Universidade Virtual Africana
Matemática 2
Teoria de Números
Preparada por Paul Cheqe
African Virtual university
Université Virtuelle Africaine
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Aviso
Este documento foi publicado nas condições de Creative Commons
http://en.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
Atribuição
http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
Licença (abreviada “cc-by”), Versão 2.5.
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ÍNDICE
I. Matemática 2, Teoria de Números ________________________________________3
II. Cursos ou conhecimentos prévios _______________________________________ 3
III. Tempo _____________________________________________________________3
IV. Materiais ___________________________________________________________3
V. Importância do Módulo _________________________________________________3
VI. Visão Geral do Módulo________________________________________________ 3
6.1 O Plano de Estudos ____________________________________________ 4
6.2 A Organização Gráfica __________________________________________ 4
VII. Objectivo Geral ______________________________________________________ 5
VIII. Objectivos Específicos de Aprendizagem _________________________________ 5
IX.Teste Diagnóstico _____________________________________________________ 7
9.1 Importância do teste diagnóstico ___________________________________ 7
9.2 Chave de Respostas ____________________________________________ 9
9.3 Comentário Pedagógico para os Estudantes __________________________ 9
X. Conceitos Chave (Pequeno Dicionário) _____________________________________10
XI. Leituras Obrigatórias ___________________________________________________11
XII. Recursos Obrigatórios _________________________________________________12
XIII. Conexões Utéis ______________________________________________________13
XIV. Actividades de Aprendizagem ___________________________________________16
XV. Resumo do Módulo ____________________________________________________53
XIV. Avaliação Sumativa ___________________________________________________54
XVII. Referências _________________________________________________________55
XVIII. Resultados do Estudante ______________________________________________56
XIX. Principal Autor do Módulo _______________________________________________57
XX. Estrutura do Ficheiro ___________________________________________________58
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I. Matemática 2, Teoria de Números
Por Paul Cheqe, Amoud University
II. Cursos ou Conhecimentos Prévios
Matemática Básica
III. Tempo
120 horas
IV. Materiais
Livro de Estudos online ou em Disco Compacto; ficheiros de actividades em
ICT online ou em Disco Compacto, Referências online, materiais de auto-avaliação,
software distribuido gratuitamente.
V. Importância do Módulo
“Teoria de Números” é um Módulo essencial na ajuda aos professores na percepção e
interpretação das propriedades dos números. É o pano de fundo para muitas
demonstrações e para muitas soluções de diversas equações matemáticas. É a espinha
dorsal e a principal teoria inerentes ao ensino da matemática no nível secundário e é um
elemento importante pelo qual se constroem e efectuam os estudos de matemática no
nível superior.
VI. Visão geral do Módulo
O Módulo “Teoria de Números” consiste em duas unidades para as quais o formando
deve aplicar conhecimentos de Matemática Básica.
A primeira unidade trata das propriedades dos números inteiros e de equações diofantinas
lineares. Sucessivamente são tratadas as propriedades dos números inteiros, tais como,
divisibilidade com resto, números primos e a sua distribuição, a demonstração de
Euclides, que defende a existência de um número infinito de números primos, o algoritmo
de Euclides e a aplicação desse algoritmo na resolução de equações diofantinas lineares.
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Finalmente, a unidade trata dos ternos Pitagóricos, do Último Teorema de Fermat,
aplicado para potências de expoente maior que dois, e da demonstração deste Teorema
por Wiles.
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A segunda unidade pressupõe o domínio, pelos formandos, da primeira unidade. A
segunda unidade introduz o corpo dos números inteiros: módulo p, quadrados e resíduos
quadráticos, o critério de Euler, o símbolo de Legrendre, o Lema de Gauss e a Lei de
Reciprocidade Quadrática, o algoritmo de Euclides e a unicidade de factorização para os
números inteiros de Gauss, a aritmética de corpos quadráticos e a sua aplicação nas
equações diofantinas. Finalmente é tratado o Último Teorema de Fermat aplicado para
potências de expoente três, a equação de Pell e as unidades em anéis de números
inteiros em corpos quadráticos reais.
6.1 Plano de Estudos
Unidade 1: Propriedades de números inteiros e equações diofantinas lineares
Nível 1, Prioridade B, que pressupõe o domínio pelo estudante da Matemática Básica 2.
Nesta unidade há a destacar:
Propriedades de números inteiros; Divisibilidade com resto; Números primos e a sua
distribuição; A demonstração de Euclides, segundo a qual há um número infinito de
números primos; O algoritmo de Euclides; Consequências, classes de restos e os
números inteiros de módulo n; O caso do n primo; Raízes primitivas e índices; A utilização
do algoritmo de Euclides para a resolução de equações diofantinas lineares; Ternos
pitagóricos e o Último Teorema de Fermat aplicado para potências de expoentes maiores
que dois.
Unidade 2: Teoria de congruências e corpos quadráticos.
Nível 2, Prioridade B, que pressupõe o domínio pelo estudante da Teoria de Números 1.
Nesta unidade destacam-se os seguintes conteúdos:
O corpo dos números inteiros módulo p; Quadrados e resíduos quadráticos; O critério de
Euler; O símbolo de Legendre; O Lema de Gauss e a Lei de Reciprociade Quadrática;
Corpos quadráticos; Norma e traço; O algoritmo de Euclides e unicidade de factorização
para números inteiros de Gauss; Aritmética de corpos quadráticos e a sua aplicação nas
equações diofantinas; O Último Teorema de Fermat aplicado para potências de expoente
três; A equação de Pell e unidades em anéis de números inteiros em corpos quadráticos
reais.
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6.2 Organização Gráfica
Algoritmo
Equações
Último
Ternos
Teorema
de
Diofantinas
de
Pitagóricos
Fermat
Euclides
Divisibilidade,
Inteiros mod p,
Quadrados,
NÖMEROS INTEIROS
Números
Primos
Raízes
Resíduos
Primitivas
Quadráticos
e Índices
Critério de
Euler,
Norma
S ímbolo de
Legendre
Lema de
Gauss
Corpos
Quadráticos
e Lei de Reciprocidade
e
Traço
Aplicação
Factorização
de
Inteiros de
Gauss
de
Equações
Diofantinas
e de Pell
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VII. Objectivo Geral
Fornecer conhecimentos sobre as propriedades necessárias dos números e sobre as
relações entre eles, para permitir o ensino eficaz da matemática no nível secundário.
VIII. Objectivos Específicos de Aprendizagem
(Objectivos de Instrução)
Unidade 1:
No fim desta unidade, os formandos devem ser capazes de:
- Demonstrar conhecimentos e habilidades inerentes aos conceitos básicos relacionados
com as propriedades de números;
- Dominar os aspectos atinentes às relações entre os números e os padrões desses
números;
- Ilustrar as propriedades dos números inteiros e da divisibilidade com restos;
- Calcular o maior divisor comum e o menor múltiplo comum por meio da factorização;
- Calcular o maior divisor comum usando o algoritmo de Euclides;
- Ilustrar as propriedades dos números primos e a sua distribuição;
- Aplicar a demonstração de Euclides quanto à existência de um número infinito de
números primos;
- Calcular números inteiros módulo n, em casos de n ser um número primo, raízes e
índices primitivos;
- Aplicar o algoritmo de Euclides para resolver equações diofantinas lineares;
- Ilustrar ternos pitagóricos e o Último Teorema de Fermat;
- Analisar ternos pitagóricos e o Último Teorema de Fermat;
Unidade 2:
No fim desta unidade, os formandos devem ser capazes de:
- Ilustrar o corpo de números inteiros módulo p, quadrados e resíduos quadráticos;
- Saber dar o perfil do critério de Euler;
- Usar o símbolo de Legendre, o Lema de Gauss e a Lei de Reciprocidade Quadrática;
- Calcular caracteres quadráticos por meio da Lei de Reciprocidade Quadrática;
- Definir Normas;
- Aplicar o algoritmo de Euclides na factorização dos números inteiros de Gauss;
- Explorar a aritmética de corpos quadráticos e aplicá-la na resolução de equações
diofantinas;
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- Investigar a equação de Pell e as unidades em anéis de números inteiros em corpos
quadráticos reais;
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IX. Teste Diagnóstico
Título do Teste Diagnóstico: Revisão de Matemática Básica
9.1 Importância do teste Diagnóstico
A Matemática Básica é o conhecimento básico para Teoria de Números, pelo que é necessário o
seu domínio.
Questões
1. Encontre o valor de x in 2(2x + 2) = 64
a) 3 b) 5 c) 1
d) 2
2. Resolva o sistema de equações
a) 7, 2
b) 1, 8
3x + 2y = 22
x+y=9
c) 4, 5 d) 6, 2
3. Resolva a equação quadrática x – 3x – 10 = 0
a) -5, 2
b) 5, -2
c) -5, -2
d) 5, 2
2
4. Encontre a função inversa à dada: g(x) = 2x – 3
a) g-1(x) = Error!
b) g-1(x) = Error!
c) g-1(x) = Error!
d) g-1(x) = Error!
5. Encontre o maior divisor comum de 986 e 289
a) 17
b) 58
c) 9
d) 3
6. Resolva a equação Error! = Error!  Error!
a) Não tem solução b) 4
7. Elabore (2 – í)(4 + 3 í)
a) 8 + í
b) 13
c) 2
c) 11 + 2í
d) 3
d) 10í – 3í2
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8. Encontre Error!
a) 6
b) 26
c) 84
d) 96
9. Evaluate 8C 2
a) 20
b) 28
c) 16
d) 4
10. O terceiro termo de uma progressão geométrica é igual a 1 e o quinto termo é igual a 16
Encontre o sétimo termo
a) 4
b) 128
c) 256
d) 4096
11. Seja s= ut + ½ at². Calcule s se u = –3, a = 10 e t = 5
a) 30
b) 60
c) 110 d) 140
12. Dada a expressão y = x + 5x – 14, encontre o vértice.
a) -2, 7
b) -7, 2
c) -2½, 14 1/8 d) -2½, -20 1/4
2
13. Ao factorizar 36j – 48 transforma-se em:
a) 12(3j – 4) b) 12(24j – 36)
c) 9(4j – 7)
d) 8(4j – 6)
14. A solução de Error! - 11 = - 2 é igual a
a) 56
b) 64
c) 72
d) 96
15. Ao resolver a equação 6(7+y) - 2(5y-1) = 12(3y+5) - 16(y-5) a resposta será
a) -2
b) -4
c) -3
d) 2
16. Um pau de 20 cm é o mais comprido que cabe numa lata cilíndrica de raio igual a 6 cm.
A altura da lata em centímetros é mais próximo de:
a) 8
b) 15
c) 16
d) 9
17. Dada a expressão y = - x² + 2x + 8, encontre os zeros.
a) - 2, 4
b) 2, - 4
c) 2, 4 d) -2, - 4
O valor do ângulo  RIQ é igual a
18.
R
a) 0,57
b) 55,1 65 cm
67 cm
c) 43
d) 67,2
I
73 cm
Q
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19. Seja dada a sucessão7, 16, 25, 34, …. ……… O termo de índice 56 é igual a
a) 495 b) 640 c) 55
d) 502
20. Cada ângulo interior de um polígono regular é igual a 1400 . Quantos lados tem este
polígono?
a) 5
b) 9
c) 11
d) 7
9.2 Chave de Respostas
1. d
11. c
2. c
12. d
3. b
13. a
4. a
14. c
5. a
15. b
6. a
16. c
7. c
17. a
8. d
18. b
9. b
19. d
10. c
20. B
9.3 Comentários Pedagógicos para os Formandos
O perfil com que entra o formando é que determina o sucesso na percepção do Módulo “Teoria
dos Números”.
“Teoria de Números” é um ramo de matemática abstracta que usa muitas notações matemáticas,
por isso, este Módulo está construido na base da Matemática Básica.
O teste diagnóstico é um instrumento para avaliar as habilidades do formando em Matemática
Básica, pois este indica o nível de preparação do estudante na área. Assim, os estudantes
devem rever os conteúdos de Matemática Básica caso não consigam ter um bom resultado no
referido teste, bem como para consolidar os seus conhecimentos nesta área.
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X. Conceitos Chave (Pequeno Dicionário)
1. ALGORITMO:
Um algoritmo é um procedimento de resolução de um problema num número finito de passos
2. NÚMERO INTEIRO:
Números inteiros são os elementos do conjunto { …-3, -2, -1, 0, 1,2,3,…}
3. NÚMEROS PRIMOS:
Um número primo é um número que tem apenas dois divisores: 1 e si próprio.
4. NÚMEROS PARES:
Números pares são números inteiros que são divisíveis por 2, sem resto.
5. NÚMEROS ÍMPARES:
Números ímpares são números inteiros que ficam com resto se forem divididos por 2.
6. ALGORÍTMO DE EUCLIDES:
É um procedimento sistemático para encontrar o maior divisor comum de dois números inteiros.
Euclides era um matemático Grego ( 400 antes de Cristo) que desenvolveu o algoritmo
7. UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA:
É uma equação polinomial com coeficientes inteiros onde só são admitidas soluções inteiras. Por
exemplo mx = k, onde m e k são números inteiros e m 0, é uma equação diofantina linear de
grau 1. ( As Equações diofantinas são assim chamadas em honra ao matemático grego Diofantos
do 3 século depois de Cristo)
8. LEMA, TEOREMA, COROLÁRIO:
Significa uma “afirmação verdadeira”.
9. UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS:
É um número complexo cujas partes real e imaginária são ambas números inteiros, ou seja, a + b
onde a e b são números inteiros.
10. A NORMA DE UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS:
É o número natural definido por N(a + b) = a² + b²
11. O MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO DE GAUSS:
É simplesmente o seu módulo complexo | a + b | =
a 2 + b2
12. O CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO:
O conjugado de ( a + b ) é ( a – b)
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XI. Leituras Obrigatórias
Leitura nº 1 - Wolfram MathWorld ( visto no dia 03.11.06)
Referência completa: http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html
Resumo: Esta referência fornece o material de leitura necessário para aprender o básico sobre a
Teoria de Números, mas recomenda-se aos estudantes o controlo e seguimento das
demonstrações de Lemas com uma apurada e crítica atenção. Além disso, a referência fornece
ilustrações que capacitam o estudante em metodologias variadas de abordagem.
Importância: A referência capacita os estudantes em análise da teoria de números, para além de
apresentar abordagens abstractas que muitos estudantes não conseguem visualisar. Ao longo da
leitura, o estudante tem acesso às inferências técnicas para Lemas, Corolários, Teoremas e
Proposições que são usados nas demonstrações.
Leitura nº 2 - Wikipédia (visto no dia 03.11.06)
Referência completa : http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory
Resumo: A Wikipédia devia ser a fonte de referência mais próxima para a Teoria de Números. É
uma fonte importante à qual todos os estudantes têm que aceder para perceber a matemática
abstracta. Além disso, a fonte fornece ao estudante argumentos que desafiaram matemáticos
durante séculos.
Importância: A fonte fornece definições, explicações, e exemplos que estudantes não podem
encontrar em outras fontes. O facto é que a wikipédia é frequentemente actualizada, fornecendo,
assim, ao estudante as últimas abordagens, argumentos abstractos, ilustrações e referências a
outras fontes para o estudante poder conseguir outras abordagens em teoria de números.
Leitura nº 3 - MacTutor History of Mathematics (visto no dia 03.11.06)
Referência completa : http://www-history.mcs.standrews.ac.uk/Indexes/Number_
Theory.html
Resumo: MacTutor é uma referência chave a ser lida se se tiver interesse ou quiser conhecer a
história da Teoria de Números.
Esta fonte relata como os teoremas, proposições, corolários e lemas preocuparam os
matemáticos durante séculos. O último teorema de Fermat é uma boa ilustração de conceitos
básicos e fáceis de se perceber. Porém, a demonstração do teorema trouxe grandes dificuldades
aos matemáticos durante mais de 300 anos, desde o ano 1637 até ao ano 1995.
Importância: A história da matemática como abordada em MacTutor não só fornece aspectos
históricos da teoria de números mas também apresenta um desafio aos estudantes para a
demonstração de teoremas, proposições, lemas e corolários que ainda não foram
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demonstrados.Para o efeito, o estudante pode adoptar estratégias como indução e redução para
efectuar as referidas demonstrações.
Assim, a referência apresentada é útil no fornecimento de uma variedade de abordagens
matemáticas de que o estudante de teoria de números precisa para aumentar os seus
conhecimentos e consolidar as noções em matemática abstracta.
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XII. Recursos Obrigatórios
Recurso nº 1 - Máxima
Referência completa: Uma cópia do Programa Máxima num disco que acompanha este curso.
Resumo: Os estudantes à distância são às vezes confrontados com uma matemática difícil sem
poderem, por quaisquer meios, fazerem face a esse aspecto. A ausência de aulas diárias onde
os estudantes estariam em contacto directo e presencial com os docentes pode criar condições
para que haja deficiências no domínio dos conhecimentos se os estudantes não possuírem meios
eficazes na resolução dos problemas matemáticos com que se deparam. Esta deficiência pode
ser resolvida por meio do recurso que acompanha este curso: O Programa Máxima.
Importância: Máxima é um programa de software de fontes abertas que pode capacitar
estudantes para resolverem equações lineares e quadráticas, sistemas de equações, integração
e derivação, para executar manipulações algébricas: factorização, simplificação,
elaboração/expansão etc.
Este recurso é obrigatório para os formandos à distância, uma vez que permite uma
aprendizagem mais rápida usando as habilidades já adquiridas no ICT.
Recurso nº 2 - Graph
Referência completa : Uma cópia de Graph num disco que acompanha este curso
Resumo: É difícil desenhar gráficos de funções, especialmente de funções complicadas, e ainda
mais concretamente de funções em 3 dimensões. Os formandos vão sem dúvida encontrar
situações em que precisem de fazer gráficos matemáticos enquanto estudam à distância. Este
curso é acompanhado por um software chamado Graph para ajudar os estudantes a fazerem
gráficos. Porém, é necessário que o estudante se familiarize primeiro com o software Graph para
ser capaz de usá-lo.
Importância: Graph é um software dinâmico de fontes abertas que fica acessível para os
estudantes mediante o Disco Compacto dado. Este programa ajuda todos os aprendentes de
matemática a fazerem o gráfico de operações deveras complicadas. O Graph é simples de usar
desde que o estudante invista tempo para aprender a manipulá-lo e é útil no ensino da
matemática no nível secundário bem como para outras disciplinas ligadas a esta área, pelo que,
os estudantes deviam procurar dominar este software.
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XIII. Conexões úteis
Conexão útil nº 1
Título : Fermat’s Last Theorem (Último Teorema de Fermat)
URL : http:www. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk~history/HistTopics/Fermat’s
last theorem.html
Descrição: O último teorema de Fermat advoga que para nenhum dos três números inteiros x,y e
z maiores que zero é verdade que x3 + y3 = z3. Apesar desta aparente simplicidade, a
demonstração deste Teorema criou grandes dificuldades para os matemáticos durante trezentos
anos, de 1637 até 1995. Porque é que uma equação cúbica simples de executar e perceber criou
dificuldades aos matemáticos? Encontre a resposta no website.
Importância: Ternos pitagóricos foram usados desde os tempos antigos dos Babilónios e
Egípcios na indústria de construção. O matemático Pitágoras documentou a teoria com base nos
ternos pitagóricos. Porém, ele não investigou as equações cúbicas, assunto este que tanto
complicou a vida dos matemáticos depois da Proposição de Fermat. A história por detrás desta
teoria é fascinante para a mente de um matemático e é um dever para os estudantes de Teoria
de Números ler esta história.
Conexão útil nº 2
Título : Wikipedia
URL : http:www. http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory
Descrição: Wikipedia é o dicionário para qualquer matemático. É um site de fontes abertas que é
actualizado frequentemente. A maioria dos estudantes de Teoria de Números por vezes se
deparará com a ausência de fontes bibliográficas, uma vez que a maioria dos livros disponíveis
sobre Teoria de Números englobam apenas partes ou secções do Módulo de Teoria de Números.
Esta falta de materiais de referência pode ser colmatada pelo uso de Wikipedia. O acesso é
facilitado pelo “Google search”.
Importância: Dada a fácil acessibilidade ao Wikipedia, o problema de ausência de bibliografia
básica para a aprendizagem em matemática e seus ramos pode ser minimizado, mas o estudante
deve dominar esta ferramenta para que realmente lhe seja útil na aprendizagem.
É um recurso gratuito muito útil que não só resolve os problemas do estudante em eceder a
materiais de referência mas também dirige os estudantes para websites relacionados, através do
“clique” em ícones dados. Mais uma evidência da utilidade deste recurso.
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Conexão útil nº 3
Título : Mathsguru
URL : http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/01proof/01proof/
05induction/index.shtml
Descrição: Mathsguru é um website que ajuda os estudantes a perceberem os diferentes ramos
do Módulo da Teoria de Números.
Este site pode ser facilmente acedido por meio da Procura Google e fornece informação
pormenorizada sobre as várias questões sobre a teoria de números.
O site oferece explicações e exemplos que estudantes podem entender facilmente.
Importância: Mathsguru fornece caminhos alternativos para assuntos relacionados com o módulo
em estudo, fornece sugestões e soluções que podem ser bastante úteis para os estudantes que
não consigam obter livros capazes de apoiá-los na resolução dos problemas com os quais se
possam deparar ao longo da formação.
O site faz uma abordagem que ajuda nos cálculos associados à teoria de números, bem como
sobre os diferentes ramos do Módulo de Teoria de Números.
Conexão útil nº 4
Título : Mathworld Wolfram
URL : http:www. http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html
Descrição: Mathworld Wolfram é um website de distinção cheio de soluções para a teoria de
números. O site fornece tanto os corolários, lemas, bem como as proposições e as suas
demonstrações.
O acesso é fácil para os estudantes por meio da Procura Google e assim é fácil também aceder à
referência dada. Wolfram conduz os estudantes também para outros websites que abordam os
mesmos assuntos para melhorar a percepção dos estudantes.
Importância: Wolfram é um site útil com uma aboradagem profunda sobre os novos desafios e as
novas metodologias inerentes à teoria de números. O site é igualmente útil na modelagem
matemática e é altamente recomendado para estudantes que queiram estudar teoria de números
e/ou outros ramos da matemática.
O site permite a conexão a outros websites e deste modo fornece aos estudantes informação de
que eles precisam para melhor perceberem a teoria de números.
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Conexão útil nº 5
Título : Proof of Fermat’s last Theorem by Wiles (A demonstração do Último Teorema de Fermat
por Andrew Wiles)
URL : http:www. http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html
Descrição: O último teorema de Fermat preocupou os matemáticos durante mais que trezentos
anos, de 1637 até 1995, quando Professor Wiles conseguiu demonstrá-lo.
O site relata os passos dados até ao último teorema de Fermat, teorema este que muitos
matemáticos do mundo tentaram formular sem êxito. O próprio Wiles tentou, várias vezes e sem
sucesso, chegar às conclusões inerentes ao teorema, cujas bases surgiram das dificuldades que
ele encontrou enquanto aluno do ensino primário. Em 1995, Wiles, entretanto Professor de
Matemática, conseguiu realizar o seu sonho de infância: demonstar o último teorema de Fermat.
Importância: O website dá luz às dificuldades intrigantes atinentes à tentativa de demostração de
proposições matemáticas e abre portas para outras proposições ainda não abordadas que
qualquer estudante pode tentar demonstrar e assim contribuir para o mundo sempre desafiante
da matemática. É importante que os estudantes saibam que “nem toda a Matemática” já foi
descoberta e, por isso mesmo, eles próprios têm espaço para melhorar a Matemática
demonstrando as proposições matemáticas cujas demonstrações estão pendentes desde há
muitos anos.
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XIV. Actividades de aprendizagem
Actividade nº 1
Título: Unidade 1 (60 Horas): Propriedades do Números Inteiros e
Equações Lineares Diofantinas
Resumo da Unidade 1 (Actividades Múltiplas)
A abordagem usada neste Módulo consiste na ligação entre as situações do
quotidiano e a Teoria de Números. Devido à natureza abstracta da Teoria de
Números, nos materiais referência, há uma abordagem teórico-prática dos lemas,
teoremas, havendo também, nos referidos materiais, demonstrações. Os
estudantes podem ser convidados a instalar programas simples de computador
para executar cálculos baseados no pensamento matemático e nas fórmulas.
Não é necessário que estudantes já tenham habilidades de trabalho com
computadores para executarem as actividades.
Embora os teoremas já tenham sido enunciados, é necessária a apresentação de
demonstrações, tais que podem ser encontradas nos materiais de referência ou
encontradas em actividades de trabalho em grupo. É de se salientar que este
Módulo trata de matemática abstracta, pelo que, as actividades do Módulo são
organizadas à volta dos aspectos ligados ao cálculo na teoria de números, aos
teoremas, aos lemas, às proposições, aos corolários e às demonstrações desses.
Textos de leitura
Todos os textos de leitura para o Módulo vêm de livros de textos de Fontes
Abertas, isso significa que os autores disponibilizaram esses livros para acesso
livre (sem qualquer pagamento), e nós fornecemos cópias completas desses textos
no CD que acompanha este curso. Haverá, quando se justificar, referência a
secções específicas desses livros neste guião de estudos:
1. Elementary Number Theory, By W. Edwin Clark, University of South
Florida, 2003. (File name on CD: Elem_number_theory_Clarke)
2. Elementary Number Theory, By William Stein, Harvard University, 2005
(File name on CD: Number_Theory_Stein)
3. MIT Open Courseware, Theory of Numbers, Spring 2003, Prof. Martin
Olsson (Folder name on CD: MIT_Theory_of_Numbers)
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Recursos na Internet
Esses recursos são gerais e são aplicáveis ao Módulo completo. Eles dão
oportunidades para leituras adicionais e para estudos relacionados aos assuntos
do curso. Os recursos específicos da internet a serem usados neste módulo, serão
pormenorizadamente apresentados na secção apropriada deste guião de estudos.
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Requisitos para o curso
Supõe-se, neste Módulo, que os estudantes estejam familiarizados com números e operações
ligados à Matemática Básica.
Supõe-se que o estudante conheça as seguintes propriedades dos números:
1) Leis de comutatitividade: p + q = q + r e pq = qp
2) Leis de associatividade: p + (q + r) = (p + q) + r = p + q + r
3) Leis de expoentes:
a) aman = am + n
b) aman = am  n
c) (am)n = amn se m e n são diferentes de 0.
d) Error! = a-m
e) a0 =1
se a0
f) a-n = Error!
g) aError! = Error! se n0.
h) aError! = Error! se n0.
i) ambm =(ab)m
j) Error!= Error!

4) O valor absoluto ou o módulo |p| do número real p é igual a:
|p| = p se p é positivo e |p| = p se p é negativo .
A função módulo dá o valor numérico do “input”. Essa função transforma números negativos em
números positivos e é escrita como: y = |x| , o que se pronuncia como: “y é igual ao módulo de
x”.
Exemplo:
Forneça o valor de |7 - x| se x = 15.
Solução: Se x =15 então teremos |7 -15| = |-8| = 8.
5) Para a solução de equações quadráticas é preciso que o estudante seja capaz de resolver
sistemas de equações lineares e quadráticas por meio de um método algébrico.
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Avaliação formativa 1
Exercício sobre expoentes
Resolva as seguintes equações de incógnita x:
1. 4x+2 = 82x
2. 22x+1 - 5(2x) +2 = 0
3. log x (6) = ½
Calcule:
4. Error!
5. log 10 (0,001)
Respostas
1. x=1
2. x=1, x = -1
3. x=36
4. Error!
5. x= -3
Notas
1) Se p for divisível por q, escrevemos p q. Se p não for divisível por q, escrevemos p |;/ q
2) significa “para todos”, “para qualquer”
3)  significa “tal que”
4) sse significa “ se e somente se”
5) significa “é elemento de”
6) ℤ significa “o conjunto dos números inteiros”
7) significa “ implica “
8) significa “existe”, “há”
9) significa “ é equivalente a”
10)  significa “ não é elemento de“
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24
Sejam p,q e r números inteiros. Então:
a) (p|q  p>0  q>0) p q
b) p|q  p|qr ,  r ℤ
c) (p|q  p|r) p|(qx + ry) , x,y ℤ
d) (p|q  q|p) p = ± q
e) (p|q  q|r) p|r
Demonstrações matemáticas: por Indução e por Redução
O Módulo de Teoria de Números usa frequentemente a indução matemática e demonstrações
indirectas, ou seja, demonstrações de redução.
Exemplo 1: Demonstração por Indução
Demonstre por indução matemática que 1 + 2 + ……… + m = Error!
Demonstração:
Passo 1: Técnica de Indução
Demonstrar por indução matemática significa verificar se a proposição é válida em caso de m ser
igual a 1, e depois supõe-se que a proposição seja válida em caso de m ser igual a k e verifica-se
se a proposição também será válida em caso de m ser igual a k+1. Se a resposta nestas duas
verificações for positiva, então a proposição é válida para todos os valores inteiros positivos
1,2,3,4,..... de m.
Passo 2: Faça a substituição de m = 1 na igualdade:
1= Error!, é verdade!
Passo 3: Suponha que a fórmula seja válida se m= k
1 + 2 + …… + k = Error!
Passo 4: Mostre agora que a fórmula é válida se m = k+1:
Mostre que 1 + 2 + …… + k + (k+1) = Error!.
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25
Escreve-se:
1 + 2 + ……+ k + (k+1) = Error! + (k+1) (segundo o Passo 3)
= Error!
= Error! (factorização)
= Error!
= Error!
[ C.Q.D.]
Exemplo 2:
Demonstre usando a indução que para qualquer número inteiro positivo n é verdade que:
1² +2² + 3² + 4² +…………. + n² = Error!
Passo 1: Técnica de Indução
Demonstrar por indução matemática significa verificar se a proposição é válida no caso em que n
é igual a 1, e depois supõe-se que a proposição seja válida no caso em que n é igual a k e
verifica-se se a proposição também será sempre válida no caso em que n é igual a k+1. Se a
resposta nestas duas verificações for positiva, então a proposição é válida para todos os valores
inteiros positivos 1,2,3,4,..... de n.
Passo 2: Faça a substituição n = 1 na igualdade:
1= Error! , é verdade!
Passo 3: Suponha que a fórmula seja válida se n = k:
1² + 2² + 3² + 42 + …+ k2 = Error!
Passo 4: Mostre agora que a fórmula também será válida se n= k+1.
1² + 2² + 3² + 4² +……k2 + ( k + 1)² = Error!
= Error!
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Escreve-se
1² +2² + 3² + 4² +…… k2 + (k + 1)² =
(1² + 2² + 3² + 4² +... + k²) +(k + 1)² = Error!+ (k+1)2 (passo 2)
= Error!
= Error!(factorização)
= Error!
= Error!
(factorização)
[DEMONSTRADO] A demonstração foi feita por indução matemática.
Leia: Demonstrações de Indução Matemática
1. Elementary Number Theory
By W. Edwin Clark, 2003, pag. 2-7
Recurso na internet
http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/01proof/05induction/index.
shtml
Leia as duas páginas sobre demonstração por indução neste website.
Avaliação Formativa 2
Exercício de demonstração por Indução
1. Demonstre que 1 + 2 + 22 +……. + 2n = 2n+1 – 1 for n ≥ 1.
2. Demonstre que 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2n – 1) =n2
3. Demonstre que a + ar + ar2 +…+ arn= Error! para qualquer número inteiro positivo n
4. Demonstre que 14 + 24 + 34 + 44 + ..... + n4 = Error!
5. Demonstre que n < 2n qualquer que seja o número inteiro positivo n.
6. Demonstre que (ab)n = anbn .
7. Demonstre que 1 + 4 + 7 + 10 + …… + (3n - 2) = Error!
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Números Pares e Ímpares
Actividade sobre números pares e ímpares
Caso 1
O que é que percebe de números pares e ímpares?
Forneça uma maneira simples para distinguir números pares de ímpares.
Quantos meses no ano têm um número ímpar de dias?
Quantos anos pares existiam entre 1960 e 2010?
Resposta
Números divisíveis por 2 são chamados pares e números que não são divisíveis por 2 são
chamados ímpares.
Cartão de corrente para distinguir números pares de ímpares:
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INÍCIO
LEIA O
NÚM ERO
INTEIRO
N
CALCULE
M = (N/2)x2
SEM
OLHAR
PARA
O RESTO
M =N?
CASO SIM
CASO NÃO
ESCREVA
ESCREVA
"N É ÍM PAR"
"N É PAR"
PARAR
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Procedimento:
1. Introduza um número inteiro N
2. Calcule M como foi indicado
3. Faça a decisão se N é par ou ímpar.
A actividade é uma representação por cartão de corrente para distinguir números pares de
ímpares.
Faça uma tabela dos seus resultados:
Número
N
Par
Ímpar
Avaliação Formativa 3
Exercício
Modifica o cartão de corrente para testar se um número é ou não divisível por 3.
Resposta
Mude a frase M=N/2*2 em M=N/3*3. Também é preciso mudar as frases entre aspas para
escrever as mensagens apropriadas.
Reflexão
1.
Como futuro professor, como ensinaria expoentes e números inteiros para que esses reflictam situações da vida
real? Pense em abordagens práticas de ensino de números inteiros que envolvam experiências diárias do aluno.
2.
Rectas graduadas são usadas para ensinar cálculo com números inteiros positivos e negativos. Como é que um
professor pode usar a recta graduada sem perder o significado real das operações básicas da divisão, adição
subtracção e multiplicação e a forma como essas são relacionadas com a vida real? Por exemplo, 22 = 4
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Divisor
Um divisor de um número inteiro n, também chamado factor de n, é um número inteiro que divide
n igualmente, sem deixar um resto.
Exemplo:
7 é um divisor de 35 porque 35:7 = 5. Diz-se também que 35 é divisível por 7 ou 35 é um múltiplo
de 7 ou sete divide 35 e escreve-se 7|35.
Em geral, diz-se m|n (leia: m divide n) para números inteiros diferentes de zero, se existir um
número inteiro k tal que n = km .
Portanto, divisores podem ser negativos tal como positivos. Por exemplo, os divisores de 6 são
1,2,3,6,-1,-2,- 3,-6 mas geralmente mencionam-se apenas os divisores positivos 1,2,3 e 6.
1 e –1 são divisores de cada número inteiro; cada número inteiro é um divisor de si mesmo e
cada número inteiro é divisor de 0 .
Um divisor de n que não seja igual a 1,-1, n ou –n é chamado divisor não trivial; os números
inteiros que têm divisores não triviais são chamados números compostos e os números primos
têm apenas divisores triviais.
Se a : b = c, então a é o dividendo, b é o divisor e c é o quociente.
O Resto para números naturais.
Se a e d são números naturais, com d diferente de zero, é possível mostrar que existem números
inteiros únicos q e r tal que a = qd + r enquanto 0 ≤ r < d.
O número q é chamado quociente, enquanto r é chamado resto.
Exemplo:
1) Ao dividir 17 por 10, 1 é o quociente e 7 é o resto porque
17 = 1 × 10 + 7.
2)
22
; 4 ;-20 ;5;2;
5 é o quociente e 2 é o resto.
3) Ao dividir 42 por 7, 6 é o quociente e 0 é o resto, porque
42 = 7 × 6 + 0.
O caso de números inteiros em geral.
Se a e d são números inteiros, e d é diferente de 0, então um resto é um número inteiro r tal que
exista um número inteiro q e a=qd + r enquanto 0 |r| < |d|
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Com esta definição, há dois possíveis restos:
Exemplo:
A divisão de – 37 por 5 pode ser expressa como –37 = 8 × (-5) +3 ou –37 = 7 × (-5)+(-2).
Portanto, o resto será 3 ou –2.
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Observação: Ao dividir por d, se o resto positivo for r 1 , e o resto negativo r 2 , então r 1 = r 2 + d.
A operação “módulo”.
A operação módulo encontra o resto de uma divisão de um número por um outro.
Dados dois números a e n, a módulo n { abreviado a mod n} é o resto quando se dividir a por n.
Por exemplo, 10 mod 3 é igual a 1 e 12 mod 3 é igual a 0, ou seja, 1 e 0 são os restos depois da
divisão.
Divisibilidade
Definição: Um número inteiro p é divisível por um número inteiro q sse existir um número inteiro r
tal que  p = q × r
O Teorema de Divisão
Sejam m e n números inteiros e seja n  0.
Existe exactamente um único número inteiro q e um único número inteiro r tal que
0 ≤ r < |n| e  m = qn + r.
Os números inteiros
a) m é chamado dividendo
b) q é chamado quociente
c) n é chamado divisor
d) r é chamado resto
Caso 1
Divide-se um terreno de 11 ha entre 5 pessoas. Qual é a parcela que cada pessoa obtém? Cada
pessoa obtém um número inteiro e uma fracção.
Neste caso, determine o dividendo(a), o quociente(q), o divisor(b) e o resto(r).
Exemplos:
Sejam m e n números inteiros, e n0. Existe um único número inteiro q e um único número
inteiro r tal que
0 ≤ r < |n| e  m = qn + r.
Os inteiros
n
q
r
m = qn + r
m é chamado
2
7
1
m = 7(2) + 1
5
6
3
m = 5(6) + 3
9
5
8
m = 9(5) + 8
dividendo
q é chamado
quociente
n é chamado
divisor
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Avaliação Formativa 4
TAREFA: Determinação de factores
1.Preencha esta tabela
m
n
7
2
7
3
3
7
7
3
Q
r
Solução
Definição:
Um número natural que divide um outro número natural, num número exacto de vezes é
chamado um factor.
Exemplos:
Factores de 24 são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Factores de 15 são 1, 3, 5 e 15.
Avaliação Formativa 5
Exercício sobre factores
Quais são os factores de:
1. 20
2. 28
3. 36
4. 120
5. 169
6. 180
Múltiplos comuns
Um número inteiro que é divisível pelos números inteiros p e q é chamado múltiplo comum de p e
q. Os múltiplos comuns de 2 e 3 são 0, 6, 12, 18, 24,….
são 0,20,40,60,...
E os múltiplos comuns de 4 e 5
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Avaliação Formativa 6
Exercício sobre Múltiplos Comuns
Faça uma lista dos primeiros 8 múltiplos de:
1). 3
2). 7
3). 11 4). 23 5). 61 6). 138
Menor Múltiplo Comum (m.m.c.)
Uma estória no mercado.
A Dona Safia vai fazer compras no centro comercial mais próximo à sua casa. Nas lojas desse
centro, têm-se medido as quantidades por meio de latas.
Ela passa por três lojas e em cada loja usa-se um diferente tipo de lata. A Loja A usa latas de
dois litros, a loja B usa latas de 4 litros e a loja C usa latas de 5 litros.
Ela precisa de levar consigo um cesto para as suas compras tal que entre um número inteiro de
latas, qualquer que seja a loja onde vá fazer compras. Qual é o volume mínimo do cesto?
Definição
O menor múltiplo comum de p e q é definido como o menor número inteiro positivo que é divisível
por p e q. Pode-se notar o m.m.c. de p e q como [p, q].
Exemplos:
[4, 9] = 36
 [-3, 4] = 12
 [7, 8] = 56
Cálculo do m.m.c. usando factores primos
Exemplo: Determine o m.m.c. de 16, 24 e 840.
Passo 1: Decomponha cada número em factores primos:
16 = 24
24 = 23 3
840= 23 3 5 7
Passo 2: Escolha o expoente maior para as potências de qualquer factor primo que aparece. Não
é necessário que esses factores sejam comuns. Por exemplo, os expoentes maiores que
aparecem de 2,3 ,5 e 7 são 4,1, 1 e 1 e o m.m.c. será 24357=1680.
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Exercício do cálculo do m.m.c.
Encontre o m.m.c. de
1. 18, 20 e 24
2. 30, 45 e 50
3. 252, 990 e 3150
4. 450, 2100 e 990
Divisores comuns
Definição:
Um número inteiro p é divisor comum de q e r se p|q e p|r.
Maior Divisor Comum
Sejam dados os três números 20,24, e 28. Qual é o maior número inteiro que pode dividir cada
um desses números? Como é que se pode calcular esse número?
Definição:
Cada dois números inteiros p e q têm pelo menos um divisor positivo em comum, chamado
divisor comum. Se pelo menos um dos números inteiros p e q é diferente de zero, então existe
um maior número inteiro d que divide p e q. Este número inteiro d é chamado maior divisor
comum (m.d.c.) de p e q e tem-se: m.d.c.(p,q)= d.
Exemplos:
m.d.c.(6,12) = 3
m.d.c.(0,18) = (0,-18)=18
m.d.c.(9, 27) = 9
m.d.c.(14, 28) = 7
Cálculo do m.d.c. usando factores primos
Exemplo:
Determine o m.d.c. de 60, 100 e 840.
Passo 1:
Decomponha cada número em factores primos
60 = 2² × 3 × 5
100= 2² × 5²
840= 23 × 3 × 5 × 7
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Passo 2:
Procure a potência comum de maior expoente para cada factor primo comum. O produto dessas
potências maiores é o m.d.c.
Por exemplo, os factores primos comuns são 2 e 5. As potências comuns de expoente maior de 2
e 5 são 2² e 51. O seu produto é 22  51 = 20 será o m.d.c. de 60,100 e 840.
Avaliação Formativa 7
Exercício de cálculo do m.d.c.
Determine o m.d.c. de:
1. 540,72 e 378
2. 105,546 e 231
3. 1125 e 675
Leituras a efectuar:
1. Elementary Number Theory, por Stein, October 2005, páginas 5 -7
2. Greatest Common Divisor MIT: Units 1 & 2 Apontamentos, ambos, páginas 1-2
3. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, página 10 -14
Avaliação Formativa 8
Exercício de demonstração de corolários:
1. Para qualquer número inteiro m > 0 é verdade que mmdc(b,c)= mdc(mb,mc)
2. If d|a, d|b, d > 0,then mdc(Error!,Error!) = Error!mdc(a,b)
Demonstre as seguintes Proposições:
1. Se mdc(a,m)= mdc(b,m)= 1 então mdc(ab,m)=1
2. Se c|ab e mdc(b,c) =1 então c|a
Referência: MIT Apontamentos 7 Feb 2003 (Divisor Comum) páginas 1 e 2
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Reflexão
1. Pense em exemplos práticos aplicáveias ao ensino de m.d.c. e m.m.c., que alunos possam rapidamente identificar como
partes da vida diária deles.
2. A boa prática do ensino ajuda o aluno a integrar a teoria à prática. Como é que o professor pode integrar as noções e
operações m.d.c. e m.m.c. na “matemática doméstica” de medições em casa?
O algoritmo de Euclides
O algoritmo de Euclides é um algoritmo para determinar o maior divisor comum (m.d.c.) de dois
números inteiros numa sequência de divisões com resto, começando pelos dois números dados.
Descrição do algoritmo
Sejam dados os números naturais m e n. Verifique primeiro se n = 0. No caso afirmativo, m é o
m.d.c.
Se não, repita o processo, agora com n e o resto depois da divisão com resto de m por n. (O
resto escreve-se como m mod n)
Teorema: Algoritmo de Euclides
Há duas possibilidades:
Ou m é um múltiplo de n ou existe um número inteiro positivo k e números inteiros q 1 ,q 2 ,…,q k ,
r 1 ,r 2 ,.r k-1 ( e r k = 0) tal que
m= q 1 n + r 1
(0 ≤ r 1 < |n| )
n= q 2 r 1 + r 2
(0 ≤ r 2 < r 1 )
……
r k-3 = q k-1 r k-2 + r k-1
(0 ≤ r k-1 < r k-2 )
r k-2 = q k r k1
(0 ≤r k )
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39
Exemplo: Calcule o m.d.c. de 1071 e 1029.
Euclides ( 400 antes de Cristo) desenvolveu um procedimento sistemático para encontrar o maior
divisor comum de dois números inteiros. Este procedimento é chamado o algoritmo de Euclides.
a
B
Expressão
1071 1029
Explicação
Passo 1: Ponha o maior número à esquerda e o
menor número à direita.
1071 1029 1071 = 10291 + 42 Passo 2: O resto da divisão de 1071 por 1029
é igual a 42. Este resto é posto à direita e
o divisor à esquerda.
1029 42
1029 = 4224 + 21
Passo 3: Repita o passo anterior, dividindo
1029 por 42, e vai obter 21 como resto.
42
21
42 = 212 + 0
Passo 4: Volte a repetir o passo 2. Porque 42
é divisível por 21, vai obter 0 como resto
e o algoritmo chegou ao seu fim.
21
0
O número 21 é o m.d.c. procurado.
Examples: Illustration of Euclid’s algorithm in computing gcd
Exemplos: Ilustração do Algoritmo de Euclides para calcular m.d.c. (Algoritmo de Divisão)
Exemplo 1
Determine o m.d.c. de 5775 e 1008
Solução.
m = 5775 e n = 1008.
Exemplo 2
Determine o m.d.c. de 2261 e 1275
Solução.
m = 2261 e n = 1275
5775 = 5  1008 + 735
2261 = 11275 + 986
1008 = 1  735 + 273
1275= 1 986 + 289
735 = 2  273 + 189
986=3  289 +119
189 = 2  84 + 21
289=2 119+51
84 = 4  21
119=2  51+17
Portanto, o m.d.c. é igual a 21, ou
51 = 3  17
seja, 21 é o maior número inteiro que divide
Portanto, o m.d.c. é igual a 17.
5775 e também 1008.
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40
Avaliação Formativa 9
Exercício de cálculo do m.d.c. usando o Algoritmo de Euclides
Determine em cada uma das situações abaixo, o maior divisor comum, usando o algoritmo de Euclides
1. ( 276, 336, 396, 468, 972 )
2. ( 1387, 1292,722,836)
3. (924, 798, 1358,1827)
4. (60,84)
5. ( 190,72)
Soluções:
1). 12 2). 19 3). 7
4). 12 5). 2
Avaliação Formativa 10
Exercício
Tarefa: utilise o livro Elementary Number Theory por William Stein.
Tente resolver a questão 2.1, do exercício 2.6 na página 38
Leituras a efectuar:
1. Elementary Number Theorem, por Stein, October 2005, páginas 8 -10
2. Euclidean Algorithm & Common Multiples MIT Unit 3, páginas 1& 2
1. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 1 -33
Reflexão
Compare o Algoritmo de Euclides e os passos da Divisão Longa bem conhecida. Quais são pontos comuns, quais são as
diferenças entre os dois algoritmos? Se dermos significado aos diferentes passos no Algoritmo de Euclides, esse Algoritmo vai
ficar mais concreto para os aprendentes? Invente palavras apropriadas para cada passo do Algoritmo de modo a que um
colega possa entender o algoritmo.
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Números primos e a distribuição desses sobre os números naturais
Introdução
O conjunto dos números naturais é ℕ= {1,2,3,4,…}e
O conjunto dos números inteiros é ℤ = {……-2,-1,0,1,2…..}
Definição: Primo e Composto
Um número inteiro p > 1 é primo se p não tem divisores d tal que 1< d< p. Em outras palavras,
os únicos divisores positivos de p são 1 e p. Dizemos que p é composto se p não for primo.
O número 1 nem é primo nem é composto. Os primeiros números primos em ℕ são
2,3,5,7,11,13,17,23,29,31,37,42,43,47,…… e os primeiros números compostos são
4,6,8,9,10,12,14,16,18,20,21,22,24,26,27,….
Definição:
Dois números inteiros p e q são co-primos (primos entre si) se m.d.c.( p,q) = 1.
Theorem
Teorema
Se p é composto, então p tem um factor primo.
Exemplo:
O número composto 12 pode ser factorizado em factores primos ou seja 12 = 223, e
90 = 2  3  3  5
Fundamental Theorem of Arithmetic
Teorema Principal de Aritmética
Cada número inteiro maior que 1 é primo ou pode ser escrito como produto de números primos.
Corolário:
Há equivalência entre as três afirmações abaixo:
1. a e b não têm divisores próprios comuns ou seja ( n|a  n|b)n = ± 1.
2. o m.d.c. de a e b é igual a 1, ou seja,o sub-grupo gerado por a e b é todo o conjunto ℤ.
3. Existem números inteiros m e n tal que ma + nb = 1.
Definição:
Se alguma dessas três condições for satisfeita, diz-se que a e b são
co-primos (primos entre si).
Teorema:
Se a e b são co-primos (primos entre si) e a é diferente de 0, então a|bc é equivalente a a|c
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42
Demonstração:
Suponha que a e b sejam co-primos. Seja c ℤ e suponha que a|bc. Existem números inteiros
m,n tal que ma+nb =1, e isso significa que mac + nbc = c. Agora, é verdade que a|mac e a|nbc.
Portanto, a|(mac + nbc) e isso significa que a|c.
Theorem
Teorema
Suponha que p é um número primo.
1. Se a é um número inteiro que não é um múltiplo de p, então m.d.c.(p,a) = 1.
Em outras palavras, para qualquer número inteiro a é verdade que m.d.c.(p,a)=p ou
m.d.c.(p,a)=1.
2. Se p|ab então p|a ou p|b.
3. Se p|a 1 a 2 …a n então p divide pelo menos um desses factores a i . Portanto, se cada a i é um
primo, então p é igual a um desses factores a i .
O Teorema da Factorização Única
Seja a um número inteiro diferente de 0,1 e -1. Então a pode ser factorizado num produto de
números primos e com excepção da ordem, esta factorização é única. Isso significa que existe
uma colecção única de números primos distintos:
p 1 ,p 2 ,……,p k e números inteiros positivos s 1 ,s 2 ,….,s k
s1
s2
tal que a=±p 1 p 2 ...p k
sk
.
{E.H Connell, 2004}
Trabalho em Grupo.
1. Analisa a demonstração do Teorema Fundamental da Aritmética e procura demonstrá-lo em
testes.
Referência: Demonstração de Euclides que defende a existência de um número infinito de
números primos, em Stein,2005, páginas 13 e 14
2. Qual é o maior número primo conhecido?
3. Forneça exemplos de números primos da forma
a. ax + b
b. 4x -1
4. Enuncia o Teorema sobre Números Primos
Referência: Elementary Number Theory, por William Stein,2005, páginas 15 e 18.
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43
Resolução de Equações Diofantinas Lineares
Definição
Uma Equação Diofantina é uma equação polinomial (por exemplo, mx = k, mx + ny = k ,etc) com
coeficientes inteiros (m e n) para a qual procuram-se apenas soluções inteiras.
Equação Diofantina Linear do Primeiro Grau
É exemplo de uma equação Diofantina do Primeiro Grau, a equação de uma incógnita mx = k,
onde m e k são números inteiros e m0.
A equação Diofantina linear tem uma solução inteira, x = k/m, se k for divisível por m.
Equações Diofantinas em duas variáveis
Essas são do tipo mx ny k . ( m,n e k são números inteiros e m ≠ 0,n ≠ 0 )
Esta equação tem solução se k for divisível pelo mdc (m,n).
Ts
Teoremas
1. Dados os números inteiros m 0 e n0, existem números inteiros x e y tais que x e y
satisfazem a equação Diofantina mx + ny = mdc(m,n)
2. A equação Diofantina mx+ny = k, tem a solução inteira se e somente se
mdc (m,n)
é divisor de k.
Actividade: Resolução de equações Diofantinas
Exemplo 1: Siga bem o exemplo
Resolva a equação Diofantina
2772x + 390y = mdc(2772,390)
Solução:
Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 2772 e 390
==> 2772 = 7 × 390 + 42…………………………………….( i)
==> 390 = 9 × 42 + 12……………………………………….( ii )
==> 42 = 3 × 12 + 6………………………………………….( iii)
O maior divisor comum é igual a 6
Passo 2: Faça a substituição desse mdc na equação:2772x + 390y = 6.
Faça substituição na ordem contrária: primeiro( iii), depois (ii) e finalmente (i) para obter soluções
dessa equação Diofantina.
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
6 = 42 – 3 × 12

= 42 – 3 × ( 390 – 9 × 42) = 42 - 3(390)

= 42 + 27(42) - 3(390)

= 28(42) - 3(390)

= 28(2772 – 7× 390) – 3(390)

= 28 (2772) – 196(390) – 3(390)

= 28(2772) – 199(390)
44
ou seja( mx + ny)

x = 28, y = -199
Exemplo 2:
Resolva a equação Diofantina
7472x + 2624y = mdc(7472, 2624)
Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 7472 e 2624
7472 = 3 _ 2624 + 80…………………………………( i)
2624 = 30 _ 80 + 64……………………………………( ii )
80 = 1 _ 64 + 16…………………………………….…. ( iii)
O mdc é igual a 16
Passo 2: Faça a substituição do mdc na equação: 7472x + 2624y = 16
Faça a substituição na ordem contrária: primeiro em ( iii), depois (ii) e finalmente em (i) para obter
soluções para a equação Diofantina
16
= 80 – 1 × 64

= 80 – 1 (2624 – 30 × 80)

= 80 - 1(2624) + 30 × 80

= (1)80 + 30(80) – 1(2624)

= 31(80) – 1(2624)

= 31(7472 – 3 × 2624) – 1(2624)

= 31(7472) – 93(2624) – 1(2624)

= 31(7472) – 94(2624)

ou seja (mx + ny)

x= 31, y = -94.
Exemplo 3:
Resolva a equação Diofantina
803x + 154y = mdc(803,154)
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Passo 1: Aplica o algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 803 e 154
803 = 5 × 154 + 33…….…………………………… (i)
154 = 4 × 33 + 22…………………………………… (ii)
33 = 1 × 22 + 11..……………………………….…. (iii)
O maior divisor comum é igual a 11
Passo 2: Faça a substituição do mdc na equação: 803x + 154y = 11
Faça substituição na ordem contrária: primeiro em( iii), depois em (ii) e finalmente em (i) para
obter soluções da equação Diofantina
11 = 33 – 1 × 22

= 33 – 1(154 – 4 × 33)

= 33 -154 + 4(33)

= 5(33) – 154

= 5(803 - 5(154)) – 154

= 5(803) – 25(154) – 154

= 5(803) - 26(154)

5(803) - 26(154) 803x + 154y

uma solução é x = 5 and y = -26
Avaliação Formativa 11
TAREFA : RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS
Exercício
Resolva as equações Diofantinas
1. mx + ny = mdc(m,n) se m =5775, n= 1008.
2. 18203x – 9077y = 17
3. 32x + 14y = 22
4. 35x + 61y =1
Soluções
1. x = 11, y =-63
2. x = 17 x 742 = 12.597 y = 17 x 1486 = 25.262
3. Há várias soluções: x = -33, y = 77. A solução geral é x= -33 +7i, y =
77 –16i ( i =0, ±1, ±2, ±3,± 4,……)
4. x=7, y= -4
(Kirch, 1974 & Clarke )
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46
Avaliação Formativa 12
CONGRUÊNCIAS e NÚMEROS INTEIROS MÓDULO N
Se dois números inteiros b e c cuja diferença (b-c) é divisível por um número inteiro m { ou seja
(b-c)m e m é um número inteiro}, então diz-se que b e c são “congruentes módulo m”. O número
m é que nomeia o módulo, e a afirmação“b é congruente a c (módulo m)” é escrita
matematicamente como
b c (mod m)
Se a diferença de b e c (b-c) não é divisível por m nos números inteiros, diz-se que “b não é
congruente a c(módulo m)” e escreve-se b c (mod m)
Às vezes, a quantidade b é chamada “base”, enquanto a quantidade c é chamada
“resíduo ou resto”.
( Wikipedia)
Definição: Se m 0 é um número inteiro positivo e a, b ℤ então diz-se que a é congruente a b
módulo m se m|a-b.
Nota: Na relação a b (mod m), o número inteiro m é chamado módulo.
Trabalho em Grupo : Resolução de equações Diofantinas
Encontra todas as soluções x, y de cada uma das seguintes equações Diofantinas:
1. 64x +108y = 4
2. 64x + 108y = 2
3. 64x + 108y =12
Reflexão
1. Na sua própria visão, quais são os passos essenciais para resolver equações Diofantinas?
Qual é a melhor abordagem que um professor pode adoptar na resolução de equações
Diofantinas?
2.Identifique as áreas principais que um professor precisa de destacar ao ensinar a resolução de
equações Diofantinas.
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47
Exemplos:
45 3 mod 6 ou seja m|a-b
Error! = Error!
72 0 mod 12 ou seja m|a-b Error!= Error!
-27 1 mod 4
A ideia de congruência e a notação a b(mod m) devem-se a Carl Friedrich
Gauss (1777-1855).
PROPRIEDADES DAS CONGRUÊNCIAS MÓDULO M
Se a a’(mod m) e bb’(mod m), então algumas propriedades importantes das congruências são:
1) Equivalência: a b(mod 0) a _ b.
2) Determinação: ou a b(mod m) ou a ;/ b(mod m)
3) Reflexão: a a(mod m)
4) Simetria: a b(mod m) b a(mod m)
5) Transitividade: a b (mod m)  b c(mod m) a c (mod m)
6) a+b a’+b’(mod m)
7) a-b a’-b’(mod m)
8) ab a’b’(mod m)
9) a b(mod m) ka kb(mod m)
10) a b(mod m) an bn (mod m)
11) a b ( mod m 1 )  a b(mod m 2 ) a b (mod[m 1 ,m 2 ]), onde
[m 1 ,m 2 ] é o menor múltiplo comum (mmc)
12) ak bk(mod m) a b (mod(Error!), onde mdc(k,m) é o maior divisor comum.
13) Se a b ( mod m), então p(a) p(b)(mod m), se p(x) é um polinómio.
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48
Theorem
Teorema
Se a,b,c e d ℤ, então:
1) a b (mod m) sse b a (mod m) sse b  a 0 ( mod m)
2) Se a b ( mod m ) e b c, então a c ( mod m)
3) Se a b ( mod m) e d|m, d ≠ 0, então a b (mod d)
4) Se a b (mod m) e c ≠ 0, então ac bc (mod mc)
5) Se a b (mod m) e c d (mod m), então a+c b+d (mod m)
6) Se a b (mod m) e c d (mod m), então ac bd (mod m)
Theorem (Cancellation Law)
Teorema (Lei de Cancelamento)
Seja m um módulo fixo qualquer e suponha que ab ac (mod m).
Então b c (mod Error!), onde d = mdc(a, m).
Se a e m são co-primos (primos entre si), então ab ac(mod m), o que significa que
b c(mod m).
Proposições
1. Cancelamento
Se mdc(c, n)=1 e ac bc (mod n), então a b (mod n)
2. Unicidade de soluções
Se mdc(a,n)=1, então a equação ax b(mod n) tem solução, e a solução é única no módulo n.
3. Existência de soluções
A equação ax b(mod n ) tem solução sse mdc(a,n) é divisor de b.
Algorítmo (Inverso Módulo n)
Suponha que a e n são números inteiros co-primos (primos entre si). O algorítmo encontra um x
tal que ax 1 (mod n)
Procedimento: Use o Algoritmo de Euclides Extendido para calcular números inteiros x,y tal que
ax + ny = 1
Exemplo: Encontre um número inteiro x tal que 37x 1(mod 101)
Solução
37x 1 (mod 101)
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Passo 1: Forme a equação
37x + 101y = 1
Passo 2: Encontre o mdc = 1 usando o Algorítmo de Euclides Extendido,
101= 2  37 + 27 …………………(i)
37 = 1 × 27 + 10………………….(ii)
27 = 2 × 10 +7 .………………… (iii)
10 =1 × 7 + 3 ……………………(iv)
7 = 2 × 3 + 1…………………….(v)
Portanto mdc(101,37) = 1
Passo 3: Elabore os passos (i) ,(ii),(iii),(iv) e finalmente(v), mas na ordem contrária;
i.
ii.
27 = 101 – 2(37)
10 = 37 – 1(27)
= 37 – 1[101 - 2(37)] ou seja substitui-se o valor 27 em (i) em cima.
= 37 – 1(101) + 2(37)
= -101 + 3(37)
iii. 7 = 27 – 2(10)
= 101 – 2(37) - 2[-101 + 3(37)]
ou seja substituem-se os valores finais 27 e 10 em (i) & (ii) em cima
= 101 - 2(37) + 2(101) – 6(37)
= 3(101) - 8(37)
iv. 3 = 10 - 1(7)
= -101 + 3(37) – 1[3(101) - 8(37)]
ou seja substituem-se os valores de 10 e 7 em (ii) e (iii) em cima
= -101 - 3(101) + 3(37) + 8(37)
= -4(101) + 11(37)
v.
1=7–23
= 3(101) - 8(37) - 2[-4(101) + 11(37)]
= 3(101) +8(101) – 8(37) -22(37)
= 11(101) -30(37)
Logo 37x + 101y -30(37) + 11(101)
x = -30 é uma solução de 37x 1(mod 101).
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Avaliação Formativa 13
Trabalho em Grupo : Resolução de equações Lineares módulo n
1. Verifique a demonstração da Lei de Cancelamento, da Unicidade e Existência de Soluções em
Stein 2005, páginas 21- 26
2. Como resolver ax 1 ( mod n)? Veja Stein 2005, páginas 29 – 31.
Resolva a questão 2.9 no exercício 2.6 na página 39.
Classe de resíduos
O número b na congruência a b (mod m) é chamado resto ou resíduo de
a(mod m).
Resíduo Comum
É o valor de b, onde a b(mod m) tal que b não seja negativo e menor que m.
Resíduo Mínimo
O resíduo mínimo de a(mod m) é o valor de b ou b-m, dependendo do nº que tiver menor valor
absoluto, onde a b(mod m). Se m = 2b , e portanto b=|b-m|, então o resíduo mínimo é definido
como –b. A tabela abaixo ilustra os resíduos comuns e mínimos para 0, 1, 2, e 3(mod 4)
n
0
1
2
3
Resíduo Comum (mod 4)
0
1
2
3
Exemplo
Encontre 3713 (mod 17).
Solução
37 3
372 32 9 - 8
374 8113 - 4
378 16 -1,
Portanto 3713 371+4+8 3( - 4 )( -1) 12(mod 17).
Resíduo Mínimo (mod 4)
0
1
2
1
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51
SISTEMA REDUZIDO DE RESÍDUOS
Qualquer sistema de (n) números inteiros, onde (n) é a função de tociente, que representa
todos as classes residuais co-primas com n, chama-se sistema reduzido de resíduos.
CLASSES RESIDUAIS
As classes resíduais de uma função f(x) mod n são todos os possíveis valores do resíduo f(x)
(mod n).
Exemplo:
As classes residuais para x² (mod 6) são { 0,1,3,4} pois
0² 0 (mod 6)
1² 1 (mod 6)
2² 4 (mod 6)
3² 3 (mod 6)
4² 3 (mod 6)
5² 1 (mod 6), são todos os resíduos possíveis.
Um sistema completo de resíduos é um conjunto de números inteiros que contêm um único
elemento de cada classe, portanto {0,1,9,16} podia ser um sistema completo de resíduos para x²
(mod 6).
( Wolfram MathWorld )
Definições
1) Se a b (mod m), então b chama-se resíduo de a mod m.
2) Um conjunto { x 1 , x 2 , x 3 ,……….. x m } chama-se sistema completo de resíduos módulo m se
nℤ x i [ n x i (mod m)]
3) A classe de congruência (a classe de resíduos) de n(mod m) é o conjunto {n+mx|xℤ}.
4) Um sistema reduzido de resíduos (mod m) é um conjunto de números inteiros r i tal que
mdc(r i ,m)=1  tal que para qualquer número inteiro n co-primo com m exista r i tal que n = r i
(mod m).
A FUNÇÃO  DE EULER
Definição: Função aritmética ( f )
Uma função aritmética é uma função cujo domínio é o conjunto de números inteiros positivos.
Definição: Função multiplicativa
Uma função G é multiplicativa se G (pq) = G (p) G (q) para quaisquer p e q que são co-primos, e
G é completamente multiplicativa se G(pq)=G(p)G(q) para todos os números inteiros positivos p e
q.
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Definição: Função  de Euler ( Função de tociente)
O símbolo (phi) é usado para representar a função de Euler.
Para p>1, (p) indica o número de números inteiros positivos menores que p que são co-primos a
p.
Exemplo: (15)= 8 ou seja há 8 números inteiros positivos, 1,2,4,7, 8,11, 13, 14 menores que 15
que são co-primos a 15. Se se combina que (1) = 1, então é uma função aritmética.
Esta função é chamada função  de Euler ou função do Tociente
(Leonhard Euler 1701 – 1783, matemático suiço)
Propriedades da função 
1. Para qualquer número primo p, (p) = p -1
 é multiplicativa ou seja (pq) =(p)(q) se p e q são co-primos.Theorem

Teorema
(m) é o número de classes residuais distintas módulo m que são co-primos a m, ou seja, o
número de r , 0  r < m, que são co-primos a m.
Fermat’s Little Theorem
Pequeno Teorema de Fermat
Se p é um número primo e a é qualquer número inteiro, então
1. ap a(mod p).
2. Se a e p são co-primos, então ap-1 1(mod p).
Theorem
Teorema
O sistema de congruências
x a(mod m)
x b(mod n)
tem soluções se e somente se mdc(m, n) for divisor de b – a. Caso exista uma solução x 0 então o
número x é também solução se e somente se x x 0 (mod[m,n]), onde
[ m, n] é o menor múltiplo comum de m e n.
(Kirch, 1974 )
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Leituras a efectuar:
1. Elementary Number Theorem, por Stein, Outubro 2005,
páginas 21- 37
2. Tente resolver o exercício na página 38 No. 2.1,2.2,2.4(b)
3. Congruences MIT Units 5 e 6, páginas 1 & 2 em cada
4. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 58 - 80
Avaliação Formativa 15
TRABALHO EM GRUPO:
1. Demonstre o Teorema: ax ay(mod m) sse x y (mod mdc(a,m)m)
2. Demonstre a Proposição: Se b c (mod m), então mdc(b,m)  mdc(c,m).
Referência: MIT notes, Congruences 21 Feb 2003, páginas 1e 2.
RAÍZES PRIMITIVAS Uma raíz primitiva de um número primo p é um número inteiro g tal que g
(mod p) tem ordem p  1 módulo p.
Em geral, se mdc(g,n)=1 { g e n são co-primos} e se g tem ordem (n) módulo n onde (n) é a
função de tociente,então g é uma raíz primitiva de n.
Se n tiver uma raíz primitiva, então n tem exactamente [ (n)] dessas raízes primitivas, o que
significa que se p é um número primo, então existem exactamente
(p-1) raízes primitivas não congruentes de p. Para
n=1,2,3,…., os primeiros poucos valores de [ (n)] são 1,1,1,1,2,1,2,2,2,2,4,2,4,2,4,4,8.
n tem uma raíz primitiva se n for da forma 2,4,pa ou 2pa , onde p é primo ímpar e a ≥ 1. Os
primeiros números n para os quais existem raízes primitivas são
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,17,18,19,22,…….., portanto o número de raízes primitivas de
n,n=1,2,….são 0,1,1,1,2,1,2,0,2,2,4,0,4,……. A raíz primitiva menor para os primeiros números
primos são
1,2,2,3,2,2,3,2,5,2,3,2,6,3,5,2,2,2……..
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54
Tabela das raízes primitivas dos primeiros números n para quais uma raíz primitiva existe.
N
g(n)
2
1
3
2
4
2
5
2,3
6
5
7
3,5
9
2,5
10
3,7
11
2,6,7,8
13
2,6,7,11
As raízes primitivas maiores para n=1,2,…… são 0,1,2,3,5,5,0,5,7,8,0,11,………
(Wolfram Mathworld)
Seja m um número inteiro positivo. Seja a qualquer número inteiro positivo co-primo a m e seja k
o menor número inteiro positivo tal que ak 1 (mod m). O número k é chamado ordem de a
módulo m.
Exemplo:
7 tem ordem 2 módulo 4 pois 7² 1 (mod 4)
Theorems
Teoremas
1) Se k é ordem de a módulo m, então k é divisor de (m).
2) Para qualquer número primo p existem exactamente (p – 1) raízes módulo p primitivas não
congruentes entre si.
3) Se p for qualquer número primo e g uma raíz primitiva módulo p, então as potências g,
g2,….,gp-1 formam um sistema reduzido de resíduos módulo p.
4) Seja m qualquer número inteiro maior que 1, as raízes primitivas existem módulo m se e
somente se m=2, m=4, m=pn, m=2pn onde p é um número primo ímpar.
Avaliação Formativa 16
Trabalho em grupo: Estudo da demonstração do teorema sobre raízes primitivas.
Certifique-se que seja capaz de demonstrar esse teorema durante os exames.
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Referência: Elementary Number Theorem, por Stein, Outubro 2005, página 36.
55
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56
Ternos Pitagóricos
A História de ternos pitagóricos
O estudo de ternos pitagóricos começou muito tempo antes da era de Pitágoras. Os babilónios e
Egípcios antigos usaram os ternos.
Ternos Pitagóricos.
Figura 1: Triângulo Pitagórico
c
a2 + b2 = c2
b
a
Exemplos de Ternos Pitagóricos
• 32 + 42 = 52
• 52 + 122 = 132
• 82 + 152 = 172
• 282 + 452 = 532
Tabela 1:
Número do terno
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a “ímpar”
3
5
7
9
11
15
21
33
45
b “par”
4
12
24
40
60
8
20
56
28
c “ímpar”
5
13
25
41
61
17
29
65
53
Equação
32 + 42 = 52
52 + 122 = 132
72 + 242 = 252
92 + 402 = 412
112 + 602 = 612
152 + 82 = 172
212 + 202 = 292
332 + 562 = 652
452 + 282 = 532
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TERNOS PITAGÓRICOS PRIMITIVOS
Definição:
Um terno pitagórico primitivo é um terno de números (a,b,c) tal que a, b e c não têm factores
comuns e satisfazem a2 + b2= c2
Observações sobre Ternos Pitagóricos ( ver tabela 1)
• Um dos números a e b é ímpar e o outro par e parece que c é sempre ímpar.
• Tomando a para ser ímpar e b para ser par, então para a2 + b2 = c2
podemos encontrar a da igualdade a2 = c2 – b2 = (c – b) ( c + b).
Exemplos
3,4,5 ==> 32 = (52 – 42 )=(5 –4)(5 + 4) = 1 × 9 = 12 × 32
5,12,13 ==> 52 = (132 – 122)=(13 –12)(13 + 12) = 1 × 25 = 12 × 52
7,24,25 ==> 72 = (252 – 242)=(25 –24)(25 + 24) = 1 × 49 = 12 × 72
15,8,17 ==> 152 = (172 – 82)=(17 –8)(17 + 8) = 9 × 25 = 32 × 52
• A partir dessas observações, parece que
1. (c – b) e (c + b) são sempre quadrados de números primos ímpares
2. (c – b) e (c + b) não têm factores comuns.
Ternos Pitagóricos e a Circunferência da Unidade
Seja dado a2 + b2 = c2, Divide ambos os membros por c2==> Error! + Error! = 1
Conclui-se que o par de números racionais (Error!,Error!) satisfaz a equação x2 + y2 = 1 que
descreve a circunferência de raio 1 e centro (0,0) no plano cartesiano.
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Lista de Ternos Pitagóricos
(a,b,c)
3,4,5
5,12,13
7,24,25
9,40,41
15,8,17
21,20,29
45,28,53
63,16,65
(a,b,c)
64,1023,1025
68,285,293
63,1155,1157
72,65,97
72,1295,1297
76,1443,1445
80,39,89
80,1599,1601
(a,b,c)
84,13,85
84,187,205
84,437,445
84,1763,1765
88,1935,1937
92,525,533
92,2115,2117
96,247,265
(a,b,c)
96,2303,2305
100,621,629
100,2499,2501
O Último Teorema de Fermat
As equações Diofantinas x + y = z e x2 + y2 = z2 têm um número infinito de soluções.
No ano 1637, Fermat afirmou que é impossível escrever um cubo positivo como soma
de dois cubos positivos, x3 + y3 = z3 ou uma quarta potência positiva como soma de duas quartas
potências positivas x4 + y4 = z4 ou o facto de qualquer potência positiva ser a soma de duas
potências positivas de igual expoente ou seja, ele escreveu que a equação Diofantina xn + yn = zn
não tem soluções positivas se n ≥ 3.
A demonstração desta afirmação deixou-se esperar por 358 anos até o ano 1993, quando
Andrew Wiles apresentou uma demonstração desafiadora. Levou mais cinco anos para a
demonstração ser confirmada.
Actividade na Internet (Último acesso a todas as fontes a 03.11.06)
Explore a história da demonstração do último teorema de Fermat no arquivo MacTutor
da Universidade de St. Andrews na Escócia, Reino Unido.
O Teorema e a sua demonstração:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Fermat's_last_theorem.
html
Pierre de Fermat:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat.html
Andrew Wiles:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html
Entrevista de Andrew Wiles com Nova Magazine:
http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html
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60
Unidade 2 ( 60 Horas): Teoria de Congruências e Corpos Quadráticos
Sumário da Unidade 2: (Actividades Múltiplas)
O sucesso na aprendizagem da unidade dois da teoria de números pressupõe o domínio da
unidade um. Esta unidade ilustra o campo de números inteiros, quadrados e resíduos
quadráticos.
Será introduzido o símbolo de Legendre, o Lema de Gauss e a Lei da Reciprocidade Quadrática.
Esta unidade analisa os corpos quadráticos e aplica o Algorítmo de Euclides para números
inteiros de Gauss e mostra que existe um Teorema de Factorização Única para esses números.
Esta unidade analisa também a aritmética de corpos quadráticos e a sua aplicação em equações
Diofantinas, e finalmente trata da equação de Pell e de unidades em anéis de números inteiros
em corpos quadráticos reais.
A unidade tem uma organização com actividades múltiplas para os estudantes e tem avaliações
formativas depois de cada sub-tema.
O corpo dos números inteiros módulo p, quadrados e resíduos quadráticos
Definição
Se xn = a(mod m) tem solução, onde a e m são co-primos, então a é chamado
resíduo de potência de expoente n módulo m.
Se esta congruência não tiver solução, então a é chamado não-resíduo de potência de expoente
n módulo m.
Leituras a efectuar:
1. Solving equations Modulo Primes, MIT- 14- Notes, páginas 1 & 2
2. More on solving equations , modulo primes, MIT Unit 15, pp 1 & 2.
3. Quadratic Residue Symbol, MIT – 16- Notes, páginas 1 & 2.
4. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 76 - 80
Reciprocidade Quadrática, a Lei da Reciprocidade Quadrática e o Símbolo de
Legendre
Definição:
A equação linear a b (mod n) tem solução se e somente se mdc(a,n) for divisor de
b.
A reciprocidade quadrática procura um critério para verificar se a equação
ax² + bx + c 0 (mod n) tem solução.
Definição:
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Seja p um número primo e haja um número inteiro a que não seja divisível por p, esse número
inteiro é resíduo quadrático módulo p se a for quadrado módulo p; se não, a é chamado um nãoresíduo quadrático.
Definição: O símbolo de Legendre
Seja p um número primo ímpar e seja a um número inteiro co-primo a p.
Define-se: Error! = Error!
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Chamamos a esse símbolo Error! o símbolo de Legendre. Esta notação é bem comum nas
literatures embora também seja a notação para “ a dividido por p”.
Observe: Error! depende apenas de a (mod p), e faz sentido definir Error! para a  ℤ/pℤ
como Error! para qualquer representante Error! em ℤ da classe de a.
O símbolo de Legendre de 2.
Definição
Seja p um número primo ímpar.
Então Error! = Error!
Avaliação Formativa 17
Trabalho em Grupo :Verificação da demonstração
1. Afirmação de Legendre em Number Theory por Stein página 67
2. Reciprocidade Quadrática em Number Theory por Stein página
68 – 72

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63
Critério de Euler, Lema de Gauss e a Lei de Reciprocidade Quadrática
Critério de Euler
Seja p um número primo ímpar e seja a um número inteiro não divisível por p. Euler usou a
existência de raízes primitivas para mostrar que Error! é congruente a a(p-1)/2 módulo p.
Critério de Euler: Error!  1 se e somente se a(p-1)/2  1 (mod p)
Lema de Gauss
Seja p um número primo ímpar e seja a um número inteiro não igual a 0 ( mod p). Forme os
números a, 2a, 3a,……, (p-1)a e reduza esses módulo p para que o resíduo fique no intervalo ](p-1)/2,(p-1)/2[.
Seja jo número de números negativos no conjunto obtido. Então Error! = (1)j.
Avaliação Formativa 18
Trabalho em Grupo : Estudo da demonstração do:
1. Critério de Euler, Number Theory por Stein página 62.
2. Lema de Gauss, Number Theory por Stein página 64.
3. Reciprocidade Quadrática usando somas de Gauss, Number Theory
por Stein página 71.
Leituras a efectuar:
1. Solving Equations Modulo Primes MIT Unit14, páginas 1& 2
2. More on quadratic Residues, MIT Units17,18,19,& 20, páginas 1 e 2 cada
3. Elementary Number Theory, por Stein, Outubro 2005, pp 59 – 72
Responda às questões 4.1, 4.2 na página 74
1. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, página 24 - 25
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Determinação do caracter quadrático pela Lei de Reciprocidade QuadráticaTheorems
Teoremas
1. Seja p um número primo ímpar e seja a co-primo a p, então 2 é um resíduo quadrático para
todos os números primos da forma 8n ± 1; 2 é um não-resíduo quadrático para todos os números
primos da forma 8n ± 3.
2. Se p é um número primo e mdc(a,p) = 1, então a congruência ax2 + bx + c 0 (mod p) tem no
máximo duas soluções módulo p não congruentes entre si.
Leituras a efectuar:
1. Solving Equations Modulo Primes, MIT Units 14,17,18,19 & 20 pp 1 e 2 cada.
2. Elementary Number Theory, por Stein,Out 2005, páginas 59-72
3. Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, páginas 58 - 74
A Equação de Pell e Unidades em Anéis de Números Inteiros em Corpos
Quadráticos Reais
Equação de Pell
A equação Diofantina x2 –qy2 = 1 (q ≠ 0) é chamada equação de Pell. Nesta equação, q é um
número inteiro positivo e são impressionantes os valores inteiros positivos de x e y que
satisfazem a equação. Apenas supomos que q seja um número inteiro positivo portanto em 1 não
existe a diferença de quadrados porque q não é quadrado.
Solução Fundamental da Equação de Pell
Seja q um número inteiro positivo não quadrado. Vamos indicar como “solução positiva”da
equação de Pell qualquer par de números inteiros positivos x 0 e y 0 tal que x 0 2  qy 0 2 = 1.
Se a equação tem alguma solução com números inteiros diferentes de zero x 0 e y 0 , então a
equação tem uma solução positiva, nomeadamente |x 0 | , |y 0 |. A solução positiva x 1 , y 1 que
minimiza a quantidade x 1 + qy 1 é chamada Solução Fundamental da Equação de Pell.
A tabela abaixo fornece as soluções obtidas por Computador da equação de Pell x2  qy2 = 1
para números inteiros não-quadrados q que satisfazem 1 < q ≤ 52.
Q
2
3 5
6
7
8
10
11
x
3
2 9
5
8
3
19
10
y
2
1 4
2
3
1
6
3
q
18
19
20
21
22
23
24
26
x
17
170
9
55
197
24
5
51
y
4
39
2
12
42
5
1
10
q
32
33
34
35
37
38
39
40
x
17
23
35
6
73
37
25
19
y
3
4
6
1
12
6
4
3
q
46
47
48
50
51
52
x
y
24335
3588
48
7
99
50
649
7
1
14
7
90
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12
13
14
15
7
649
15
3
2
180
4
8
27
28
29
31
26
127
9801
1520
5
24
1820
273
41
42
43
45
2049
13
3482
161
65
320
2
531
24
TeoremaTheorem
Seja x 1 , y 1 a solução fundamental da equação de Pell (para q dado).
Então x’, y’ é solução positiva se e somente se
x’+ y’
q =(x 1 + y 1
q )n
para algum número positivo n.
Exemplo de resolução de uma Equação de Pell
Resolva a equação Diofantina x² - 5y²=1
Solução
Passo 1: A equação Diofantina é chamada equação de Pell, por exemplo x² -qy²=1.
Passo 2: Da tabela acima sobre as soluções fundamentais da equação de Pell, observamos que
se q = 5, então x = 9, e y = 4. Esta é a solução fundamental da Equação de Pell.
Passo 3: Do Teorema acima sabemos que a equação de Pell tem um número infinito de soluções.
Substituindo q = 5, x = 9 e y = 4, obtemos:
(9 + 4
5)² = 161 + 72
(9 + 4
5)³ = (9 + 4
5e
5)(161 + 72
5) = 2889 + 1292
5
As duas soluções positivas seguintes são x = 161, y = 72 e x = 2889, y =
1292
Avaliação Formativa 19
Exercício sobre a Solução de Equações de Pell
Encontre todas as soluções positivas de:
1. x² - 2y² = 1
2. x² - 3y² = 1
Soluções
1. (3,2), (17,12), (99,70)….são as primeiras soluções.
2. (2,1), (7,4), (26,151) …são as primeiras soluções.
Leituras a efectuar:
1. Solving Equations Modulo Primes, MIT Units 14,17,18,19 &
20, pp 1 e 2 cada.
2. Elementary Number Theory, por Stein, Outubro 2005, pp 59-72
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XV. Síntese do Módulo
No fim deste módulo espera-se que os estudantes conheçam as propriedades dos números
inteiros, a divisibilidade de números inteiros, os números primos e a sua distribuição. A aplicação
do algorítmo de Euclides na divisibilidade forma o pano de fundo que conduz a soluções de
equações lineares Diofantinas. Espera-se que os estudantes sejam capazes de resolver
equações lineares Diofantinas usando o Algorítmo de Euclides e que conheçam profundamente
os ternos pitagóricos e a sua relação com o Teorema de Fermat.
A unidade um da Teoria de Números contém vários exemplos ilustrativos que estudantes podem
seguir sem dificuldade. Recomenda-se que estudantes realizem as avaliações formativas dadas
para avaliar o seu progresso na percepção do conteúdo.
Os estudantes deviam procurar aceder ao material recomendado disponível nos CDs, aos
materiais anexados de fontes abertas e aos websites recomendados. Mais ainda, encoraja-se o
estudante a ler na íntegra o conteúdo desses materiais para poder responder às questões
colocadas depois de cada assunto.
A unidade dois do módulo leva os estudantes a uma abordagem sobre os resíduos, as suas
propriedades e a reciprocidade quadrática. O critério de Euler e a notação do símbolo de
Legendre são importantes. Os estudantes devem ser capazes de definir a Norma sobre os
resíduos e a sua aplicação na factorização única dos números inteiros de Gauss, bem como
demonstrar lemas sobre números inteiros de Gauss.
Esta unidade tem várias actividades de aprendizagem para estimular a aprendizagem e
aconselha-se os estudantes a dominarem o conteúdo dos vários sub-temas e a auto-avaliar-se
pelas avaliações formativas. O insucesso na resposta às avaliações formativas deve ser um
indicador da necessidade de revisão do sub-tema antes de progredir para outros sub-temas.
Em todo o módulo sobre Teoria de Números, as actividades foram formuladas para permitir uma
aprendizagem fácil. As tarefas dadas nas diferentes actividades exigem que o leitor demonstre
um nível alto de competência em habilidades em TIC´s. Os objectivos de aprendizagem estão
bem formulados no início do módulo e guiam o estudante no cumprimento das expectativas do
módulo.
A última parte do módulo trata a equação de Pell que exige que estudantes projectem as suas
habilidades adquiridas em equações de Pell para perceber esta forma especial da equação
Diofantina.
A avaliação sumativa será usada para avaliar o domínio do módulo por parte do estudante.
Recomenda-se os estudantes que revejam o módulo antes da avaliação sumativa final.
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XVI. Avaliação Sumativa
Avaliação Sumativa ( Responda Quaisquer das TRÊS Perguntas- 60%)
1. Use o Algorítmo de Euclides para calcular o mdc de
(i) m= 25 174, n=42 722
(ii) m=7472, n=2464
(iii) m=455, n=1235
2. Demonstre por indução que:
(i). 13 + 23 + 33 + 43 + ..…+ n3= Error!
(ii). a+ar+ar2+…+arn= Error!, se n>0
3. a). Mostre a Lei de Cancelamento: Se mdc(c,n)=1 e ac bc ( mod n),
então a b (mod n)
b) Resolva 17x 1(mod 61)
4. A tabela abaixo mostra algumas soluções fundamentais da Equação de Pell.
Valor de q
6
10
14
Valor de x
5
19
15
Valor de y
2
6
4
Use essa tabela para resolver as equações seguintes de Pell:
x2 – 6y2=1
x2 – 14y2=1
5. Resolva x e y na equação Diofantina
2261x+1275y= mdc(2261,1275).
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XVII. Referências
• Elementary Number Theory, por W. Edwin Clark, Universidade de South Florida,
2003
• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html
• Notes on Algebraic Numbers, por Robin Chapman, 2002
• Algebra and Number theory, por A. Baker, University of Glasgow,2003
• http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html
• Prime factorization, por William Stein, Havard University,2001
• Lecture notes, por William Stein, Havard University, 2001
• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html
• Elementary Number Theory, By Allan M. Kirch, Intext Educational Publishers,
New York, 1974.
• http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Wiles.html
• Elements of Abstract & Linear Algebra, By E.H Connell, Coral Gables, Florida,
USA.
• MIT Open Courseware, Theory of Numbers, Spring 2003, Prof. Martin Olsson
• http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk~history/HistTopics/Fermat’s last theorem.
html
• http://www.bbc.co.uk/education/asguru/maths/13pure/01proof/01proof/
05induction/index.shtml
• http://en.wikipedia.org/wiki/Number_Theory
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XVIII. Resultados dos Estudantes
Nome do ficheiro EXCEL: Mathematics Number Theory Student Records
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XIX. Principal Autor do Módulo
Mr. Paul Chege ( B.Ed(Sc), M.Ed )
Contacto: [email protected]
O autor do módulo é formador de professores na Universidade Amoud, Borama, República da
Somalilândia.
Foi formador de professores em Kenya, na República de Seychelles, e na Somália.
Esteve envolvido em acções de Formação e Consolidação de Conhecimentos em Matemática e
Ciências nos níveis secundário e superior no programa da Agência Japonesa de Cooperação
Internacional (JICA, sigla inglesa) em quinze países africanos.
É casado e tem três filhos.
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XX. Estrutura do Ficheiro
Nome do Módulo (ficheiro WORD) : Teoria Matemática de Números ( Word)
Nome de todos os outros ficheiros (WORD, PDF, PPT, etc.) para o módulo.
1. Resultados dos Estudantes em Teoria de Números ( Excel)
2. Guião de Correcção para a Avaliação Sumativa ( Word)
3. Number Theory Lecture Notes por Stein ( PDF)
4. Elementary Number Theory Textbook por Clarke (PDF)
5. Number Theory Textbook por Stein (PDF)
6. MIT-Theory of Numbers Lecture Notes and Exams ( PDF) 72