Questão 1
O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 214 × 353 , inclusive 1 e
N, é
a) 84.
b) 86.
c) 140.
d) 160.
e) 162.
alternativa D
4
3
N = 21 ⋅ 35 = (3 ⋅ 7) 4 ⋅ (5 ⋅ 7) 3 =
= 3 4 ⋅ 7 4 ⋅ 5 3 ⋅ 7 3 = 3 4 ⋅ 5 3 ⋅ 77
Assim o número de divisores positivos de N é
(4 + 1) ⋅ (3 + 1) ⋅ (7 + 1) = 160.
Questão 2
O 2007o dígito na seqüência
123454321234543... é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
alternativa C
A seqüência é formada colocando-se apenas grupos 12345432 um à frente do outro.
Como 2 007 = 8 ⋅ 250 + 7 , o 2 007 o dígito na seqüência é o 7 o dígito do grupo, que é 3.
Questão 3
“Números triangulares” são números que podem ser representados por pontos arranjados
na forma de triângulos eqüiláteros. É conveniente definir 1 como o primeiro número
triangular. Apresentamos a seguir os primeiros números triangulares.
1
3
6
10
Se Tn representa o n-ésimo número triangular, então T1 = 1, T2 = 3, T3 = 6, T4 = 10, e
assim por diante. Dado que Tn satisfaz a rela-
ção Tn = Tn − 1 + n, para n = 2,3,4,..., pode-se
deduzir que T100 é igual a
a) 5.050.
b) 4.950.
c) 2.187.
d) 1.458.
e) 729.
alternativa A
Note que a figura 1 é formada por 1 linha, a figura
2, por 2 linhas, a figura 3, por 3 linhas, e assim
por diante. Logo a figura n é formada por n linhas.
Além disso, na linha 1 de cada figura há 1 ponto,
na linha 2 há 2 pontos, na linha 3, 3 pontos, e assim por diante. Logo na linha n de cada figura há
n pontos. Assim, o total de pontos de cada figura
n(n + 1)
é1 + 2 + 3 +K + n =
e, portanto, o cen2
tésimo número triangular é igual ao total de pon100 ⋅ (100 + 1)
tos da figura 100, ou seja,T100 =
=
2
= 5 050 .
Questão 4
Se 0 < a < b, racionalizando o denominador,
tem-se que
1
b − a
=
b−a
a + b
Assim, o valor da soma
1
1
1
+
+
+K+
1+ 2
2 + 3
3 + 4
1
é
+
999 + 1 000
a) 10 10 − 1.
d) 100.
b) 10 10 .
e) 101.
c) 99.
alternativa A
Aplicando a racionalização proposta pelo enunciado:
1
1
1
+
+
+K+
1+ 2
2 + 3
3 + 4
1
+
=
999 + 1 000
=
2 − 1
+
2 −1
3 − 2
+
3 −2
+
999 − 998
+
999 − 998
4 − 3
+ ... +
4 −3
1000 − 999
=
1000 − 999
matemática 2
alternativa E
= 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + ... +
= 1000 − 1 = 10 10 − 1
Temos que log 35 = 1,54407 ⇔ 101,54407 = 35 ⇔
7
⇔ 101 ⋅ 100,54407 = 35 ⇔ 100,54407 =
.
2
Sendo x a população do grupo E,
Questão 5
log x = 5,54407 ⇔ x = 105,54407 ⇔
+ 999 − 998 + 1000 − 999 =
A tabela mostra a distância s em centímetros
que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos.
t
0
1
2
3
4
s
0
32
128
288
512
A distância s é função de t dada pela expressão s(t) = at2 + bt + c, onde a,b,c são constantes. A distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a
a) 248. b) 228. c) 208. d) 200. e) 190.
alternativa D
⇔ x = 105 ⋅ 100,54407 ⇔ x = 105 ⋅
7
⇔
2
⇔ x = 350 000.
Logo a população do grupo E é igual a 350 000.
Questão 7
Uma das raízes da equação 22x − 8.2x + 12 = 0
é x = 1. A outra raiz é
log10 3
3
a) 1 + log10 ( ).
b) 1 +
.
2
log10 2
d)
log10 6
.
2
A partir da tabela, temos:
c) log10 3.
3
e) log10 ( ).
2
alternativa B
a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = 0
s(0) = 0
s(1) = 32 ⇔ a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = 32
⇔
2
s(2) = 128
a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c = 128
2 2x − 8 ⋅ 2 x + 12 = 0 ⇔
2x = y
y 2 − 8y + 12 = 0
⇔
2x = 2
x =1
2x = y
⇔
⇔ ou
⇔ ou
⇔
(y = 2 ou y = 6)
x
x = log 2 6
2 =6
c =0
a = 32
⇔ a + b = 32 ⇔ b = 0
2 a + b = 64
c =0
x =1
Portanto s(t) = 32t 2 e s(2,5) = 32 ⋅ (2,5) 2 =
= 200 cm .
x =1
⇔ ou
⇔ ou
⇔
x = log 2 (2 ⋅ 3)
x = 1 + log 2 3
Questão 6
x =1
⇔ ou
A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das populações de grupos
A, B, C, ... de pessoas.
Grupo
A
B
C
D
E
F
População
(p)
5
35
1.800
60.000
-----
10.009.000
log10 (p) 0,69897 1,54407 3,25527 4,77815 5,54407
7,00039
Por algum motivo, a população do grupo E
está ilegível. A partir de valores da tabela,
pode-se deduzir que a população do grupo E é
a) 170.000.
b) 180.000.
c) 250.000.
d) 300.000.
e) 350.000.
x =1 +
log 3
log 2
Logo a outra raiz é 1 +
log 3
.
log 2
Questão 8
Quatro pessoas vão participar de um torneio
em que os jogos são disputados entre duplas.
O número de grupos com duas duplas, que
podem ser formados com essas 4 pessoas, é
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 12.
matemática 3
alternativa A
O número de maneiras de se escolher a primeira
⎛4 ⎞
⎛2 ⎞
dupla é ⎜ ⎟ e a segunda é ⎜ ⎟ .
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
Temos então que o total de maneiras de se formar grupos com 2 duplas sem considerarmos a
⎛ 4 ⎞ ⎛2 ⎞
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟
⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
ordem delas é
= 3.
2
Questão 9
Três dados honestos são lançados. A probabilidade de que os três números sorteados possam ser posicionados para formar progressões aritméticas de razão 1 ou 2 é
1
1
1
7
5
a)
.
b) .
c) .
d)
.
e)
.
36
9
6
36
18
alternativa C
Há quatro progressões possíveis de razão 1: (1,
2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5) e (4, 5, 6). Há também
duas de razão 2: (1, 3, 5) e (2, 4, 6).
Como os números sorteados podem ser posicionados em qualquer ordem, a probabilidade procu4 +2
1
rada é
⋅ 3! = .
6 ⋅6 ⋅6
6
Questão 10
o valor de m para que as três retas sejam
concorrentes num mesmo ponto é
a) 14.
b) 28.
c) 36.
d) 48.
e) 58.
alternativa E
As coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s são solução do sistema:
5x − 12y = 42
5x − 12y = 42
⇔
⇔
5x + 16y = 56
28y = 14
48
5x − 12y = 42
x =
5
⇔
⇔
1
1
y =
y =
2
2
⎛ 48 1 ⎞
Para que ⎜
; ⎟ pertença à reta t: 5x + 20y = m,
⎝ 5 2⎠
48
1
devemos ter 5 ⋅
+ 20 ⋅
=m⇔
5
2
⇔ m = 58.
Questão 12
Você tem dois pedaços de arame de mesmo
comprimento e pequena espessura. Um deles
você usa para formar o círculo da figura I, e o
outro você corta em 3 partes iguais para formar os três círculos da figura II.
Sejam p, q, r as raízes distintas da equação
x 3 − 2x2 + x − 2 = 0. A soma dos quadrados
dessas raízes é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 9.
alternativa B
Temos p 2 + q 2 + r 2 = (p + q + r) 2 − 2 ⋅
⋅ (pq + pr + qr).
Pelas relações entre coeficientes e raízes,
−2
1
p +q +r =−
= 2 e pq + pr + qr =
= 1.
1
1
Logo p 2 + q 2 + r 2 = 2 2 − 2 ⋅ 1 = 2 .
Questão 11
Dadas as retas r: 5x − 12y = 42,
s: 5x + 16y = 56 e
t: 5x + 20y = m,
Figura I
Figura II
Se S é a área do círculo maior e s é a área de
um dos círculos menores, a relação entre S e
s é dada por
a) S = 3s.
b) S = 4s.
c) S = 6s.
d) S = 8s.
e) S = 9s.
alternativa E
Seja R o raio do círculo maior e r o raio do círculo
R
menor. Temos 2 πR = 3 ⋅ 2 πr ⇔
=3 ⇔
r
R2
πR 2
S
⇔ 2 =9 ⇔
=9 ⇔
= 9 ⇔ S = 9s.
s
r
πr 2
matemática 4
Questão 13
Questão 15
Tem-se um triângulo eqüilátero em que cada
lado mede 6 cm. O raio do círculo circunscrito
a esse triângulo, em centímetros, mede
b) 2 3 .
c) 4.
a) 3 .
Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio
de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20 cm
e AC = 12 cm.
d) 3 2 .
C
e) 3 3 .
E
alternativa B
O raio do círculo circunscrito a um triângulo
2
eqüilátero é igual a
de sua altura. Como o
3
lado do triângulo é 6 cm, o raio pedido mede
2 6 3
⋅
= 2 3 cm.
3
2
A
A área do quadrilátero ADEC, em centímetros quadrados, é
a) 96.
b) 75.
c) 58,5.
d) 48.
e) 37,5.
Questão 14
alternativa C
C
A soma de n − 1 ângulos internos de um polígono convexo de n lados é 1900o. O ângulo remanescente mede
a) 120o.
b) 105o.
c) 95o.
d) 80o.
B
D
E
12
e) 60o.
alternativa D
Seja α a medida do ângulo remanescente desse
polígono. Assim 1 900o + α = (n − 2) ⋅ 180o ⇔
⇔ α = 180o n − 2 260o .
Entretanto, como α é ângulo interno de um polígono convexo, 0o < α < 180o ⇔
⇔ 0o < 180o n − 2 260o < 180o ⇔
113
122
⇔
<n <
⇔ n = 13.
9
9
Portanto, α = 180o ⋅ 13 − 2 260o = 80o .
A
10
D
10
B
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo
ABC,12 2 + BC 2 = 20 2 ⇔ BC = 16 cm.
$
$ e m (BDE)
$ = m (BCA)
$ ,
Como m (EBD)
= m (ABC)
pelo caso AA, ΔEBD ~ ΔABC . Logo:
BD
ED
10
ED
15
=
⇔
=
⇔ ED =
BC
AC
16
12
2
Conseqüentemente, a área do quadrilátero
ADEC, dada pela diferença entre as áreas dos
triângulos ABC e DEB, é:
15
10 ⋅
12 ⋅ 16
2 = 117 = 58,5 cm 2
−
2
2
2