ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS
AULA 4:
SINAIS EXPONENCIAIS;
SINAIS SENOIDAIS;
SINAIS SENOIDAIS AMORTECIDOS;
SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS:
1
SINAIS EXPONECIAIS

São sinais da forma x(t )  Ae t em que A e
parâmetros reais.
são
A é a amplitude do sinal exponencial medido em t=0.
Se  > 0, o sinal é exponencial crescente;
Se  < 0, o sinal é exponencial decrescente;
x(t)
x(t)
A
>0
<0
A
t
t
2
SINAIS EXPONECIAIS
Para o tempo discreto o sinal exponencial é da forma
x[n] = B r n , em que r pode ser escrito como r = e .
obtendo-se x[n] = B e n .
B é a amplitude do sinal exponencial medido em n=0
Neste caso as seguintes
situações podem ocorrer:
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
t
t
r>1
t
0<r < 1
t
-1<r < 0
r <-1
3
SINAIS SENOIDAIS
Para o tempo contínuo o sinal senoidal é da forma
x(t) = Acos( t +  ),
em que:
A é a amplitude do sinal senoidal;
ω é a frequência angular em rad/s;
ϕ é o ângulo de fase.
O período é dado por:
T=
2


2
=
T

 = 2 f
4
SINAIS SENOIDAIS
Podemos verificar a periodicidade do sinal senoidal utilizando a
definição de função periódica.
Se a função x(t) é periódica deve-se verificar que
x(t) = x(t +T),
Para a função senoidal tem-se que x(t) = Acos( t +  ),
x(t +T) = Acos[ (t +T)+  ]
x(t +T) = Acos[ t + T +  ]
x(t +T) = Acos[ t +   2 ]
x(t +T) = Acos[ t +  ]
x(t +T) = x(t)
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SINAIS SENOIDAIS
Para o tempo discreto o sinal senoidal é da forma
x[n] = Acos[  n+  ], em que:
Ω é a frequência angular dada por

2
,
N
sendo N o período medido em amostras por ciclo.
Se o período é N, então pode-se escrever
x[n] = x[n + N]
x[n+ N] = Acos[  n+ N)+  ]
x[n+ N] = Acos[  n+  N +  ]
 N  2 m,
x[n+ N] = Acos[  n+   2 m]
com m inteiro
x[n+ N] = Acos[  n+  ]
6
SINAIS SENOIDAIS
Assim tem-se que   m
2 N
é um número racional.
Dessa forma, pode-se escrever   2 m ou   k ,  k  2m 
N

N 
Se isto não ocorre, a senoide discreta não é periódica.
Exercício – Verificar a periodicidade dos seguintes sinais:
a) x[n]=3cos[0,2πn]
b) x[n]=2cos [5πn]
c) x[n]=5cos[4n]
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SINAIS SENOIDAIS EXPONENCIALMENTE AMORTECIDOS
São sinais da forma: x(t) = Ae-t cos( t +  ), com  > 0,
para o tempo contínuo e x(t) = Br ncos( n +  ), com 0 < r < 1.
para o tempo discreto.
Observe que a senoide exponencialmente amortecida não é
periódica:
8
RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS
Seja o sinal exponencial complexo x(t) = Ae jt
Da identidade de Euler, tem-se que
e j  cos + jsen
Logo
Para
x(t) = Acos( t) + jAsen( t)
x(t) = Ae j( t+ )
pode-se escrever
x(t) = Acos( t +  ) + jAsen( t +  )
Assim, tem-se que:
Re  x(t) = Acos( t +  )
Im  x(t) = Asen( t +  )
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RELAÇÃO ENTRE SINAIS SENOIDAIS E EXPONENCIAIS COMPLEXOS
Analogamente para o tempo discreto pode-se escrever:
x[n] = Ae j(  n+ )
x[n] = Acos(  n+  ) + jAsen(  n+  )
Re  x[n] = Acos(  n +  )
Im  x[n] = Asen(  n +  )
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
É o sinal da forma
x(t) = Ceat ,
em que C e a , em geral, são números complexos.
Seja C = C e j e a = r + j0 , então
x(t) = C e j e(r+ j0 )t  C ert e j( 0t  ),
que pode ser escrita como
x(t) = C ert cos( 0t +  )+ j C ert sen( 0t +  ),
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
x(t) = C ert cos( 0t +  )+ j C ert sen( 0t +  ),
Observe que:
para r = 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais;
para r < 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais amortecidas;
para r > 0 a parte real e imaginária são sinais senoidais crescentes;
Quando C é real e a é puramente imaginário, então x(t) = Ce j t .
0
Para que x(t) seja periódica deve-se impor que x(t) = x(t +T),
Assim tem-se que Ce j t  Ce j (t+T)  Ce j t e j T .
0
0
0
0
Para que a igualdade se verifique é necessário que e j T  1.
0
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Escrevendo os últimos resultados:
x(t) = Ce j0t  Ce j0 (t+T)  Ce j0t e j0T  e j0T  1.
Se ω0 = 0 então x(t) = C, que é periódico para qualquer
valor de T.
Se ω0 é diferente de zero, então, lembrando que
e j0T  cos( 0T)+ jsen( 0T)
e para que e j0T  1, devemos ter 0T = 2k (sendo k inteiro),
o período fundamental T0 é tal que 0T0 =2 , (k = 1)
o que resulta em T0 =
2
0
.
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Um sinal senoidal pode ser escrito na forma de exponenciais
complexas. Seja x(t) = Acos( t +  ),
Pela identidade de Euler tem-se que
e j  cos + jsen
e-j  cos - jsen
Somando-se esta duas
1
1
cos  e j + e-j
expressões obtém-se
2
2
Assim, x(t) pode ser escrito na seguinte forma:
x(t) =
A j( 0t+ )
A
e
 e-j( 0t+ )
2
2
Ou ainda,
 A j  j0t
 A -j  -j0t
x(t) =  e  e
  e e
2

2

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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
A 
A

x(t) =  e j  e j0t   e-j  e-j0t
2

2

Fazendo:
B1 =
A j
e
2
e
B2 
A -j
e ,
2
obtém-se:
x(t) = B1 e j0t  B2 e-j0t
Observe que B1 e B2 são números complexos conjugados.
Obtenha a forma exponencial complexa do sinal
x(t) = Ae- t cos( t +  )
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Para o tempo discreto tem-se: x[n] = C  n ,
sendo que, em geral, C e α são números complexos.
Fazendo C  C e j
e
 =  e j ,
tem-se que
x[n] = C e j  e jn  C  e j( n  )
n
n
ou ainda
x[n] = C  cos[ n +  ] + j C  sen[ n +  ].
n
n
para |α|=1 a parte real e imaginária são sequências senoidais;
para |α|<1 a parte real e imaginária são senoides amortecidas;
para |α|>1 a parte real e imaginária são senoides decrescentes;
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SINAIS EXPONENCIAIS COMPLEXOS GERAIS
Analogamente ao caso contínuo, um sinal senoidal de tempo
discreto pode ser escrito na forma de exponenciais complexas.
Seja
x[n] = Acos(  n+  )
Com o mesmo desenvolvimento utilizado para o caso contínuo,
pode-se obter a forma exponencial complexa para a senoide
discreta
A 
A

x[n] =  e j  e j n   e-j  e-j n
2

2

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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
Seja x1 [n] = Ae j n e x2 [n] = Ae j(   2 )n ,
Desenvolvendo a expressão de x2[n] obtemos:
x2 [n] = Ae j( n 2 )n  Ae jn e j2 n
Observe que:
e j2 n  cos(2 n)+ j sen(2 n) = 1 + j0
e j2 n  1
Portanto:
x2 [n] = Ae jn = x1 [n]
Isto significa que quando a frequência passou de Ω para Ω + 2π
o sinal não se modificou.
Sua frequência é a mesma!
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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
No tempo discreto, sinais com frequência Ω e Ω +2kπ (k inteiro),
são idênticos.
A frequência varia apenas num intervalo de 2π .
Especificamente, se Ω =0 ou Ω = 2π tem-se
x1 [n] = Ae j0  A  constante
 ou Ae 
j2
Em  =  ,
x1 [n] = e
j n
= e
j
 = -1
n
n
, que oscila a cada amostra.
A partir de zero, a taxa de oscilação aumenta atingindo a seu
valor máximo em π. A partir de π, a taxa de oscilação diminui
e volta a zero em 2π .
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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
Sinais harmonicamente relacionados são aqueles que
possuem frequência múltipla da fundamental.
Em tempo contínuo, todas as exponenciais complexas
harmonicamente relacionadas são distintas.
k (t) = Ae jk0t = Ae jk(2 /T0 )t com k = 0,  1,  2  3 ...
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PROPRIEDADES DE PERIODICIDADE DOS SINAIS
EXPONENCIAIS COMPLEXOS DE TEMPO DISCRETO
Em tempo discreto, os sinais harmonicamente relacionados
são aqueles que possuem frequência múltipla de Ω=2π/N.
Seja k [n] =e jk(  )n = e jk(2 / N )n , com k = 0,  1,  2  3 ...
Observe que k+N [n] = e j(k+N)(2 / N )n = e jk(2 / N )n e j(2 )n = k [n]
Isto implica que há somente N exponenciais periódicas
distintas harmonicamente relacionadas com  [n] =e jn , isto é
0 [n] , 1 [n], 2 [n] ... N -1 [n]
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EXERCÍCIOS
Livro do Haykin:
1.10;
1.11; 1.12 ; 1.16- a, c;
1.18- b, d, g, k;
1.19;
1.20; 1.21- a, b, c, g, i; 1.22; 1.25.
Determine o período fundamental do sinal
x(t) =2cos(10t +1) - sen(4t - 1),
Resposta: π.
Verifique quantas exponenciais complexas harmonicamente
relacionadas existem em x[n] = e j(3 /4 )n .
Resposta: 8.
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