Curso de Geometria Analítica
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 01- Matrizes , Determinantes e Sistemas Lineares
A) MATRIZES
Definimos Matriz do tipo mxn (se lê: m por n), a toda tabela formada por mn elementos,
dispostos em m linhas e n colunas(as linhas e colunas são também chamadas de filas da
matriz). Exemplos:
1 2 3
x y
2
A=
, Matriz 2x3; B=
, Matriz 2x2; C=
, Matriz 2x1; D= 2 1 3 , Matriz 1x3 .
5 7 8
a b
5
a11 a12 a13 ------a1n
Representação Genérica de uma Matriz m x n:
a 21 a22 a23 ------- a2n
a31 a32 a33 ------- a3n
A=
---- ----- ----- ----- -am1 am2 am3 ------ amn
De um modo geral, aij é o elemento da matriz localizado na i-ésima linha e j-ésima coluna,
assim: a11 é o elemento da matriz localizado na primeira linha e primeira coluna, a32 é o
elemento da matriz localizado na terceira linha e segunda coluna, etc.
Podemos ainda escrever a matriz A na forma A = (aij)mxn .
As matrizes A e B serão chamadas de Mesmo Tipo quando o número de linhas de A é o mesmo
que de B e o número de colunas de A é o mesmo que de B.
Matriz Quadrada: é a matriz com número de linhas igual ao de colunas (m=n). Dizemos, neste
caso que a matriz é quadrada de ordem n. Os elementos aij, com i=j (a11 a22 ---- ann ), formam
a diagonal principal. A outra diagonal da matriz é chamada de secundária.
Matriz Identidade ou Unidade: é a matriz quadrada indicada por In tal que aij=1 para i=j e
aij=0 para ij.
Matriz Inversa de uma Matriz: Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, a matriz inversa de
A, quando existir é uma matriz (indicada por A-1 ), tal que (AA-1)=(A-1A) = In.
Matriz Nula: é a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. A representamos por “ ” .
Matriz Diagonal: é a matriz quadrada com todos os elementos que não pertencem a diagonal
iguais a 0.
Matriz Linha: é a matriz com número de linhas igual a um (1 x n)
Matriz Coluna: é a matriz com número de colunas igual a um (m x 1)
Matriz Oposta de uma Matriz A: é uma matriz B de mesmo tipo que A, indicada por B=(-A),
cujos elementos correspondentes são opostos aos da matriz A, isto é bij = - aij .
Matriz Transposta de uma Matriz A: é a matriz B cujas linhas são as respectivas colunas da
t
matriz A e vice-versa. A transposta de uma matriz A é indicada por “ A ”
Matriz Simétrica: Uma matriz A será simétrica quando for igual à sua matriz Transposta, isto é,
t
A=A .
Matrizes Iguais: Duas matrizes A e B serão iguais, quando forem do mesmo Tipo e os elementos
correspondentes (elementos com o mesmo índice) forem iguais.
1
OPERAÇÕES COM MATRIZES:
I)
Adição
Dadas duas matrizes A(aij) e B(bij) do mesmo tipo, definimos soma das matrizes, a matriz C(c ij) ,
(A+B=C), cujos elementos são iguais a soma dos elementos correspondentes de A e B, isto é,
cij=aij+bij . Observar que a Adição de matrizes é definida somente para matrizes do mesmo Tipo.
A Subtração de Matrizes (A-B), é determinada por A + (-B), onde (-B) é a matriz oposta de B, isto
é, subtrair uma matriz B de uma matriz A é o mesmo que somar a matriz A com a matriz oposta
de B.
Propriedades:
A1:
A2:
A3:
A4:
A5:
A+B = B+A-----------------comutativa;
A+(B+C) = (A+B)+C------associativa;
A+ = +A = A, A ------- é o elemento neutro da adição de matrizes;
A+(-A)=(-A)+A=, A----(-A) é o elemento oposto da Matriz A, na adição.
t
t
t
(A+B) = A + B
II)
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para se multiplicar uma matriz A do tipo mxn, por um número real k, basta multiplicar este
número por cada elemento da matriz A. Observamos que o produto de um número real por uma
matriz é também uma matriz. Assim: kA(aij) = B(bij)  bij= k aij .
Propriedades:
K1:
K2:
K3:
K4:
III)
a(bA) = (ab)A
a(A+B) = aA + aB
(a+b) A = aA + bA
a(A)t = (aA)t
Multiplicação de Matrizes
Dada uma matriz A(aij)mxn e uma matriz B(bjk)nxp , o produto da matriz A pela matriz B (AB), é a
matriz C(cik)mxp , tal que cik é calculado multiplicando-se cada elemento de linha i da matriz A,
pelo seu correspondente na coluna k da matriz B e somando-se os produtos obtidos.
Observamos que:
i. AB só existe se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp, isto é o número de colunas de A deve ser
o mesmo que o número de linhas de B.
ii. Se A é do tipo mxn e B é do tipo nxp e (AB) = C, a matriz C obtida será do tipo mxp.
Propriedades:
P1:
P2:
P3:
P4:
A(BC)= (AB)C----------------- Associativa;
A(B+C) = (AB)+(AC)----------Distributiva à esquerda;
(A+B)C = (AC)+(BC)----------Distributiva à direita;
t
t
t
(AB) = B  A
Observamos que em geral a propriedade comutativa não é válida para a multiplicação, mesmo
quando existir o Produto.
2
B) DETERMINANTES
A toda matriz quadrada A(aij), associamos um número Real(IR), determinado através dos
elementos da matriz. A esse número real denominamos Determinante da Matriz A(a ij)
Observar que o determinante existe apenas para matrizes quadradas e recebe o nome da mesma
ordem da matriz, assim matrizes de ordem n tem determinantes de ordem n.
A notação que usada para o determinante é semelhante ao da matriz substituindo os parêntesis
por barras, assim, exemplificando, para a matriz A de ordem 2 temos o determinante de ordem 2:
Matriz A=
1
2

5
det A =
7
1
2
5
7
ou 
A =
1
2
5
7
Definição de um determinante de ordem n: Dada a matriz quadrada A(aij), de ordem n,
chama-se determinante dessa matriz, ao número real obtido pela somatória dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (seja linha ou coluna), pelos seus respectivos cofatores.
Onde: Cofator de um elemento aij, de uma matriz quadrada A(aij), de ordem n, é o produto de
(1)i+j pelo determinante que se obtém de A(aij), quando eliminamos a linha i e a coluna j do
elemento aij . Exemplificando para uma matriz de ordem 4 e o cofator do elemento a 32 teremos:
a11
a21
a12
a22
a13
a23
a14
a24
A=
a31
a32
a33
a34
a41
a42
a43
a44
a11
a13
a14
 cof (a32) =(1)3+2 a21
a23
a24
a41
a43
a44
Observamos que o cofator de um elemento é um número real.
Notamos o cofator do elemento aij, por Aij,
Assim para calcularmos o determinante da matriz A(aij) de ordem 4, tendo escolhido a terceira
linha, teremos: det A(aij) = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34
Considerando que para calcular o valor do determinante de uma matriz, pela definição dada é um
tanto trabalhoso, usamos processos de artifícios simplificados para as matrizes de até terceira
ordem, utilizando portanto a definição acima para cálculo de determinantes de matrizes de ordem
maior que 3. A seguir detalhamos as formas de cálculo do determinante de matrizes até ordem 3.
Determinante da matriz de ordem 1:
O determinante da Matriz A(a11) é o próprio número real a11. Exemplo A= (5)  detA = 5
Determinante da matriz de ordem 2:
O determinante de uma matriz de ordem 2 é a diferença entre o produto dos elementos da
diagonal Principal e o produto dos elementos da Diagonal Secundária . Exemplo:
Matriz A=
1
2

5
7
det A =
1
2
5
7
 det A = (1

72

5)=3
3
Determinante da matriz de ordem 3:
O determinante de uma matriz de terceira ordem é calculado através de uma regra prática,
chamada “Regra de Sarrus”, descrita a seguir:
Escrevemos as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira, obtendo assim uma matriz
de 3 linhas com 5 colunas. Desta forma são determinadas 3 diagonais principais e 3 diagonais
secundárias. O determinante da matriz é o numero real obtido pela diferença entre a somatória
dos produtos dos elementos das diagonais principais e a somatória dos produtos dos elementos
das diagonais secundárias como mostrado no exemplo a seguir.
a11 a12
A= a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11 a12
det A = a21 a22
a31 a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
det A = (a11a22a33 +a12a23a31+a13a21a32)  (a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12).
1 2 1
A= 3 1 5
2 1 1
1
det A = 3
2
2
1
1
1
5
1
1
3
2
2
1
1
detA =(111+252+131)(211+151+132)= (1+203) (2+56) = (16) (3)= 19.
Propriedades dos Determinantes:
D1: O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta: detA =detAt
D2: Se uma matriz tem uma linha ou coluna de zeros, seu determinante é nulo.
D3: Se uma matriz tem duas filas (duas linhas ou duas colunas), formadas por elementos
proporcionais (isto é uma fila é múltiplo da outra), seu determinante é nulo.
D4: Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal forem iguais a zero,
o determinante da matriz é o produto dos elementos da diagonal principal.
D5: Se permutar duas filas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz, seu determinante tem
seu valor multiplicado por 1 (oposto).
D6: Multiplicando os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz por um número real k
(k0), seu determinante fica também multiplicado por k. Consequentemente se multiplicarmos
uma matriz de ordem n por k seu determinante é multiplicado por k n : det(kA) = kn (detA).
D7: Multiplicando-se uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real (k0) e
adicionando o resultado a outra linha (ou coluna), o valor de seu determinante permanece o
mesmo (não se altera).
D8: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes destas
matrizes: det(AB) = (detA)(detB).
D9: A soma dos produtos de uma linha(ou coluna) de uma matriz pelos cofatores de outra linha
(ou coluna) é igual a zero.
4
MATRIZ INVERSA
A matriz inversa de uma matriz A existe quando seu determinante é diferente de zero.
Para calcularmos a matriz inversa de uma matriz A podemos fazê-lo dos seguintes modos:
-1
i.
Pela aplicação da definição de Matriz Inversa: (AA )= In
Neste caso a solução dependerá do desenvolvimento de um sistema de equações que quando
resolvido nos fornecerá os elementos da matriz inversa requerida. Observar que este modo
é conveniente para matrizes quadradas de ordem pequena (menor ou igual que 3).
Exemplo: Determinar a inversa da matriz A sendo:
1
2
a
b
1
2
a
b
1 0
-1
A=
Seja A =
, devemos ter

=
= In
3 1
c
d
3 1
c
d
0 1
Assim teremos o sistema das equações: 1a + 2c = 1, 1b + 2d =0, 3a 1c = 0 e 3b 1d = 1, que
quando resolvido nos fornecerá aos valores de a=1/7, b=2/7, c= 3/7 e d= 1/7, e a matriz inversa
de A será:
-1
1/7
2/7
3/7
1/7
A =
ii.
Pela aplicação da matriz de cofatores: Dada uma matriz A=(aij)nxn, de ordem n, chama-se
Matriz-Cofator de A à uma matriz B=(bij)nxn, cujos elementos são cofatores dos elementos
correspondentes de A, isto é B = cof A  bij= Aij,  i
e
 j.
( cof A)
A matriz inversa de A, pode ser calculada por: A =
t
-1
det A
Exemplo: Determinar a inversa da matriz A sendo:
1
2
A=
1
3
, A matriz cofator da A é (cofA) =
3
1
,
2
1
(cof A)
t
1
2
=
e detA = 7.
3
1
Assim a matriz inversa de A será:
t
A-1=
( cof A)
det A
iii.
1/7
2/7
3/7
1/7
=
Pela aplicação da transformação conjunta de matrizes equivalentes, da matriz A, a ter a
determinação de sua inversa e a matriz unidade In correspondente.
O processo, chamado método de Gauss - Jordan consiste em dispor as matrizes A e I n ,
lado a lado e proceder as transformações neste conjunto, utilizando as propriedades de
matrizes equivalentes, objetivando transformar a matriz A na matriz I n correspondente. Ao
obter isto, a matriz que resultar na posição original da matriz In, será a matriz A-1.
Lembramos as propriedades de matrizes equivalentes:
 Podemos multiplicar(ou dividir) uma linha de uma matriz por um número real (0);
 Podemos permutar linhas de uma matriz;
 Podemos somar duas linhas de uma matriz e substituir uma destas com o resultado desta
soma.
5
B) SISTEMAS LINEARES
Equações Lineares: Uma equação Linear é do tipo a1x1+ a2x2+ a3x3+------+ anxn = b.
Onde a1, a2, a3,---, an são coeficientes; x1, x2, x3,---xn são incógnitas e b é o termo independente.
Uma solução de uma equação linear é uma n-upla, ordenada de números reais (1,2,3,----,n),
que satisfazem a equação, quando assumem os valores das incógnitas (x 1, x2, x3,---xn).
Sistemas Lineares: Um Sistema Linear é um conjunto de duas ou mais Equações Lineares.
Exemplificando para um Sistema de m equações com n incógnitas temos:
a11x1+ a12x2+ a13x3+------+ a1nxn = b1
a21x1+ a22x2+ a23x3+------+ a2nxn = b2
----------------------------------------------------------------------------------------am1x1+ am2x2+ am3x3+----+ amnxn = bn
Uma solução de um Sistema linear é uma n-upla, ordenada de números reais (1,2,3,----,n),
que satisfazem simultaneamente todas as equações, quando assumem os valores das incógnitas
(x1, x2, x3,---xn).
Classificação dos Sistemas Lineares: Se um sistema linear tiver pelo menos uma solução
diremos que é compatível ou possível; se não tiver solução diremos que é incompatível ou
impossível. Quando o sistema é compatível e tiver uma única solução diremos que é
determinado; se tiver mais que uma solução diremos que é indeterminado.
Esquematizando podemos resumir:
Determinado
(solução única)
Compatível
Indeterminado
(mais que uma solução)
Sistema Linear
Incompatível
(não há solução)
Sistemas Homogêneos: Um Sistema linear é dito Homogêneo, quando o termo independente é
sempre nulo. Exemplificando para um Sistema de m equações com n incógnitas temos:
a11x1+ a12x2+ a13x3+------+ a1nxn = 0
a21x1+ a22x2+ a23x3+------+ a2nxn = 0
--------------------------------------------------------------------------------------am1x1+ am2x2+ am3x3+----+ amnxn = 0
Todo o Sistema Homogêneo admite como solução a n-upla ( 0, 0, 0,-----, 0), que é chamada de
solução trivial. Assim sendo todo o sistema homogêneo é sempre compatível. Se tiver apenas a
solução trivial será determinado e se tiver outras soluções alem da trivial será indeterminado.
Sistemas Lineares Equivalentes: Dois Sistemas S1 e S2 são equivalentes, se e somente se toda
a solução de S1 é também solução de S2
Forma Matricial de um Sistema: Todo o sistema de m equações cm n incógnitas, pode ser
representado através de uma matriz mxn (de m linhas e n colunas) como segue:
a11
a12
a13------a1n
b1
a21
a22
a23------a2n
b2
--------------------------------------------------------------------am1
am2
am3-----amn bn
Esta matriz formada pelos coeficientes
e pelos termos independentes é chamada
de Matriz Completa do Sistema.
6
Esta matriz completa pode originar as seguintes matrizes:
 Matriz incompleta: é formada apenas pelos coeficientes das incógnitas;
 Matriz das incógnitas: é formada pelas incógnitas (é uma matriz coluna);
 Matriz dos Termos independentes: é formada pelos termos independentes (matriz coluna).
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS ATRAVÉS DE MATRIZES E DETERMINANTES.
I. Regra de Cramer (conveniente para um sistema de 3 equações com 3 incógnitas, x, y e z):
Consiste em determinar os valores das incógnitas utilizando os determinantes D, Dx Dy e Dz, das
matrizes assim definidas:
 D é o determinante da matriz incompleta, formada pelos coeficientes das incógnitas;
 Dx é o determinante da matriz obtida da matriz incompleta substituindo a coluna de x pela
coluna dos termos independentes;
 Dy é o determinante da matriz obtida da matriz incompleta substituindo a coluna de y pela
coluna dos termos independentes;
 Dz é o determinante da matriz obtida da matriz incompleta substituindo a coluna de z pela
coluna dos termos independentes;
Os valores de x, y e z são determinados por:
Dx
Dy
Dz
X=
,Y=
eZ=
D
D
D
Exemplo: Resolver o Sistema:
3x – 2y + z = 6
x+ y– z=4
2x + y – 2z = 6
Temos:
3 -2 1
6 -2 1
3 6 1
3 -2 6
D = 1 1 -1 = -4 Dx = 4 1 -1 = -12 Dy = 1 4 -1 = -8 Dz = 1 1 4 = -4
2 1 -2
2 1 -2
2 6 –2
2 1 6
Assim sendo teremos:
X=
Dx
D
=3 ,
Y=
Dy
D
=2
e
Z=
Dz
D
=1
Discussão De Sistemas Lineares Através Do Método De Cramer.



Se D0 o sistema admite uma única solução, isto é, ele é Compatível e Determinado;
Se D=0 e Dx=Dy=Dz=0, o sistema será Compatível e Indeterminado;
Se D=0 e Dx ou Dy ou Dz for diferente de zero, o sistema será Incompatível;
Isto é :
D0
D=0
Sistema Possível e Determinado
D(Xi) =0 I
Sistema possível e Indeterminado
I / D(Xi)0
Sistema Impossível
II. Método de Gauss:
Consiste em, dado um sistema linear S utilizar um processo para obter um sistema S’ ,
equivalente a este e que seja mais simples, isto é que sua matriz seja triangular.
Este sistema pode ser determinado através de transformações elementares feitas nas
equações(ou na matriz) de S. Lembramos que estas transformações são:
 Multiplicar (ou dividir) uma linha da matriz(ou uma equação) do sistema, por um número real,
(0);
 Permutar entre si duas linhas da matriz (ou duas equações) do sistema;
 Multiplicar uma linha (ou uma equação) do sistema por um número real (0) e adicionar o
resultado a outra linha da matriz (ou a outra equação) do sistema.
7
O método de Gauss, ou método das eliminações sucessivas, é um processo que faz uso das
transformações elementares, tornando o sistema dado em outro mais simples (triangularizado)
equivalente e de resolução imediata.
O objetivo deste método consiste em:
 Eliminar a primeira incógnita das equações exceto da primeira equação;
 Eliminar a segunda incógnita das equações exceto da segunda equação;
 Eliminar a terceira incógnita das equações exceto da terceira e assim sucessivamente.
Quando falamos em eliminar a incógnita, queremos dizer tornar seu coeficiente igual a zero,
através das transformações elementares. Podemos conseguir isto simplificando a matriz do
sistema, isto é, transformando em zeros todos os elementos da matriz abaixo da diagonal
principal. Exemplo: Resolver o Sistema:
2x – 3y + z = –1
x + 2y – z = 3
4x + y + 2z = 5
Matriz completa associada:
2
1
4
–3
2
1
1 –1
–1 3
2 5
Realizamos as transformações passo a passo:
Primeiro passo: Permutar as linhas L1 e L2:
1
2
4
2
–3
1
–1 3
1 –1
2 5
Segundo passo: substituir L2 por 2L1+L2 e L3 por -4L1+L3
1
0
0
2
–7
–7
–1 3
3 –7
6 –7
Terceiro passo: substituir L2 por –1/7L2
1
0
0
2 –1 3
1 – 3/7 1
–7
6 –7
Quarto passo: substituir L1 por –2L2+L1 e L3 por 7L2+L3
1
0
0
0 –1/7 1
1 – 3/7 1
0
3
0
Quinto Passo: substituir L3 por 1/3L3
1
0
0
0 –1/7 1
1 – 3/7 1
0
1
0
Sexto passo: substituir L1 por 1/7L3 +L1 e L2 por 3/7L3+L2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
Considerando que as 3 primeiras colunas representam as incógnitas x , y , z e a quarta coluna
os termos independentes, podemos concluir que x=1, y=1 e z=0 é a solução do sistema da última
matriz que por ser equivalente a matriz original nos permite concluir que x=1, y=1 e z=0 é
também a solução do sistema dado.
Discussão De Sistemas Lineares Através Do Método De Gauss.
Ao conduzirmos o processo da solução de um sistema linear, através do método de Gauss, temos
condições de discutir a existência de soluções através das seguintes observações:
8
Seja a matriz equivalente do sistema dado, de n incógnitas, simplificada obtida através do método
de Gauss:
1 0 0 0 0-----C1
0 1 0 0 0-----C2
--------------------Á = 0 0 0 0 1-----Cr
0 0 0 0 0-----Cr+1
---------------------0 0 0 0 0-----Cm
m linhas
n+1 colunas
I.
Se tivermos uma das linhas com todos os valores das colunas das incógnitas iguais a zero
e o termo independente diferente de zero, o sistema será Incompatível;
Se tivermos uma, ou mais linhas com todos os elementos iguais a zero, o sistema será
Compatível e Indeterminado;
Se o número de equações for igual ao das incógnitas e a parte da matriz relativa às
incógnitas se transformar na matriz unidade (ou diagonal), o sistema será Compatível e
Determinado.
II.
III.
Exemplo de Inversão de matriz pelo método de Gauss – Jordan:
Determinar a matriz inversa da matriz A sendo:
A=
1
1
1
1
2
4
1
3
9
Dispondo as matrizes A e I 3 , lado a lado temos:
L1  1
L2  1
L3  1
A
1
2
4
1
3
9
1
0
0
I
0
1
0
0 0
-1 0
0 -1
0
0
1
Primeiro passo: substituir L2 por L1-L2 e L3 por L1-L3
L1  1
L2  0
L3  0
1
-1
-3
1
-2
-8
1
1
1
Segundo passo: substituir L2 por L2 (-1)
L1  1
L2  0
L3  0
1
1
-3
1
2
-8
1
-1
1
0
1
0
Terceiro passo: substituir L1 por L1-L2 e L3 por 3L2+L3
L1 
L2 
L3 
1
0
0
0
1
0
-1
2
-2
2
-1
-2
-1
1
3
Quarto passo: substituir L3 por L (-1/2)
L1 
L2 
L3 
1
0
0
0
1
0
-1
2
1
2 -1
0
-1
1
0
1 -3/2 ½
Quinto passo: substituir L1 por L3+L1 e L2 por -2L3+L2
L1 
L2 
L3 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3 -5/2 ½
-3
4
-1
1 -3/2 ½
3 -5/2 ½
Assim sendo A-1 = -3
4
-1
1 -3/2 ½
I
0
0
-1
0
0
-1
A-1
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.
9