EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 2015
1. (Unicamp 2015) Seja r a reta de equação cartesiana x  2y  4. Para cada número real t
tal que 0  t  4, considere o triângulo T de vértices em (0, 0), (t, 0) e no ponto P de
abscissa x  t pertencente à reta r, como mostra a figura abaixo.
a) Para 0  t  4, encontre a expressão para a função A(t), definida pela área do triângulo T,
e esboce o seu gráfico.
b) Seja k um número real não nulo e considere a função g(x)  k x, definida para todo
número real x não nulo. Determine o valor de k para o qual o gráfico da função g tem
somente um ponto em comum com a reta r.
2. (Espcex (Aman) 2015) O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação
2x  3y  4  0 é o ponto
a)  3,  1 .
b)  1,  2 .
c)  4,4  .
d)  3,8  .
e)  3,2  .
3. (Fuvest 2015) A equação x2  2x  y2  my  n, em que m e n são constantes, representa
uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y  x  1 contém o centro da
circunferência e a intersecta no ponto (3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,
a) 4 e 3
b) 4 e 5
c) 4 e 2
d) 2 e 4
e) 2 e 3
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4. (Unicamp 2015) No plano cartesiano, a equação x  y  x  y representa
a) um ponto.
b) uma reta.
c) um par de retas paralelas.
d) um par de retas concorrentes.
5. (Fgv 2015) Uma companhia do setor químico fabrica um produto a partir de dois
componentes químicos, A e B. Cada quilograma de A contém 4 gramas da substância S1,
1 grama da substância S2 , 1 grama da substância S3 , e custa R$ 30,00 para a companhia.
Cada quilograma de B contém 1 grama da substância S1, 2 gramas da substância S2 , não
contém a substância S3 , e custa
R$ 20,00 para a companhia. O produto fabricado deve contér uma mistura de, pelo menos, 20
gramas da substância S1, 10 gramas da substância S2 , e 2 gramas da substância S3 .
Adote na resolução do problema a letra x para a quantidade do componente A (em
quilogramas), y para a quantidade do componente B (em quilogramas), e C para o custo
total do produto fabricado, em reais.
a) Liste três pares ordenados (x, y), com x e y inteiros positivos, que atendam
simultaneamente a todas as restrições do problema. Em seguida, calcule o valor de C para
cada um dos três pares (x, y) listados.
b) Determine o par ordenado (x, y), com x e y racionais, que atenda simultaneamente a
todas as restrições do problema e para o qual C atinja o menor valor possível. Em seguida,
determine C, que também será um número racional, para o par ordenado (x, y) solicitado.
6. (Unifesp 2015) Um tomógrafo mapeia o interior de um objeto por meio da interação de
feixes de raios X com as diferentes partes e constituições desse objeto. Após atravessar o
objeto, a informação do que ocorreu com cada raio X é registrada em um detector, o que
possibilita, posteriormente, a geração de imagens do interior do objeto.
No esquema indicado na figura, uma fonte de raios X está sendo usada para mapear o ponto
P, que está no interior de um objeto circular centrado na origem O de um plano cartesiano. O
raio X que passa por P se encontra também nesse plano. A distância entre P e a origem O
do sistema de coordenadas é igual a 6.
a) Calcule as coordenadas (x, y) do ponto P.
b) Determine a equação reduzida da reta que contém o segmento que representa o raio X da
figura.
7. (Fuvest 2014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices
A  (0, 0), B  (3, 4) e C  (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das
abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os
retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é
 16 
a)  4, 
 5 
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 17 
b)  ,3 
 4 
 12 
c)  5, 
 5 
 11 
d)  ,2 
2 
 8
e)  6, 
 5
8. (Insper 2014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma
estrada já existente, os pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de
inclinação 45°, representa uma estrada que será construída.
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C,
onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas
1 
a)  , 0  .
2 
b) 1, 0  .
3 
c)  , 0  .
2 
d)  2, 0  .
5 
e)  , 0  .
2 
9. (Insper 2014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos
coordenados e pela reta de equação 12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita
nesse triângulo é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
10. (Ita 2014) Seja ABC um triângulo de vértices A = (1, 4), B = (5, 1) e C = (5, 5). O raio da
circunferência circunscrita ao triângulo mede, em unidades de comprimento,
15
.
a)
8
b)
5 17
.
4
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c)
3 17
.
5
d)
5 17
.
8
e)
17 5
.
8
11. (Fgv 2014) Os pontos A  3, 2 e C  1,4  do plano cartesiano são vértices de um
quadrado ABCD cujas diagonais são AC e BD. A reta suporte da diagonal BD intercepta o
eixo das ordenadas no ponto de ordenada:
a) 2/3
b) 3/5
c) 1/2
d) 1/3
e) 0
12. (Unicamp 2014) No plano cartesiano, a reta de equação 2x  3y  12 intercepta os eixos
coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas
 4
a)  4,  .
 3
b) (3, 2)
4

c)  4,   .
3

d) (3,  2).
13. (Insper 2014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André
representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B2, B14 e M3. Cada navio está
identificado por um quadrado sombreado.
André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante
dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá
estar localizada no quadrado de coordenadas
a) G8.
b) G9.
c) H8.
d) H9.
e) H10.
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14. (Insper 2014) No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10, intercepta o eixo y
em um ponto de ordenada a. Já a reta s, de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um
ponto de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto de abscissa 6, então
a) b  a.
b) b  a  9.
c) b  a  6.
d) b  a  9.
e) b  a  6.
15. (Unicamp 2014) Considere no plano cartesiano os pontos A  (1, 1) e B  (2, 2).
a) Encontre a equação que representa o lugar geométrico dos centros dos círculos que passam
pelos pontos A e B.
b) Seja C um ponto na parte negativa do eixo das ordenadas. Determine C de modo que o
triângulo ABC tenha área igual a 8.
16. (Espm 2014) Os pontos O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x  1) do plano cartesiano são distintos e
colineares. A área do quadrado de diagonal PQ vale:
a) 12
b) 16
c) 25
d) 4
e) 9
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
t

a) Sabendo que P pertence à reta r, temos P   t, 2   . Além disso, para todo 0  t  4,

2
o triângulo T é retângulo em (t, 0). Em consequência, segue que
A(t) 
1 
t
t
 t   2      (t  4).
2

2
4
O gráfico da função A é uma parábola com concavidade voltada para baixo, e cujas raízes
são 0 e 4. Além disso, o vértice tem coordenadas (2, 1).
b) As abscissas dos pontos de interseção da reta y  
x  0, satisfazem a equação

x
k
 2 com a função g(x)  , sendo
2
x
x
k
 2   x2  4x  2k  0.
2
x
Para que exista um único ponto de interseção, o discriminante dessa equação deve ser igual a
zero, ou seja, Δ  (4)2  4  1 2k  0, o que implica em k  2.
Resposta da questão 2:
[A]
Considerando, (r ) 2x  3y  4  0 e P(1, 5)
Determinando a equação da reta ( s ) perpendicular a reta ( r ) e que passa pelo ponto (1, 5)
( s ) 3 x 2 y k  0
3  10  k  0
k7
Logo, a equação da reta ( s ) será dada por 3 x 2 y 7  0.
Determinando, o ponto M de intersecção das retas r e s.
2x  3y  4  0

3x  2y  7  0
Resolvendo o sistema, temos M(1, 2).
Determinando agora o ponto A simétrico do ponto p em relação à reta r, M é ponto médio de
PA.
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1 xA
 1  x A  3
2
5  xA
 2  x A  1
2
Logo, A(3,  1).
Resposta da questão 3:
[A]
Completando os quadrados, vem
2
m
m2

x2  2x  y2  my  n  (x  1)2   y   
 n  1.

2
4
m

Logo, como o centro C   1,   pertence à reta y  x  1, segue que

2

m
 (1)  1  m  4.
2
Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferência em (3, 4), obtemos
n  x 2  2x  y 2  my
 ( 3)2  2  ( 3)  42  ( 4)  4
 3.
Resposta da questão 4:
[D]
Supondo que x, y  , temos
xy  xy
xy  xy 
ou
x  y  x  y
x

ey0
ou
,
x 0 e y
ou seja, a equação representa os eixos cartesianos, cuja interseção é a origem.
Resposta da questão 5:
a) De acordo com as restrições, obtemos
 y  4x  20
4x  y  20

x


 x  2y  10   y    5 ,
2
x  2


 x  2
com x, y 

.
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Assim, os pares (2, 12), (3, 8) e (4, 4) atendem simultaneamente a todas as restrições do
problema.
Por outro lado, sendo C(x, y) o custo total do produto fabricado, em reais, vem
C(x, y)  30x  20y.
Em consequência, temos
C(2, 12)  30  2  20  12  R$ 300,00,
C(3, 8)  30  3  20  8  R$ 250,00
e
C(4, 4)  30  4  20  4  R$ 200,00.
b) Considere a figura, obtida conforme o item (a).
Queremos determinar o ponto (x, y), com x e y racionais, que pertence simultaneamente
ao gráfico de uma das retas da família 30x  20y  C, e à região do plano indicada, de modo
que C seja mínimo.
Tal ponto corresponde ao ponto de interseção das retas 4x  y  20 e x  2y  10, que é
 30 20 
 7 , 7  . Logo, temos


30
20
 20 
7
7
1300

7
 R$ 185,71.
C  30 
Resposta da questão 6:
Considere a figura, em que A e B são, respectivamente, os pontos de interseção do raio X
com o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas.
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a) O ponto P é a imagem do número complexo de módulo 6 e argumento
π
rad. Desse
3
modo, tem-se que
π
π

P   6  cos , 6sen   (3, 3 3).
3
3

b) Sendo BOP  60, temos POA  90  60  30 e, portanto, OAP  75. Daí, segue que
OP  OA  6 e, assim, A  (0, 6).
Portanto, a equação reduzida da reta AP é
y6 
3 3 6
 (x  0)  y  ( 3  2)x  6.
30
Resposta da questão 7:
[D]
Considere a figura.
A equação da reta AB é dada por
y
yB
4
x  y  x.
xB
3
 3y 
 3y 
Logo, tem-se Q   , y  e M   , 0  , com 0  y  4.
 4

 4

Além disso, a equação da reta BC é
y  yC 
yB  yC
40
(x  xC )  y  0 
(x  8)
xB  xC
38
y
4
32
x
.
5
5
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 32  5y 
 32  5y 
Daí, P  
, y e N  
, 0  , com 0  y  4.
4
4




A área do retângulo MNPQ é dada por
(MNPQ)  MN  PN
 32  5y 3y 


  (y  0)
4
4 

 2 y 2  8y
 2  [(y  2)2  4)]
 8  2  (y  2)2 .
 11 
Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y  2, ou seja, quando P   , 2  .
2 
Resposta da questão 8:
[C]
Seja M o ponto médio do segmento de reta AB.
Se dA, r  dB, r  d, então M pertence à reta r. Logo,
 8  3 2  6   11 
M
,

,4
2   2 
 2
e, portanto, a equação de r é
11 
3

y  4  tg45   x    y  x  .
2
2

3 
Em consequência, tomando y  0, segue-se que C   , 0  .
2 
Resposta da questão 9:
[B]
Fazendo y  0 na equação 12x  5y  60, obtemos o ponto A  (5, 0), que é o ponto de
interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x  0, encontramos o ponto B  (0, 12),
que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas.
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Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r
da circunferência inscrita no triângulo AOB.
Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB  13. Logo, temos
OA  OB OA  OB  AB

 r  5  12  (5  12  13)  r
2
2
 r  2.
Resposta da questão 10:
[D]
O ponto D pertence à mediatriz do segmento BC, logo D é (K,3).
Considerando que D é equidistante dos pontos A e B, temos:
 AD 2   BD 2
K  12   3  4 2  K  5 2   3  5 2
K 2  2  K  1  1  K 2  10K  25  4
8K  27
K
27
8
 27 
Portanto, D  ,3  .
 8 
Logo, a medida do raio r será dada por:
2
 27 
R  AD  
 1  (3  4)2 
 8

425 5 17

.
64
8
Resposta da questão 11:
[D]
4  ( 2)
3
  . Daí, como AC e BD são
1  3
2
2
 1  mBD  , com mBD sendo o coeficiente
3
O coeficiente angular da reta AC é igual a mAC 
perpendiculares, segue-se que mAC  mBD
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angular da reta BD.
 3  ( 1) 2  4 
Além disso, se M é o ponto médio de AC, temos M  
,
 (1, 1).
2 
 2
Sabendo que M é o ponto de interseção das retas AC e BD, concluímos que a equação de
BD é
y 1
2
2
1
 (x  1)  y  x  .
3
3
3
Portanto, segue de imediato que a ordenada do ponto de interseção de BD com o eixo Oy é
igual a
1
.
3
Resposta da questão 12:
[D]
A equação segmentária da reta AB é
2x  3y  12 
x y

 1.
6 4
Desse modo, como A  (6, 0) e B  (0,  4), segue-se que o ponto médio do segmento AB
tem coordenadas
 6  0 0  ( 4) 
 2 ,
  (3,  2).
2


Resposta da questão 13:
[A]
Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice
inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B2  (1,5; 13,5), B14  (13,5; 13,5) e M3  (2,5; 2,5).
Queremos determinar o circuncentro do triângulo B2B14M3.
A mediatriz do segmento B2B14 é a reta
x
1,5  13,5
 x  7,5.
2
A reta B2M3 tem coeficiente angular igual a
13,5  2,5
 11.
1,5  2,5
O ponto médio do segmento B2M3 é
 2,5  1,5 2,5  13,5 
,

  (2, 8).
2
2


Logo, a equação da mediatriz do segmento B2M3 é dada por
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EXERCICIOS DE APROFUNDAMENTO - MATEMÁTICA - RETA - 2015
y8 
1
1
86
(x  2)  y  x 
.
11
11
11
Daí, a ordenada do circuncentro é
y
1
86 93,5
 7,5 

 8,5.
11
11
11
Portanto, como o ponto (7,5; 8,5) corresponde ao centro do quadrado G8, segue-se o
resultado.
Resposta da questão 14:
[E]
De acordo com as informações, temos r : y  10x  a e s : y  9x  b. Logo, se x  6 é a
abscissa do ponto de interseção de r e s, então
10  6  a  9  6  b  b  a  6.
Resposta da questão 15:
a) O lugar geométrico pedido é a mediatriz do segmento de reta AB. Logo, como o ponto
1
1 3
médio de AB é  ,  e o coeficiente angular da reta AB é , segue-se que a equação
2
2
3


da mediatriz de AB é dada por
y
3
1

 3  x    3x  y  3  0.
2
2

b) Se C pertence ao semieixo negativo das ordenadas, então C  (0, α ), com α  0.
Sabendo que a área do triângulo ABC é igual a 8, temos
8
1 1 2 0 1

 16  | 2  2α  2  α |
1 2 α
1
2
 | 3α  4 |  16
α
20
ou α  4.
3
Porém, sendo α  0, só pode ser α  4.
Resposta da questão 16:
[E]
Sabendo que O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x  1) são colineares, vem
0 x
1
0
0 2 x 1 0
 0  x2  x  2  0
 x  2 ou x  1.
Mas O(0, 0), P(x, 2) e Q(1, x  1) são distintos. Logo, só pode ser x  2.
Portanto, a área do quadrado de diagonal PQ vale
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( (1  (2))2  (1  2)2 )2 18

 9 u.a.
2
2
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