Notas de aula #1: Sistemas numéricos
UTFPR
Disciplina: EL66J
Prof. Gustavo B. Borba
Notas de aula #1
SISTEMAS NUMÉRICOS
- Notação posicional
Definição: A posição de cada algarismo no número indica a sua magnitude.
A magnitude também é chamada de peso.
Exemplo:
O sistema numérico que usamos no dia-a-dia é o decimal. O sistema numérico decimal possui
este nome porque é composto por 10 algarismos (ou símbolos): 0, 1, ..., 9. O sistema decimal
também é chamado de sistema da base 10. Assim, no sistema decimal, os pesos são
potências de 10: 100, 101, 102, 103, e assim por diante. Por exemplo, para o número 1328
decimal (132810):
103
102
101
100  pesos
1
3
2
8 10  número




algarismos
Então:
132810 = 11000 + 3100 + 210 + 81
- Sistema decimal [base 10]
Composto por 10 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Sistema binário [base 2]
Composto por 2 algarismos: 0, 1.
Nos circuitos digitais os sinais possuem duas condições válidas, como por exemplo: baixo ou alto,
carregado ou descarregado, aberto ou fechado, desligado ou ligado. Assim, os sinais nestes
circuitos são interpretados como os zeros (0) e uns (1) do sistema binário. Portanto, os circuitos
digitais utilizam o sistema numérico binário para representar os números. Os algarismos do
sistema binário, 0 e 1, são chamados de bits (binary digits).
- Sistema octal [base 8]
Composto por 8 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Sistema hexadecimal (também chamado de hexa) [base 16]
Composto por 16 algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
- Contagem
EL66J
decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...
binário
0
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
...
decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...
octal
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17
20
21
22
23
...
decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
...
hexa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
...
1/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
- Conversão ‘qualquer base’  decimal
Aplicar notação posicional
Exemplos:
1. 1001112 = ?10
25
1
24
0
23
0
22
1
21
1
20
12
 pesos
132 + 016 + 08 + 14 + 12 + 11 =
32 + 0 + 0 + 4 + 2 + 1 = 39
2. 5278 = ?10
82
5
81
2
80
78
 pesos
564 + 28 + 71 =
320 + 16 + 7 = 343
3. 19C16 = ?10
162
1
161
9
160
C16
Resposta:
1001112 = 3910
Resposta:
5278 = 34310
 pesos
1256 + 916 + 121 =
256 + 144 + 12 = 412
Resposta:
19C16 = 41210
- Conversão decimal  ‘qualquer base’
Aplicar divisões sucessivas
Exemplos:
4. 3910 = ?2
39
2
Resposta:
19
19
2
1
1
9
2
1
4
2
0
2
0
“Pegar” o último
resultado e os
restos das divisões
5. 34310 = ?8
343
6. 41210 = ?16
C
EL66J
3910 = 1001112
2
1
8
Resposta:
23
42
8
7
2
5
412
16
92
25
16
12
9
1
34310 = 5278
“Pegar” o último
resultado e os
restos das divisões
Resposta:
41210 = 19C16
“Pegar” o último
resultado e os
restos das divisões
2/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
- LSB e MSB
Em um número binário, o bit “mais da direita” é chamado de Least Significant Bit (LSB)– bit
menos significativo, pois possui o menor peso. Já o bit “mais da esquerda” é chamado de Most
Significant Bit (MSB) – bit mais significativo, pois possui o maior peso.
Exemplo:
1
0
1
1
0
02
MSB
LSB
- Conversão binário  octal
A conversão é imediata: agrupar os bits de
3 em 3 a partir do LSB e substituir cada
grupo pelo seu octal equivalente. (Tabela
grupo de
3 bits
0
000
1
001
2
010
3
011
4
100
5
101
6
110
7
111
binário  octal
octal
binário  octal ao lado)
- Conversão octal  binário
A conversão é imediata: substituir cada
algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits
equivalente. (Tabela binário  octal ao lado)
- Conversão binário hexa
A conversão é imediata: agrupar os bits de
4 em 4 a partir do LSB e substituir cada
grupo pelo seu hexa equivalente. (Tabela
grupo de
4 bits
0
0000
1
0001
2
0010
3
0011
4
0100
5
0101
6
0110
7
0111
8
1000
9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111
binário  hexa
hexa
binário  hexa ao lado)
- Conversão hexa  binário
A conversão é imediata: substituir cada
algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits
equivalente. (Tabela binário  hexa ao lado)
Exemplos:
7a. 1010101112 = ?8
101
5
010
2

111
7
Resposta:
1010101112 = 5278
8a. 5278 = ?2
5

101
2

010
7

111
Resposta:
5278 = 1010101112
EL66J
7b. 101102 = ?8
010
2

110
6
7c. 10011111002 = ?8
001
1
001
1
111
7

100
4
Resposta:
101102 = 268
Resposta:
10011111002 = 11748
8b. 148 = ?2
8c. 20608 = ?2
1

001
4

100
Resposta:
148 = 11002
2

010
0

000
6

110
0

000
Resposta:
20608 = 100001100002
3/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
9a. 1100111002 = ?16
0001
1
1001
9
9b. 111100012 = ?16

1100
C
1111
F
Resposta:
1100111002 = 19C16
3

0011

0001
1
0010
2
Resposta:
111100012 = F116
10a. 63D16 = ?2
6

0110
9c. 10011111002 = ?16
Resposta:
10011111002 = 11748
10b. F116 = ?2
F

1111
D

1101
Resposta:
63D8 = 110001111012
0111
7

1100
C
10c. A5B16 = ?2
1

0001
A

1010
Resposta:
F116 = 111100012
5

0101
B

1011
Resposta:
A5B16 = 1010010110112
- Conversão binário fracionário  decimal
Aplicar notação posicional
Exemplos:
11a. 0,1012 = ?10
20
0
2-1
1
,
2-2
0
2-3
1
 pesos
00 + 1(1/2) + 0(1/4) + 1(1/8) =
0 + 0,5 +
0
+ 0,125 = 0,625
11b. 0,01012 = ?10
20
0
,
2-1
0
2-2
1
2-3
0
2-4
1
Resposta:
0,1012 = 0,62510
 pesos
00 + 0(1/2) + 1(1/4) + 1(1/8) + 1(1/16) =
0 +
0
+ 0,25 +
0
+ 0,0625 = 0,3125
Resposta:
0,01012 = 0,312510
- Conversão decimal fracionário  binário
Aplicar multiplicações sucessivas
Exemplos:
12a. 0,62510 = ?2
0,625
2
1,250

0,8
2
1,6

0,250
2
0,500
2
0,6
2
1,2
1,000
0,2
2
0,4
2
0,8
...
Resposta:
0,62510 = 0,1012
EL66J
12b. 0,810 = ?2

Resposta:
0,810 = 0,11001100...2
4/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
- Conversão binário fracionário  octal
A conversão é imediata: agrupar os bits de 3 em 3 a partir da “,” e substituir cada grupo pelo
seu octal equivalente. (Tabela binário  octal)
- Conversão octal fracionário  binário
A conversão é imediata: substituir cada algarismo octal pelo seu grupo de 3 bits equivalente.
(Tabela binário  octal)
- Conversão binário fracionário  hexa
A conversão é imediata: agrupar os bits de 4 em 4 a partir da “,” e substituir cada grupo pelo
seu hexa equivalente. (Tabela binário  hexa)
- Conversão hexa fracionário  binário
A conversão é imediata: substituir cada algarismo hexa pelo seu grupo de 4 bits equivalente.
(Tabela binário  hexa)
Exemplos:
13a. 0,1012 = ?8
0,
0,

101
5
0,
0,
Resposta:
0,1012 = 0,58
14a. 0,548 = ?2
0,

000 ,
5

101
4

100
15a. 0,10112 = ?16

1011
B
16a. 0,E416 = ?2
E

1110
0,

000 ,
0

000
7

111
Resposta:
0,078 = 0,0001112
15b. 0,1110012 = ?16

1110
E
0100
4
Resposta:
0,1110012 = 0,E416
16b. 0,0A16 = ?2
4

0100
Resposta:
0,E416 = 0,1110012
EL66J
100
4
Resposta:
0,10112 = 0,548
0,
0,
Resposta:
0,10112 = 0,B16
0,

0000 ,

101
5
14b. 0,078 = ?2
Resposta:
0,548 = 0,10112
0,
0,
13b. 0,10112 = ?8
0,

0000 ,
0

0000
A

1010
Resposta:
0,0A16 = 0,00001012
5/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
NA PRÁTICA
- Conversão decimal  binário, através do método ‘soma de pesos’
Exemplo: 3910 = ?2
Passo 1. Fazer campos para os bits e colocar seus respectivos pesos:
64
32
16
8
4
2
1
...
2
Passo 2. Colocar bit 1 nos pesos que se deseja somar e bit 0 nos pesos que não se deseja somar,
até atingir o decimal em questão. Neste exemplo, o objetivo é somar 39, pois estamos
convertendo 3910 para binário:
...
64
32
16
8
4
2
1
0
1
0
0
1
1
1
2
Concluído! Não foi necessário utilizar o método das divisões sucessivas.
A resposta é: 3910 = 1001112
- Sistemas octal e hexa
Em eletrônica digital, os sistemas numéricos octal e hexadecimal servem para representar os
números binários de forma compacta. Em outras palavras, servem para facilitar a visualização e a
documentação dos números binários.
Um exemplo simples: apesar de E616 e 111001102 representarem o mesmo valor, é mais fácil
dizer (ou escrever) E616, do que dizer (ou escrever) 111001102.
E por que não usar simplemente o decimal para fazer este trabalho? Resposta: porque, como
vimos anteriormente, as conversões binário  octal e binário  hexa são imediatas, isto é, basta
uma simples substituição.
- Contagem em binário
- Caminhos práticos para as conversões
decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
binário
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
LSB
“Inicia com todos os bits em 0.
O bit LSB inverte de 1 em 1, o próximo bit inverte
de 2 em 2, o próximo bit inverte de 4 em 4, e
assim por diante.”
EL66J
6/7
Notas de aula #1: Sistemas numéricos
- Outros detalhes importantes

Com um número binário de N bits (algarismos) é possível representar 2N números decimais.
O menor decimal é 0 e o maior decimal é 2N – 1.
Exemplo:
Para um número binário de 8 bits:
Menor decimal = 0
Maior decimal = 2N – 1 = 28 – 1 = 256 – 1 = 255

Um grupo de 4 bits é chamado de nibble.

Um grupo de 8 bits é chamado de byte.
EL66J
7/7