Estudo da Reta no R2
Condição de alinhamento de três pontos:
Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja,
dados A(x1, y1) e B(x2, y2), eles estão sempre alinhados.
y
.
.
0
B(x2, y2)
A(x1, y1)
x
Mas qual a condição para que três pontos distintos A, B e C estejam
alinhados?
Os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) estão alinhados, se e somente
se:
x1
x2
x3
y1 1
y2 1 = 0
y3 1
Ex: Determine o valor de x para que os pontos A(2, –3), B(x, 7) e
C(x, 1) sejam:
a) Colineares
b) os vértices de um triângulo
Solução:
2 −3 1
a) x
x
7
1
1 =0 ⇒ x =2
1
b) Para que A, B e C sejam vértices de um triângulo, eles não
devem estar alinhados. Logo:
2 −3 1
x
x
7
1
1 ≠0 ⇒ x≠2
1
Equação Geral da Reta:
Toda reta possui uma equação da forma ax + by + c = 0, chamada de
equação geral da reta, em que a e b não são ambos nulos.
Casos particulares:
pares
ímpares
Ex:
1) Os pontos A(1, 2), B(3, 1) e C(2, 4) são os vértices de um triângulo.
Determine a equação da reta suporte do lado AB .
x y 1
1 2 1 = 0 ⇒ 2x +3y +1− 6 − y − x = 0 ⇒ x + 2y − 5 = 0.
3 1 1
Inclinação e coeficiente angular de uma reta:
A figura a seguir mostra uma reta r não paralela ao eixo y. Seja α o
ângulo que a reta forma com o eixo x, medido do eixo para r no
sentido anti-horário.
A medida do ângulo α é chamada
inclinação da reta r. Denomina-se
coeficiente angular ou declividade da
reta r o número real m que expressa
a tangente trigonométrica de sua
inclinação α, ou seja:
m = tg α
Podem ocorrer quatro casos:
Cálculo do coeficiente angular:
m = tgα =
y 2 − y1
x 2 − x1
Equação da reta que passa por um ponto P(x1, y1) e de coeficiente
angular m:
Consideremos uma reta r que passa pelo ponto P(x1, y1) e tem
coeficiente angular m.
y
.
P(x1, y1)
0
x
Marcando o ponto Q(x, y) sobre a reta r, com Q ≠ P, vamos
determinar a equação que representa a reta que passa por esses dois
pontos.
y
.
.
Q(x, y)
P(x1, y1)
0
Utilizando a fórmula do coeficiente angular:
m=
x
y − y1
⇒ y − y1 = m .(x − x1 )
x − x1
Equação reduzida da reta:
Particularmente, considere a reta r da figura que passa pelo ponto
P(0, n) e tem coeficiente angular m.
y
.
n
0
x
A equação dessa reta é:
y – y1 = m (x – x1)
y – n = m (x – 0)
y – n = mx
y = mx + n
Equação reduzida da reta r
onde:
m = coeficiente angular da reta r.
n = coeficiente linear da reta r.
Equação Segmentária da reta:
Consideremos uma reta r que intercepta o eixo x no ponto A(p, 0) e o
eixo y no ponto B(0, q) com p ≠ 0 e q ≠ 0.
y
.
B(0, q)
.
A(p, 0)
0
O coeficiente angular dessa reta é:
m=
q−0
q
q
=
=−
0 − p −p
p
x
Então, a equação da reta r é:
y – y1 = m (x – x1)
q
y − 0 = − (x − p)
p
q
y = − (x − p)
p
py = −qx +pq
qx + py = pq
Dividindo ambos os membros por pq ≠ 0, temos:
qx
py pq
x
y
+
=
⇒
+ =1
pq pq pq
p
q
Essa forma é denominada equação segmentária da reta.
Posições relativas de duas retas:
1º caso: α1 = α2
Supondo α1 = α2 ≠ 90º, temos:
α1 = α2 ⇒ tg α1 = tg α2 ⇔ m1 = m2
Nesse caso as retas
(l1 ≡
l2). Observe:
l1
e
l2
são paralelas (l1 //
l2)
ou coincidentes
Vejamos o que acontece se α1 = α2 = 90º. Nesse caso particular,
m1 = tg α1 e m2 = tg α2 não estão definidos e as retas l1 e l2 são
verticais.
2º caso: α1 ≠ α2
Supondo α1 ≠ 90º α2 ≠ 90º, temos:
α1 ≠ α2 ⇒ tg α1 ≠ tg α2 ⇔ m1 ≠ m2
Nesse caso as retas l1 e l2 são concorrentes (l1 X l2). Observe:
Vejamos a condição particular em que as retas
perpendiculares (l1 ┴ l2).
tg α1 = −
1
1
⇔ m1 = −
tg α 2
m2
l1
e
l2
são
Ângulo entre duas retas:
O ângulo formado entre duas retas l1 e l2, não perpendiculares entre si
e de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, pode ser
calculado pela fórmula matemática:
tg θ =
m2 − m1
1 + m2 . m1
Caso particular:
Uma das retas é vertical.
tg θ =
1
m1
Distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação
ax + by + c = 0:
A distância entre um Ponto P(x, y) e uma reta r de equação
ax + by + c = 0 pode ser calculada pela fórmula:
d ( P, r ) =
ax p + by p + c
a 2 + b2
Exercícios Propostos:
1) Determinar a equação segmentária da reta que passa pelos
pontos A(−4, 0) e B(0,8).
2) Determine a equação geral e a equação reduzida das retas que
passam pelos seguintes pontos:
a) A(1, 2) e B (−3, 1)
b) A(2, −6) e B (1, 0)
c) A(−4, −1) e B (−2, 2)
3) Qual é a distância da origem do sistema cartesiano à reta de
equação 3x −4y = 10 ?
4) As retas r: −2x + y + 3 = 0 e s: x − y − 1 = 0 se encontram no
ponto P(x, y). Determine as coordenadas de P.
5) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(2, 3) e tem
2
coeficiente angular m = − .
3
6) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações:
2x − 9 = 0 e − 3 x + y − 2 = 0.
7) Determinar o ângulo agudo θ formado pelas retas de equações:
4x + 3y − 8 = 0 e x + 7y − 27 = 0.
8) Determine o valor de α para o qual as retas 2y − x − 3 = 0 e
3y + αx − 2 = 0 sejam perpendiculares.
9) Determinar o perímetro do triângulo cujos vértices A, B e C têm
as seguintes coordenadas: A(1,5), B(−2,1) e C(4,1).
10) Classifique quanto aos lados o triângulo formado pelos vértices
A(8,2), B(4,2) e C(8, −2).
11) Os pontos (1,0), (0,1) e (m,n) do plano cartesiano estão sobre
uma mesma reta. Determine m em função de n.
12) Determine o valor de n de forma que o ponto A(10, 2n−4),
pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares.
13) As retas r: x − 2y − 1 = 0 e s: 2x + 2y − 8 = 0 se encontram no
ponto. P(x,y). Determine as coordenadas de P.
14) Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(−1, 2) e
forma com o eixo das abscissas um ângulo de 45º.
15) Encontrar o valor de m para que o ponto P(m, 4) pertença à reta r,
cuja equação é 2x + y − 3 = 0.
16) Determine a equação da reta r paralela à reta s de equação:
3x + 2y − 4 = 0 e que passa pelo ponto P(−3, 2).