Prof.: André Luiz
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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Postado em
15 / 05 / 14
Aluno(a): _______________________________________________ TURMA: _______
2014
1-RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1.1 INTRODUÇÃO
Triângulo retângulo é aquele que possui
um ângulo reto (900). Dizemos que o triângulo a
seguir é retângulo em A.
Dividindo o triângulo, temos:
Por semelhança temos:
Em que:
O lado de comprimento “a” representa a
ℎ
𝑚
=
𝑛
ℎ
ℎ² = 𝑚. 𝑛
→ ℎ² = 𝑚. 𝑛
hipotenusa;
Os lados “b” e “c” correspondem os
RELAÇÃO 02: a hipotenusa é igual a soma das
projeções ortogonais dos catetos
catetos do triângulo retângulo;
A linha pontilhada “h” corresponde a altura
𝑎 =𝑚+𝑛
𝑎 =𝑚+𝑛
do triângulo.
O
segmento
de
comprimento
“m”
corresponde a projeção ortogonal do cateto “b”
sobre a hipotenusa;
O segmento “n” é a projeção ortogonal do
cateto “c” sobre a hipotenusa.
RELAÇÃO 03: o produto entre a hipotenusa e
altura relativa a hipotenusa é igual ao produto entre
os catetos. Aplicando a razão de semelhança,
obtemos:
𝑎
𝑐
𝑏
𝑎. ℎ = 𝑏. 𝑐
= ℎ → 𝑎. ℎ = 𝑏. 𝑐
1.2 RELAÇÕES MÉTRICAS
No triângulo retângulo ABC são válidas as
seguintes relações métricas:
RELAÇÃO 01: o quadrado da altura relativa
RELAÇÃO 04: o quadrado de um cateto é igual
ao produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal
do cateto sobre a hipotenusa
a hipotenusa é igual ao produto entre as
Por semelhança de triângulos, temos:
projeções ortogonais dos catetos.
𝑐
𝑎
=
𝑛
𝑐
→ 𝑐² = 𝑎. 𝑛
𝑐² = 𝑎. 𝑛
E
𝑏
𝑎
=
𝑚
𝑏
→ 𝑏² = 𝑎. 𝑚
𝑏² = 𝑎. 𝑚
Instituto Federal de Educação,
Ciência e Tecnologia – Campus
Gurupi – TO.
Curso: Médio Int. em Agronegócio
Série: 2º ano – Turma A
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RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
RELAÇÃO 05: O quadrado da hipotenusa é
igual a soma dos quadrados dos catetos:
Pegando a relação anterior e somarmos os
c) No triangulo retângulo ABC, o segmento AM é a
mediana relativa a hipotenusa, e AH é altura.
Determine a medida do segmento HM.
termos teremos:
2
+ 𝑏 = 𝑎. 𝑚
𝑐² = 𝑎. 𝑛
𝑏² + 𝑐² = 𝑎. 𝑚 + 𝑎. 𝑛
𝑎² = 𝑏² + 𝑐²
𝑏² + 𝑐² = 𝑎. (𝑚 + 𝑛)
𝑏² + 𝑐² = 𝑎(𝑎)
𝑏² + 𝑐² = 𝑎²
Exemplos Resolvidos
(Acompanhe a resolução dos exemplos na
lousa)
a) Determine as medidas a, h, m e n no triângulo
retângulo ABC a seguir
d)(UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento
encontra-se com a extremidade superior apoiada na
parede vertical de um edifício e a parte inferior
apoiada no piso horizontal desse mesmo edifício, a
uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da
escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se
aproxima de quanto a parte inferior escorregará é:
a-(
) 1,0 m
b-(
) 1,5 m
c-(
) 2,0 m.
d-(
) 2,6 m
e) Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do
tronco que restou em pé forma um ângulo reto com
o solo. Se a altura do tronco da árvore que restou em
b) Na figura abaixo, determine a medida da
projeção ortogonal do cateto AC sobre a
hipotenusa
pé é 12m, e a ponta da parte quebrada está a 9m da
base da árvore, qual a medida (altura) da arvore
momento antes de danificada pelo vento?
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