Análise da variabilidade espacial dos casos de dengue na capital
Rio Branco por meio de técnicas geoestatı́sticas.
Isaac Pereira Santos 1 2
Elias Silva de Medeiros 1
Ricardo Alves de Olinda - CCT, UEPB/PB 1
Isaac Dayan Bastos da Siva - CCET, UFAC/AC1
Altemir da Silva Braga 1
Ana Clara Pinheiro Costa da Silva 1
Edimilson Marques de Araújo 1
Resumo: O presente trabalho utiliza as técnicas geoestatı́sticas com o objetivo de identificar a
dependência espacial dos casos de dengue nos bairros da capital Rio Branco - AC no ano 2000.
A estrutura espacial foi explorada pelo uso do semivariograma e as interpolações por meio de
krigagens. Observou-se a existência da dependência espacial através do gráfico de envelope simulado, o ı́ndice de dependência espacial foi verificado utilizando-se a relação entre a variação
estruturada e o patamar. Entre as diferentes funções de correlação estudadas, o modelo circular
foi o modelo que melhor se ajustou aos dados, tomando-se como critério de seleção o método de
Akaike (AIC). As predições espaciais foram calculadas em uma grid de 170 localizações espaciais, em que, as precisões das krigagens ficaram em um patamar aceitável. Por meio dos gráficos
de probabilidades condicionais observou-se que a região próxima ao centro é uma área em que o
número de casos de dengue ultrapassa o valor médio de casos registrados em toda capital.
Palavras-chave: semivariograma, krigagens, simulações.
1
Introdução
A geoestatı́stica é uma área da estatı́stica aplicada que caracteriza-se pela modelagem da
continuidade espacial de fenômenos naturais. Dados georeferenciados levam em consideração
a localização geográfica e a dependência espacial, esta metodologia permite identificar regiões
onde a infestação de determinadas doenças epidemiológicas atingem a população com mais
intensidade (OLINDA, 2010). Os procedimentos geoestatı́sticos estão fundamentados na Teoria
das Variáveis Regionalizadas.
Estudos afirmam que, anualmente cerca de 50 a 100 milhões de pessoas no mundo são infectadas pelo vı́rus da dengue. Destas, entre 250 a 500 mil casos evoluem para forma hemorrágica
que consequentemente, leva 5% desta parcela à morte.
2
Contato: [email protected]
Dessa forma, o presente trabalho objetivou-se a detectar a existência da dependência espacial
dos casos de dengue na Capital Rio Branco - AC; identificar regiões de riscos por meio de mapas
de krigagem, para que se possa compreender a ocorrência do fenômeno em estudo.
1.1
Metodologia
Na teoria das variáveis regionalizadas, Z(si ) pode ser definida como uma variável aleatória
que assume diferentes valores Z em função da posição si dentro de uma região de estudo S, e
representa pares de coordenadas (x, y). O conjunto de variáveis Z(si ) medidas em toda a região
de estudo S pode ser considerada como uma função aleatória Z(si ), uma vez que, são variáveis
aleatórias regionalizadas e assume-se que a dependência entre elas é determinada por algum
mecanismo probabilı́stico.
Segundo Guimarães (2004), o gráfico de γ(h) versus (h) representa o semivariograma, que
permite obter a estimativa do valor de semivariância para as diferentes combinações de pares
de pontos e assim analisar o grau de dependência espacial da variável estudada e definir os
parâmetros necessários para a estimativa de suas caracterı́sticas em locais não amostrados.
O semivariograma é definido como:
1
γ(h) = V ar[Z(si ) − Z(si + (h))]
2
(1)
A função de semivariância γ(h) é definida como sendo a esperança matemática do quadrado
da diferença entre os valores de pontos no espaço, separados por um vetor de distância euclidiana
(h), conforme a seguinte Equação:
1
γ(h) = E[Z(si ) − Z(si + h)]2 ,
2
e pode ser estimado por:
1
γ̂(h) =
2
Pn
(2)
− Z(si + h)]2
,
n(h)
i=1 [Z(si )
(3)
em que n(h) é o número de pares de valores medidos Z(si ), Z(si + h), separados por um vetor
(h). De acordo com Guimarães (2004), o efeito pepita (τ 2 ) corresponde a cota do ponto onde o
semivariograma corta o eixo das ordenadas, o alcance (φ) corresponde ao conceito de dependência
espacial, marcando-se a distância a partir da qual as amostras tornam-se independentes, o
patamar (σ 2 + τ 2 ) corresponde ao ponto onde toda semivariância da amostra é de influência
aleatória, correspondendo-se a variância total obtida pela estatı́stica clássica. Quando o efeito
pepita (τ 2 ) for aproximadamente igual ao patamar (σ 2 + τ 2 ), denomina-se efeito pepita puro
demonstrando-se que a amostra não recebe influência espacial (TRANGMAR et al., 1985).
Adicionalmente, é útil incluir no modelo, alguma flexibilidade na forma geral da função de
correlação. A seguir pode-se observar algumas das principais funções de correlação do semivariograma utilizadas na geoestatı́stica:
Função de correlação gaussiana
2 #%
h
1 − exp −3
φ
$
2
ρ(h) = τ + σ
2
"
0 ≤ h ≤ π,
(4)
em que π é a distância máxima na qual o semivariograma é definido e neste modelo o patamar
σ 2 + τ 2 é atingido apenas assintoticamente, o parâmetro φ é determinado visualmente como a
distância após a qual o semivariograma se estabiliza.
Função de correlação Esférica

 τ 2 + σ 2 3 h − 1 h 3 se 0 ≤ h ≤ φ
2 φ
2 φ
ρ(h) =
 2
τ + σ2
se
h>φ
(5)
Função de correlação Circular
(
ρ(h) =
2
π
√
sen−1 h + 1 − h2
ρ(h) = 1
(6)
, h>1
Função de correlação Matérn
22−ν
ρ (h; φ, ν) =
Γ (ν)
ν
h
h
Kν
, h > 0,
φ
φ
(7)
em que Kν (·) é a função Bessel modificada de terceiro grau de ordem ν > 0 e Γ (·) é a função
Gamma. O primeiro desses parâmetros (φ) está relacionado ao alcance das correlações, sendo
que maiores valores indicam dependências espaciais de maior alcance. O segundo parâmetro (ν)
está relacionado à suavidade do processo, de forma que, quanto maior ν, maior será a suavidade.
Cambardella et al. (1994), propuseram os seguintes intervalos para avaliar a % da semivariância do Efeito Pepita: ≤ 25% - forte dependência espacial; entre 25% e 75% - moderada dependência espacial e ≥ 75% - fraca dependência espacial, denominado de IDE
(Índice de Dependência Espacial) e pode ser determinado de acordo com a seguinte expressão:
IDE =
τ2
100
σ2 + τ 2
(8)
Isaaks e Srivastava (1989), afirmam que, a krigagem pode fornecer a estimativa para um local
especı́fico. As formas mais utilizadas de Krigagem lineares são: Simples, Ordinária, Universal
e Intrı́nseca. A Krigagem Simples é a mais comum das estimações usadas na geoestatı́stica. A
Krigagem Ordinária, que é a variação mais utilizada da Krigagem simples, descrita por Trangmar
et al. (1985), como o valor interpolado Ẑ(s0 ) de uma variável regionalizada Z, num local s0
pode ser determinada por:
n
X
Ẑ(s0 ) =
wi Z(si ),
(9)
i=1
em que n é o número de amostras de Z(si ) envolvidas na estimativa de Ẑ(s0 ), e wi são os pesos
associados a cada valor medido em Z(si ).
1.2
Resultados e Discussão
Na Figura 1 observa-se que o gráfico do canto superior esquerdo representa os dados nos
quartis dos casos de dengue, os sı́mbolos ” + ”, ”∆”, ”o”, ” × ”, nesta ordem, indicam os quartis
amostral, a existência de conglomerados das categorias condizem com a ideia de que existe
padrão espacial. O gráfico do canto inferior direito da Figura 1 , mostra as densidades amostrais
dos dados, observa-se que há uma leve tendência na distribuição dos dados. A existência de
dependência espacial pode ser verificada por meio do diagnóstico gráfico utilizando-se envelopes
simulados e variogramas empı́ricos (Figura 2), neste trabalho foram utilizadas 1.000 simulações.
Para que haja dependência espacial, deve haver ao menos um ponto do variograma fora do
envelope simulado (DIGGLE e RIBEIRO Jr., 2007).
Observa-se por meio da Tabela 1, as estimativas de máxima verossimilhança para os parâmetros
dos modelos univariados ajustados aos casos de dengue, considerando-se a média como polinômio
de primeira ordem sobre as cordenadas (x,y) para a matriz delineamento X.
Tabela 1: Estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros associados ao modelo para os
casos de dengue na capital Rio Branco, assumindo-se a média como um polinômio de primeira
ordem sobre as coordenadas (x, y).
função de correlação
β̂0
β̂1
β̂2
τ̂ 2
σ̂ 2
φ̂
AIC
matérn kappa = 0,5 216,7672 0,0002 0,0001 0,0000 4,4626 331,6175 1223
matérn kappa = 1,0 202,7193 0,0002 0,0001 0,0000 4,5121 235,0652 1207
esférico
238,4437 0,0002 0,0001 0,0000 4,4517 903,3479 1206
gaussiano
212,1824 0,0002 0,0001 0,0000 4,5885 455,4676 1206
circular
228,3057 0,0002 0,0001 0,0000 4,4784 831,5660 1205
Figura 1: Gráficos descritivos do padrão espacial dos casos de dengue na capital Rio
Branco no ano 2000.
Figura 2: envelopes simulados e variogramas empı́ricos.
Na Figura 3 encontram-se os semivariogramas ajustados conforme o método de máxima
verossimilhança para uma distância máxima de 2.000 metros, pode-se, observar que todas as
caracterı́sticas estudadas nos procedimentos aqui descritos, apresentam estruturas espaciais bem
definidas. Isto significa que as estimativas com o modelo selecionado, trará otimização nas
estimativas.
Para verificar o ı́ndice de dependência espacial IDE, foi utilizado a relação entre a variação
estruturada e o patamar σ 2 +τ 2 e observou-se que o IDE = 0, esse resultado implica que há uma
forte dependência espacial entre as caracterı́sticas dos casos de dengue na Capital Rio Branco.
Figura 3: Semivariogramas ajustados (esquerda) e probabilidades condicionais(direita).
Por meio do gráfico de probabilidades condicionais (Figura 3), observa-se que há uma grande
área em que os casos de dengue é menor que 200 (valor médio dos casos de dengue na capital
Rio Branco), no entanto, observa-se que a região central apresenta uma alta probabilidade de
que o número de casos ultrapassem a média de casos registrados.
1.3
Conclusões
O modelo que melhor se ajustou aos dados foi o modelo circular. Observou-se que houve
uma forte dependência espacial. A precisão da krigagem ficou em um patamar aceitável o que
implica em boas informações sobre a região em estudo. Observa-se através do gráfico de predição
espacial que na região do centro da Capital Rio Branco o número de casos de dengue ultrapassam
o valor médio de casos registrados.
Referências
[1] CAMBARDELLA, C. A., MOORMAN, T. B., NOVAK, J. M., PARKIN, T. B., KARLEN, D. L.,
TURCO, R. F., KONOPKA, A. E. Field-scale variability of soil properties in Central Iowa soils.
Soil Sci. Soc. Am. J., v.58, p.1501-1511, 1994.
[2] DIGGLE, P.J.; RIBEIRO Jr., P.J. Model-Based geostatistics. New York: Springer, 230p. 2007.
[3] GUIMARÃES, E. CARVALHO.; Geoestatı́stica Básica e Aplicada, Universidade Federal de
Uberlândia Faculdade de Matemática, Núcleo de Estudos Estatı́sticos e Biométricos, MG, 33p.
2004.
[4] ISAAKS, E.H.; SRIVASTAVA, R.M. An Introduction to Applied Geostatistics. New York: Oxford
University Press, 561p. 1989.
[5] OLINDA, R. A. SCALON, J. D. Métodos de Monte Carlos para processos pontuais marcados. Revista
Brasileira de Biometria, São Paulo, v.28, n.1, p.39-56, 2010.
[6] TRANGMAR, B. B., YOST, R. S., UEHARA, G. Application of geostatistics to spatial studies of
soil properties. Advances in Agronomy, v. 38, p.45-94, 1985.