Pontifícia Universidade Católica de Goiás - PUC-GO
MAF - Departamento de Matemática e Física
Disciplina: Física Geral e Experimental II - MAF2202
Prof. Raffael
Lista de Exercícios - Oscilações
Perguntas
(a) Quais das seguintes relações entre a aceleração a e o deslocamento x de um partícula envolvem
MHS: (a) a = 0, 5x, (b) a = 400x2 , (c) a = −20x, (d) a = −3x2 ?
(b) Sendo dado x = (2, 0 m) cos(5t) para um MHS e precisando encontrar a velocidade em
t = 2 s, deveríamos substituir t e depois derivar em relação a t ou vice-versa?
Problemas
1. A posição e velocidade iniciais de um objeto em movimento harmônico simples são xi e vi ;
a frequência angular de oscilação é ω. Mostre que a posição e a velocidade do objeto para
todo tempo pode ser escrita como
vi
x(t) = xi cos(ωt) + sen(ωt)
v(t) = −ωxi sen(ωt) + vi cos(ωt).
ω
2. Um oscilador harmônico simples leva 12 s para completar um ciclo. Encontre (a) o período
de seu movimento, (b) a frequência em hertz, e (c) a frequência angular em radianos por
segundo.
3. Uma massa de 0, 500 kg presa a uma mola com constante elástica igual a 8, 00 N/m vibra
em movimento harmônico simples com uma amplitude de 10, 0 cm. Calcule (a) o valor
máximo de sua velocidade e aceleração, (b) a velocidade e aceleração quando a massa está
6, 00 cm da posição de equilíbrio, e (c) o tempo que esta massa leva para se mover de x = 0
para x = 8, 00 cm.
4. Um bloco de massa desconhecida está preso a uma mola com constante elástica igual a
6, 50 N/m e descreve um movimento harmônico simples com uma amplitude de 10, 0 cm.
Quando a massa está no meio do segmento entre a posição de equilíbrio e a posição mínima,
a medida de sua velocidade é igual a +30, 0 cm/s. Calcule (a) a massa do bloco, (b) o
período do movimento, e (c) a aceleração máxima do bloco.
5. Uma partícula que está suspensa por uma mola oscila com uma frequência angular de
2 rad/s. O Sistema partícula-mola está suspenso no teto de um elevador e permanece em
repouso em relação ao mesmo enquanto o elevador desce com uma velocidade constante
v. O elevador para de repente. (a) Qual a frequência que a partícula oscilará? Qual é a
equação de movimento para a partícula?
6. Um alto-falante produz um som musical por meio da oscilação de um diafragma. Se a
amplitude da oscilação estiver limitada a 1 × 10−3 mm, quais frequências farão com que a
intensidade da aceleração do diafragma ultrapasse g?
7. Um bloco de massa M está conectado a uma mola de massa m e oscila em movimento
harmônico simples em uma superfície horizontal sem atrito (Fig. 1). A constante elástica
da mola é k, e o comprimento de equilíbrio é `. Encontre (a) A energia cinética do sistema
quando o bloco tem uma velocidade v, e (b) o período de oscilação. (Dica: Assuma que
todas as porções da mola oscilam em fase e que a velocidade do segmento dx é proporcional
a distância x da extremidade fixa; isso é, vx = [x/`]v. Também, note que a massa de um
segmento de mola é dm = [m/`]dx.)
Figura 1: Problema 7
Figura 2: Problema 8
Figura 3: Problema 9
8. Um grande bloco P executa um movimento harmônico simples horizontal deslizando em
uma superfície sem atrito com uma frequência f = 1, 5 Hz. Um bloco B repousa sobre o
bloco P, como mostrado na Figura 2, e o coeficiente de atrito estático entre os dois blocos
é µs = 0, 6. Qual é a amplitude máxima de oscilação que o sistema pode ter para que o
bloco B não deslize?
9. Uma massa compacta M está presa a extremidade de uma haste uniforme, de mesma massa
M e comprimento L, que está pivotada na extremidade do topo (Fig. 3). (a) Determine
a tensão na haste no pivô e no ponto P quando o sistema está estacionário. (b) Calcule
o período de oscilação para pequenos deslocamentos a partir da posição de equilíbrio, e
determine este período para L = 2, 00 m. (Dica: Assuma que a massa na extremidade da
haste é uma massa pontual.
10. Uma massa de 50 g conectada a uma mola com constante elástica de 35N/m oscila em
uma superfície horizontal sem atrito com uma amplitude de 4 cm. Encontre (a) a energia
total do sistema e (b) a velocidade da massa quando o deslocamento é 1 cm. Encontre (c)
a energia cinética e (d) a energia potencial quando o deslocamento é 3 cm.
11. Quando o deslocamento no MHS é metade da amplitude xm , que parcela da energia total
é (a) energia cinética e (b) energia potencial? (c) Para que deslocamento, em termos
da amplitude, a energia do sistema está igualmente distribuída entre energia cinética e
potencial?
12. Qual o comprimento de um pêndulo simples que marca segundos completando uma oscilação completa da esquerda para a direita e de volta pra esquerda a cada 2 s?
13. Um disco circular uniforme cujo raio R é igual a 12, 5 cm está pendurado como um pêndulo
físico em um ponto da sua borda. (a) Qual o seu período? (b) A que distância radial r < R
existe um ponto de articulação (pivô) que fornece o mesmo período?
14. A amplitude de um oscilador levemente amortecido diminui 3, 0% a cada ciclo. Que parcela
da energia mecânica do sistema se perda a cada oscilação completa?
15. Uma esfera sólida (raio = R) rola sem deslizar em uma canaleta cilíndrica (raio = 5R),
como mostrado na Figura 4. Mostre que, para pequenos deslocamentos em torno da
posição p
de equilíbrio a esfera executa um movimento harmônico simples com período
T = 2π 28R/5g.
16. Um pêndulo de comprimento L e massa M tem uma mola de constante elástica k conectada
a uma distância h do ponto de suspensão (Fig. 5). Encontre a frequência de vibração
do sistema para pequenos valores da amplitude (θ pequeno). (Assuma que a haste que
suspende o corpo é rígida mas negligencie sua massa)
17. Considere o pêndulo físico da Figura 6. (a) Se ICM é seu momento de inércia em torno de
um eixo que passa através de seu centro de massa e é paralelo ao eixo que passa através
do ponto onda está o pivô, mostre que seu período é
s
ICM + md2
,
T = 2π
mgd
Figura 4: Problema 15
Figura 5: Problema 16
Figura 6: Problema 17
onde d é a distância entre o pivô e o centro de massa. (b) Mostre que o período tem um
valor mínimo quando d satisfaz a expressão md2 = ICM .
18. Para um determinado oscilador amortecido a massa do sistema é 1, 5 kg e a constante de
mola é igual a 8 N/m. A força de amortecimento é dada por −b(dx/dt), onde b = 230 g/s.
Suponha que o bloco seja inicialmente puxado para uma distância de 12 cm a partir da sua
posição de equilíbrio e depois solto. (a) Calcule o tempo necessário para que a amplitude
das oscilações resultantes caia para um terço do seu valor inicial. (b) Quantas oscilações
são feitas pelo bloco nesse tempo?
19. A amplitude de um oscilador harmônico forçado é dada por,
xm (ωd ) =
[m2 (ωd2
Fm
,
− ω 2 )2 + b2 ωd2 ]1/2
onde Fm é a amplitude da força externa oscilante exercida. Na ressonância, (a) qual a
amplitude do deslocamento e (b) qual a amplitude da velocidade do objeto oscilante?
20. O amortecimento é desprezível para uma massa de 0, 150 kg presa à uma mola leve de
constante 6, 30 N/m. O sistema é regido por uma força oscilante com amplitude de 1, 70 N .
Para que frequência a força fará com que a massa oscile com uma amplitude de 0, 440 m?
GABARITO
1.
2. (a)12 s, (b)0, 0833 Hz, (c) 0, 524 rad/s
3. (a) 0, 4 m/s e 1, 6 m/s2 , (b) 0, 32 m/s e
−0, 96 m/s2 , (c) 0, 232 s
11. (a) 34 , (b) 41 , (c)
4. (a) 0, 542 kg, (b) 1, 81 s, (c) 1, 2 m/s2
12. 99 cm
5. (a) 0, 750 m e x = −(0, 750 m)sen(2t)
13. R/2
6. Qualquer frequência maior que 498 Hz
q
2
3M +m
7. (a) 21 M + m
v
,
(b)
2π
3
3k
14.
8. 6, 62 cm
16.
9. (a) 2M g e M g(1 + y/L), (b) T =
2, 68 s
4π
3
x
√m
2
15.
q
2L
g
e
10. (a) 28 mJ, (b) 1, 02 m/s, (c) 12, 2 mJ, (d)
15, 8 mJ
1
2πL
q
gL +
kh2
M
17.
18. (a) 14, 3 s, (b) 5,27 oscilações
19. (a) Fm /bω, (b) Fm /b
20. 1, 31 Hz e 0, 641 Hz