Teoria dos Números
Resultado obtido nas aulas de Teoria dos Números.
Números pares e números ímpares.
 A soma de dois números pares é sempre um número par.
 O produto de dois números pares é sempre um número par.
 A soma de dois números ímpares é sempre um número par.
 O produto de dois números ímpares é sempre um número ímpar.
 O produto de um número qualquer por um número par resulta em um número
par.
 O resto de uma divisão é um número natural menor ou igual ao antecessor do
divisor.
Representação dos números pares e números ímpares.
Par = 2k
Ímpar = 2k + 1
Número par é todo número que pode ser agrupado de dois em dois, ou seja,
múltiplo de dois.
O zero é considerado par apesar de não poder ser agrupado de dois em dois.
Exemplo:
p+p=p
0+p=p
i+i=p
0+i=i
i+p=i
Seja abcd um número de 4 algarismos.
1000 a + 100 b + 10 c + 1d
Se d é par, então o algarismo é par. Se d é ímpar, então o algarismo é ímpar.
Soma:
A soma de dois números pares sempre irá obter como resultado outro número
par.
Exemplo:
Tomando dois números pares p e r, onde realizando a soma teremos:
p = 2k e r = 2n
p + r = 2k + 2n
p + r = 2(k + n)
A soma de dois números ímpares sempre irá obter como resultado outro número
par.
Exemplo:
Tomando dois números ímpares i e i1, onde realizando a soma obteremos:
i = 2k + 1
i + i1 = 2k + 1 + 2n + 1
i1 = 2n + 1
i + i1 = 2k + 2n + 2
i + i1 = 2(k + n + 1)  chamando (k + n + 1) de k1, logo.
i + i1 = 2k1
Múltiplos e divisibilidades.
Número 3.
Se somarmos dois números múltiplos de 3, iremos obter um outro número
múltiplo de 3.
Exemplo:
3q + 3q1 = 3(q + q1) →chamando (q + q1) de k1 teremos,
3q + 3q1 = 3k1
O produto entre um múltiplo de 3 e qualquer outro número, resulta em múltiplo
de 3.
Exemplo:
3k.a = 3(a.k) → chamando (a.k) de k1 teremos
3k.a = 3k1
Somando dois números que divididos por 3 deixam resto1, o resultado será um
número que ao ser divido por 3 deixará resto 2.
3q + 1 + 3n + 1 = 3q + 3n + 2
3q +1 + 3n + 1 = 3(q + n) + 2 → chamando (q +n) de k, teremos que,
3q + 1 + 3n + 1 = 3k + 2
Somando dois números que divididos por 3 deixam resto igual a 2, o resultado
será um número que ao ser dividido por 3 deixará resto 1.
3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n +4
3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n + 3 + 1
3q + 2 + 3n + 2 = 3 (q + n +1) + 1 → chamando (q + n + 1) de k, teremos que;
3q + 2 + 3n + 2 = 3k + 1
A soma de um número que ao ser dividido por 3 deixa resto 1 com outro que ao ser
dividido por 3 deixa resto 2, resulta em um número múltiplo de 3.
3q + 2 + 3n + 1 = 3q + 3n + 3
3q + 2 + 3n + 1 = 3 (q + n + 1) → chamando (q + n+ 1) de k, teremos que;
3q + 2 + 3n + 1 = 3k
Porque podemos afirmar que um número é divisível por 3, se a soma de seus
algarismos resultar em um número múltiplo de 3.
Exemplo:
Utilizando o número 7842, onde a soma de seus algarismos é igual a 21, podemos
verificar da seguinte forma.
Exemplo:
7 x 1000 + 8 x 100 + 4 x10 + 2
7 ( 999 + 1) + 8 ( 99 + 1) + 4 (9 + 1) + 2
Observando que os valores que estão entre parênteses são múltiplos de 3, podemos
eliminá-los e dividir os que estão fora dos parênteses por 3, após somar o resto de cada
divisão para constatar que o resultado será um número múltiplo de 3.
7 / 3 deixa resto 1
8 / 3 deixa resto 2
4 / 3 deixa resto 1
2 não é divisível por 3, portanto soma-se 1 + 2 + 1 + 2 = 6, sendo o resultado um
número múltiplo de 3, podemos afirmar que o valor de 7842 é divisível por 3.
Número 4.
Para se verificar se um número é divisível por 4 basta averiguar os dois
últimos algarismos. O número que formar tem que ser múltiplo de 4.
Obs: Números terminados em 00 também são divisíveis por 4.
Exemplo:
Pegando a b c d e f, como um número de 6 algarismos e fazendo:
a.10 5 + b.10 4 + c.10 3 + d.10 2 + e.10 + f , como os números a b c d são múltiplos de 4,
pois após serem multiplicados por 10 que elevado até no mínimo ao expoente 2, terão
os dois últimos algarismos terminados em 00, podemos eliminá-los. Em seguida
tomamos e.10 + f e averiguamos qual será o valor formado pelos números 10.e + f = ef
→tem que ser múltiplo de 4 para que satisfaça a afirmação.
Um número múltiplo de 4 sempre será múltiplo de 4 mesmo após ser
multiplicado por qualquer outro valor.
Multiplicando dois números que divididos por 4 deixam resto 1, continua
deixando resto 1.
Exemplo:
(4q + 1) . (4q1 + 1) = 16q.q1 + 4q + 4q1 +1
(4q + 1) . (4q1 + 1 ) = 4 (4q.q1 + q + q1) + 1, chamando (4q.q1 + q + q1) de q2, teremos
que;
(4q + 1) . (4q1 + 1) = 4q2 + 1
Somando 2 números que após serem divididos por 4 deixam resto1, o resultado
será um número que após dividido por 4 deixará resto 2.
Exemplo:
4k + 1 + 4m + 1 = 4k + 4m + 2
4k +1 + 4m + 1 = 4(k + m) + 2, chamando (k + m) de q logo teremos que;
4k + 1 + 4m + 1 = 4q + 2
Número 5:
Para saber, se um número é divisível por cinco, basta olhar o último algarismo,
se for cinco ou zero, então será.
Número 6:
Para ser múltiplo de 6, a soma de seus algarismos tem que resultar em um
múltiplo de 2 e 3.
Número 8:
Se o número for formado de três zero no final, ou os três últimos forem
múltiplos de 8, logo esse número será múltiplo de 8.
Exemplo: 824679
800000 + 20000 + 4000 + 600 + 70 + 9 → se 679 for múltiplo de 8, então 824679 será
múltiplo de 8.
Número 9:
Para ser múltiplo de 9 a soma dos algarismos de um número tem que resultar em
um múltiplo de 9.
Número 11:
Para saber se um número é divisível por 11, basta alternar seus sinais e se o
resultado for um múltiplo de 11, então o número será divisível por 11.
Exemplo: 34789
3-4+7-8+9 = -7 → não é múltiplo de 11
378422
3-7+8-4+2-2 = 0 → então é múltiplo de 11.
Congruência Módulo M
Sendo a, b e m  z m  0 , dizemos que a  b (mod m) se m/(a-b).
a = m.q1 + r
a – b = mq1 + r – (mq2 + r)
b = m.q2 + r
a – b = mq1 + mq2
a – b = m(q1 + q2)
a – b/m = q1 – q2
Exemplo:
Se a  b(mod m) e c  d (mod m)
Então a + c = b + d (mod m)
Exemplo:
a – b = q1.m
c – d = q2.m
a + c – b + d = q1.m + q2.m
então a + c  b + d (mod m)
a . c  b . d (mod m)
a – b + c – d = (q1 + q2) . m
a + c – b + d = a + c  b + d (mod m).
Classes de Equivalência
Mod 7
C0 = {...,-21,-14,-7,0,7,14,21,...}
C1 = {...,-20,-13,-6,1,8,15,22,...}
C2 = {...,-19,-12,-5,2,9,16,23,...}
C3 = {...,-25,-18,-11,-4,3,10,17,24,...}
C4 = {...,-24,-17,-10,-3,4,11,18,25,...}
C5 = {...,-23,-18,-9,-2,5,12,19,26,...}
C6 = {...,-22,-15,-8,-1,6,,13,20,27,...}
Tabela completa com todos os restos mod 7
+
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
0
2
2
3
4
5
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
4
4
5
6
0
1
2
3
5
5
6
0
1
2
3
4
6
6
0
1
2
3
4
5