Sinais e Sistemas no domínio da freqüência
Lista de Exercícios
Prof. Dr. Marcelo de Oliveira Rosa
10 de abril de 2012
Resumo
O objetivo desta lista é reforçar alguns aspectos da análise de sistemas no domínio da freqüência,
usando séries e transformada de Fourier, conforme conteúdo ministrado na disciplina de Sinais e
Sistemas.
1 Exercícios de Série de Fourier
1. Converta a função g(t) = (1 + ȷ)e+ȷ4πt + (1 − ȷ)e−ȷ4πt em uma representação sem ȷ.
2. Calcule a série de Fourier para os sinais (determine o período para cálculo):
(a) x(t) = 4 rect(4t) ∗ δ1 (t)
(b) x(t) = 4 rect(4t) ∗ δ4 (t)
(c) Sinal periódico com período fundamental igual a:
{
x(t) =
sign(t), |t| < 1
0,
1 < |t| < 2
3. Calcule a série de Fourier para os sinais (use os períodos T0 apresentados):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
x(t) = 10 sen(20πt), T0 = 1/10
x(t) = 2 cos(100π(t − 0,005)), T0 = 1/50
x(t) = − cos(500πt), T0 = 1/50
{ −j10πt }
d
e
, T0 = 1/5
x(t) = dt
x(t) = rect(t) ∗ 4δ4 (t), T0 = 4
x(t) = rect(t) ∗ δ1 (t), T0 = 1
x(t) = tri(t) ∗ δ1 (t), T0 = 1
x(t) = 5 {tri(t − 1) − tri(t + 1)} ∗ δ4 (t), T0 = 4
x(t) = 3 sen(6πt) + 4 cos(8πt), T0 = 1
x(t) = 2 cos(24πt) − 8 cos(30πt) + 6 sen(36πt), T0 = 2
∫t
x(t) = −∞ {δ1 (λ) − δ1 (λ − 1/2)} dλ, T0 = 1
x(t) = 4 cos(100πt) sen(1000πt), T0 = 1/50
x(t) = [14 rect(t/8) ∗ 12δ12 (t)] ⊗ [7 rect(t/5) ∗ 8δ8 (t)], T0 = 24
x(t) = [8 rect(t/2) ∗ 5δ5 (t)] ⊗ [−2 rect(t/6) ∗ 20δ2 0(t)], T0 = 20
x(t) = 20 cos(40πt + π/6)
Sugestão: Calcule as parcelas par e ímpar de x(t) e suas respectivas séries. Use também a
propriedade de deslocamento no tempo.
(p) Reticação em meio onda de x(t) = sen(2πt)
1
(q) Reticação em onda completa de x(t) = sen(2πt)
4. Determine a função temporal com base nas seguintes séries de Fourier:
(a) X[k] = δ[k − 2] + δ[k] + δ[k + 2], T0 = 1
(b) X[k] = 10 sinc(k/10), T0 = 1
2 Exercícios de Transformada de Fourier
1. Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
(k)
(m)
(o)
(q)
(s)
(u)
(w)
(y)
(z)
x(t) = 10 sen(t)
(b) x(t) = 10 sen(t − 2)
x(t) = 10 sen(2(t − 1))
(d) x(t) = 10 sen(2t − 1)
x(t) = 5 rect(2t − 1)
(f) x(t) = 5 rect((t/2) − 1)
x(t) = 5 rect(2(t − 1))
(h) x(t) = 5 rect((t − 1)/2)
x(t) = tri(t)
(j) x(t) = 5 sen(3t − (π/4))
x(t) = 5 sen(3(t + 1))
(l) x(t) = 5 sen((t/3) − (π/4))
x(t) = 5 sen((t + 1)/3)
(n) x(t) = δ(t + 1/2) + δ(t − 1/2)
x(t) = δ(t
−
1)
−
δ(t
+
1)
(p) x(t) = 4e−|t|/16
[ (−1+ȷ2π)t
]
(−1−ȷ2π)t
x(t) = 2e
+ 2e
(r) x(t) = 2δ2 (t) − 2δ2 (t − 1)
x(t) = 10 sen(t) ∗ 2δ(t + 4)
(t) x(t) = rect(t) ∗ δ2 (t)
x(t) = tri(10t) ∗ δ1/4 (t)
(v) x(t) = 5 sinc(2t − 1)
x(t) = 5 sinc((t/2) − 1)
(x) x(t) = 5 sinc(2(t − 1))
x(t) = 5 sinc((t − 1)/2)
x(t) = 4 sinc(4t) − 2 sinc(4(t − 1/4)) − 2 sinc(4(t + 1/4))
2. Calcule as seguintes convoluções usando transformada de Fourier
(a) x(t) = rect(t) ∗ cos(πt)
(c) x(t) = sinc(t) ∗ sinc(t/2)
(e) x(t) = e−t u(t) ∗ sen(2πt)
(b) x(t) = rect(t) ∗ cos(2πt)
(d) x(t) = sinc(t) ∗ sinc2 (t/2)
3. Determine a energia dos seguintes sinais:
(a) x(t) = 4 sinc(t/5)
(b) x(t) = 2 sinc2 (3t)
4. Calcule as seguintes transformadas inversas de Fourier
(a) X(ȷΩ) = e−4Ω
(b) X(ȷΩ) = 7 sinc2 (Ω/π)
(c) X(ȷΩ) = jπ [δ(Ω + 10π) − δ(Ω − 10π)]
2
(d) X(ȷΩ) = (π/20)δ1/4 (Ω)
(f) X(ȷΩ) =
6
3 + ȷΩ
(
(h) X(ȷΩ) = 0,375 rect
(
Ω
16π
)
(e) X(ȷΩ) =
5π
+ 10πδ(Ω)
ȷΩ
(g) X(ȷΩ) = 20 tri(8Ω)
)
eȷ7Ω
(i) X(ȷΩ) = eȷ3Ω
( )
3Ω ȷ5Ω
4Ω −ȷΩ
(j) X(ȷΩ) = 3 sinc
e
(k) X(ȷΩ) = 96 sinc
e
π
π
(l) X(ȷΩ) = rect(Ω + 10π) − rect(Ω − 10π)
16
(m) X(ȷΩ) = 48 cos(3Ω)
(n) X(ȷΩ) = j sen(Ω)
3
16
16
(o) X(ȷΩ) =
sen(Ω)
(p) X(ȷΩ) = −j sen(Ω)
3
3
16
(q) X(ȷΩ) = j cos(Ω)
3
2
5. Um sinal periódico tem período fundamental igual a 4 segundos. Quais as duas menores freqüências positivas na qual sua transformada de Fourier poderia ser não nula?
2
3 Exercícios de Sistemas
1. Dado os sistemas:
h1 (t) = 3e−10t u(t)
h2 (t) = δ(t) − 3e−10t u(t)
Determine a resposta em freqüência para a associação em cascata e em paralelo desses dois
sistemas.
2. Determine a largura de banda nula para o seguinte ltro:
(
h(t) = 10 rect
t − 0,01
0,02
)
3. Determine se os seguintes ltros são causais ou não causais (justicando)
(
)
Ω
2π
H(ȷΩ) = rect(Ω)
H(ȷΩ) = A
2
H(ȷΩ) =
ȷΩ
4
H(ȷΩ) =
25 − Ω2 + ȷ6Ω
4
H(ȷΩ) =
e−ȷΩ
25 − Ω2 + ȷ6Ω
49
H(ȷΩ) =
49 + Ω2
(
)
Ω
e−ȷΩ/2
2π
H(ȷΩ) = rect(Ω)e−ȷΩ
H(ȷΩ) = AejΩ
10
H(ȷΩ) =
6 + ȷ4Ω
4
H(ȷΩ) =
eȷΩ
25 − Ω2 + ȷ6Ω
ȷΩ + 9
H(ȷΩ) =
45 − Ω2 + ȷ6Ω
(a) H(ȷΩ) = sinc
(b) H(ȷΩ) = sinc
(c)
(e)
(d)
(f)
(g)
(i)
(k)
(m)
(h)
(j)
(l)
4. Determine H(ȷΩ) e esboce a resposta em freqüência (magnitude e fase). Considere os pólos e
zeros para facilitar o esboço (pode ser feito via diagrama de Bode).
(a)
R1 = 1kΩ, C1 = 1µF
(c)
(b)
R1 = 1kΩ, C1 = 1µF
R1 = 10Ω, C1 = 1µF, L1 = 1mH
(d)
R1 = 100Ω, C1 = 1µF, L1 =
1mH
Figura 1: Circuitos RLC
3
5. Determine H(ȷΩ) e classique em passa-alta, passa-baixa, passa-banda e rejeita-banda os seguintes circuitos:
(a) Circuito 1
(b) Circuito 2
(c) Circuito 3
(d) Circuito 4
(e) Circuito 5
(f) Circuito 6
Figura 2: Filtros passivos
6. Determine H(ȷΩ) e esboce o diagrama de Bode dos seguintes circuitos:
(a) Circuito 1
(b) Circuito 2
(c) Circuito 3
(d) Circuito 4
Figura 3: Filtros ativos
7. Determine H(ȷΩ), classique em passa-alta, passa-baixa, passa-banda e rejeita-banda e esboce o
diagrama de Bode dos seguintes circuitos:
4
(a)
R1 = 1kΩ, R2 = 10kΩ, C1 =
1µF, C2 = 0,1µF
(b)
R1 = 10kΩ, R2 = 10kΩ, C1 =
1µF, C2 = 1µF
(c) R1 = 10kΩ, R2 = 1kΩ, R3 =
10kΩ, C1 = 1µF, C2 = 1µF
Figura 4: Filtros passivos
8. Determine H(ȷΩ) e esboce o diagrama de Bode dos seguintes circuitos:
(a) Circuito 1
(b) Circuito 2
(c) Circuito 3
Figura 5: Filtros ativos
9. Determine o diagrama de Bode dos seguintes sistemas:
ȷ20Ω
10000 − Ω2 + ȷ20Ω
ȷΩ
10
(c) H(ȷΩ) =
ȷΩ + 10 ȷΩ + 10
(a) H(ȷΩ) =
ȷ20Ω − Ω2
10000 − 10Ω2 + ȷ250Ω
10
ȷΩ
(d) H(ȷΩ) =
+
ȷΩ + 10 ȷΩ + 10
(b) H(ȷΩ) =
5