CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CELSO SUCKOW DA FONSECA
ÁLGEBRA I
ENGENHARIA
Profª Cristiane Pinho Guedes
www.cristianeguedes.pro.br
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Profª Cristiane Pinho Guedes
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Aula 1 – data:_________________
MATRIZES
Introdução:
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Por exemplo,
ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas,
podemos dispô-los na tabela:
Pessoa 1
Pessoa 2
Pessoa 3
Pessoa 4
Altura (m)
1,70
1,75
1,60
1,81
Peso (kg)
70
60
52
72
Idade (an0s)
23
45
25
30
Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:
 1,70

 1,75
 1,60

 1,81
70 23

60 45
52 25

72 30
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
Am n
 a11

 a 21

:

 a m1
a12
a 22
:
a m2
... a1n 

... a 2 n 
:
: 

... a mn 
Usaremos sempre letras maiúsculas para denotar matrizes, e quando quisermos especificar a
ordem de uma matriz A (isto é, o número de linhas e colunas) , escreveremos Am n . Também
podemos usar colchetes ou duas barras, além dos parênteses, para representar uma matriz.
Duas matrizes Am n  [a ij ]m n e Br  s  [bij ]r  s são iguais se elas têm o mesmo número de
linhas (m = r ) e colunas ( n = s ), e todos os seus elementos correspondentes são iguais.
Tipos especiais de matrizes:
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas.
Matriz nula é aquela em que a ij  0 , para todo i e j.
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna.
Matriz linha é aquela que possui uma única linha.
Matriz diagonal é uma matriz quadrada onde a ij  0 , para i  j .
Matriz identidade é aquela em que aii  1 e aij  0 para i  j .
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da
diagonal são nulos.
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Matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal
são nulos.
Matriz simétrica é aquela onde m = n e a ij  a ji .
Operações com matrizes:
Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é uma matriz, também de mesma ordem
cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B.
Propriedades: Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m x n, temos:
a) A + B = B + A ( comutatividade)
b) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ( associatividade)
c) A + O = A onde O denota a matriz nula.
Multiplicação por um escalar: Seja Am n  [aij ]m n e k um número, então definimos uma nova
matriz k . Am n  [ ka ij ]m n .
Propriedades: Dadas matrizes A e B de mesma ordem m  n e números k , k 1 e k 2 , temos:
a) k ( A  B )  kA  kB
b) ( k 1  k 2 ) A  k 1 A  k 2 A
c) 0. A  O isto é, se multiplicarmos qualquer matriz pelo número zero dará a matriz nula.
d) ( k 1 . k 2 ). A  k 1 .( k 2 . A)
Transposição: Dada a matriz Am n  [a ij ]m n , chamamos de matriz transposta de A, e
representamos por At  [bij ] nm a matriz cujas linhas são as colunas da matriz A.
 2  3


Ex: A   1 0 
3 5 


 2 1 3

A t  
  3 0 5
Propriedades:
1) Uma matriz é simétrica se e somente se ela é igual a sua transposta.
2) Uma matriz é anti-simétrica se e somente se ela é igual ao simétrico da sua transposta.
Exemplifique uma matriz Simétrica e uma matriz Anti-simétrica. Comente.
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 
3) A t
t
A
4)  A  B t  A t  B t
 3 1 4
 1 0 2




Exercícios: Considere A    2 0 1  e B    3 1 1  e calcule:
 1 2 2
 2 4 1




2A
A+B
2A - 3B
6 2
Respostas: ܽ) ൭−4 0
2 4
8
2൱
4
4 1
ܾ) ൭−5 1
3 6
6
2൱
3
3
2
2
ܿ) ൭ 5 −3 −1൱
−4 −8 1
Multiplicação de matrizes: Sejam Am n  [a ij ]m n e Bn p  brs n p . Definimos A.B  cuv m p onde:
n
cuv   a uk bkv
k 1
Observações:
Só podemos efetuar o produto de duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao
número de linhas da segunda.
O elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz produto é obtido , multiplicando os elementos
da i-ésima linha da primeira matriz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segunda
matriz, e somando estes produtos.
Ex:
2 1
 2.1  1.0 2.(1)  1.4   2 2 

  1  1 
 

   4.1  2.0 4.(1)  2.4    4 4 
 4 2 .
 5 3   0 4   5.1  3.0 5.(1)  3.4   5 7 



 

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Propriedades: (desde que sejam possíveis as operações)
Em geral A.B  B. A . Quando A.B = B.A, as matrizes A e B são ditas comutáveis.
A.I  I . A
A.( B  C )  A.B  A.C
 A.B .C  A.B.C 
 A.B t
 B t . At
A.B  0 não implica necessariamente em A = 0 ou B = 0
Exercícios:
1) Quando possível, efetuar a multiplicação das matrizes:
 2 1

 3 5 1 
 1 3 
a) 
  2 0 2  4 1 


 4  2


 6  4 1 3

b) 
.
8 7   0 2 


1 0 


 1 4 3  1 

 
c)   4 5 2 . 2 
 1 0  1   2 

 
 4 6 1   3 1 5
.

d) 
 1 2  2  4 1 6
 4 6   3 1  5
.

e) 
 2 1  1 4  1
5 3
 6 2
 4  2
 , B  
 e C  
 . Encontre X que satisfaz a equação AX + B = C
2) Se A  
 3 2
 2 4
 6 3 
3) Encontre matrizes não-nulas A, B e C tais que AB = AC, mas B  C.
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4) Verdadeiro ou falso?
Se a primeira e a terceira colunas de B são iguais, a primeira e a terceira colunas de AB também
são.
Se a primeira e a terceira linhas de B são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Se a primeira e a terceira linhas de A são iguais, a primeira e a terceira linhas de AB também são.
Respostas:
15
1) a) ቀ
6
19
ቁ
0
20
2) ቀ
−34
4
b) ቌ6
8
1
−5
ቁ
7
8
10ቍ
38
3
3
c) ൭2൱
3
d) ∄
4) ܽ) ܸ
ܾ) ‫ܨ‬
18
d) ቀ
7
28 −26
ቁ
6 −15
4 4
2 1
2
3) ܲ‫݋݈݌ ݉݁ݔ݁ݎ݋‬: ‫ = ܣ‬ቀ
ቁ, ‫ = ܤ‬ቀ
ቁ ݁‫ = ܥ‬ቀ
0 0
2 1
4
Matriz Inversa
ܿ) ܸ
2
ቁ
4
A matriz quadrada A, de ordem n, é dita inversível se e somente se existir uma matriz
quadrada A-1, também de ordem n, tal que A.A-1 = A-1.A = In.
OBS: ‫ିܣ‬ଵ = ‫ܣ‬௧ ⟺ ‫ ܣ‬é ‫ࡸ࡭ ࡺࡻࡳࡻࢀࡾࡻݖ݅ݎݐܽ ݉ ܽ ݉ݑ‬
ܿ‫ ߠݏ݋‬−‫ ߠ݊݁ݏ‬0
Exs: 1) Dada a matriz ‫ = ܯ‬൭‫ ߠݏ݋ܿ ߠ݊݁ݏ‬0൱, calcular C = M.MT e classificar C.
0
0
1
2) Dada a matriz ‫= ܧ‬
√ଷ
ଷ
⎛ √଺
⎜− ଷ
⎝ 0
√ଷ
ଷ
√଺
଺
√ଶ
− ଶ
√ଷ
ଷ
√଺⎞
,
଺⎟
√ଶ
ଶ⎠
calcular E.ET e classificar.
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Propriedades:
(A.B)-1 = B-1.A-1
( A-1)-1 = A
( A-1)T = ( AT)-1
Operações Elementares:
São operações realizadas nas linhas (ou colunas) de uma matriz. São consideradas operações
elementares:
A troca da linha i pela linha j.
Li ↔ Lj
A multiplicação da linha i por um escalar k não nulo.
Li → k.Li
A substituição da linha i por ela mesma mais k vezes a linha j.
Li → Li + k.Lj
Equivalência de matrizes:
Sejam A e B matrizes de mesma ordem. A matriz B é equivalente à matriz A quando for possível
transformar A em B através de um número finito de operações elementares.
Cálculo da matriz inversa utilizando operações elementares:
Problema: Calcular a inversa de uma matriz A quadrada.
Solução:
Construimos a matriz ( A ⁞ I )
Utilizando operações elementares “transformamos “ A em I. Consequentemente I se transformará
em A-1. No final temos ( I ⁞ A-1 )
OBS: Se não conseguirmos obter a identidade (uma linha zerada) a matriz não terá inversa
(detA=0).
1
Ex: Encontrar a matriz inversa de ‫ = ܣ‬൭2
5
2 3
4 2൱
2 3
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Aula 2 – data:_________________
SISTEMAS LINEARES
Definição: Um sistema linear S com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo:
ܽଵଵ‫ݔ‬ଵ + ܽଵଶ‫ݔ‬ଶ + ܽଵଷ‫ݔ‬ଷ + ⋯ + ܽଵ௡ ‫ݔ‬௡ = ܾଵ
ܽ ‫ ݔ‬+ ܽଶଶ‫ݔ‬ଶ + ܽଶଷ‫ݔ‬ଷ + ⋯ + ܽଶ௡ ‫ݔ‬௡ = ܾଶ ൞ ଶଵ ଵ
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
ܽ௠ ଵ‫ݔ‬ଵ + ܽ௠ ଶ‫ݔ‬ଶ + ܽ௠ ଷ‫ݔ‬ଷ + ⋯ + ܽ௠ ௡ ‫ݔ‬௡ = ܾ௠
com ܽ௜௝ , ܾ௜ ∈ ℝ , ݅= 1, … , ݉ ݆݁= 1, … , ݊.
ܽ௜௝→ são os coeficientes das variáveis.
‫ݔ‬௝ → são as incógnitas (ou variáveis)
ܾ௜ → termos independentes.
Matrizes de um sistema S
Forma matricial de S:
‫ݔ‬ଵ
ܾଵ
ܽଵଵ ܽଵଶ … ܽଵ௡
…
ܽ
‫ݔ‬
ܽ
ܽଶଶ
ܾ
ଶ௡
ଶ
൮ ଶଵ
൲ . ൮ ⋮ ൲ = ൮ ଶ൲
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
‫ݔ‬௡
ܽ௠ ଵ ܽ௠ ଶ … ܽ௠ ௡
ܾ௡
‫ܣ‬. ܺ = ‫ܤ‬
A → Matriz dos coeficientes
X → Matriz das variáveis
B → Matriz dos termos independentes.
OBS: Se B for a matriz nula, o sistema é chamado de homogêneo.
Matriz Ampliada de S:
ܽଵଵ ܽଵଶ
ܽ
ܽଶଶ
൮ ଶଵ
⋮
⋮
ܽ௠ ଵ ܽ௠ ଶ
… ܽଵ௡ ܾଵ
… ܽଶ௡ ܾଶ
൲
⋮
⋮
⋮
… ܽ௠ ௡ ܾ௡
Soluções de um sistema S:
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DETERMINADO
→uma única
solução
POSSÍVEL
INDETERMINADO→
infinitas soluções
S
IMPOSSÍVEL→
nenhuma solução
Método de Redução de Gauss-Jordan:
Escalonamos a matriz ampliada de S, reescrevemos o sistema equivalente a S, encontramos o valor
de uma variável, e por substituição determinamos as demais variáveis.
OBS1: Se o sistema for possível e indeterminado (SPI), temos que dar a resposta em função da(s)
variável(variáveis) livre(s).
OBS2: Um sistema linear homogêneo é sempre possível, pois admite pelo menos a solução trivial →
(0, 0,..., 0).
2‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 3‫ = ݖ‬11
4‫ ݔ‬− 3‫ ݕ‬+ 2‫ = ݖ‬0
Ex1: ൞
‫ݔ‬+ ‫ݕ‬+ ‫ =ݖ‬6
3‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬4
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‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0
Ex2: ൝2‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬− 2‫ = ݖ‬1
3‫ ݔ‬− 3‫ ݕ‬− ‫ = ݖ‬2
‫ݔ‬ଵ + 3‫ݔ‬ଶ + 5‫ݔ‬ଷ = 7
2‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଶ + 3‫ݔ‬ଷ = 0 Ex3: ൞ ଵ
‫ݔ‬ଵ − 4‫ݔ‬ଶ − 2‫ݔ‬ଷ = −7
5‫ݔ‬ଵ − 2‫ݔ‬ଶ + 8‫ݔ‬ଷ = 1
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‫ݔ‬+ ‫ݕ‬− ‫ =ݖ‬0
Ex4: ൝2‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0
‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬− ‫ = ݖ‬0
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‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ 2‫ = ݖ‬0
2‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬− 2‫ = ݖ‬0
Ex5: ൞
3‫ ݔ‬+ 4‫ ݕ‬− 6‫ = ݖ‬0
3‫ ݔ‬− 11‫ ݕ‬+ 12‫ = ݖ‬0
Exercícios:
1) Determine os valores de a, de modo que o sistema abaixo tenha:
I) nenhuma solução.
II) mais de uma solução.
III) uma única solução.
‫ݔ‬+ ‫ݕ‬− ‫ =ݖ‬1
2‫ݔ‬
൝ + 3‫ ݕ‬+ ܽ‫ = ݖ‬3
‫ ݔ‬+ ܽ‫ ݕ‬+ 3‫ = ݖ‬2
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2) Estudar o sistema em função de k:
‫ ݔ‬+ ‫ ݕ‬+ ݇‫ = ݖ‬2
൝3‫ ݔ‬+ 4‫ ݕ‬+ 2‫݇ = ݖ‬
2‫ ݔ‬+ 3‫ ݕ‬− ‫ = ݖ‬1
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Aula 3 – data:__________________
VETORES
Dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes quando têm a mesma direção, o
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos
orientados eqüipolentes a AB.
Vetor:

módulo

direção

sentido
AB  B  A  ( x B  x A , y B  y A )  v
v  (xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2
vetor unitário → módulo = 1
Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v .
Operações:
1) Adição
‫ݑ‬
ሬ
⃗
u  ( x1 , y1 )
‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫⃗ݒ‬
‫⃗ݒ‬
v  ( x2 , y 2 )
u  v  ( x1  x2 , y1  y 2 )
2) Diferença
‫ݑ‬
ሬ
⃗
‫ݑ‬
ሬ
⃗ − ‫⃗ݒ‬
‫⃗ݒ‬
3) Multiplicação por um escalar
k v
direção: mesma de v
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módulo: k  v  k  v
sentido: mesmo de v , se k > 0 e contrário ao de v , se k < 0.
*
OBS1: versor de v  v 
v
v
OBS2: ‫ݑ‬
ሬ
⃗ − ‫ݑ = ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ + (−1). ‫⃗ݒ‬
Decomposição de um vetor no plano:
Dados dois vetores v1 e v2 , não colineares, qualquer vetor v , co-planar com v1 e v2 , pode ser
decomposto segundo as direções de v1 e v2 .
v  a1 v1  a2 v2
 v escrito como combinação linear de v1 e v2 .
Um par de vetores v1 e v2 não colineares é chamado base do plano.
ܽଶሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଶ
‫⃗ݒ‬
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଶ
ܽଵሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଵ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଵ
a1 e a2 são as componentes ou coordenadas de v em relação à base { v1 , v2 }
a1 v1 = projeção de v sobre v1 segundo a direção de v2 .
a2 v2 = projeção de v sobre v2 segundo a direção de v1 .
Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais.
Uma base é ortonormal quando os seus vetores são ortogonais (perpendiculares) e unitários.
Bases Canônicas : do R2 : ଓ
⃗ = (1, 0)݁ଔ
⃗ = (0, 1)
v  (3,5)  3i  5 j
ሬ
⃗ = (0, 0, 1)
do R3 : ଓ
⃗ = (1,0,0) , ଔ
⃗ = (0, 1, 0)݁݇
u  ( x , y , z )  xi  y j  z k
Condição de paralelismo de dois vetores: u  ( x1 , y1 , z1 ) e v  ( x2 , y2 , z2 )
u // v ( ou colinear ) se u  k .v ou seja,
x1 y1 z1

 k
x2 y 2 z 2

componentes proporcionais
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Produto de vetores:
1) Produto Escalar.
u  x1 i  y1 j  z1 k
v  x2 i  y 2 j  z 2 k
u  v  x1 x2  y1 y2  z1 z 2
Ex: u  (4,  ,1) v  ( ,2,3)
A  (4,1,2) B  (3,2,1) . Calcular  tal que u  (v  BA)  5 .
Resp: ∝ = 7/3
Módulo
v  v  v  x12  y12  z12
Propriedades do Produto Escalar:
I) u  u  0 e u  u  0  u  0
II) u  v  v  u
III) u  (v  w)  u  v  u  w
IV) u  u  u
2
V) (m  u )  v  m(u  v)
Ângulo de dois vetores:
u  v  u  v  cos
‫⃗ݒ‬
θ
‫ݑ‬
ሬ
⃗
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Pela Lei dos cossenos, temos:
2
2
2
u  v  u  v  2  u  v  cos 
Pela (IV) propriedade, temos :
u  v u  v  u  u  v  v  2  u  v  cos
Pela (III) propriedade, temos:
u  u  u  v  v  u  v  v  u  u  v  v  2 u  v  cos
Pela (II) propriedade e fazendo os devidos cancelamentos, temos:
 2u  v  2 u  v  cos  u  v  u  v  cos
Logo:
cos  
u v
uv
Daí, conclui-se que:
Se u  v  0   é agudo
Se u  v  0   é obtuso
Se u  v  0   é reto  u e v são perpendiculares
Condição de ortogonalidade de dois vetores:
Exercícios:
‫ݑ‬
ሬ
⃗ ⊥ ‫ݑ ⇔ ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ . ‫ = ⃗ݒ‬0
1) Sabendo que a distância entre os pontos A( -1, 2, 3) e B( 1, -1, m) é 7, calcular m.
ଵ ଵ
2) Determinar α para que o vetor ‫ = ⃗ݒ‬ቀ∝, − ଶ , ସቁ seja unitário.
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ሬሬሬሬሬ⃗ determinado pelos
3) Sabendo que o vetor ‫( = ⃗ݒ‬2,1, −1) forma um ângulo de 60º com o vetor ‫ܤܣ‬
pontos A( 3, 1, -2) e B( 4, 0, m), calcular m.
4) Determinar os ângulos internos do triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C( 1, 0, 2).
5) Determinar um vetor unitário ortogonal aos vetores (1, -1, 0) e (1, 0, 1).
6) Dados os pontos P(1, 2, 4), Q(2, 3, 2) e R(2, 1, -1), determinar as coordenadas de um ponto S tal
que P, Q, R e S sejam os vértices de um paralelogramo.
7) Determinar os valores de m e n para que os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (݉ + 1, 3, 1)݁‫( = ⃗ݒ‬4, 2, 2݊ − 1) sejam
paralelos.
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Aula 4 – data:__________________
Uma Aplicação na Física:
O produto escalar é uma importante ferramenta matemática para a Física, uma vez que inúmeras grandezas
físicas são definidas com o seu emprego, como por exemplo, o Trabalho.
O Trabalho realizado por uma força constante ‫ ⃗ܨ‬ao longo de um determinado deslocamento ݀⃗ é
definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento efetuado pelo corpo no qual a força está
aplicada.
Pode-se
se observar que a componente da força
f
‫ ⃗ܨ‬que realiza o
⃗
ሬሬሬሬሬ⃗
ሬሬሬ
⃗
trabalho é ‫ܨ‬
௫ , paralela ao deslocamento ‫݀ = ܤܣ‬, conforme
ሬሬሬ
⃗
⃗
mostra a figura. Então ห‫ܨ‬
௫ห= ห‫ܨ‬ห. ܿ‫ߠݏ݋‬,, onde θ é o ângulo entre a
força e o deslocamento.
A grandeza física Trabalho , notada por W, é uma grandeza escalar e tem como unidade no Sistema
Internacional o joule, notado por J. A expressão para o cálculo do trabalho W é
ሬ
ሬ⃗
ܹ = ‫ ⃗ܨ‬. ሬ
݀
‫ = ܹ ݑ݋‬ห‫ ⃗ܨ‬ห. ห݀⃗ห. ܿ‫ ߠݏ݋‬e 1 J = 1 N . 1 m
ሬሬሬ
⃗ ሬሬሬሬሬ⃗ ሬ
⃗
Exemplo: Calcular o trabalho realizado pelas forças
fo
constantes, ‫ ⃗ܨ‬, ‫ܨ‬
௔ , ‫ܨ‬ே ݁ܲ e pela força resultante para
ሬሬ⃗ = ሬ
ሬሬሬሬ⃗ ݁ห݀⃗ห= 10݉
ሬሬሬ
⃗
ሬ
⃗
ሬሬሬሬ⃗
deslocar o bloco de A até B, sabendo que ห‫ ⃗ܨ‬ห= 10ܰ, ห‫ܨ‬
ܰ, ሬሬ
݀
‫ܤܣ‬
௔ ห= 8ܰ, หܲห= 3ܰ, ห‫ܨ‬ே ห= 3ܰ
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Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor ( R3 )
ሬ
⃗ = (‫ݔ‬, ‫ݕ‬, ‫)ݖ‬. Ângulos diretores de ‫ ⃗ݒ‬são os ângulos α, β e γ que ‫⃗ݒ‬
Seja o vetor ‫ݔ = ⃗ݒ‬ଓ
⃗ + ‫ݕ‬ଔ
⃗ + ‫݇ݖ‬
ሬ
⃗ da base canônica.
forma com os vetores ଓ
⃗, ଔ
⃗ ݁݇
z
ሬ
⃗
݇
x
ଓ
⃗
cos α =
cos β =
cos γ =
α
‫⃗ݒ‬
γ
ଔ
⃗
ሬ
⃗.ప
⃗
௩
|௩
ሬ
⃗|.|ప
⃗|
=
ሬ
⃗.ఫ
⃗
௩
|௩
ሬ
⃗|.|ఫ
⃗|
=
y
(௫,௬,௭).(ଵ,଴,଴)
|௩
ሬ
⃗|.ଵ
(௫,௬,௭).(଴,ଵ,଴)
|௩
ሬ
⃗|.ଵ
ሬ⃗
(௫,௬,௭).(଴,଴,ଵ)
ሬ
⃗.௞
௩
=
ሬ⃗ ห
|௩
ሬ
⃗|.ଵ
|௩
ሬ
⃗|.ห௞
=
=
=
௫
Notemos que ( cos α, cos β, cos γ) = ቀ
|௩
ሬ
⃗|
௫
|௩
ሬ
⃗|
௬
|௩
ሬ
⃗|
௭
|௩
ሬ
⃗|
௬
, |௩ሬ⃗| ,
(௫,௬,௭)
௭
ቁ
=
|௩
|௩
ሬ
⃗|
ሬ
⃗|
ሬ
⃗
௩
ሬ
ሬ
ሬ∗⃗
= |௩ሬ⃗| = ሬ
‫ݒ‬
Portanto: ඥܿ‫ݏ݋‬ଶ ∝ +ܿ‫ݏ݋‬ଶߚ + ܿ‫ݏ݋‬ଶߛ = 1 ⟹ ܿ‫ݏ݋‬ଶ ∝ +ܿ‫ݏ݋‬ଶߚ + ܿ‫ݏ݋‬ଶߛ = 1
(versor de ‫) ⃗ݒ‬
“ A soma dos quadrados dos cossenos diretores de um vetor é igual a 1.”
Exercícios:
1) Os ângulos diretores de um vetor são α, 45º e 60º. Determinar α.
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ሬሬሬሬ⃗ .
2) Dados os pontos A( 2, 2, -3) e B( 3, 1, -3), calcular os ângulos diretores do vetor ሬ
‫ܤܣ‬
3) Um vetor ‫ ⃗ݒ‬forma com os vetores ଓ
⃗ ݁ଔ
⃗ ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determinar o vetor ‫⃗ݒ‬,
sabendo que |‫ =|⃗ݒ‬2.
Projeção de um vetor
ሬ
ሬ⃗݁‫ ≠ ⃗ݒ‬0
ሬ
ሬ⃗ , e θ o ângulo por eles formado. O vetor ‫ݓ‬
Sejam os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫⃗ݒ‬, com ‫ݑ‬
ሬ
⃗≠0
ሬ
ሬ⃗ que representa a
projeção de ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ sobre ‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ é calculado por:
‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫⃗ݒ‬
ሬሬሬሬሬሬሬሬ⃗௩ሬ⃗ ‫ݑ‬
‫݋ݎ݌‬ଔ
ሬ
⃗=ቆ
ሬ
⃗. ‫) ∗ ⃗ݒ‬. ‫∗ ⃗ݒ‬
ቇ. ‫ݑ( = ⃗ݒ‬
|‫|⃗ݒ‬. |‫|⃗ݒ‬
‫ݑ‬
ሬ
⃗
‫ݑ‬
ሬ
⃗
θ
Θ
‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗
‫⃗ݒ‬
‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗
‫⃗ݒ‬
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Exemplo1: Determinar o vetor projeção de ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2,3,4) sobre ‫( = ⃗ݒ‬1, −1,0).
Exemplo2: Sejam os pontos A(1, 2, -1), B(-1, 0, -1) e C(2, 1, 2). Pede-se:
a) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo em A.
b) Calcular a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
c) Determinar o pé da altura relativa à hipotenusa.
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Aula 5 – data:__________________
2) Produto Vetorial
ሬ
⃗ e ‫ݔ = ⃗ݒ‬ଶଓ
ሬ
⃗ , tomados nesta ordem, chama-se
Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = ‫ݔ‬ଵଓ
⃗ + ‫ݕ‬ଵଔ
⃗ + ‫ݖ‬ଵ݇
⃗ + ‫ݕ‬ଶଔ
⃗ + ‫ݖ‬ଶ݇
produto vetorial dos vetores ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ e ‫⃗ݒ‬, e se representa por ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ × ‫ ⃗ݒ‬ou ‫ݑ‬
ሬ
⃗ ∧ ‫ ⃗ݒ‬o vetor:
ሬ⃗
ሬ
‫ݑ‬
ሬ
ሬ⃗ × ‫( = ⃗ݒ‬yଵzଶ − zଵyଶ)ı⃗ − (xଵzଶ − zଵxଶ)ଌ
⃗ + (xଵyଶ − yଵxଶ)k
Podemos também calcular o produto vetorial através de um determinante “fictício”, mostrado
abaixo:
ሬ
⃗
ଓ
⃗
ଔ
⃗ ݇
‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ = ⃗ݒ‬ቮ‫ݔ‬ଵ ‫ݕ‬ଵ ‫ݖ‬ଵቮ
‫ݔ‬ଶ ‫ݕ‬ଶ ‫ݖ‬ଶ
ሬ
⃗ e ‫ = ⃗ݒ‬ଓ
ሬ
⃗.
Exemplo: Calcule o produto vetorial dos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = 5ଓ
⃗ + 4ଔ
⃗ + 3݇
⃗+ ݇
Propriedades:
I) ‫ݑ‬
ሬ
⃗×‫ݑ‬
ሬ
⃗=ሬ
0⃗
II) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ = ⃗ݒ‬−‫ݑ × ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ (o P.V. não é comutativo)
III) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ × (‫ ⃗ݒ‬+ ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗) = ‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ ⃗ݒ‬+ ‫ݑ‬
ሬ
⃗×‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗
IV) (݉ . ‫ݑ‬
ሬ
⃗) × ‫ ݉ = ⃗ݒ‬. (‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ݑ = )⃗ݒ‬
ሬ
⃗ × (݉ . ‫)⃗ݒ‬
V) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ = ⃗ݒ‬ሬ
0⃗ se, e somente se, um dos vetores é nulo ou se ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬são colineares.
VI) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ ⃗ݒ‬é ortogonal simultaneamente aos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫⃗ݒ‬.
 


VII) Os vetores u , v e u x v tem as direções das arestas de um triedro Oxyz direto (se um
saca-rolhas, girando de um ângulo menor do que  , de Ox para Oy, avançar no sentido positivo
de Oz, o triedro é direto).
‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫⃗ݒ‬
‫ݑ × ⃗ݒ‬
ሬ
⃗
‫⃗ݒ‬
‫ݑ‬
ሬ
⃗
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VIII) |‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ݑ| = |⃗ݒ‬
ሬ
⃗|. |‫|⃗ݒ‬. ‫ߠ݊݁ݏ‬
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial de Dois Vetores


Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do
ሬሬሬሬ⃗ e ‫ = ⃗ݒ‬ሬ
ሬሬሬሬ⃗ .
paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗=ሬ
‫ܤܣ‬
‫ܥܣ‬
B
‫ݑ‬
ሬ
⃗
h
θ
A
3) Produto Misto
‫⃗ݒ‬
C
|‫ݑ‬
ሬ
⃗ × ‫ܵ = |⃗ݒ‬௣௔௥௔௟௘௟௢௚௥௔௠ ௢
ሬ
⃗ , ‫ݔ = ⃗ݒ‬ଶଓ
ሬ
⃗ e ‫ݓ‬
ሬ
⃗ , tomados
Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = ‫ݔ‬ଵଓ
⃗ + ‫ݕ‬ଵଔ
⃗ + ‫ݖ‬ଵ݇
⃗ + ‫ݕ‬ଶଔ
⃗ + ‫ݖ‬ଶ݇
ሬ
ሬ⃗ = ‫ݔ‬ଷଓ
⃗ + ‫ݕ‬ଷଔ
⃗ + ‫ݖ‬ଷ݇
nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ , ‫ ⃗ݒ‬e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗, e se representa por (‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ ) o número
real :
(‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗) = ‫ݑ‬
ሬ
⃗. (‫ݓ × ⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗)
ou
xଵ yଵ zଵ
(‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗) = อxଶ yଶ zଶอ
xଷ yଷ zଷ
ሬ
⃗ , ‫ = ⃗ݒ‬−ଓ
ሬ
⃗ e ‫ݓ‬
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = 2ଓ
⃗ + 3ଔ
⃗ + 5݇
⃗ + 3ଔ
⃗ + 3݇
ሬ
ሬ⃗ = 4ଓ
⃗ − 3ଔ
⃗+
ሬ
⃗.
2݇
Propriedades:
I) (‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗) = 0 se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são
coplanares.
Repetindo: se ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫ ⃗ݒ‬e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ são coplanares, (‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗) = 0 . Esta propriedade é de fundamental
importância em vários tópicos a serem estudados.
De forma análoga, dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ e ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ forem coplanares, isto é, se ൫‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ ൯= 0.
se os vetores ‫ܤܣ‬
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3 vetores coplanares
3 vetores não coplanares
Observação: O produto vetorial e o produto misto não são definidos em  2 .
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto
  
Geometricamente, o produto misto u .(v  w) é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos
ሬሬሬሬሬ⃗, ‫ܤܣ = ⃗ݒ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ ݁‫ݓ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ .
vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = ‫ܦܣ‬
ሬ
ሬ⃗ = ‫ܥܣ‬
ܸ = |‫ݑ‬
ሬ
⃗. (‫ݓ × ⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗)| = |(‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗)|
Volume do Tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares iguais. Como todo prisma
triangular equivale a três pirâmides (que no caso são tetraedros) de base e altura equivalentes à
base e à altura do prisma, o volume de cada uma destas pirâmides é 1/6 do volume do paralelepípedo.
Sendo A, B, C e D quatro pontos do espaço, não situados num mesmo plano, e três a três não
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ e ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ e, portanto,
colineares, as arestas do paralelepípedo são determinadas pelos vetores ‫ܤܣ‬
o volume do tetraedro ABCD é:
ଵ
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܥܣ‬,
ሬሬሬሬሬሬ⃗ ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗൯
ܸ = ଺ ൫‫ܤܣ‬
D
C
A
B
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Exercícios:
1) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, −6,3) e ‫( = ⃗ݒ‬4,3,1).
2) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1,2, −1) e ‫( = ⃗ݒ‬0, −1,3), calcular a área do paralelogramo determinado
pelos vetores 3. ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬− ‫ݑ‬
ሬ
⃗.
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3) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C( -1, -3, 3).
ሬ
⃗ = (1, −1,3) ݁ܿ
4) Qual deve ser o valor de m para que os vetores ܽ⃗ = (݉ , 2, −1), ܾ
⃗ = (0, −2,4) sejam
coplanares?
5) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (‫ݔ‬, 5,0), ‫( = ⃗ݒ‬3, −2, 1) ݁‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (1, 1, −1), calcular o valor de x para que o
volume do paralelepípedo determinado por ‫ݑ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗, ‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ seja 24 u. v.
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Aula 6 – data:__________________
ESTUDO DA RETA
1) Equação vetorial da reta
Uma reta r está perfeitamente determinada quando conhecemos um ponto por onde ela passa
e um vetor que dá a direção dela (chamado vetor diretor da reta).
Consideremos o ponto ‫ݔ(ܣ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) pertencente à reta r e o vetor diretor ‫⃗ݒ‬. Seja P(x,y,z) um
ሬሬሬሬ⃗ ݁‫ ⃗ݒ‬são colineares. Logo, ሬ
ሬሬሬሬ⃗ = ‫ݐ‬. ‫⃗ݒ‬, com t ÆR.
ponto qualquer de r. Os vetores ሬ
‫ܲܣ‬
‫ܲܣ‬
ሬ
ሬሬሬሬ⃗ = ‫ݐ‬. ‫ ܲ ⟹ ⃗ݒ‬− ‫ݐ = ܣ‬. ‫ ܣ = ܲ ⇒ ⃗ݒ‬+ ‫ݐ‬. ‫ݔ( ⟹ ⃗ݒ‬, ‫ݕ‬, ‫ݔ( = )ݖ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) + ‫ݐ‬. (ܽ, ܾ, ܿ), ‫ܽ( = ⃗ݒ݁݀݊݋‬, ܾ, ܿ)
‫ܲܣ‬
(1)
De (1) , tiramos as equações paramétricas de r.
2) Equações Paramétricas da reta.
‫ݔ = ݔ‬ଵ + ܽ‫ݐ‬
൝‫ݕ = ݕ‬ଵ + ܾ‫ݐ‬, ‫ ܴ ∈ ݐ‬, onde ‫ݔ(ܣ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) é um ponto pertencente à reta e ‫ܽ( = ⃗ݒ‬, ܾ, ܿ) é o vetor
‫ݖ = ݖ‬ଵ + ܿ‫ݐ‬
diretor ‫⃗ݒ‬.
A reta r é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) determinados pelas equações paramétricas
quando t varia de -∞ a +∞.
Exemplo 1: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(3, -1, 2) e é
paralela ao vetor ‫( = ⃗ݒ‬−3, −2, 1).
Exemplo 2: Encontre as equações paramétricas da reta r, que passa pelos pontos A(1, -2, -3)
e B( 3, 1, -4).
3) Equações Simétricas da reta.
Das equações paramétricas, supondo a.b.c ≠ 0, temos:
‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଵ
‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ
‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ
‫=ݐ‬
,
‫=ݐ‬
,
‫=ݐ‬
ܽ
ܾ
ܿ
Logo:
‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଵ
‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ
‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ
=
=
ܽ
ܾ
ܿ
Que são as equações simétricas da reta que passa pelo ponto ‫ݔ(ܣ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) e tem vetor diretor
‫ܽ( = ⃗ݒ‬, ܾ, ܿ)
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Exemplo 1: Encontre as equações simétricas da reta r, que passa pelos pontos A(2, 1, -3) e
B(4, 0, -2).
Exemplo 2: Verifique se os pontos A(5, 2, -6), B(-1, -4, -3) e C(7, 4, -7) estão alinhados.
Retas paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados
1) Duas das componentes do vetor diretor são nulas:
1.1) Seja ‫ܽ( = ⃗ݒ‬, 0,0). Então ‫ܽ( = ⃗ݒ‬, 0,0) = ܽ. (1,0,0) = ܽ. ଓ
⃗. Logo ‫⃗ݒ‬//ଓ
ሬ⃗ ⇒ ‫⃗ݒ‬//݁݅‫ ݔ ݋ݔ‬.
z
‫ܽ( = ⃗ݒ‬, 0,0)
Reta paralela ao eixo x
r
ଓ
⃗ =(1,0,0)
y
x
1.2) Seja ‫( = ⃗ݒ‬0, ܾ, 0). Então ‫( = ⃗ݒ‬0, ܾ, 0) = ܾ. (0,1,0) = ܾ. ଔ
⃗. Logo ‫⃗ݒ‬//ଔ
⃗ ⇒ ‫⃗ݒ‬//݁݅‫ ݕ ݋ݔ‬.
z
‫( = ⃗ݒ‬0, ܾ, 0)
r
Reta paralela ao eixo y
x
ଔ
⃗ = (0,1,0)
y
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ሬ
⃗ . Logo ‫⃗ݒ‬//݇
ሬ
⃗ ⇒ ‫⃗ݒ‬//݁݅‫ݖ ݋ݔ‬.
1.3) Seja ‫( = ⃗ݒ‬0,0, ܿ). Então ‫( = ⃗ݒ‬0,0, ܿ) = ܿ. (0,0,1) = ܿ. ݇
z
r
‫( = ⃗ݒ‬0,0, ܿ)
Reta paralela ao eixo z
ሬ
⃗ = (0,0,1)
݇
y
x
2) Uma componente do vetor diretor é nula:
2.1) Seja ‫( = ⃗ݒ‬0, ܾ, ܿ). Então ‫⃗ݒ‬. ଓ
⃗ = (0, ܾ, ܿ). (1,0,0) = 0. Logo ‫ ⊥ ⃗ݒ‬ଓ
⃗ ⇒ ‫ݎ‬//‫ݖ ݕ ݋݈݊ܽ݌‬.
Equações simétricas:
‫ݔ = ݔ‬ଵ
ቊ‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ = ‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ
ܾ
ܿ
2.2) Seja ‫ܽ( = ⃗ݒ‬, 0, ܿ). Então ‫⃗ݒ‬. ଔ
⃗ = (ܽ, 0, ܿ). (0,1,0) = 0. Logo ‫ ⊥ ⃗ݒ‬ଔ
⃗ ⇒ ‫ݎ‬//‫ݖ ݔ ݋݈݊ܽ݌‬.
‫ݕ = ݕ‬ଵ
‫ݔ‬
−
‫ݔ‬
‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ
ଵ
ቊ
=
ܽ
ܿ
ሬ
⃗ = (ܽ, ܾ, 0). (0,0,1) = 0. Logo ‫݇ ⊥ ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ ⇒ ‫ݎ‬//‫ ݕݔ ݋݈݊ܽ݌‬.
2.3) Seja ‫ܽ( = ⃗ݒ‬, ܾ, 0). Então ‫⃗ݒ‬. ݇
‫ݖ = ݖ‬ଵ
ቊ‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଵ = ‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ
ܽ
ܾ
Exercícios:
1) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 3, -2) e tem a direção do vetor
ሬ
⃗.
‫ = ⃗ݒ‬3ଓ
⃗ + 2݇
2) Estabelecer as equações da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9).
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3) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto A(0, 3, -2) e tem a direção do vetor ‫ = ⃗ݒ‬2ଓ
⃗.
Ângulo de duas retas
O ângulo entre duas retas r1 e r2 é o menor ângulo entre o vetor diretor de r1 e o vetor diretor de r2.
ܿ‫= ߠݏ݋‬
|‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗. ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗|
ߨ
ଵ
ଶ
, ܿ‫ ݉݋‬0 ≤ ߠ ≤
|‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗|. |‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗|
2
ଵ
ଶ
‫ =ݔ‬3+‫ݐ‬
Exercício: Calcular o ângulo entre as retas ‫ݎ‬ଵ: ൝ ‫ ݐ = ݕ‬e ‫ݎ‬ଶ :
‫ = ݖ‬−1 − 2‫ݐ‬
௫ାଶ
ିଶ
=
௬ିଷ
ଵ
= ‫ݖ‬.
OBS1: Duas retas são paralelas quando seus vetores diretores são paralelos (vetores diretores têm
componentes proporcionais).
OBS2: Duas retas são ortogonais quando seus vetores diretores são ortogonais ( ‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗. ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ = 0)
ଵ
ଶ
Exercício: Calcular o valor de m para que as retas abaixo sejam ortogonais.
‫ = ݔ‬−1 + 2‫ݐ‬
‫ ݔ ݉ = ݕ‬− 3
‫ݎ‬ଵ: ቄ
݁‫ݎ‬ଶ: ൝ ‫ = ݕ‬3 − ‫ ݐ‬
‫ = ݖ‬−2‫ݔ‬
‫ = ݖ‬5‫ݐ‬
OBS3: Sejam as retas: r1 que passa pelo ponto A1 e tem a direção do vetor ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଵ
r2 que passa pelo ponto A2 e tem a direção do vetor ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗
ଶ
ሬሬሬሬሬሬ⃗
ሬሬሬሬሬሬ⃗
As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗, ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗eሬ
‫ܣ‬ሬሬሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗, ሬ
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
⃗, ሬ
‫ܣ‬ሬሬሬ
ଵ
ଶ
ଵ‫ܣ‬ଶ forem coplanares, isto é ൫ሬ
ଵ
ଶ
ଵ‫ܣ‬ଶ൯= 0
r1
r2
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Aula 7 – data:__________________
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS
1) Coplanares: concorrentes ou paralelas
r1
r1
r2
r2
2) Reversas:
r1
r2
Exemplos:
1) Estudar a posição relativa das retas:
‫ = ݔ‬1 − 3‫ݐ‬
‫ = ݕ‬2‫ ݔ‬− 3
ܽ) ‫ݎ‬ଵ : ቄ
݁ ‫ݎ‬ଶ : ൝‫ = ݕ‬4 − 6‫ݐ‬
‫ = ݖ‬−‫ݔ‬
‫ = ݖ‬3‫ݐ‬
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‫ = ݔ‬2 − 4‫ݐ‬
‫ݔ‬
ܾ) ‫ݎ‬ଵ : = 1 − ‫ݎ݁ݖ = ݕ‬ଶ : ൝ ‫ = ݕ‬2‫ ݐ‬
2
‫ = ݖ‬−2‫ݐ‬+ 1
ܿ) ‫ݎ‬ଵ :
‫ =ݔ‬5+‫ݐ‬
‫ ݔ‬− 2 ‫ݖ ݕ‬− 5
= =
݁‫ݎ‬ଶ : ൝‫ = ݕ‬2 − ‫ݐ‬
2
3
4
‫ = ݖ‬7 − 2‫ݐ‬
‫ =ݕ‬3
݀) ‫ݎ‬ଵ : ቄ
‫ = ݖ‬2‫ݔ‬
݁ ‫ݎ‬ଶ: ‫ݖ = ݕ = ݔ‬
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Aula 8 – data:__________________
ESTUDO DO PLANO
1) Equação geral do plano
Um plano π está perfeitamente determinado quando conhecemos um ponto pertencente ao
ሬ
⃗.
plano ‫ݔ(ܣ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) e um vetor normal ݊
ሬ
⃗ = ܽଓ
⃗ + ܾଔ
⃗ + ܿ݇
Consideremos o ponto ‫ݔ(ܣ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ) pertencente ao plano π e o vetor normal ݊
ሬ
⃗. Seja P(x, y, z)
ሬሬሬሬ⃗ ݁݊
ሬሬሬሬ⃗. ݊
um ponto qualquer de π. Os vetores ሬ
‫ܲܣ‬
ሬ
⃗ são perpendiculares. Logo, ሬ
‫ܲܣ‬
ሬ
⃗ = 0.
݊
ሬ
⃗
A(‫ݔ‬ଵ, ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬ଵ)
P(x, y, z)
ሬ
ሬሬሬሬሬ⃗. ሬ
‫ܲܣ‬
ሬ
݊⃗ = 0 ⟹ (ܽ, ܾ, ܿ). (‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଵ, ‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ, ‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ) = 0 ‫݊݁݀݊݋‬
ሬ
ሬ
⃗ = (ܽ, ܾ, ܿ) . Logo,
ܽ(‫ ݔ‬− ‫ݔ‬ଵ) + ܾ(‫ ݕ‬− ‫ݕ‬ଵ) + ܿ(‫ݖ‬− ‫ݖ‬ଵ) = 0 ⟹ ܽ‫ ݔ‬+ ܾ‫ ݕ‬+ ܿ‫ݖ‬− ܽ‫ݔ‬ଵ − ܾ‫ݕ‬ଵ − ܿ‫ݖ‬ଵ = 0
Fazendo: −ܽ‫ݔ‬ଵ − ܾ‫ݕ‬ଵ − ܿ‫ݖ‬ଵ = ݀ , temos ܽ‫ ݔ‬+ ܾ‫ ݕ‬+ ܿ‫ݖ‬+ ݀ = 0.
Portanto, a equação geral do plano é :
com ݊
ሬ
⃗ = (ܽ, ܾ, ܿ).
ߨ ∶ ܽ‫ ݔ‬+ ܾ‫ ݕ‬+ ܿ‫ݖ‬+ ݀ = 0
Obs: Se ݊
ሬ
⃗ é um vetor normal ao plano, então ݇݊
ሬ
⃗ também é normal ao plano.
Exemplos: 1) Determinar a equação geral do plano π que passa pelo ponto (2, -1, 3), sendo
݊
ሬ
⃗ = (3, 2, −4) um vetor normal a π.
2) Escrever a equação cartesiana do plano que passa pelo ponto (3, 1, -4) e é paralelo ao plano
2‫ ݔ‬− 3‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬− 6 = 0
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3) Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento AB, dados A(2, -1, 4) e B(4, -3, -2).
(plano mediador de um segmento é o plano perpendicular ao segmento, passando pelo ponto
médio)
4) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (2, 1, -2) e é perpendicular à reta
‫ = ݔ‬−4 + 3‫ݐ‬
‫ݎ‬ଵ: ൝ ‫ = ݕ‬1 + 2‫ ݐ‬
‫ݐ =ݖ‬
5) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto (1, -3, 4) e é paralelo aos vetores
‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ = (3, 1, −2)݁‫ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
⃗ = (1, −1, 1)
ଵ
ଶ
6) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos (2, 1, -1), (0, -1, 1) e (1, 2, 1).
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7) Calcular os valores de m e n para que o plano ߨଵ: (2݉ − 1)‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬+ ݊‫ݖ‬− 3 = 0 seja paralelo ao
plano ߨଶ: 4‫ ݔ‬+ 4‫ ݕ‬− ‫ = ݖ‬0
8) Verificar se a reta ‫ݎ‬:
௫ିଶ
ଷ
=
௬ାଵ
ିଶ
௭
= ିଵ é perpendicular ao plano ߨ: 9‫ ݔ‬− 6‫ ݕ‬− 3‫ݖ‬+ 5 = 0
‫ =ݔ‬2+‫ݐ‬
9) Determine os valores de m e n para que a reta ‫ݎ‬: ൝ ‫ = ݕ‬1 + ‫ ݐ‬esteja contida no plano
‫ = ݖ‬−3 − 2‫ݐ‬
ߨ: ݉ ‫ ݔ‬+ ݊‫ ݕ‬+ 2‫ݖ‬− 1 = 0
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LISTAS
DE
EXERCÍCIOS
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Professora: Cristiane Pinho Guedes
Lista nº 1 - Matrizes
1) Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterrâneo e colonial. A
quantidade de material empregada em cada tipo de casa é dada pela matriz:
Moderno
Mediterraneo
Colonial
Ferro
Madeira Vidro T int a Tijolo
5
20
16
7
17
7
6
18
25
12
8
9
5
21
13
a) Se ele construir 5, 7 e 12 casas do tipo moderno, mediterrâneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material serão empregadas?
b) Suponha agora que os preços por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam
respectivamente 15, 8, 5, 1 e 10 reais. Qual é o preço unitário de cada tipo de casa?
c) Qual o custo total do material empregado?
2) Uma rede de comunicação tem cinco locais com transmissões de potências distintas.
Estabelecemos que aij  1 na matriz abaixo significa que a estação i pode transmitir diretamente à
estação j, aij  0 significa que a transmissão da estação i não alcança a estação j. Observe que a
diagonal principal é nula significando que uma estação não transmite diretamente para si mesma.
0

1
A  0

0

0
1 1 1 1

0 1 1 0
1 0 1 0 Qual seria o significado da matriz A 2 ?

0 1 0 1

0 0 1 0
a) Calcule A 2 .
b) Qual o significado de c13  2 ?
c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a justificar a
afirmação: “ A matriz A 2 representa o número de caminhos disponíveis para se ir de uma estação a
outra com uma única retransmissão”.
d) Qual o significado das matrizes A  A 2 , A 3 ?
e) Se A fosse simétrica o que significaria?
3) Existem 3 tipos de marcas de automóveis disponíveis no mercado: o Jacaré, o Piranha e o Urubu.
O termo a ij da matriz A abaixo é a probabilidade de que um dono de carro da linha i mude para o
carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
Para
 0,7 0,2 0,1

 Os termos da diagonal dão a probabilidade a de se comprar um carro da
ii
De  0,3 0,5 0,2


 0,4 0,4 0,2
mesma marca. Calcule A 2 e interprete.
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Lista nº 2 – Matriz Inversa
Nos problemas 1 a 17, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
3 5
1) ‫ = ܣ‬ቀ
ቁ
1 2
1
0
4)‫ = ܦ‬൭ 2 −2
−3
0
1
3) ‫ = ܥ‬ቌ2
3
4
−3
4 −5
2) ‫ = ܤ‬൭ 0
1
2൱
3 −5
4
−2
−2൱
2
−1 10 −7
7) ‫ = ܩ‬൭−1 −4
3൱
1 −2
1
−4
0 −10
5)‫ = ܧ‬൭−2 −4
−4൱
2 −2
6
2
8) ‫ = ܪ‬൭3
1
2 2
4 7൱
2 5
−3 −1 −3
10) ‫ = ܮ‬൭ 2 −4 −1൱
1 −2 −2
−1
0
0
11) ‫ = ܯ‬൭−1 −1
0൱
−1 −1 −1
0
2 −1
13) ܲ = ൭ 1
4 −2൱
−1 −7
3
−1
14) ܳ = ൭−3
−3
0
16) ܵ = ൭0
9
−1 −1
−3 −4൱
−4 −3
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0ቍ
0
1
−3 −6 −12
6)‫ = ܨ‬൭ 0
3
−3൱
−6 −9 −24
−1 −2 −3
9) ‫ =ܬ‬൭−2 −4 −5൱
−3 −5 −6
1 −2 −4
12) ܰ = ൭−2 −1
2൱
3
0 −5
2 0
15) ܴ = ൭0 3
0 0
0
0൱
7
−1
2
0 −8
2
1ቍ
17) ܶ = ቌ 0 −1
0
0 −1
1
0
0
0 −1
0 5
6 0൱
0 0
Nos problemas 18 a 23, supondo as matrizes quadradas e inversíveis, resolver as equações
matriciais na variável X.
18) ‫ܣ‬. ‫ܦ‬. ܺ = ‫ܣ‬. ‫ܤ‬. ‫ܥ‬
21) ‫ି ܦ‬ଵ. ܺ. ‫ܣ = ܦ‬. ‫ܥ‬
19) ‫ܦ‬. ܺ ் = ‫ܦ‬. ‫ܥ‬
20) ‫ܣ‬. ‫ܤ‬. ‫ܥ‬. ܺ ଶ. ‫ ܦ‬ଶ = ‫ܣ‬. ‫ܤ‬. ‫ܥ‬. ܺ
22) ‫ܥ‬. ܺ + 2. ‫ = ܤ‬3. ‫ܤ‬
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RESPOSTAS:
−
2 −5
1) ‫ିܣ‬ଵ = ቀ
ቁ
−1
3
− 1ൗ2
4) ‫ି ܦ‬ଵ = ⎛ 1ൗ4
3
⎝− ൗ4
− 1ൗ2
7) ‫ି ܩ‬ଵ = ⎛ −1
3
⎝ ൗ2
0
− 1ൗ2
0
−1
− 3ൗ2
−2
ܵିଵ = ⎛ 0
1
⎝ ൗ5
18) ܺ = ‫ି ܦ‬ଵ. ‫ܤ‬. ‫ܥ‬
22) ܺ = ‫ିܥ‬ଵ. ‫ܤ‬
ଽ
−ଷ −
−1
1
ଵଷ
ଷ
−2ቍ
1
5ൗ
− 1ൗ2
−4
2
−1ൗ ⎞ 5) ‫ିܧ‬ଵ = ⎛1ൗ − 1ൗ
4
2
2
1
3
− ൗ4⎠
−1
⎝ ൗ2
− 1ൗ2
−5ൗ ⎞ 8) ∄‫ି ܪ‬ଵ
2
−7ൗ
2⎠
−2
1
0
13) ܲିଵ = ൭−1 −1 −1൱
−3 −2 −2
0 1ൗ9
1ൗ
⎞
6 0
0
0 ⎠
ଷ
2) ‫ି ܤ‬ଵ = ቌ −2
1
6 4 −11
10) ‫ିܮ‬ଵ = ൭ 5 3
−9 ൱
−8 −5 14
0
ଵସ
−5
1ൗ ⎞
2
2 ⎠
1
0
0
1
0
3) ‫ିܥ‬ଵ = ቌ−2
1 −2
1
0
1 −2
0
0ቍ
0
1
11ൗ
4ൗ
3
3
ିଵ
−2
6) ‫ ⎛ = ܨ‬ൗ3
0
−2
1
⎝ ൗ3 − ൗ3
−1
3 −2
9) ‫ିܬ‬ଵ = ൭ 3 −3
1൱
−2
1
0
−2
1ൗ ⎞
3
1ൗ
3⎠
−1
0
0
11) ‫ି ܯ‬ଵ = ൭ 1 −1
0൱
0
1 −1
−7
1
1
14) ܳ ିଵ = ൭ 3
0 −1൱
3 −1
0
−1 −2 −4
17) ܶିଵ = ቌ 0 −1 −2
0
0 −1
0
0
0
19) ܺ = ‫்ܥ‬
5 −10 −8
12) ܰ ିଵ = ൭−4
7
6൱
3
−6 −5
1ൗ
0
2 0
15) ܴିଵ = ⎛ 0 1ൗ3 0 ⎞
16)
0 1ൗ7⎠
⎝ 0
2
−3ቍ
−1
−1
20) ܺ = ‫ି ܦ‬ଵ
21) ܺ = ‫ܦ‬. ‫ܣ‬. ‫ܥ‬. ‫ି ܦ‬ଵ
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Lista nº 3
Sistemas Lineares
1) Classificar e resolver os sistemas:
2 x  3y  2z  2

a )3x  5y  4z  5
x  2 y  7z  24

x  4 y  6z  0

b ) 3
 2  6 y  9z  0
x  2 y  3z  10

c)3x  4 y  6z  23
3x  2 y  3z  10

5x  3y  7z  5

d ) 4 x  y  z  2
 2 x  4 y  8z  10

3x  9 y  12z  24

e)4x  16y  26z  46
x  7 y  14z  20

6x  2 y  4z  0
f )
 9x  3y  6z  0
x  4 y  6z  11

g )2 x  3y  4 z  9
3x  2 y  2 z  7

x  y  0

h ) 2 y  4 z  6
x  y  4 z  6

2) Resolva o sistema:
 2 a  b  2 d  5
3a  b  2 c  2 d  3


 4 a  b  2 c  3d  12
3a  b  c  2 d  10
Resp: 1) a) SPD
S={( 1, 2, 3)} b) SPI
e) SI
S={( 1,
S= 
 1  6z
, z)}
c) SI S= 
4
f) SPI S= {( x, -3x - 2z, z)}
d) SPD
S={( 1, 1, 1)}
g) SPI
S= {( ( 3 + 2z)/5, (13 - 8z)/5, z)}
h) SPI
S={( y, y,
3 y
)}
2
2) S={( 22, 25, 7, 37)}
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Lista nº 4
Sistemas Lineares – Discussão
1) Resolva e classifique os sistemas abaixo:
3‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬− 5‫ = ݖ‬8
ܽ) ൝2‫ ݔ‬− 4‫ ݕ‬− 2‫ = ݖ‬−4
‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬− 3‫ = ݖ‬−4
2‫ ݔ‬+ 4‫ ݕ‬+ 6‫ = ݖ‬−6
b) ൝3‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬− 4‫ = ݖ‬−38
‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ 3‫ = ݖ‬−3
‫ݔ‬+ ‫ݕ‬− ‫ =ݖ‬0
2‫ݔ‬
c) ൝ − 3‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0 4‫ ݔ‬− 4‫ ݕ‬− 2‫ = ݖ‬0
‫ ݔ‬+ 3‫ = ݖ‬−8
2‫ݔ‬
− 4‫ = ݕ‬−4 d) ൝
3‫ ݔ‬− 2‫ ݕ‬− 5‫ = ݖ‬26
2) Estabelecer a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes x, y e z para que os
sistemas abaixo sejam compatíveis (possíveis).
ܽଵ + 2ܽଶ = ‫ݔ‬
a) ൝−3ܽଵ + 4ܽଶ = ‫ݕ‬
2ܽଵ − ܽଶ = ‫ݖ‬
ܽ + 2ܾ = ‫ݔ‬
b) ൝−2ܽ + ܾ = ‫ݕ‬
−ܽ + ܾ = ‫ݖ‬
3) Resolver, em função de x e y, o sistema:
3ܽ + 5ܾ = ‫ݔ‬
൜
ܽ + 2ܾ = ‫ݕ‬
4) Determinar o valor de k para que o sistema abaixo admita solução não trivial:
‫ݔ‬− ‫ݕ‬− ‫ =ݖ‬0
‫ݔ‬
൝ − 2‫ ݕ‬− 2‫ = ݖ‬0
2‫ ݔ‬+ ݇‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0
GABARITO:
1) a) S = {( 3, 2, 1)}
ିସଵା௭ ଶଽିଵଷ௭
b) S = ቄቀ
ସ
,
c) S = {( 0, 0, 0)}
଼
, ‫ݖ‬ቁቅ
d) S = {( 4, 3, -4)}
2) a) x = y + 2z
b) x = 5z – 3y
3) a = 2x – 5y e b = 3y – x
4) k = 1
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Lista de exercícios nº 5 - Vetores
-
ÁLGEBRA I
1) Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ‫( = ⃗ݒ‬2, -5), sabendo que sua origem é o
ponto A (-1, 3).
2) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3, -1) e ‫( = ⃗ݒ‬-1, 2), determinar o vetor ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ tal que
a) 4 (‫ݑ‬
ሬ
⃗ - ‫ )⃗ݒ‬+
ଵ
ଷ
‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = 2 ‫ݑ‬
ሬ
⃗-‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗
b) 3 ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ - (2 ‫ ⃗ݒ‬- ‫ݑ‬
ሬ
⃗) = 2(4 ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ - 3 ‫ݑ‬
ሬ
⃗)
ሬሬሬሬ⃗ - ሬ
ሬሬሬሬ⃗ , ሬ
ሬሬሬሬ⃗ − ሬ
ሬሬሬሬ⃗ e 3 . ሬ
ሬሬሬሬ⃗ − 4 . ሬ
ሬሬሬሬ⃗ .
3) Dados os pontos A (-1, 3), B (2, 5) e C (3, -1), calcular ሬ
ܱ‫ܣ‬
‫ܤܣ‬
ܱ‫ܥ‬
‫ܥܤ‬
‫ܣܤ‬
‫ܤܥ‬
4) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3,-4) e ‫( = ⃗ݒ‬-9/4 , 3), verificar se existem números a e b tais que
‫ݑ‬
ሬ
⃗ = a ‫ ⃗ݒ‬e ‫ = ⃗ݒ‬b ‫ݑ‬
ሬ
⃗.
5) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2,- 4), ‫( = ⃗ݒ‬-5, 1) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-12,6), determinar k1 e k 2 tal que ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗= k1 ‫ݑ‬
ሬ
⃗+ + k 2 ‫⃗ݒ‬.
ሬሬሬሬ⃗ = ሬ
ሬሬሬሬ⃗.
6) Dados os pontos A (-1, 3), B (1, 0), C (2, -1), determinar D tal que ሬ
‫ܥܦ‬
‫ܣܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ = ܲ‫ܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗.
7) Dados os pontos A (2, -3, 1) e B (4, 5, -2), determinar o ponto P tal que ‫ܲܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ = 3. ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗.
8) Dados os pontos A (-1, 2, 3) e B (4, -2, 0), determinar o ponto P tal que ‫ܲܣ‬
9) Determinar o vetor v sabendo que (3, 7, 1) + 2 ‫( = ⃗ݒ‬6, 10, 4) - ‫⃗ݒ‬.
10) Encontrar os números a1 e a 2 tais que ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = a1 v1  a 2 v 2 , sendo v1 = (1, -2, 1), v 2 = (2, 0,-4) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-4, -4,
14).
11) Determinar a e b de modo que os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (4, 1, -3) e ‫( = ⃗ݒ‬6, a, b) sejam paralelos.
12) Verificar se são colineares os pontos:
a) A (-1, -5, 0), B (2, 1, 3) e C (-2, -7, -1)
b) A (2, 1, -1), B (3, -1, 0) e C (1, 0, 4)
13) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A (3, 1, -2), B (1, 5, 1) e C (a, b, 7).
14) Mostrar que os pontos A (4, 0, 1), B (5, 1, 3), C (3, 2, 5) e D (2, 1, 3) são vértices de um paralelogramo.
15) Determinar o simétrico do ponto P (3, 1, -2) em relação ao ponto A (-1, 0, -3).
GABARITO:
1) (1,-2)
2) a) ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (−
3) (-4, 1), (2, 5), (-5, -30)
ଵହ ଵହ
, )
ଶ ଶ
ଶଷ
ହ
b) ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = ( , −
ଵଵ
)
ହ
4) a = - 4/3 , b = - ¾
5) k1 = -1 e k2 = 2
6) D(4, -4)
7) P(3, 1, -1/2 )
8) (14, -10, -6)
9) ‫( = ⃗ݒ‬1,1,1)
11) a = 3/2 e b = - 9/2
13) a = -3 e b = 13
10) a1= 2 , a2 = -3
12) a) sim
b) não
15) (-5, -1, -4)
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-
ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 6 - Vetores II
1) Dados ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (4,2) ݁ ‫( = ⃗ݒ‬−3,5) o produto escalar ‫ݑ‬
ሬ
⃗ . ‫ ⃗ݒ‬é igual a
a) -2
b)-1
c) 0
d) 1
e) 2
ሬሬሬሬሬ⃗ ݁‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ é
2) Se A = (7, -1), B = ( 0, 4) e C = (-2, 3), então, o produto escalar dos vetores ‫ܤܣ‬
a) – 8
b) 15
c) 0
d) – 13
e) 9
d) 2√3
e) 2√5
3) O módulo do vetor (4, -2) é igual a
a) 5
b) 2
c) 4
4) Dados ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3, −1) ݁‫( = ⃗ݒ‬1,4), o módulo do vetor soma ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫ ⃗ݒ‬é igual a
a) √27 b) 4
d) 3√5
c) 5
ଵ
ଷ
5) O vetor ݉
ሬሬ⃗ = ቀܽ, ቁ é um vetor unitário se a =
a) ±
ଶ
ଷ
b) ±2√2/3
c) ±
ଵ
ଷ
e) √10 + √17
d) ±√3
e) n r a
6) Um vetor unitário na direção da bissetriz do 1º e 3º quadrante é
a) ½ (1, 1)
b) (1, 1)
√ଶ
(1,1)
ଶ
c) √2)(1, 1)
d)
c) 10
d) 15
e) n r a
7) A distância do ponto P( 8, -6) à origem do sistema cartesiano é
a) 6
b) 8
e) n r a
8) Os pontos A(1, 1), B(-2, 3) e C(3, -2) são os vértices de um triângulo cujo perímetro é
a) 2√13 + 5√2
b) √2 + √3 + √17
c) 2(√13 + √5)
d) √102
9) Os pontos A(1, 0), B(0, 1) e C(2, 2) são os vértices de um triângulo
a) eqüilátero
b) retângulo
d) escaleno
e) n r a
c) isósceles, mas não retângulo
10) Dado o triângulo de vértices A(0, 0(, B(5, -3) e C(3, -3), a medida da mediana relativa ao vértice A é
a) 5
b) 4
c) √17
d) √20
ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ቚ=
ሬሬሬሬ⃗ห= 3,5 , então ቚሬ
11) Na figura temos A = (2, 3), A’= (6, 9), AB ∥ A’B’. Se หሬ
‫ܤܣ‬
‫'ܤ'ܣ‬
a) 7
b) 9
c) 10,5
d) 12
e) n r a
12) O ponto (x, 2x) é eqüidistante dos pontos (3, 0) e (-7, 0) para x =
a) -2
b) – 5/2
c) -3
d) 0
e) 7/2
13) Um vetor paralelo ao vetor (4, -2) é
a) (6, -4)
b) (-2, 1)
c) -2, 4)
d) (1, ½)
Profª Cristiane Pinho Guedes
14) Um vetor ortogonal ao vetor (3, 6) é
a) (1, 2)
b) (12, 6)
c) (1, -2)
d) (-12, 6)
15) Os vetores (4, 7) e (2, y) são paralelos se y =
a) 3
b) 3,5
c) 4,5
d) -8/7
ሬሬሬሬሬሬ⃗ ݁‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ são ortogonais se y =
16) Dados A(1, 0),
), B(2, 3) e C(5, y), os vetores ‫ܥܣ‬
a) -4/3
b) 4/3
c) ¾
d) -3/4
17) Dados ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3,0) ݁ ‫( = ⃗ݒ‬2,2),, os vetores ‫ ⃗ݒ‬e ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ݇‫( ⃗ݒ‬k real) são ortogonais se k =
a) 0
b) -1
c) ¾
d) -3/4
18) Os pontos A(1, 1), B(4, 6) e C(6, -2)
2) são os vértices de um triângulo
a) retângulo em A
b) retângulo em B
c) retângulo em C
d) isósceles, mas não retângulo
ଵ ଵ
ଶ ଷ
ଵ ଶ
ଶ ଷ
e) eqüilátero
19) Se ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = ( , ) ݁ ‫ ( = ⃗ݒ‬, ),, então a ângulo formado pelos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫ ⃗ݒ‬e 2‫ݑ‬
ሬ
⃗ − ‫ ⃗ݒ‬é
a) 30º
b) 45º
5º
c) 60º
d) 120º
ሬሬሬሬሬ⃗ ݁‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ , sendo A = (0, 1), B = (2, 2) e C = (3, 0), é igual a
20) O seno do ângulo formado pelos vetores ሬ
‫ܥܤ‬
a) ½
c) √3/2
b) 0
d) 1
21) Se dois vetores são unitários, então o seu produto escalar é
a) necessariamente 1b)
b) necessariamente 0c)
0 c) o cosseno do ângulo formado por eles
d) a tangente do ângulo formado por eles
22) Se dois vetores são unitários e formam um ângulo de 30º, então o módulo da soma é
b) ඥ 2 + √3
√
a) superior a 2
c) √2
d) √3
ሬሬሬሬሬሬ⃗. ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ e ‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬሬ⃗. ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ valem
23) Num triângulo equilátero
ilátero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares ‫ܥܣ‬
respectivamente
a) 9/2 e -9/2
b) 9/2 e 9/2
c)
ଽ√ଷ
ଶ
݁
ଽ√ଷ
ଶ
d) -9/2 e 9/2
24) Os pontos (1, 1), (a, b) e (a2, b2) são colineares se e somente se
a) a = 1
b) a = b
c) a = 1, b = 1 e a = b d) a = 1 ou b = 1 ou a = b
e) a ≠ b ≠ 1 ≠a
25) Os pontos (1, 2), (0, a) e (a, 0) são vértices de um triângulo se e somente se
b) a ≠ 1 e a ≠ -1
a) a = 0
c) a ≠ 0 e a ≠ 3
d) a = 2 ou a = 4
26) A( -1, -5), B(1, 3) e C(7, -5)
5) são os vértices de um triângulo cuja área é
a) 16
b) 64
c) 56
d) 32
27) Dado o triângulo de vértices A(0, 0), B(a, a) e C(a, -a),
a), o valor da área do triângulo cujos vértices são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC é
a) a/2
b) 2a²
c) a²
d) a²/2 e) a²/4
28) O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triângulo de vértices A(0, 2), B(5, --1) e C(6, 3) se
a) x = 5/3 ou x = 11/2 b) x = 2 ou x = 11/2
ou x = 17/3
c) x = 2
d) x = 5/3 ou x = 13/3
29) Se o ponto P(x, y) pertence à reta que passa por A(1, 4)
e B(2, 3), então temos necessariamente
a) 2x – y = 1
d)x–y=5
b) x + y = 3
c) x – y = -3
e) x + y = 5
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30) Se a área hachurada na figura é igual a 16, então a vale
a) 3
b) 4
d) 6
e) n r a
c) 5
31) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, 4, −1) ݁ ‫( = ⃗ݒ‬0, 1, 3)݀‫ ݋‬ℝଷ, o vetor ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ que satisfaz a equação 3‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ + ‫ݑ‬
ሬ
⃗ == ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ + 2‫⃗ݒ‬
é
a) (2, 5, 2)
b) (1, -1, 7/2 ) c) (1, 3, 5/2)
d) (2, 3, -4)
e) (6, 14, 0)
ሬሬሬሬ⃗ = 3‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ , então, podemos concluir que x + y + z =
32) Dados A(1, 0, 1), B(2, 3, -1) e C(x, y, z), se ሬ
‫ܥܣ‬
a) 18
b) 6
c) 12
d) 8
e) 10
33) Dados ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, 2, −1), ‫( = ⃗ݒ‬3, 2,1) ݁‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (4, 0, 5), o produto escalar dos vetores 2‫ݑ‬
ሬ
⃗ + 3‫ݑ ݁ ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ − −‫ ⃗ݒ‬+ 2‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ é
a) 118
b) 128
c) 108
d) 8
34) Dados ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, 0, 0), ‫( = ⃗ݒ‬1,1,0) ݁‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (1, 1, 1),o vetor (‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫ݓ)⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗ − (‫⃗ݒ‬. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗)‫ݑ‬
ሬ
⃗ é igual a
a) (1, 1, -1)
b) (1, -1, 1)
c) (-1, 1, 1)
e) n r a
d) (-1, -1, 1)
e) (1, -1, -1)
d) (0, 1, -1)
e) (8/9, 1/9, 4/9)
35) Qual dos vetores seguintes é um vetor unitário?
a) (1, 1, 1)
b) (1/3, 1/3, 1/3)
c) (1/2, -1/2, 0)
36) Se o vetor (4, 12, k) tem módulo 13, k pode ser
a) -3
b) 1
c) -10
d) 5
37) A medida do ângulo interno A do triângulo ABC, A = (1, 1, 1), B = (2, 0, 2) e C = (1, 3, 3) é
a) 45º
b) 60º
c) 30º
d) 90º
e) 120º
38) Se for verdadeira a igualdade |‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫ݑ| = |⃗ݒ‬
ሬ
⃗|. |‫ |⃗ݒ‬podemos concluir que os vetores
a) são ortogonais
b) são paralelos e de mesmo sentido
c) são paralelos e de sentidos opostos
d) são paralelos, podendo ter o mesmo sentido ou sentidos opostos
e) não são paralelos, nem ortogonais
39) Um vetor paralelo ao vetor (8, 0, 2) é
a) (16, 0, 8)
b) (4, 0, 4)
c) (-16, 0, 4)
d) (2, 0, ½)
40) Se os vetores (2, -1, 5) e (8, a, b) são paralelos, podemos concluir que a + b vale
a) 16
b) 20
c) 24
d) 4
41) Os vetores (1, 1, k) e (k, -1, 1) são ortogonais se k =
a) ±1
b) 2
a) ±1
b) 2
c) ½
d) -1/2
42) Os pontos A(0, 1, 0), B(k, 1, 1) e C(k, k, -1) são os vértices de um triângulo retângulo em A se k=
c) ½
d) -1/2
43) Os pontos A(1, -1, 3), B(2, 1, 7) e C(4, 2, 6) são
a) os vértices de um triângulo retângulo
b) os vértices de um triângulo eqüilátero
c) os vértices de um triângulo isósceles e não retângulo
d) são colineares
44) Se o ponto P(x, y, z) pertence ao plano yz e eqüidista dos pontos A(1, 1, 0) e B(-1, 0, 1), podemos
concluir que
a) x = y = z
b) x = 0 e y = z
c) y = 0 e x = z
d) x = 0 e y + z = 0
Profª Cristiane Pinho Guedes
GABARITO:
1) A
32) D
2) E
33) E
3) E
34) C
4) C
35) E
5) B
36) A
6) D
37) D
7) C
38) D
8) A
39) D
9) C
40) A
10) A
41) C
11) C
42) A
12) A
43) A
13) B
44) B
14) D
15) B
16) A
17) D
18) A
19) B
20) D
21) C
22) B
23) A
24) D
25) B
26) D
27) E
28) A
29) E
30) B
31) B
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CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes
-
ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 7 – Vetores – Produto Escalar.
1) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, a, -2a - 1), ‫( = ⃗ݒ‬a, a -1,1) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (a, -1, 1), determinar a de modo que ‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫ݑ( = ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ +
‫ )⃗ݒ‬. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗.
ሬሬሬሬሬ⃗ = ‫ ⃗ݔ‬+ +(‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ . ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ )
2) Dados os pontos A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3), determinar ‫ ⃗ݔ‬o vetor tal que 2‫ ⃗ݔ‬- ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ .
‫ܥܣ‬
3) Determinar o vetor ‫ ⃗ݒ‬, sabendo que (3, 7, 1) + 2‫( = ⃗ݒ‬6, 10, 4) - ‫ ⃗ݒ‬.
ሬሬሬሬሬ⃗ -2‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ .
4) Dados os pontos A(1, 2, 3), B(-6, -2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3‫ܣܤ‬
  1
2 1 
,
,

6 6
 6
5) Verificar se são unitários os seguintes vetores: ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(1, 1, 1) e v  
6) Determinar o valor de n para que o vetor ‫( = ⃗ݒ‬n, -4/5 , 2/5) seja unitário.
ሬ
⃗. Calcular m para que I ‫ ⃗ݒ‬I =
7) Seja o vetor ‫( = ⃗ݒ‬m + 7) ଓ
⃗ + (m + 2) ଔ
⃗+ 5݇
38 .

8) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que v  7 , sendo ‫=⃗ݒ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ + ‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ .
m‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ I=
9) Dados os pontos A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determinar m de modo que I‫ܤܣ‬
35 .
10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(-1, 0, -1) e C(2, -1, 0).
11) Obter um ponto P do eixo das abscissas eqüidistante dos pontos A(2, -3, 1) e B(-2, 1, -1).
12) Seja o triângulo de vértices A(-1, -2, 4), B(-4, -2, 0) e C(3, -2, 1). Determinar o ângulo interno ao vértice B.
13) Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 10 cm. Calcular o produto
ሬሬሬሬ⃗ e ሬ
ሬሬሬሬ⃗ .
escalar dos vetores ሬ
‫ܤܣ‬
‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬ⃗ . ሬ
ሬሬሬሬ⃗ + +‫ܣܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗. ሬ
ሬሬሬሬ⃗ +
14) Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular ሬ
‫ܤܣ‬
‫ܥܣ‬
‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗. ‫ܤܥ‬
ሬሬሬሬሬ⃗.
‫ܣܥ‬
15) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0, -1) e C(-1, 2, 1).
16) Sabendo que o ângulo entre os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2,1, -1) e ‫(= ⃗ݒ‬1, -1, m + 2) é

determinar m.
3
17) Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(1, n, 2) e ଔ
⃗.
ሬ
⃗ = (  + 2, -5, 2) e ܿ
18) Dados os vetores ܽ⃗ = (2, 1,  ), ܾ
⃗ = (2  , 8,  ), determinar o valor de  para que o
ሬ
⃗ seja ortogonal ao vetor ܿ
vetor ܽ⃗ + ܾ
⃗ - ܽ⃗ .
19) Determinar o vetor ‫⃗ݒ‬, paralelo ao vetor ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, -1, 2), tal que ‫ ⃗ݒ‬. ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =-18.
20) Determinar o vetor ‫ ⃗ݒ‬ortogonal ao vetor ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, -3, -12) e colinear ao vetor ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-6,4,-2).
21) Determinar o vetor ‫ ⃗ݒ‬, colinear ao vetor ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (-4, 2, 6), tal que ‫⃗ݒ‬. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = -12, sendo ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-1, 4, 2).
22) Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(-3, -2, 1) são vértices de um triângulo retângulo.
ሬ
⃗ e b = (  + 1) ଓ
ሬ
⃗ sejam ortogonais?
23) Qual o valor de a para que os vetores a =  ଓ
⃗+ 5ଔ
⃗ - 4݇
⃗ + 2ଔ
⃗ + 4݇
24) Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
25) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45°, 60° e 90°? Justificar.
26) Os ângulos diretores de um vetor são 45°, 60° e y. Determinar y.
ሬ
⃗.
27) Determinar o vetor v, sabendo que I ‫ ⃗ݒ‬I = 5, v é ortogonal ao eixo Oz, ‫ ⃗ݒ‬. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = 6 e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗=2ଔ
⃗ +3݇
Profª Cristiane Pinho Guedes
28) Sabe-se que I ‫ ⃗ݒ‬I = 2, cos  = 1/2 e cos  = - 1/4 . Determinar ‫ ⃗ݒ‬.
29) Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor ‫( = ⃗ݒ‬2, -1, 1).
30) Determinar um vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ‫( = ⃗ݒ‬1, -1, 2).
31) 0 vetor ‫ ⃗ݒ‬é ortogonal aos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(2, -1, 3) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (1, 0, -2) e forma ângulo agudo com o vetor ଔ
⃗
. Calcular ‫ ⃗ݒ‬, sabendo que I ‫ ⃗ݒ‬I = 3 6

32) Determinar o vetor ‫ ⃗ݒ‬, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ‫ ⃗ݒ‬. ‫ ⃗ݒ‬1 = 10 v.v 2 =-5, sendo

‫ ⃗ݒ‬1 =(2,3,-1) e v 2 =(1,-1,2).
33) Determinar o vetor projeção do vetor ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, 2, -3) na direção de ‫(= ⃗ݒ‬2, 1, -2).
34) Qual o comprimento do vetor projeção de ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3, 5, 2) sobre o eixo dos x?
ሬሬሬሬሬ⃗ tem co-senos diretores p, q e r e ângulos diretores  ,  e  , quais são os co-senos e
35) Se o vetor ‫ܤܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗?
os ângulos diretores de ‫ܣܤ‬
36) Mostrar que se u e ‫ ⃗ݒ‬são vetores, tal que ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫ ⃗ݒ‬é ortogonal a ‫ݑ‬
ሬ
⃗ - ‫⃗ݒ‬, então l ‫ݑ‬
ሬ
⃗ I = l ‫ ⃗ݒ‬I
37) Mostrar que, se u é ortogonal a ‫ ⃗ݒ‬e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗, ‫ݑ‬
ሬ
⃗ é também ortogonal a ‫ ⃗ݒ‬+ ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗.
38) Calcular o módulo dos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫ ⃗ݒ‬e ‫ݑ‬
ሬ
⃗ - ‫⃗ݒ‬, sabendo que I ‫ݑ‬
ሬ
⃗ I = 4, I ‫ ⃗ݒ‬I= 3 e o ângulo entre ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬é de
60°.
3
, determinar I (2‫ݑ‬
ሬ
⃗ - ‫ )⃗ݒ‬. (‫ݑ‬
ሬ
⃗ - 2‫)⃗ݒ‬I .
4

40) Determinar ‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫⃗ݒ‬+ ‫ݑ‬
ሬ
⃗. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗+ ‫⃗ݒ‬. ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗, sabendo que ‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫⃗ݒ‬+ ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗= 0, I ‫ݑ‬
ሬ
⃗ I= 2, I ‫ ⃗ݒ‬I = 3 , w  5
39) Sabendo que I ‫ݑ‬
ሬ
⃗ I = 2, I ‫ ⃗ݒ‬I =3 e que ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬formam um angulo de
ሬ
⃗ = (1, 4, 3) e forma ângulo um agudo com o eixo dos x.
41) 0 vetor ‫ ⃗ݒ‬é ortogonal aos vetores ܽ⃗ = (1, 2, 0) e ܾ
Determinar ‫ ⃗ݒ‬, sabendo que I ‫ ⃗ݒ‬I = 14.
Respostas dos Problemas Propostos:
1. a = 2
2. (-17, -13, -15)
3. (1, 1, 1)
4. (7/9, 4/9, 4/9)
5. ‫ ⃗ݒ‬é unitário
6. ±
√ହ
ହ
7. −4 ‫ ݑ݋‬− 5
8. 3 ‫ ݑ݋‬−13/5
9. −3 ou -1
10. 2(√11 + √3)
11. (1, 0, 0)
12. 45º
13. 50
14. 169
15. ‫ܣ‬መ= ܽ‫ܿݎ‬cos
16. m = - 4
ଵ଴
ଷ√ଶ଼
ଶ√଺
‫ܤ‬෠ = ܽ‫ܿݎ‬cos
ଽ
‫ܥ‬መ= ܽ‫ܿݎ‬cos
ଶ
√ସଶ
17. ±√15
18. 3 ‫ ݑ݋‬− 6
Profª Cristiane Pinho Guedes
19. (-3, 3, -6)
20. t . (3, -2, 1)
21. (2, -1, -3)
ሬሬሬሬሬ⃗. ‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ = 0
22. ‫ܣܤ‬
23. – 3 ou 2
24. ‫ܣ‬መ
25. não
26. 60º ou 120º
27. (4, 3, 0) ou (-4, 3, 0)
ଵ
ଶ
√ଵଵ
ቁ
ଶ
ହ
, ±10/√6ቁ
28. ‫ = ⃗ݒ‬ቀ1, − , ±
29. Um deles é ቀ0,
30. ቀ±
ହ
√଺
,∓
31. (2, 7,1)
√଺
ଵ ଵ
, ቁ
√ଶ √ଶ
32. (−1,4,0)
33.
ଵ଴
(2,1, −1)
ଽ
34. 3
35. –p, -q e –r ou π – α , π – β e π – γ
38. √37 ݁√13
39. 26 + 15√2
40. – 9
41. (12, -6, 4)
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CENTRO FEDERAL DE EDUCACAO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA
Profa Cristiane Pinho Guedes
-
ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 8 – Vetores – Produto Vetorial e Produto Misto .
1) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, -1, 1), ‫( = ⃗ݒ‬1, -1, 0) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-1, 2, 2), calcular:
ܽ) ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ × ‫⃗ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ⃗ × (‫ݑ‬
ܾ) ‫ݓ( × ⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗ − ‫ݑ‬
ሬ
⃗) ܿ)(‫ݑ‬
ሬ
⃗+ሬ
‫)ݒ‬
ሬ
⃗ − ‫)⃗ݒ‬
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ⃗. ‫ݓ‬
‫)ݒ‬
ሬ
ሬ⃗ ݁‫ݑ‬
ሬ
⃗. (‫ݓ × ⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗)
ሬ
ሬ
ሬ⃗ × ‫ݓ‬
݃) (‫ݑ‬
ሬ
⃗×ሬ
‫)ݒ‬
ሬ
ሬ⃗ ݁‫ݑ‬
ሬ
⃗ × (‫ݓ × ⃗ݒ‬
ሬ
ሬ⃗)
ሬ
ሬ
ሬ⃗. (‫ݑ‬
݀)(2 ‫ݑ‬
ሬ
⃗) × (3‫ݑ()݁ )⃗ݒ‬
ሬ
⃗×ሬ
‫)ݒ‬
ሬ
⃗ × ‫)⃗ݒ‬
ሬ
⃗ = (2, 1, 0), calcular:
2 ) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, 2, 1) e ܾ
ሬ
⃗)
ܽ) 2ܽ⃗ × (ܽ⃗ + ܾ
݂) (‫ݑ‬
ሬ
⃗×
ℎ) (‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫)⃗ݒ‬. (‫ݑ‬
ሬ
⃗×‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗)
ሬ
⃗) × (ܽ⃗ − 2ܾ
ሬ
⃗)
ܾ) (ܽ⃗ + 2ܾ
ሬሬሬሬሬ⃗ x (‫ܥܤ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ - 2 ‫ܣܥ‬
ሬሬሬሬሬ⃗).
3) Dados os pontos A(2, -1, 2), B(1, 2, -1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ‫ܤܥ‬
ሬ
⃗ e ܾ
ሬ
⃗ - ܽ⃗, sendo ܽ⃗ = (3, -1, -2)
4) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ +ܾ
ሬ
⃗ = (1, 0, -3).
eܾ
ሬ
⃗ = (3, 4, - 2) e
5) Dados os vetores ܽ⃗ = (1, - 1, 2), ܾ
ሬ
⃗) . ܿ
( ܽ⃗ x ܾ
⃗.
ሬ
⃗ xܿ
ܿ
⃗= (- 5, 1, -4), m ostr ar q ue ܽ⃗ . ( ܾ
⃗) =
6) Determinar o valor de m para que o vetor ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores ‫ ⃗ݒ‬1 =(2,1,0) e ‫ ⃗ݒ‬2 =(1,-3,-1).


c
2
7) Dados os vetores ‫ = ⃗ݒ‬ a,5b,  e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (-3a, x, y), determinar x e y para que ‫ ⃗ݒ‬x ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗=0.
8) Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ‫ ⃗ݒ‬i = (1, 1, 0) e ‫ ⃗ݒ‬2 = (2, -1, 3).
Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5.
9) Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:
ܽ)ଔ
⃗ × 2ଓ
⃗
ሬ
⃗
ܾ) 3ଓ
⃗ × 2݇
ሬ
⃗ I=
10) Sabendo que I ܽ⃗ I= 3, I ܾ
ሬ
⃗, calcular I ܽ⃗ x ܾ
ሬ
⃗ I.
2 e 45° é o ângulo entre ܽ⃗ e ܾ
11) Se l‫ݑ‬
ሬ
⃗ x ‫⃗ݒ‬I= 3 3 , I‫ݑ‬
ሬ
⃗ I = 3 e 60° é o ângulo entre ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫⃗ݒ‬, determinar I ‫ ⃗ݒ‬I.
ሬ
⃗ =(2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao mesmo tempo
12) Dados os vetores ܽ⃗ = (3, 4, 2) e ܾ
ሬ
⃗ e ܽ⃗ + ܾ
ሬ
⃗.
ortogonal aos vetores 2ܽ⃗ - ܾ
13) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (3; 1, 2) e ‫( = ⃗ݒ‬4, -1, 0).
14) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1, -2, 3), B(4, 3,-1), C(5, 7, -3) e D(2, 2, 1) é um
paralelogramo e calcular sua área.
15) Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2‫ݑ‬
ሬ
⃗ e - ‫ ⃗ݒ‬, sendo ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, -1,
0) e ‫( = ⃗ݒ‬1, -3, 2).
16) Calcular a área do triângulo de vértices
a) A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3)
c) A(2, 3, -1), B(3, 1, -2) e C(-1, 0, 2)
b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0)
d) A(-1, 2, -2), B(2, 3, -1) e C(0, 1, 1)
17) Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diagonal de extremidades
B(1, 1, -1) e C(0, 1, 2).
18) Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1,), B(1, -1, 0) e C(2, 1, -1) são vértices de um triângulo de área
29
.
2
19) Dado o triângulo de vértices A(0, 1, -1), B(-2, 0, 1) e C(1, -2, 0), calcular a medida da altura relativa ao
lado BC.
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20) Determinar ‫ ⃗ݒ‬tal que ‫ ⃗ݒ‬seja ortogonal ao eixo dos y e ‫ ⃗ݒ = ⃗ݒ‬x ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗, sendo ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (1, 1, -1) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (2,-1, 1).
21) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(0, 1, -1), ‫(= ⃗ݒ‬2, -2, -2) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ =(1, -1, 2), determinar o vetor ‫⃗ݔ‬, paralelo a ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗, que
 

satisfaz à condição: x  u  v .
22) Dados os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ = (2, 1, 0) e ‫( = ⃗ݒ‬3, -6, 9), determinar o vetor ‫ ⃗ݔ‬que satisfaz a relação ‫ݑ = ⃗ݒ‬
ሬ
⃗ × ‫ ⃗ݔ‬e que
seja ortogonal ao vetor ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗ = (1, -2, 3).
ሬ
⃗= ܾ
ሬ
⃗xܿ
ሬ
⃗+ ܿ
23) Demonstrar que ܽ⃗ x ܾ
⃗= ܿ
⃗ x ܽ⃗, sabendo que ܽ⃗+ ܾ
⃗ = 0.


24) Sendo ‫ݑ‬
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬vetores do espaço, com v  0 :
a) determinar o número real r tal que ‫ݑ‬
ሬ
⃗ - r‫ ⃗ݒ‬seja ortogonal a ‫;⃗ݒ‬
b) mostrar que (‫ݑ‬
ሬ
⃗ + ‫ )⃗ݒ‬x (‫ݑ‬
ሬ
⃗ - ‫ = )⃗ݒ‬2‫ ⃗ݒ‬x ‫ݑ‬
ሬ
⃗ .
25) Demonstrar que o segmento cujos extremos são os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.
26) Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
a) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(3, -1, 2), ‫(= ⃗ݒ‬1, 2, 1) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗=(-2,3,4)
b) ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(2, -1, 0), ‫(= ⃗ݒ‬3, 1, 2) e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗=(7, -1, 2)
a) A(1, 1, 1), B(-2,-1,-3), C(0, 2,-2) e D(-1, 0, -2)
b) A(1,0,2), B(-1, 0, 3), C(2,4,1) e D(-1, -2, 2)
27) Verificar se são coplanares os pontos:
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(-1, -1, -1) e D(0, 1, -1)
28) Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2, -2, -3), C(5, -1, 1) e D(3, -2 -2) são coplanares?
29) Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
ሬ
⃗ =(1,0,2) e ܿ
ሬ
⃗=(1, 1,-3) e ܿ
a) ܽ⃗ =(2,-1,k), ܾ
⃗ =(k,3,k)b) ܽ⃗ =(2, 1, 0), ܾ
⃗ =(k, 1,-k)
ሬ
⃗=(1, 2, k) e ܿ
c) ܽ⃗ =(2, k, 1), ܾ
⃗ =(3, 0, -3)
ሬ
⃗. Determinar o volume do
30) Sejam os vetores ‫ݑ‬
ሬ
⃗ =(1,1,0), ‫( = ⃗ݒ‬2, 0,1), ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗1 =3‫ݑ‬
ሬ
⃗ -2‫⃗ݒ‬, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗2 = ‫ݑ‬
ሬ
⃗ +3‫ ⃗ݒ‬e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗3 =ଓ
⃗ +ଔ
⃗ -2݇
paralelepípedo definido por ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗1, ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗2 e ‫ݓ‬
ሬ
ሬ⃗3.
31) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ‫ ⃗ݒ‬1 = 2ଓ
⃗ -ଔ
⃗, ‫ ⃗ݒ‬2 =
ሬ
⃗ e ‫ ⃗ݒ‬3 = - 4ଓ
ሬ
⃗ seja igual a 10.
6ଓ
⃗+mଔ
⃗-2݇
⃗+݇
ሬ
⃗ =(-1, 1, -4) e ܿ
32) Os vetores ܽ⃗ =(2, -1, -3), ܾ
⃗ =(m+ 1, m, -1) determinam um paralelepípedo de volume 42.
Calcular m.
33) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, -1, -4), C(0, 2, 0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para que seja de
ሬሬሬሬሬ⃗ , ‫ܥܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗ e ‫ܦܣ‬
ሬሬሬሬሬ⃗.
20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ‫ܤܣ‬
34) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 1) e D(4,2,7)
b) A(-1, 3, 2), B(0, 1, -1), C(-2, 0, 1) e D(1, -2, 0). Para este, calcular também a medida da altura traçada do
vértice A.
GABARITO:
1) a) (2, 2, -1)
b) (-1, -1, 0)
c) (-2, -2, 2)
d) (6, 6, -6)
e) 3
f) -1 e -1
g) (4, -1, 3) e (1, -4, -6)
h) 1
2) a) (-2, 4, -6)
b) (4, -8, 12)
3) (12, -8, -12)
4) x (3, 7, 1)
ሬ
⃗ xܿ
ሬ
⃗) . ܿ
5) ܽ⃗ . ( ܾ
⃗) = ( ܽ⃗ x ܾ
⃗ = 10
6) – 5
7) x = -15 b , y = 3/2 c
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ଵ
8) Duas soluções para cada caso: ቀ , −
√ଷ
10) 3
ଵ
√ଷ
, −1/√3ቁou ቀ−
ଵ
,
ଵ
,
ଵ
ଵ
ቁ5 ቀ , −
√ଷ √ଷ √ଷ
√ଷ
ଵ
√ଷ
,−
ଵ
ቁ ‫ ݑ݋‬5 ቀ−
√ଷ
ଵ
,
ଵ
,
ଵ
ቁ
√ଷ √ଷ √ଷ
11) 2
12) ቀ
଺
,
ଷ
√ଷ଴ √ଷ଴
13) √117
, −15/√30ቁ
14) √89
15) 6√5
16) a) √6
c) 9√2/2
b) 7/2
17) √74
d) 2√6
18) 3 ou 1/5
19) 3√35/7
20) (1, 0, 1)
21) (-2, 2, -4)
22) (2y – 9, y, 3)
24) a) ‫ݑ( = ݎ‬
ሬ
⃗. ‫)⃗ݒ‬/|‫|⃗ݒ‬ଶ
26) a) não
b) sim
27) a) sim
b) não
c) sim
b) 3/2
c) 2 ou -3
28) m = 4
29) a) 6
30) 44 uv
31) 6 ou -4
32) 2 ou -8/3
33) 6 ou 2
34) a) 2
b) 4 e 8/√10
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Profa Cristiane Pinho Guedes
-
ÁLGEBRA I
Lista de exercícios nº 9.
1)
Verificar se os pontos P1(5, -5, 6) e P2(4, -1, 12) pertencem à reta
‫ݎ‬:
‫ݔ‬− 3 ‫ݕ‬+ 1 2 − ‫ݖ‬
=
=
−1
2
2
‫ =ݔ‬2−‫ݐ‬
2) Determinar o ponto da reta ‫ݎ‬: ൝‫ = ݕ‬3 + ‫ݐ‬que tem abscissa 4.
‫ = ݖ‬1 − 2‫ݐ‬
3)
‫ = ݔ‬1 − 2‫ݐ‬
Determinar m e n para que o ponto P(3, m, n) pertença à reta ‫ݎ‬: ൝‫ = ݕ‬−3 − ‫ݐ‬
‫ = ݖ‬−4 + ‫ݐ‬
4) Determinar os pontos da reta‫ݎ‬:
௫ିଷ
௬ାଵ
௭
=
=
que
ଶ
ିଵ
ିଶ
têm: (a) abscissa 5; (b) ordenada 4; (c) cota 1
5) 0 ponto P(2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, -1, 4) e B(4, -3, -1). Calcular P.
6) Determinar as equações reduzidas, com variável independente x, da reta que passa pelo ponto A(4,0, -3) e




tem a direção do vetor v  2i  4 j  5k .
7) Estabelecer as equações reduzidas (variável independente x) da reta determinada pelos pares de
pontos: a) A(1, -2, 3)
e
B(3, -1, -1)
b) A(-1, 2, 3)
e
B(2, -1, 3)
8) Determinar as equações reduzidas, tendo z como variável independente, da reta que passa pelos
pontos P1(-1, 0, 3) e P2(1, 2, 7).
9) Mostrar que os pontos A (-1, 4, -3), B (2, 1, 3) e C (4, -1, 7) são colineares.
10) Qual deve ser o valor de m para que os pontos A(3, m, 1), B(l, 1, -1) e C(-2, 10, -4) pertençam à
mesma reta?
11) Citar um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas:
ܽ)
௫ାଵ
௭ିଷ
=
ଷ
ସ ቊ
‫ =ݕ‬3 ݀) ቄ
‫ = ݖ‬−1
‫ =ݕ‬1
‫ = ݕ‬−‫ ݔ‬
݁) ቄ
‫ =ݖ‬3 + ‫ݔ‬
‫ = ݔ‬2‫ݕ‬
ܾ) ቄ
‫ =ݖ‬3
‫ = ݔ‬2‫ݐ‬
ܿ) ൝ ‫ = ݕ‬−1 ‫ =ݖ‬2 − ‫ݐ‬
݂) ‫ݖ = ݕ = ݔ‬
12) Determinar as equações das seguintes retas:
a) reta que passa por A(1, -2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano x0z;
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) reta que passa por A(4, -1, 2) e tem a direção do vetor i - j ;
e) reta que passa pelos pontos M(2, -.3, 4) e N(2, -1, 3).
Respostas:
1) Apenas P1
2) (4, 1, 5)
5) P(2, 1, 9)
6) y = 2x – 8 e z = 5/2 x – 13
8) x = ½ z – 5/2
‫ = ݕ‬−2
12) ܽ) ቄ
‫ =ݖ‬4
e
y = ½ z – 3/2
‫ = ݔ‬3
ܾ) ቄ
‫ =ݖ‬1
3) m = -2, n = -5
௫
10) m = -5
‫ = ݔ‬2
ܿ) ൜
‫ =ݕ‬3
4) (5, -2, -2), (-7, 4, 10), (2, -1/2, 1)
ହ
‫ = ݕ‬−‫ ݔ‬+ 1
b) ቄ
‫ =ݖ‬3
‫ =ݕ‬−
ଶ
ଶ
7) a) ቊ
‫ = ݖ‬−2‫ ݔ‬+ 5
‫ =ݖ‬2
݀) ൜
‫ = ݔ‬−‫ ݕ‬+ 3
‫ =ݔ‬2
݁) ቊ௬ାଵ = ௭ିଷ
ଶ
ିଵ
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Profa Cristiane Pinho Guedes
Lista de exercícios nº 10 .
1) Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
‫ = ݔ‬−2 − 2‫ݐ‬
ܽ) ‫ݎ‬: ൝ ‫ = ݕ‬2‫ݏ݁ ݐ‬:
‫ = ݖ‬3 − 4‫ݐ‬
௫
ସ
=
ÁLGEBRA I
‫ = ݕ‬−2‫ ݔ‬− 1
ܾ) ‫ݎ‬: ቄ
݁ ‫ݏ‬:
‫ݔ =ݖ‬+ 2
௬ା଺
௭ିଵ
=
ଶ
ଶ
‫ = ݔ‬1 + √2 ‫ݐ‬
‫ = ݔ‬0
ܿ) ‫ݎ‬: ൝ ‫ݐ = ݕ‬
݁ ‫ݏ‬: ൜
‫ =ݕ‬0
‫ = ݖ‬5 − 3‫ݐ‬
݀) ‫ݎ‬:
௫ିସ
=
ଶ
−‫= ݕ‬
ି௭ିଵ
ଶ
2) Determinar o valor de n para que seja de 30° o ângulo entre as retas
‫ݎ‬:
‫ݔ‬− 2 ‫ݕ‬+ 4 ‫ݖ‬
=
=
4
5
3
‫ ݔ݊ = ݕ‬+ 5
݁ ‫ݏ‬: ቄ
‫ = ݖ‬2‫ ݔ‬− 2
௬
ଷ
=
௭ାଵ
,‫=ݔ‬
ିଷ
2
‫ =ݔ‬1
݁ ‫ݏ‬: ቊ௬ାଵ = ௭ିଶ
ସ
ଷ
3) Calcular o valor de n para que seja de 30° o ângulo que a reta ‫ݎ‬: ቄ‫ ݔ݊ = ݕ‬+ 5 forma com o eixo dos y.
‫ = ݖ‬2‫ ݔ‬− 3
‫ = ݔ‬1 + 2‫ݐ‬
4) A reta ‫ݎ‬: ൝ ‫ ݐ = ݕ‬forma um ângulo de 60° com a reta determinada pelos pontos A(3, 1, -2)
‫ =ݖ‬3 − ‫ݐ‬
e B(4, 0, m). Calcular o valor de m.
5) Calcular o valor de m para que os seguintes pares de retas sejam paralelas:
‫ = ݔ‬−3‫ݐ‬
ܽ) ‫ݎ‬: ൝‫ = ݕ‬3 + ‫ݏ݁ݐ‬:
‫ =ݖ‬4
௫ାହ
௬ିଵ
=
; ‫=ݖ‬
଺
௠
‫ = ݔ‬2 − 3‫ݐ‬
ܾ) ‫ݎ‬: ൝ ‫ = ݕ‬3 ݁‫ݏ‬:
‫ݐ ݉ =ݖ‬
6
௫ିସ
௭ିଵ
=
଺
ହ
;‫ =ݕ‬7
‫ =ݔ‬2+‫ݐ‬
6) A reta r passa pelo ponto A(1, -2, 1) e é paralela à reta ‫ݏ‬: ൝‫ = ݕ‬−3‫ ݐ‬.Se P(-3, m, n)  r, determinar m
‫ = ݖ‬−‫ݐ‬
e n.
7) Quais as equações da reta que passa pelo ponto A(-2, 1, 0) e é paralela à reta
8)
‫ݎ‬:
‫ݔ‬+ 1 ‫ݕ‬
= = −‫?ݖ‬
1
4
A reta que passa pelos pontos A(-2, 5, 1) e B(1, 3, 0) é paralela à reta determinada por C(3,-
1,1) e D(0, y, z). Determinar o ponto D.
9)
‫ ݔ ݉ = ݕ‬+ 3
A reta ‫ݎ‬: ቄ
‫ݔ =ݖ‬− 1
é ortogonal à reta determinada pelos pontos A(1, 0, m) e B(-2, 2m,
2m). Calcular o valor de m.
RESPOSTAS:
1) a) 60º
b) 30º
c) 30º
2) 7 ou 1
ଶ
ଷ
d) ߠ = ܽ‫ܿݎ‬cos ቀ ቁ ≅ 48଴11'
3) ± √15
4) – 4
5) a) -2
b) -5/2
6) m = 10 e n = 5
7) y = 4x + 9 e z = -x – 2
8) D(0, 1, 0)
9) 1 ou -3/2
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Profa Cristiane Pinho Guedes
Lista de exercícios nº 11 .
1) Seja o plano  : 2 x - y + 3 z + 1 = 0 . Calcular:
-
ÁLGEBRA I
a) 0 ponto de  que tem abscissa 4 e ordenada 3;
b) 0 ponto de  que tem abscissa 1 e cota 2;
c) 0 valor de k para que o ponto P(2, k + 1, k) pertença a  ;
d) 0 ponto de abscissa zero e cuja ordenada é o dobro da cota.
Nos problemas 2 a 10, determinar a equação geral do plano
2) paralelo ao plano  : 2x - 3y - z + 5 = 0 e que contém o ponto A(4, -1, 2);
x  2 y  3
e que contém o ponto A(1, 2, 3);
z   y  1
3) perpendicular à reta r : 
4)
mediador do segmento de extremos A(1, -2, 6) e B(3, 0, 0);
5)
mediador do segmento de extremos A(5, -1, 4) e B(-1, -7, 1);
6)
paralelo ao eixo dos z e que contém os pontos A(0, 3, 1) e B(2, 0, -1);
7)
paralelo ao eixo dos x e que contém os pontos A(-2, 0, 2) e B(0, -2, 1);
8)
paralelo ao eixo dos y e que contém os pontos A(2, 1, 0) e B(0, 2, 1);
9)
paralelo ao plano xOy e que contém o ponto A(5, -2, 3);
10) perpendicular ao eixo dos y e que contém o ponto A(3, 4, -1).
Nos problemas 11 a 14, escrever a equação geral do plano determinado pelos pontos:
11) A(-1, 2, 0), B(2, -1, 1) e C(1, 1, -1).
12) A(2, 1, 0), B(-4, -2, -1) e C(0, 0, 1).
13) A(0, 0, 0), B(0, 3, 0) e C(0, 2, 5).
14) A(2, 1, 3), B(-3, -1, 3) e C(4, 2, 3).
15) Determinar o valor de a para que os pontos A(a,-1,5), B(7,2,1), C(-1,-3,-1) e D(1,0, 3) sejam
coplanares.
Nos problemas de 16 a 19, determinar a equação geral do plano nos seguintes casos:

16) 0 plano passa pelo ponto A(6, 0, -2) e é paralelo aos vetores i e  2 j  k
 

17) 0 plano passa pelos pontos A(-3, 1,-2) e B(-1, 2, 1) e é paralelo ao vetor v  2i  3k
18) 0 plano contém os pontos A(1,-2,2) e B(-3, 1, -2) e é perpendicular ao plano  : 2x+y -z+ 8=0.
19) 0 plano contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos  1 : 2x - y - 4z - 6 = 0 e  2 :x + y+ 2z 3 =0.
RESPOSTAS:
1)
a) (4, 3, -2)
c) k = -2
b) (1, 9, 2)
d) (0, -2, -1)
2) 2x - 3y - z - 9 = 0
3) 2 x + y - z -
1=
0
4) x + y - 3z + 8 = 0
5) 4x + 4y + 2z + 3 = 0
6) 3x+ 2y- 6=0
Profª Cristiane Pinho Guedes
7) y - 2z + 4 = 0
8) x + 2z - 2 = 0
9) 9) z = 3
10) y = 4
11) 4x + 5y + 3z – 6 = 0
12) x – 2y = 0
13) x = 0
14) z = 3
15) a = -3
16) y + 2z + 4 = 0
17) 3x - 12y + 2z + 25 = 0
18) x – 12y – 10z – 5 = 0
19) 2x – 8y + 3z = 0
Profª Cristiane Pinho Guedes