Teoria dos Números
Resumo do que foi estudado nas aulas de Teoria dos Números, ministradas pelo Prof. Dr.
Antonio Sales.
Acadêmica: Sabrina Amorim Araujo 20939
Números pares e ímpares
Como saber se um número é par ou impar. Os números pares são aqueles podem ser
agrupados de dois em dois, não sobrando resto, podem ser representados na forma 2k; Já os
números impares são aqueles que agrupados de dois em dois restam um elemento, e podem
ser escritos na forma 2k+1.
Podemos observar algumas propriedades:

A soma de dois números pares, obtém um resultado que também é par.
Sendo, p=2q e r=2n, temos
p+r = 2q+2n = 2(q+n) = 2k.

A soma de dois números impares, resulta em um número par:
Sendo, i=2q+1 e i1= 2n+1, temos
i+i1 = 2q+1+2n+1 = 2q+2n+2= 2(q+n+1) = 2k

A multiplicação de dois números impares, resultará em um número impar.
Sendo a e a1 números impares, temos
a .a1 = (2k+1)(2n+1)= 4kn+2k+2n+1= 2(2kn+k+n)+1 = 2k+1

O produto de um número qualquer por um número par, resulta em um número também
par.
O produto de dois números pares, resulta em número que também é par.

Um dos grandes debates que se estende até a atualidade, é saber se o número 0 é um
número par ou um número impar.
Podemos dizer que o zero é considerado um número par, apesar de não se encaixar nas
condições necessárias para que seja par, pois não pode ser agrupado de dois em dois. Mas se
olharmos pelas propriedades conseguimos provar que seja par. Sendo,
par+par = par
impar+impar = par
impar+par = impar
Então,
0+ par = par I
0+ impar = impar
II
Olhando para II, podemos observar que necessariamente 0 é par, senão a soma não resultaria
em um número impar.
Divisibilidade
Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é
igual a zero. O resto de uma divisão de um numero natural, é um outro numero natural menor
ou igual ao antecessor do seu divisor. A divisão não está definida no conjunto dos números
naturais, ou seja, o conjunto não é fechado para a divisibilidade.
Ex: Seja abcd, um número de quatro algarismos. Como saber então se esse número é par ou
impar?
Podemos escrever esse mesmo numero da seguinte forma:
1000a+ 100b+ 10c+d
se “d” for um numero par, então o algarismo formado por abcd
também é par, se “d” for impar, o algarismo será impar.
Regras de Divisão
Divisão por 2
Todo numero par é divisível por 2,isto é , todos os números terminados em 0, 2, 4, 6 e 8.
Ex:
32/ 2 = 16
(32 é par, portanto é divisível por 2)
98/2 = 49
(98 é par, portanto é divisível por 2)
47/2 = 23 e deixa resto 1 (47 é impar, portanto não é divisível por 2)
Divisão por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número divisível
por 3.
Exemplo:
66 : 3 = 22, pois 6 + 6 = 12
60 : 3 = 20, pois 6 + 0 = 6
81 : 3 = 27, pois 8 + 1 = 9
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18
Podemos representar um numero múltiplo de 3 como sendo 3q. A partir dessa afirmação,
podemos verificar que:
Somando dois números múltiplos de 3, obtém um número que também será um múltiplo de 3.
Demonstração: Temos dois números múltiplos de 3,
3q+ 3q1 = 3 (q+ q1) = 3k que é um múltiplo de 3.
|
k
Somando dois números que divididos por 3 deixam resto 1, o resultado dessa soma gerara um
numero que dividido por 3 deixara resto 2.
Demonstração:
3q+1+3q1+1= 3(q+q1)+2 = 3k +2
Somando dois números que divididos por 3 deixam um resto 2, o resultado dessa soma
dividido por 3 deixa resto 1.
Demonstração:
3q+2+3q1+2=
3(q+q1)+4 =
3(q+q1)+3+1=
3(q+q1+1)+1 = 3k +1
A soma de dois números divisíveis por 3 que deixam resto 1 e 2, resultam em um numero
múltiplo de 3.
Demonstração:
3q+1+3q1+2= 3(q+q1)+3 = 3k
O produto entre um múltiplo de 3 e qualquer outro numero, resulta sempre em um múltiplo de
3
Demonstração:
3k x a = 3 (ka)= 3q
Divisão por 4
Para saber se um número é divisível por 4, basta olhar em seus dois últimos algarismos, se o
numero formado pelos dois for um múltiplo de 4, esse numero será um múltiplo de 4, além
disso, quando se tem números terminados em 00, o numero também será um múltiplo de 4.
Exemplo: abcdef
A x 10^5+ b x 10^4+ c x 10^3+ d x 10² + e x 10 + f --- se “ef” for um múltiplo de 4, ou for
00,
então “abcdef” será um múltiplo de 4.
Divisão por 5
Para saber se um número é divisível por cinco, basta olhar para seu ultimo algarismo, se for 0
ou 5, então o número é divisível por 5.
Divisão por 6
Para um número ser múltiplo de 6, ele tem que ser um múltiplo de 2 e de 3 necessariamente.
Ex: o número 24, é divisível por 6, pois também é divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

24/6= 4
24/2=12
24/3= 8
Divisão por 8
Se o número for formado por três 0 (zeros) no final ou os três últimos algarismos forem
múltiplos de 8, então ele será um número divisível por 8.
Ex: 824679
800000+20000+4000+600+70+9
se 679 for um numero múltiplo de 8, então
824679 será um múltiplo de 8. Neste caso
não é um múltiplo de 8.
Divisão por 9
Para um numero ser múltiplo de 9 e consequentemente divisível por 9, a soma de seus
algarismos tem que resultar em um numero que também seja múltiplo de 9.
Ex: 67842 = 6+7+8+4+2= 27 que é um múltiplo de 9, então 67842 é divisível por 9.
Divisão por 11
Para saber se um número é divisível por 11, basta alternar seus sinais e se o resultado for um
múltiplo de 11, então o número será divisível por 11
Ex: 34789
3-4+7-8+9 = -7, então não é um múltiplo de 11
378422
-3+7-8+4-2+2 = 0, então o número é um múltiplo de 11.
Congruência módulo m
Aprendemos que a congruência só é válida para os números inteiros.
Por exemplo:
13= 6x2+1 , assim como 15=7x2+1 e 27=13x2+1, logo
13  15 (mod 2)
13  27 (mod 2)
13  1 (mod 2),
onde  significa côngruo e mod= divisor.
Dizer que um número é côngruo a outro em um determinado módulo, é a mesma coisa que
dizer que esses dois números divididos pelo valor do módulo, deixam restos iguais.
Definição:
a, b e m  Z
m 0
Dizemos que a  b (mod m) se
a= mq 1 +r
m
ab
b= mq 2 +r
a-b= mq 1 +r - (mq 2 + r)
a-b= mq 1 - mq 2
a-b= m(q 1 - q 2 )
ab
= (q 1 - q 2 )
m

Podemos afirmar que se a  b (mod m) e c  d (mod m) então a+c  b+d (mod m), pois
a-b= qm
c-d= qm

 a+c – (b+d) = mq 1 + mq 2  a-b+c-d= m(q 1 - q 2 )  a+c  b+d (mod m)
Agora provaremos que ac  bd (mod m),
a-b= qm
 a= b+q 1 m
c-d= qm
 c= d+q 2 m
ac= (b+q 1 m)( d+q 2 m)  bd+ (bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 m)m  ac-bd=(bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 m)m
chamando (bq 2 + dq 1 + q 1 q 2 m)m de k, temos
ac-bd = mk, portanto
ac  bd (mod m)
Exemplos:
01 - Observe que:
1²=1  1 (mod 8)
3²=9  1 (mod 8)
5²=25  1 (mod 8)
Prove que o quadrado de todo número ímpar é côngruo a 1 mod 8.
Como é um número ímpar, então é representado por 2k+1, logo seu quadrado será
(2k+1)² = 4k²+4k+1  (daí já podemos afirmar que todo número ao quadrado é côngruo a 4
mod 8)
Um número ímpar também pode ser escrito na forma 4k+1, o que é mais conveniente para o
que queremos encontrar, logo:
(4k+1)² = 16k²+8k+1  8(2k²+k)+1 = 8k+1, logo provamos que todo número impar ao
quadrado é côngruo a 1 mod 8.
02 – Prove que todo número na forma 6k+2 também é da forma 3n+2.
6k+2= 3(2k)+2, considerando 2k=n, temos 3n+2.
03 – Prove que todo numero impar ao quadrado é côngruo a 1 ou 9 mod 12.
(6k+1)²  (36k²+12k+1)  12(3k²+k)+1  12n+1
(6k+3)²  (36k²+36k+9)  12(3k²+k)+9  12n+9.