 2:
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Trecho 3:
δ1 =
δ2 =
δ3 =
P⋅L
3
E⋅A
P⋅L
3
E⋅A
P⋅L
3
E⋅A
(alongamento)
(encurtamento)
(alongamento)
2.4.1 Barras com Cargas Axiais Intermediárias
δ =∑
i
Pi ⋅ Li
= δ1 + δ 2 + δ 3
Ei ⋅ Ai
P⋅L
P⋅L
P⋅L
−
+
3⋅ E ⋅ A 3⋅ E ⋅ A 3⋅ E ⋅ A
P⋅L
δ=
→ Deformação total na barra (alongamento)
3⋅ E ⋅ A
δ=
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2.4.2 Barras com Trechos de Seções Transversais
Diferentes ou Materiais Diferentes
Diagrama de Esforço Normal
P1
1
-
P1
a
P2
δ1 =
P1 ⋅ a
(encurtamento)
E1 ⋅ A1
2
b
P1+P2
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E1A1 – Rigidez Axial do trecho 1
E2A2 – Rigidez Axial do trecho 2
-
δ2 =
δ = δ1 + δ 2 = −
(P1 + P2 ) ⋅ b
E2 ⋅ A2
(encurtamento)
P1 ⋅ a (P1 + P2 ) ⋅ b
−
E1 A1
E2 A2
2.4.3 Barra com Seção Transversal e/ou Força
Axial Variando Continuamente ao longo da Barra
dx
x
dx
Px
L
E – Módulo de Elasticidade
Px
dδ =
Px ⋅ dx
E ⋅ Ax
L
L
0
0
δ = ∫ dδ = ∫
Px ⋅ dx
E ⋅ Ax
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2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
Exemplo 1: Calcular a deformação de uma barra
prismática submetida a uma força axial de
tração, considerando a ação do peso próprio.
γ - massa específica do material
EA – rigidez axial da barra.
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Esboço no quadro
2.4 Deformação de Barras Carregadas Axialmente
Exemplo 2: Uma barra tronco-cônica, de
diâmetro variando de 20cm a 40cm e 3m de
comprimento, está sob a ação de 500kN de
tração. Determine o alongamento da barra sendo
E = 200GPa.
Esboço no quadro
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
A
RA
P
a
P
C
b
B
∑F
y
= 0∴
RB
R A + R B = P (única equação da Estática)
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1 Equação 
 ⇒ Sistema Estaticamente Indeterminado
2 Incógnitas
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
As equações de equilíbrio da estática são
insuficientes para determinar as ações e reações da
estrutura. ESTRUTURA ESTATICAMENTE
INDETERMINADA.
Adiciona-se às equações da Estática, equações
suplementares que levam em conta as deformações
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
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Considera-se uma das reações como redundante, ou
seja, é desnecessária para o equilíbrio da estrutura.
Adota-se dois sistemas:
1) Estrutura com carregamento e sem a reação
redundante;
2) Estrutura apenas com a ação da reação
redundante como um carregamento.
A superposição dos dois sistemas deverá ser igual a
estrutura analisada.
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
Exemplo: Escolhendo-se RA como redundante
A
A
P
RA
A
a
P
C
C
b
Sistema 1
B
B
Sistema 2
B
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
A
A
P
RA
δ2
A
δ1
a
P
C
C
b
Sistema 1
Sistema 2
B
B
B
Nestas condições é possível calcular as deformações de cada
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sistema:
δ1 = −
P ⋅b
E⋅A
e
δ2 =
RA ⋅ L
E⋅A
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
Compatibilizando as deformações de cada sistema com
a estrutura real, chega-se a equação de compatibilidade
dos deslocamentos;
Como a estrutura real é engastada nas duas
extremidades, a deformação final da estrutura é nula:
δ =0⇒
Deformação final da estrutura
δ = δ1 + δ 2 ⇒ Equação de compatibilidade entre os dois sistemas
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
Desenvolvendo a equação de compatibilidade dos
deslocamentos:
δ = δ1 + δ 2 = 0
P ⋅ b RA ⋅ L
+
=0
E⋅A E⋅A
P ⋅b
RA =
L
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-
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Solução pelo Método das Forças:
Agora temos duas equações e duas incógnitas, tornando
o sistema determinado:
( I ) RA + R B = P

P ⋅ b  → Sistema Determinado
( II ) R A =
L 
P ⋅b
+ RB = P
L
P ⋅b
( L − b)
RB = P −
= P⋅
L
L
P⋅a
RB =
L
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 3: Para a estrutura abaixo, determine as
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reações nos apoios quando se aplica o carregamento
indicado.
2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 4: Para a estrutura abaixo, qual é a
deformação total do conjunto.
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2.5 Estruturas Estaticamente Indeterminadas
Exemplo 5: Um pilar de concreto armado, seção
quadrada de 25cm de lado e 2,80m de comprimento, não
sujeito à flambagem, é armado com 4 barras
longitudinais de ½” simetricamente colocadas. Determine
as tensões no concreto e no aço para uma compressão
axial de 400kN, adotando: Ea = 210GPa e Ec = 20GPa.
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Esboço no quadro
2.6 Tensões Térmicas
Em sistemas estruturais isostáticos não se considera as
deformações provocadas pela temperatura, porque
nestes casos, os elementos estruturais são livres para
expandir-se ou contrair-se, não provocando tensões.
Em sistemas estruturais estaticamente indeterminados, a
expansão ou contração de um corpo pode ser restringida
ou totalmente impedida, gerando tensões internas.
R
∆T
∆T
δT
Isostática
R
Hiperestática
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2.6 Tensões Térmicas
Deformação devido a variação da temperatura:
α = coeficiente de dilatação térmica

δ T = ∆LT = α ⋅ ∆T ⋅ L → ∆T = variação de temperatura
L = comprimento inicial da barra

Deformação térmica específica:
∆L α ⋅ L ⋅ ∆T
=
L
L
ε T = α ⋅ ∆T
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εT =
2.6 Tensões Térmicas
Tensão na barra devido ao acréscimo de temperatura ∆T.
L
EA – rigidez da barra
Estrutura estaticamente indeterminada: Método das forças
1- Inicialmente, suponha-se que a barra tenha uma das
extremidades livres.
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2.6 Tensões Térmicas
R
∆T
L
δR
δT
2- Calcule as deformações devido: a) somente a atuação
da temperatura; b) somente a reação redundante.
δ T = α ⋅ ∆T ⋅ L
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R
δR =
R⋅L
E⋅A
2.6 Tensões Térmicas
3- Compatibilidade de deslocamentos:
δT = δ R
α ⋅ ∆T ⋅ L =
R⋅L
E⋅A
∴
R = α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ A
4- Tensão na Barra:
R α ⋅ ∆T ⋅ E ⋅ A
=
A
A
σ = α ⋅ ∆T ⋅ E = ε T ⋅ E
σ=
Este resultado se aplica no caso de barra de seção
transversal uniforme e material homogêneo.
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2.6 Tensões Térmicas
Exemplo 6: Um tubo de cobre de 50cm de comprimento,
área da seção transversal 20cm2, esta colocado entre
dois cabeçotes de metal, os quais são ajustados por dois
parafusos de aço com diâmetro de 20mm. Se o conjunto
sofrer um aumento de temperatura de 40ºC, ache as
tensões nos elementos.
Ec = 120GPa
Ea = 210GPa.
αc = 16,7x10-6/ºC
αc = 11,7x10-6/ºC
Tubo de
Cobre
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Parafusos de aço
2.7 Coeficiente de Poisson
O alongamento produzido por uma força “P” na direção
dessa força é acompanhado por uma contração em
qualquer direção transversal.
Por considerar o material homogêneo e isotrópico:
εy = εz Deformação Específica Transversal
O valor absoluto da relação entre a deformação
específica transversal e a deformação específica
longitudinal é o COEFICIENTE DE POISSON (ν) [nii]:
εy
ε
=− z
εx
εx
σ
Logo : ε x = x ∴
ν =−
E
ε y = ε z = −ν
σx
E
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2.7 Coeficiente de Poisson
Exemplo 7: Para o material ensaiado a tração conforme
ensaio descrito abaixo, determine o coeficiente de
Poisson e o Móduo de Elasticidade Longitudianl.
y
d = 16mm
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500mm
δx = 300µm
12kN
x
δy = -2,4µm
2.8 Generalização da Lei de Hooke
Até o momento
estudou-se
cargas axiais
atuando ao
longo de um
único eixo.
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2.8 Generalização da Lei de Hooke
Analisando as tensões em um ponto da seção, vemos
que σx= P/A, σy, = 0 e σz=0 :
σy = 0
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σz = 0
2.8 Generalização da Lei de Hooke
Se considerarmos carregamentos atuando nas três
direções, carregamento multiaxial, (σx, σy, e σz ≠ 0);
Um cubo de dimensões unitárias, após o carregamento
se tornará um paralelepípedo de lados:
(1 + ε x )
(1+εx )
(1+εεy )
(1+
σx
σx
(1+εεz )
(1+
σz
σy
(1 + ε )
y
(1 + ε z )
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2.8 Generalização da Lei de Hooke
Pode-se escrever as deformações em função das
tensões;
Para isso, considera-se separadamente o efeito de cada
componente de tensão, após superpõe-se os resultados
(Princípio da Superposição);
Hipóteses:
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1) Cada efeito é diretamente proporcional a carga que o
produz;
2) A deformação causada por qualquer dos carregamentos
é pequena e não afeta as condições de aplicação dos
outros carregamentos.
2.8 Generalização da Lei de Hooke
εx
σx
σx
+
σy
−ν
σz
−ν
E
σy
E
σz
E
εy
−ν
+
σx
E
σy
−ν
E
σz
E
εz
−ν
−ν
+
σx
E
σy
E
σz
E
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2.8 Generalização da Lei de Hooke
Superpondo os resultados:
εx =
σx
E
ε y = −ν
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ε z = −ν
−ν
σx
E
σx
E
σy
−ν
σz 

E 
σy
σ 
+
−ν z  Generalização da Lei de Hooke
E
E
σ σ 
−ν y + z 
E
E
E
2.8 Generalização da Lei de Hooke
Exemplo 8: O bloco de aço com dimensões de 80mm x
60mm x 40mm, está submetido à ação de pressão
uniforme em todas as faces. A variação de comprimento
AB foi de -24µm. Determine:
a) Variação do comprimento das outras duas faces;
b) A pressão “p” aplicada nas faces do bloco.
Adotar E = 200GPa e ν = 0,29.
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2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
2.9.1- Tensão de cisalhamento sobre planos ortogonais
τyx
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τxy
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
Para o equilíbrio do elemento, as tensões nos planos
paralelos são numericamente iguais mas de sentidos
opostos.
∑ F = τ (d ⋅ d ) − τ (d ⋅ d ) = 0
∑ M = τ (d ⋅ d )d − τ (d ⋅ d )d
y
xy
0
yx
z
y
x
xy
z
y
z
y
xy
z
y
x
=0
τ xy = τ yx
O equilíbrio do elemento só está garantido se as tensões
de cisalhamento ocorrerem simultaneamente nas quatro
faces do elemento.
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2.9.2 Deformação no Cisalhamento
Sob a tensão das tensões de cisalhamento, o elemento
se deforma do seguinte modo:
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γxy – Distorção ou Deformação de Cisalhamento
(em radianos)
A distorção é positiva quando reduz o ângulo entre x e y.
2.9.2 Deformação no Cisalhamento
Como não existem tensões normais, não há alteração
de comprimento nos lados do elemento.
Hipóteses:
Pequenas deformações;
Material elástico linear.
τ xy = G ⋅ γ xy → Lei de Hooke para o Cisalhamento
G → Módulo de Elasticidade Transversal (Pascal)
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2.9.2 Deformação no Cisalhamento
O Módulo de elasticidade transversal é medido em
laboratório pelo ensaio de torção de um tubo de seção
circular.
Experimentalmente, verificou-se que para os materiais
dúcteis, a tensão de escoamento em cisalhamento é 0,5
a 0,6 da tensão normal de escoamento.
Re lação entre G, E e ν
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G=
E
2(1 +ν )
2.9 Tensão e Deformação no Cisalhamento
Exemplo 9: Um bloco com dimensões a=160mm,
b=50mm e h=40mm, feito de material com G = 600MPa,
é colocado entre duas placas horizontais rígidas. A placa
inferior é fixada e a superior é submetida a força V.
Sabendo-se que a placa superior se move d=0,8mm,
determine: a) a deformação de cisalhamento no material;
b) a força V.
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2.10 Princípio de Saint-Venant
2.10 Princípio de Saint-Venant
Adotamos que as tensões normais são uniformemente
distribuídas em qualquer seção transversal;
Essa suposição não se verifica na vizinhança do ponto
de aplicação da força.
b
Princípio de Saint-Venant:
Para as seções transversais a
uma distância igual ou maior que
“b” da extremidade da barra, a
distribuição de tensões na seção
é considerada uniforme e igual a
σméd = P/A
b
b