Robinson F. Cadillo
Unir – Campus de Ji-Paraná
LISTA DE EXERCÍCIOS - MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS)
(versão 2014/2)
A CINEMÁTICA NO MHS
1.1.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 1E) Um objeto sujeito a um movimento harmônico simples leva 0,25 s
para ir de um ponto de velocidade zero até o próximo ponto onde isto ocorre. A distância entre estes pontos é de
36 cm. Calcule:
(a) o período
(b) a frequência e
(c) a amplitude do movimento
1.2. (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 14E) O diafragma de um alto-falante está vibrando num movimento
harmônico simples com a frequência de 440 Hz e um deslocamento máximo é 0,75 mm. Quais são:
(a) a frequência angular
(b) a velocidade máxima
(c) a aceleração máxima deste diafragma
1.3.- Uma partícula se movimenta com movimento harmônico simples segundo uma linha reta (eixo x). Do
movimento da partícula, são conhecidas a velocidade máxima (v = 0,4 m/s), e a aceleração máxima (a = 0,6 m/s2).
Determine:
(a) A freqüência angular do movimento
(b) O período de oscilação
(c) A amplitude da equação do deslocamento que descreve a partícula
(d) A equação de movimento geral, se no tempo de 0 s a partícula esta em 8/30 m.
1.4.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 16E) Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com
a equação:
Em t = 2,0 s, quais são:
(a) O deslocamento
(b) A velocidade
(c) A aceleração
(d) A fase do movimento
(e) Também quais são a freqüência e período do movimento.
1.5.- O corpo da figura esta oscilando em MHS, cuja equação de
movimento esta representado por:
(a) Encontre a máxima rapidez e o tempo necessário para alcançar essa
velocidade.
(b) Encontre a máxima aceleração e o tempo necessário para alcançar
essa aceleração.
1.6.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 17E) Uma partícula executa um MHS linear com freqüência de 0,25 Hz
em torno do ponto x =0. Em t = 0, ela tem um deslocamento de x = 0,37 cm e velocidade zero. Para o movimento,
determine:
(a) o período
(b) a freqüência angular
(c) a amplitude
(d) o deslocamento no tempo t
(e) a velocidade no tempo t
(f) a velocidade máxima
(g) a aceleração máxima
(h) o deslocamento em t = 3,0 s
(i) a velocidade em t = 3,0 s
1.7.- (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.3) Uma partícula move-se de acordo com a equação ! ".
Escreva as equações para a velocidade e aceleração da partícula.
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(a) a partícula move-se com MHS?
(b) Qual é a diferencia de fase em relação a ! "
1.8.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 31P) Duas partículas executam um MHS com as mesmas amplitudes e
freqüências ao longo da mesma linha reta comum de comprimento A. cada partícula tem um período de 1,5s, mas
diferem em fase de / rad.
(a) Qual a distancia entre elas (em termos de A), 0,50 s após a partícula mais atrasada deixar uma das extremidades
do percurso?
(b) Elas estão se movendo no mesmo sentido, em direção uma da outra ou estão se afastando?
1.9.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 32P) Duas partículas realizam MHS com a mesma amplitude e freqüência
sobre a mesma reta, ambas ao redor de um ponto fixo “o”, se cruzam uma com a outra quando estão movendo-se em
sentido oposto cada vez que sua elongação é a metade de sua amplitude. Determine a diferencia de fase entre elas.
1.10.- (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.3) Um oscilador harmônico simples é descrito pela equação 4 1 5, onde as grandezas e são expressas em unidades do SI. Encontre:
(a) Amplitude, período, freqüência e fase inicial do movimento
(b) A velocidade e aceleração
(c) As condições iniciais
(d) Posição, velocidade e aceleração em t = 5 s.
(e) Faça um gráfico da posição, velocidade, aceleração em função do tempo.
1.11.- Uma partícula esta localizado no extremo de um vibrador que passa por sua posição de equilíbrio com uma
velocidade de 2 m/s. A amplitude é de 10-3 m. Calcule:
(a) a freqüência e período de oscilação da partícula
(b) escreva a equação que descreva, em função do tempo, o deslocamento da partícula.
1.12.- (DEFIJI/2010) Determine a fase inicial e amplitude através dos parâmetros da equação que caracteriza um
movimento harmônico simples com as condições iniciais ' (' .
1.13.- (SERWAY, 1ª EDIÇÃO, CAP. 12, PRO 10) A posição e velocidade inicial de um corpo realizando MHS são
' (' respectivamente. A freqüência angular é !.
(a) Mostre que, a posição e velocidade podem ser escritas como:
('
' )*! + , !
!
( −' ! ! (' )*!
(b) Se a amplitude de movimento é A, mostre que:
( . − ('. − ' ' ! . .
1.14.- determine as os constantes das soluções MHS para todos os casos de condições iniciais:
(a) ' ('
(b) ' '
(c) ' ('
A DINÂMICA E ENERGIA NO MHS
Dinâmica no MHS
2.1.- (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.12) Uma partícula de 4 kg move-se ao longo do eixo X sob a ação de uma
força restauradora:
01
/ − + 23 , , onde e / 4
Quando t = 2 s, a partícula passa pela origem, e quando t = 4 s, a sua velocidade é 4 m/s, a sua velocidade é de 4 m/s.
(a)
Escreva a equação da elongação
(b)
Mostre que a amplitude do movimento é de 5/ metros.
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2.3.- (ALONSO FINN, 1999, CAP 10, 10.13) Quando uma pessoa de 60 kg de massa entra num carro, o centro de
gravidade desce 0,3 cm.
(a) Determine a constante elástica dos amortecedores do carro
(b) Dado que a massa do carro é de 500 kg, qual é a freqüência de oscilação quando esta a pessoa está dentro do carro
e quando esta fora dele
2.4.- Uma partícula em repouso de massa “m” esta pendurado no extremo de uma mola (constante recuperadora “K”)
que se encontra suspenso em um ponto fixo. No instante t=0 se aplica na massa uma força “F” constante apontando
para abaixo. Determine o deslocamento “x” da massa respeito à posição de equilíbrio “xo”. Considere a magnitude da
força produzindo somente deformação elástica na mola.
2.5.- Um homem cuja massa é de 75 kg. fica em pé sobre uma plataforma (sem peso) que sobe e desce com um
movimento harmônico simples de amplitude A=0,5 m e período T =2 s.
(a) Determine uma equação que informe a força F(t) da plataforma sobre o homem, supondo que em t=0 a plataforma
se encontra em sua elevação máxima. Aplicação numérica. Determine F em t =0.5 s.
(b) Determine o menor valor do período do movimento para que o homem no caia da plataforma. Explique.
MHS de um Sistema Massa – mola
2.6.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 3E) Um bloco de 4,00 kg está suspenso de uma certa mola, estendendo-se
a 16,0 cm além de sua posição de repouso.
(a) Qual é a constante da mola?
(b) O bloco é removido e um corpo com 0,500 kg é suspenso da mesma mola. Se esta for então puxada e solta, qual o
período da oscilação
2.7.- (SERWAY, 1ª EDIÇÃO, CAP. 12, PRO 53) Um bloco de massa m é
conectado com duas molas cujas constantes de força são k1 e k2 como mostram
as figuras abaixo. Em cada caso, o bloco se move sobre uma mesa sem atrito
depois de ser deslocado de sua posição de equilíbrio e liberado. Determine o
período de oscilação T, nos dois casos.
2.8.- (DEFIJI/2010) Uma bala de massa “m” voando com velocidade horizontal
“v” atinge no corpo de massa “M” unido à parede através de uma mola de
constante “K”. Após a colisão, incrusta-se a bala dentro do corpo. Tomando
como referencia o instante do impacto da bala, determine:
(a) a velocidade do corpo e
(b) a coordenada “x” em relação ao tempo, após a colisão.
2.9.- A figura mostra una vara de peso desprezível submetida em seus
extremos pela força de duas molas de constantes elásticas diferentes
(K1≠K2) e pela força do peso de um objeto de massa “m” aplicado a través
de uma corda a uma distancia 1/3L de um de seus extremos.
(a) Determine a constante elástica equivalente do sistema.
(b) Calcule a freqüência natural de oscilação.
MHS de um Pêndulo simples e Físico
2.10.- Temos pêndulo que consiste de um bloco pequeno de 1 kg. unido a um ponto fixo “o” a través de uma vara de
1m de comprimento, mas de massa desprezível. O bloco pequeno está ligado também a uma mola horizontal que no
exerce força quando o pêndulo esta em posição vertical. O período para pequenas oscilações é T=1s. Determine a
constante da mola.
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2.11.- Uma bola esférica e solida de massa M = 0.15 kg y radio R = 0.050 m esta pendurado de um galho de uma
arvore através de um fio. Se a bola se desloca uma distancia curta y logo depois é solto, a bola oscila como um
pêndulo físico. Calcule o seu período. O momento de inércia da esfera respeito ao eixo de rotação é 7MR²/5).
2.12.- (HALLIDAY, 4ª EDIÇÃO, CAP. 14, 68E) Uma haste de um metro balançando de uma das extremidades oscila
com uma freqüência 6' . Qual seria a freqüência, em termos de 6' se a metade inferior da haste fosse cortada?
2.13.- Uma haste com comprimento L oscila como um pêndulo físico, com eixo no ponto
“O” na figura.
(a)
Deduza uma expressão para o período do pendulo em termos de L e x, a distância do
ponto de suspensão ao centro de massa do pêndulo
(b)
Para qual valor de x/L o período é mínimo?
(c)
Mostre que, se L = 1,00 m e g = 9,80 m/s2, este mínimo é 1,53 s.
2.14.- (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 74) A figura mostra um disco uniforme de raio
R = 0,8 m e 6 kg de massa com um pequeno furo a uma distancia “d” do centro do disco, que
pode servir como um ponto de fixação do mesmo.
(a) qual seria a distância d para que o período desse pêndulo fosse 2,5 s
(b) Qual deveria ser a distância d para que o pêndulo físico tivesse o menor período possível?
(c) qual é esse período?
2.18.- (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 75) Um corpo plano tem um momento de
inércia I em relação a seu centro de massa. Quando pivotado no ponto P1, como mostra a
figura, o mesmo oscila com um período T. Existe um segundo ponto P2, no lado oposto ao
centro de massa, pelo qual o objeto pode ser pivotado e ter um período de oscilação também
igual a T. Mostre que:
MHS de Sistemas Físicos diversos
2.15.- Temos um sistema mecânico de massa “m” e momento de inércia “I”, cujo
centro de massa é “G”, e pode oscilar ao redor do eixo “o”, tal como se mostra
figura. As duas molas são de massa desprezível e do mesmo comprimento natural.
Na posição horizontal da barra de comprimento 2b se aplica a força das molas de
δK Newton em cada um de seus extremos, donde “δ” é a deformação e “K” é a
constante elástica de cada mola. Se nós fazemos a linha OG faça um pequeno θ
com a linha vertical. Determine:
(a) A freqüência natural de oscilação.
(b) O ângulo θ geral que mostre o movimento.
Energia no MHS
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2.16.- Um oscilador harmônico esta constituído de uma massa de 100 gramas sujeita a uma mola de constante elástica
104 dinas/cm. Desloca-se a massa a distância de 3 cm, e solta-se desde o repouso. Calcule:
(a) a freqüência própria do sistema "!' " e o período “T”
(b) a energia total, e
(c) a velocidade máxima
2.17.- O oscilador do problema anterior inicia seu movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma
velocidade de 1 cm/s. Calcule o deslocamento máximo e a energia potencial máxima.
2.18.- (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 37) Um corpo de 1,5 kg oscila com movimento harmônico simples
preso a uma mola de constante k = 500 N/m. Sua velocidade máxima é de 70 cm/s
(a) qual a energia mecânica total?
(b) qual é a amplitude de oscilação?
2.19.- (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 40) Um corpo de 3 kg preso a uma mola oscila com uma amplitude de
8 cm. A sua aceleração máxima é de 3,50 m/s2. Determine a energia total do sistema.
2.20.- (TIPLER, 5ª EDIÇÃO, CAP. 14, PROB. 59) Um corpo de 1,2 kg pendurado em uma mola de rigidez 300 N/m
oscila com uma velocidade máxima de 30 cm/s.
(a) qual é o deslocamento máximo?
(b) qual é a energia total do sistema?
(c) qual é a energia potencial gravitacional?
(d) qual é a energia potencial na mola?
2.21 (DEFIJI 2010) Uma partícula realiza MHS com uma amplitude de 9 cm. Em que posição sua energia cinética se
iguala de sua energia potencial?
Outros problemas
3.1.- A força entre dois átomos (de massa “m” cada uma) tem uma função radial, cuja energia potencial E(r) que
corresponde a essa força é definida pela equação:
9
−
.
“A” e “B” são constantes positivas, e “r” é a distancia entre os átomos.
(a) Determine ' no equilíbrio.
(b) Seja ∆ − ' , um pequeno deslocamento a partir do equilíbrio onde ∆ ≪ ' . Demonstre, para tais
deslocamentos pequenos o movimento é aproximadamente harmônico simples.
(c) Determine o período de oscilação para o caso anterior.
8 3.2.- Desloca-se uma partícula “m” no plano x-y, que está submetida a uma força recuperadora proporcional com a
r
distancia r = (x,y) da partícula ao origem, onde se situa o centro de atração. A força está dirigida sempre à origem.
! − " 9 ! − > onde ! ?@, e “k” representa a
(a) Demonstre que <<<<<<<<=
tem a forma <<<<<<<<=
constante de proporcionalidade da força.
(b) Faça um gráfico da trajetória da partícula se: (b.1) α-β = 90º y A=B; (b.2) α-β = 270º y A=B.
3.3.- Calcule os valores médios espaciais da energia potencial y cinética de um oscilador harmônico simples. Compare
suas respostas y faça um comentário ao respeito.
REFERÊNCIAS
[1] em construção
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