Um ponto luminoso é colocado simetricamente em relação a dois espelhos planos que
formam entre si um ângulo de 120º, a 20 3 cm da aresta. Determine a distância entre as duas
imagens.
Construção da imagem
Desenhamos o ponto luminoso P numa posição simétrica em relação aos espelhos E 1
e E2 .
figura 1
figura 2
A partir do ponto P traçamos uma reta perpendicular ao espelho E 1 e marcamos atrás
do espelho a mesma distância de P a imagem I 1 , analogamente para o espelho E 2 teremos a
imagem I 2 , sendo x a distância do ponto luminoso até as imagens.
Esquema do problema
figura 3
Dados do problema
1
•
ângulo entre os espelhos:
θ = 120º;
•
distância do ponto luminoso ao vértice:
d = 20 3 cm .
Solução
Como o ponto P está colocado simetricamente em relação aos espelhos E 1 e E 2 , o
segmento de reta PV é bissetriz do ângulo θ = 120 ° , assim ângulo α é igual a 60° (ver figura
3). O segmento de reta que liga o ponto P a imagem I 2 ( I 1 ) é perpendicular ao espelho E 2
( E 1 ), assim o triângulo ∆ P E 2 V é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede x
um dos catetos e o segmento PV = d = 20
2
é
3 é a hipotenusa do triângulo, calculando o seno
de α temos
x
sen α =
sen 60° =
x
= 20
2
2
d
x
2
20
3
3 sen 60°
3
x
= 20 3 .
2
2
x
= 30
2
x = 2 . 30
assim a distância x entre o ponto P e a imagem I 2 ( I 1 ) mede
x = 60 cm
O segmento de reta P E 2 é perpendicular ao espelho E 2 (forma um ângulo de 90º
com ele), o ângulo α é igual a 60º, como vimos, e como a soma dos ângulos internos de um
triângulo é igual a 180º, temos que o ângulo β deve ser
α + β + 90° = 180 °
β = 180 ° − 90° − α
β = 180 ° − 90° − 60°
β = 60°
O triângulo ∆ P BI 2 é um triângulo retângulo, sendo que o lado que mede D
dos catetos e a hipotenusa do triângulo é x = 60 cm , calculando o co-seno de β temos
D
2
x
D
2
cos 60° =
60
cos β =
2
2
é um
D
= 60 cos 60°
2
1
D
= 60 .
2
2
D
= 30
2
D = 2 . 30
e finalmente a distância D entre as imagens será
D = 60 cm
3