Geometria Analítica e Álgebra Linear
1
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT
Primeira Lista de Exercícios
Código: MA71B
Disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Assunto: Matrizes e Determinantes, Sistemas de Equações Lineares, e Álgebra Vetorial.
Professor: Luiz Fernando Nunes
OBS: Esta lista foi desenvolvida apenas para auxiliar os alunos a se prepararem para a
primeira prova. Não é necessário entregá-la ao professor.
1 Matrizes e Determinantes:
2 1 
2 3
 1 0


1. Sendo A = 3 0  ; B = 
;C= 

1 5 
 4 3
2 -1
para cada situação a seguir:
5
, encontre, se existir, a matriz X
1 
a) A.X = C T
b) A + C T = X . B
c) X = C T . A T
2. Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o
valor de x na equação det (2.A.A T ) = 4x ?
3. Seja a matriz quadrada A = [a ij ] de ordem 2, tal que


cos 2.i  j se i = j

.
aij = 
sen  se i  j

i+ j
Calcule o determinante de A. Se det A0 ache A 1 .
1 2 7 


4. Dada a matriz A = 0 3 1 , ache (A 1 ) T e (A T ) 1 .
0 5 2
Conclua que (A 1 ) T = (A T ) 1 .
5.
x
Encontre as matrizes 
z
 x y
matrizes 
 , tais que
z t 
y
t 
x
z

1 1 
que comutam com a matriz 
 , isto é, ache as
0 1
y 1 1  1 1   x y
.
=
.
t  0 1 0 1 z t 
Geometria Analítica e Álgebra Linear
2
6. Encontre a matriz inversa da matriz A, utilizando operações elementares com linhas,
 0 1 2
sendo A =  1 2 1 .
 1 3 8
0 1 2 
7. Dada a matriz A, resolva a equação: A1  X  AT  A e ache X para A =  1 2 1 .
 1 3 8
8. Ache os valores dos seguintes determinantes:
3 4 2 1
5 0 1  2
a)
0 0 4 0
1 0 3 3
0
0
b)
a
1
a
1
a
b
b
0
0
a
1
0
b
0
2 Sistemas de Equações Lineares:
9. Determine o valor de m para que o sistema seja indeterminado:
mx  y  3z  0

4 x  5 y  mz  0
3 y  4 z  0

10. Discuta o sistema em função dos parâmetros a e b
2 x  3 y  az  5

3x  y  2 z  1
x  4 y  z  b

3x  5 y  12 z  w  3

11. Dado o sistema linear  x  y  4 z  w  6

2 y  2z  w  5

a) Discuta a solução do sistema.
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 neste sistema e encontre um valor de k
que o torne incompatível.
12. Resolver os sistemas de equações lineares, reduzindo-os à forma escalonada.
 x  y  2z  4

a)  x  2 y  z  1
 x  4 y  3z  9

2 x  y  z  3

b) 3x  y  z  2
4 x  3 y  z  0

Geometria Analítica e Álgebra Linear
3
 x  y  3z  0

c) 2 x  y  z  0
5 x  4 y  2 z  0

x 

d)  x 
 2x 

y  z  2
y  2z  3
y  z  12
13. Discutir os sistemas abaixo, reduzindo-o à forma escalonada.
x  y  z  1

a) 2 x  3 y  az  3
 x  ay  3z  2

 x  4 y  a2 z  a2

b) 2 x  2 y  2az  ab
4 x  y  4 z  b 2

3 Vetores:
  
Seja E = ( i , j , k ) uma base ortonormal dextrógira.




14. Calcule || 2 u + 4v || ², sabendo que || u || = 1 e || v || = 2, e a medida em radianos do
  2
ângulo entre v e u é
.
3




15. Ache v tal que || v || = 3 3 , e seja ortogonal a u = (2, 3,1) E e a w  (2,4,6) E


16. Ache um vetor unitário ortogonal a u = (1,3,1) E e a v = (3,3,3) E
2
 


17. A medida em radianos entre u e v é de
. Sendo || u || = 1 e || v || = 7, calcule:
3
 
1 3
|| u  v || ² e || u  v ||
3
4
 
   
 
 

18. Dados u = 3 i 2 j +6 k ; v =  3 i 5 j + 8 k e w = i + k , calcule:
 
a ) a área do paralelogramo construído sobre u e v ;
  
b) o volume do paralelepípedo construído sobre u , v e w ;
c) a altura do paralelepípedo.
 
 
19. Calcular os valores de m para que o vetor u + v seja ortogonal a w  u onde:



u = (2, 1, m) E ; v = (m+2, 5, 2) E e w = (2m, 8, m) E


 
 x .(2i  3 j  4k )  9
20. Resolva o sistema  

  

 x  (i  j  k )  2i  2k
Geometria Analítica e Álgebra Linear
4
___________________________________________________________________________
Respostas:
Matrizes e Determinantes:
0
1 
12
3
1. a) Não existe b) X  
 
 75  73 


 2  3  6
c) X   3 0  3
11 15 9 
2. x = 32

 0
3
1
3. det A   . A  
4
2 3
 3
4. (A
1 T
T
) = (A )
1
2 3

3 
4 
3 
0
0
 1

2  5 .
=  31
 19  1 3 
 x y
5. 

0 x
13  2  3
6. A   9 2 2 
 5  1  1 
1
 
7. X  A  A
2
8. a) -208
1 T
 80 59  30 
e X =   39 31  15 
 318 233  119 
b) a 2  b 2
Sistemas de Equações Lineares:
9. m = 2 ou m = 
26
3
Se a  3 e b  4  S .I .

10. Se a  3 e b  4  S .P.I .
Se a  3 e b qualquer  S .P.D.

11. a) S.P.I.
b) k  1
12. a) O sistema é S.P.I. Assim, para cada z   , temos: x 
 7  5z 5  z 
,
,z .
solução é a tripla 
3
 3

7  5z
5 z
e y
, ou, a
3
3
Geometria Analítica e Álgebra Linear
5
b) Sistema Impossível.
c) Após o escalonamento restam 3 equações com 3 incógnitas, logo o sistema é S.P.D.,
e a solução é: x = y = z = 0.
d) x = 4, y = 1 e z =3
Se a  3  S .I .

13. a) Se a  2  S .P.I .
Se a  3 e a  2  S .P.D.

b) A discussão se divide em 3 casos:
 Para a ≠ 4 e a ≠  1  S.P.D.
 Para a = 4:
b = 8 ou b =  2  S.P.I.
b ≠ 8 e b ≠  2  S.I.
 Para a =  1
1
b =  2 ou b =  S.P.I.
2
b ≠2 e b ≠
1
 S.I.
2
Vetores:
14. 52
  
15. v  3( i  j  k )
16. v  
17.
1
6
  
(  2i  j  k )
147
7 3
e
, respectivamente.
4
8
18. a ) 49
b) 7
19. m  6 ou m  3
  
20. x  i  j  k
c)
1
7