Números complexos
Prof. Jorge
Números negativos

Os números negativos tem raiz quadrada?
√–6
√–9
Prof. Jorge
√–15
√–3
√–4
Conjuntos numéricos

Já estudamos em anos anteriores as diferentes
categorias numéricas. Veja um resumo
 O conjunto dos números Naturais surgiu da necessidade
de contar. É o conjunto
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Mais tarde surgiram os números negativos –1, –2, –3, etc.
 O conjunto dos naturais acrescentados dos inteiros
negativos, constitui o conjunto dos números Inteiros,
representado por
ℤ = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
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Conjuntos numéricos

Já estudamos em anos anteriores as diferentes
categorias numéricas. Veja um resumo
 A necessidade de dividir o inteiro em partes, fez surgirem
os números racionais, assim definidos
ℚ = {x/x = p/q com p, q inteiros e q ≠ 0}
 A resolução de certos problemas geométricos, levou ao
surgimento dos números irracionais. São exemplos de
irracionais o número  e raízes não-exatas:
√3 , √2 , ∛7 , etc.
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Conjuntos numéricos

Já estudamos em anos anteriores as diferentes
categorias numéricas. Veja um resumo
 A reunião dos números racionais com os irracionais deu
origem ao conjunto ℝ dos números reais.
ℝ = ℚ ∪ {irracionais}
 Até por volta do século XV, só se conheciam os números
reais. Eles eram considerados suficientes para a resolução
de problemas de medida.
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Números imaginários

Em 1545 o matemático Girolamo Cardano, em seu
livro Ars Magna (A grande Arte), propunha o seguinte
problema
Dividir 10 em duas partes cujo produto seja igual a 40.
 A solução dessa questão equivale a resolução da equação
de 2º grau x2 – 10x + 40 = 0. Resolvendo-a, chegamos aos
dois números:
5 + √–15
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e 5 – √–15
Números imaginários

A princípio, os matemáticos consideravam que tais
números (como √–15) eram “inúteis” ou que
simplesmente, eles “não existiam”.

Em meados do século XVII, Descartes já aceitava
esses números. Ele os chamava de imaginários, ao
formular conceitos sobre raízes de equações
algébricas.
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Números imaginários

No século XVIII, os trabalhos de D’Alembert e Euler
já consideravam a importância dos números
imaginários. Criaram uma teoria mais completa a
respeito deles e de suas relações com as equações.

Só a partir do século XIX, quando Gauss divulgou sua
representação geométrica, é que os complexos, que
incluem os reais e os imaginários, passaram a ser
aceitos e usados sem restrições.
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A unidade imaginária

Chama-se unidade imaginária o número representado
por i, assim definido:
i2 = –1
 Note que i não é real, pois não existe número real cujo
quadrado seja negativo.
 A partir dessa definição, toda equação de 2.º grau terá
sempre duas raízes, ainda que seu discriminante ∆ seja
negativo.
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A unidade imaginária e a equação de 2.º grau

Usando a definição da unidade imaginária i, resolver
as equações de 2.º grau x2 + 9 = 0 e x2 – 6x + 13 = 0.
 1ª equação:
x2 + 9 = 0
⇒ x2 = – 9
⇒ x2 = 9.i2
⇒ x = 3i
S = {–3i, 3i}
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⇒ x2 = 9.(–1)
⇒ x = ± √9i2
ou
x = –3i
A unidade imaginária e a equação de 2.º grau

Usando a definição da unidade imaginária i, resolver
as equações de 2.º grau x2 + 9 = 0 e x2 – 6x + 13 = 0.
 2ª equação:
x2 – 6x + 13 = 0
⇒ ∆ = (–6)2 – 4 . 1 . 13 = 36 – 52 = –16 = 16i2
– b ± √∆
x=
2a
6 ± √16i2
6 ± 4i
=
=
2
2
⇒ x = 3 + 2i
ou
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x = 3 – 2i
O conjunto dos
números complexos
Prof. Jorge
O conjunto dos números complexos

Os números 3 + 2i, 3 – 2i, 3i e –3i. Todos eles podem
ser escrito na forma a + bi, Veja
Número
3 + 2i
3 – 2i
3i
– 3i
a + bi
3 + 2i
3 – 2i
0 + 3i
0 – 3i
a e b ∊ ℝ.
i é a unidade
imaginária
 Números como esses são chamados de números
complexos.
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O conjunto dos números complexos

Chama-se número complexo na forma algébrica, todo
número escrito na forma
z = a + bi
sendo a e b reais quaisquer e i a unidade
imaginária.
 O número a é a parte real de z e o número b é a parte
imaginária de z. Em símbolos:
Re(z) = a e Im(z) = b
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Analisando diferentes
números complexos
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Exemplo

Identificar a parte real e a parte imaginária dos números
complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 – 2i e z3 = 0 + 4i.
 No complexo z1 = 3 + 0i, temos
a = Re(z1) = 3
b = Im(z1) = 0
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⇒
z1 = 3 é real (b = 0)
Exemplo

Identificar a parte real e a parte imaginária dos números
complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 – 2i e z3 = 0 + 4i.
 No complexo z2 = 5 – 2i, temos
a = Re(z2) = 5
b = Im(z2) = –2
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⇒ z2 é imaginário (b ≠ 0)
Exemplo

Identificar a parte real e a parte imaginária dos números
complexos z1 = 3 + 0i, z2 = 5 – 2i e z3 = 0 + 4i.
 No complexo z3 = 0 + 4i, temos
a = Re(z3) = 0
b = Im(z3) = 4
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⇒ z3 é imaginário puro
(a = 0 e b ≠ 0)
O conjunto dos números complexos

Pela definição os números reais passam a ser um caso
particular dos números complexos. Assim o conjunto
dos números complexos, representado por ℂ, é
reunião dos números reais com os números
imaginários.
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O conjunto dos números complexos

O diagrama abaixo mostra a relação entre os diferentes
conjuntos numéricos
Inteiros negativos
Naturais
irracionais
ℕ ℤℚ
Racionais não-inteiros
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ℝ ℂ
imaginários
Exemplos

Suponha que k seja uma constante real. Considere o
número complexo z = (k – 3) + (k + 2)i.
a) qual a parte real de z? Re(z) = k – 3.
b) e a parte imaginária de z? Im(z) = k + 2.
c) se z é real, qual o valo de k? Nesse caso qual o valor
de z? k = –2 e z = –5.
d) se z é imaginário puro, qual o valo de k? Nesse caso
qual o valor de z? k = 3 e z = 5i.
e) para algum valo de k, z = 0? Não.
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Exemplos

Analise se cada uma das afirmativas a seguir é
VERDADEIRA (V) OU FALSA (F).
( V ) Todo número complexo é real ou imaginário.
( V ) Todo número real é complexo.
( F ) Todo número complexo é real.
( V ) A interseção do conjunto dos números reais com o
conjunto dos números imaginários é o conjunto
vazio.
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Exemplos

Considere o complexo z = (1 – p) + (p2 – 9)i, em que p é
uma constante real. Se z é real positivo. Calcule p e z.
Se z é real positivo, então Im(z) = 0 e Re(z) > 0.
Re(z) = 1 – p
⇒ 1 – p > 0 ⇒ –p > –1 ⇒ p < 1
Im(z) = p2 – 9 ⇒ p2 – 9 = 0 ⇒ p2 = 9
Como p < 1 ⇒ p = –3.
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⇒ p=±3
Igualdade e operações
com complexos
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Igualdade de complexos

Dois números complexos só são iguais se têm mesma
parte real e mesma parte imaginária.
 Em símbolos, se z1 = a + bi e z2 = c + di são números
complexos,
z1 = z2 ⇔
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a=c
b=d
Exemplos

Se x e y são números reais, sob que condições os
complexos (x – 1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?
Igualando os complexos, temos
(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i
⇒ x–1=3
⇒ x=4
⇒ y + 2 = –5
⇒ y = –7
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Exemplos

Determine os valores reais de m e n para que os
complexos (m – 5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam
iguais?
Igualando os complexos, temos
(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i
m–5=n+3
n = 2m + 1
⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 ⇒ – m = 9
⇒ m=–9
⇒ n = 2(–9) + 1
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⇒ n = – 17
Oposto e conjugado de complexos

Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o
complexo indicado por –z, assim definido.
z = a + bi
⇒
–z = –(a + bi) = –a – bi
Exemplos
z1 = 3 – i
⇒
–z1 = –3 + i
z2 = –2 – 5i
⇒
–z2 = 2 + 5i
z3 = 2i
⇒
–z3 = –2i
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Oposto e conjugado de complexos

Chama-se conjugado de um complexo z o complexo
indicado por z (z barra), assim definido.
z = a + bi ⇒
z = a + bi = a – bi
Exemplos
z1 = 3 – i
⇒
z1 = 3 + i
z2 = –2 – 5i
⇒
z2 = –2 + 5i
z3 = 2i
⇒
z3 = –2i
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Adição, subtração e multiplicação
de complexos

Definem-se, no conjunto dos complexos,
operações de adição, subtração e multiplicação.

Na prática, operamos com os complexos como se
fossem expressões de 1º grau de “variável” i. Na
multiplicação, aplicamos a definição i2 = –1.
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as
Exemplos

Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e
z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).
 Cálculo de v + w.
v + w = (3 – i) + (5 – 2i) = (3 + 5) + (–1 – 2)i = 8 – 3i
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Exemplos

Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e
z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).
 Cálculo de v – z.
v – z = (3 – i) – (–1 + 5i) = 3 – i + 1 – 5i
= (3 + 1) + (–1 – 5)i = 4 – 6i
Prof. Jorge
Exemplos

Dados os números complexos v = 3 – i , w = 5 + 2i e
z = –1 + 5i, calcular v + w, v – z e w.(–z).
 Cálculo de w.(–z).
w.(–z) = (5 + 2i).(1 – 5i) = 5 – 25i + 2i – 10i2
= 5 – 25i + 2i – 10(–1) = 5 – 23i + 10
= 15 – 23i
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Exemplos

Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade
seguinte 2z + 5z = 7 + 6i.
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
2z + 5z = 7 + 6i
⇒
2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i
⇒ 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i
⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i
⇒
7a = 7
–3b = 6
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⇒ a = 1 e b = –2 ⇒
z = 1 – 2i
Exemplos

Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i,
resulta 8 + i.
z.(2 – i) = 8 + i
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
(a + bi).(2 – i) = 8 + i
⇒
2a – ai + 2bi – bi2 = 8 + i
⇒ 2a – ai + 2bi + b = 8 + i
⇒ 2a + b + (2b – a)i = 8 + i
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⇒
2a + b = 8
2b – a = 1
Exemplos

Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i,
resulta 8 + i.
Resolvendo o sistema, chegamos a
2a + b = 8
2b – a = 1 x (2)
⇒
2a + b = 8
4b – 2a = 2
5b = 10
⇒
+
b=2
⇒ 2a + 2 = 8 ⇒ a = 3
⇒ z = a + bi ⇒ z = 3 + 2i
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Divisão de complexos

A divisão é a operação inversa da multiplicação de
complexos.

Se z1, z2 e z3 são três complexos, com z2 ≠ 0,
definimos a divisão da seguinte maneira:
z1
= z3 ⇔
z2
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z1 = z2 . z3
Divisão de complexos

No problema resolvido anteriormente vimos que
(3 + 2i).(2 – i) = 8 + i ⇔
8+i
= 3 + 2i
2–i
(3 + 2i).(2 – i) = 8 + i ⇔
8+i
=2–i
3 + 2i
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Divisão de complexos

Na prática o quociente de dois complexos pode ser
obtido de outra forma.

Multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado
do denominador. Veja
z1
z1 . z2
=
z2
z2 . z2
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Exemplos

Efetue as divisões indicadas abaixo.
8+i
a)
2–i
(8 + i).(2 + i)
16 + 8i + 2i + i2
=
=
(2 – i).(2 + i)
22 – i2
16 + 8i + 2i – 1
15 + 10i
= 3 + 2i
=
=
4 – (–1)
5
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Exemplos

Efetue as divisões indicadas abaixo.
8+i
b)
3 + 2i
(8 + i).(3 – 2i)
24 – 16i + 3i – 2i2
=
=
(3 + 2i).(3 – 2i)
32 – 4i2
24 – 16i + 3i + 2
=
9+4
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26 – 13i
=
13
=2–i
Inverso de um complexo

Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso
de z o complexo representado por z–1 e assim
definido.
z–1 =
1
z
Exemplo
z=i
⇒
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z–1
1
(1) . (–i)
–i
–i
=
=
=
=
2
i
(i) . (–i)
1
–i
= –i
Potências da
unidade imaginária
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Potências da unidade imaginária

Para as potências do tipo in da unidade imaginária i,
n natural, valem as definições.
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
Para n > 2, valem as propriedades usuais da potenciação
em ℝ.
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Potências da unidade imaginária

Acompanhe a seqüência.
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2. i = (–1). i = –i
 i4 = i2. i2 = (–1).(–1) = 1




 i5 = i4. i = (1). i = i
 i6 = i4. i2 = 1.(–1) = –1
 i7 = i4. i3 = 1.(–i) = –i
......................................
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Potências da unidade imaginária

Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada
a partir das quatro primeiras.
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = –i
O valor de in é o mesmo de iR, sendo R o resto da divisão
de n por 4.
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Exemplos

Calcular i42 + i37.
42
4
37
4
2
10
1
9
i42 = i2 = –1
i37 = i1 = i
 i42 + i 37 = –1 + i
Prof. Jorge
Exemplos

Calcular i4n – 2.
4n
4)n
n
i
(i
1
i4n – 2 = 2 =
=
= –1
i
–1
–1
 i4n – 2 = –1
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Potenciação de complexos
(expoente natural)
Prof. Jorge
Potenciação de complexos

Se n é um número natural e z é um complexo
qualquer, a potência zn é, por definição, o produto de
n fatores iguais a z.
z0 = 1
(z ≠ 0)
z1 = z
zn = z. z.z ... .z
n fatores
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Exemplos

(3+i)0 = 1

(–5 + 2i)1 = –5 + 2i

(2 – 3i)2 = 4 – 12i + 9i2 = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i

(1 + i)3 = 1 + 3i + 3i2 + i3 = 1 + 3i – 3 – i = –2 + 2i
Prof. Jorge
Exemplos

Calcular o valor da constante real k, para que o
complexo z = (k + 2i)2 seja imaginário puro.
z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2 = k2 – 4 + 4ki
 z imaginário puro, devemos ter
Re(z) = 0
Im(z) ≠ 0
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⇒
k2 – 4 = 0
4k ≠ 0
⇒
k= ±2
Potenciação de complexos
(expoente inteiro negativo)
Prof. Jorge
Potenciação de complexos

A partir do conceito de inverso de um número
complexo, podemos calcular uma potência com
expoente inteiro negativo. Sendo z um complexo, z ≠ 0
e n um número natural, define-se:
z–n
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=
1
z
n
Exemplos

Sendo z = 1 – i, calcular z–2.
Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2.
z–1
z–2
z–2
1+i
1+i
1
1+i
1
= 2 2 =
=
=
z
1 –i
2
(1 – i).(1 + i)
1–i
=
1+i
2
=
(z–1)2
=
=
(z–1)2
2i
=
=
4
Prof. Jorge
2
1 + 2i + i2
=
4
i
2
1 + 2i – 1
=
4