Complemento Matemático 03 – Ciências da Natureza I
TEOREMA DE PITÁGORAS
Física - Ensino Médio
Material do aluno
01. Para essa atividade sugerimos inicialmente que você observe a ilustração abaixo e responda
aos questionamentos:
1 cm
1 cm
a. Calcule a área dos
___________________
dois
quadrados
menores
que
estão
em
destaque:
b. Some as áreas desses dois quadrados:
__________________________________
c. Calcule a área do quadrado maior em destaque
____________________________
d. Compare a área do quadrado maior com o valor encontrado para a soma dos dois
quadrados menores. O que você conclui a partir dessa comparação?
____________________________________________________________________
Agora vamos observar mais atentamente o triângulo formado pelos três quadrados em
destaque.
02. Após observar os quadrados escreva nos espaços
tracejados os valores de cada um dos lados do
triângulo.
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03. Você se recorda do nome desse tipo de triângulo, que possui um ângulo reto (90º)?
( ) Triângulo retângulo
( ) Triângulo equilátero
( ) Triângulo isósceles
Nesse tipo de triângulo os lados têm nomes especiais como
podemos verificar abaixo:
hipotenusa
Os lados menores são denominados catetos e o lado maior
(lado que está oposto ao ângulo de 90º) é a hipotenusa.
cateto
Então voltando à pagina anterior podemos escrever a
relação entre os três quadrados da seguinte forma:
cateto
Assim podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma:
“A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois
quadrados construídos sobre os catetos.”
Essa expressão pode ser escrita em linguagem matemática da seguinte forma:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
Essa relação que observamos entre os lados do triângulo é o famoso teorema de Pitágoras.
Segundo Pitágoras, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa de
um triângulo retângulo”.
Se chamarmos a hipotenusa de a e os catetos de b e c o
teorema de Pitágoras fica escrito na seguinte forma:
a
a 2 = b2 + c 2
b
c
Acompanhe a seguir, alguns exemplos de utilização do teorema de Pitágoras.
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Determine o valor de x nos triângulos retângulos, abaixo:
(10)2  (1)2  x 2
x 2  6 2  82
100  1+ x 2
x  36  64
2
x
x  100
2
8
10
x 2  99
x  100
x  10
6
x 2  100  1
1
x  99
x  9,95
x
Exercícios
04. Determine os valores solicitados nas figuras abaixo.
a)
b)
4
10
10
t=?
x=?
6
c)
d)
12
15
12
10
z=?
y=?
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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05. A ilustração abaixo mostra um avião que se encontra a 60m do solo. Qual a distância total
percorrida, em linha reta, pelo avião?
60 m
80 m
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
06.
Uma escada de 15m utilizada por um caminhão do corpo de bombeiros está apoiada numa
parede conforme a ilustração abaixo. Calcule a altura entre o topo da escada e o chão.
12m
1,5m
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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07. Em algumas residências observamos portões formados por ripas paralelas. Esse reforço
fornece a rigidez necessária para que o portão não desmonte. Utilizando a ilustração abaixo
calcule a medida da ripa de madeira utilizada na diagonal do portão.
2m
4m
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
08. Uma torre de transmissão de ondas de
rádio é sustentada por cabos de aço de
acordo com a ilustração ao lado.
Calcule a altura da torre admitindo que
o comprimento de um dos cabos é de
25m e a distância do ponto onde o cabo
está fixado até o pé da torre é de 16m.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
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Resolução dos exercícios
01.
a) Área dois quadrados menores em destaque
Área = 3x3
Área = 9 cm2
Área = 4x4
Área = 16 cm2
1cm
1cm
b) Somando as áreas dos dois quadrados: 9 + 16 = 25 cm2
c) Área do quadrado maior
Área = 5x5
Área = 25 cm2
d) A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos dois quadrados menores.
02.
5 cm
4 cm
3 cm
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03. Triângulo retângulo
04.
a)
4
10
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
x2 = 102 + 42
x2 = 100 + 16
x2 = 116
x  10,7
x=?
b)
10
t=?
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
(10)2 = t2 + (6)2
100 = t2 + 36
100 – 36 = t2
64 = t2
t2 = 64
t = 64
t=8
6
c)
15
12
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
(15)2 = y2 + (12)2
225 = y2 + 144
225 – 144 = y2
81 = y2
y2 = 81
y = 81
y=9
y=?
d)
12
10
z=?
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
z2 = (12)2 + (10)2
z2 = 144 + 100
z2 = 244
z = 244
z  15,6
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05. Chamaremos de x a distância total percorrida, em linha reta, pelo avião, conforme a
ilustração abaixo:
Utilizando o teorema de Pitágoras onde x corresponde à hipotenusa teremos:
x2 = 602 + 802
x2 = 3.600 + 6.400
x2 = 10.000
x
60 m
Extraindo a raiz quadrada teremos:
x = 100 m
80 m
06. Chamaremos de x a distância entre os pontos A e B na ilustração abaixo, teremos que a
altura (h) entre o topo da escada e o chão será dada por:
h = 1,5 + x
A
x
h
B
12 m
1,5 m
Para determinar o valor de x utilizaremos o comprimento da escada e a distância de seu ponto
mais baixo até a parede, conforme a ilustração abaixo:
15
x
12
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Utilizando o teorema de Pitágoras teremos:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
152 = x2 + 122
225 = x2 + 144
225 – 144 = x2
81 = x2
x2 = 81
Extraindo a raiz quadrada teremos:
x=9m
Teremos então que a altura entre o topo da escada e o chão será de:
h = 1,5 + x
h = 1,5 + 9
h = 10,5 m
07. A diagonal no portão formado por ripas paralelas corresponde à hipotenusa no triângulo
retângulo.
x
2m
2m
4m
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
x2 = 42 = + 22
x2 = 16 + 4
x2 = 20
Extraindo a raiz quadrada teremos:
x  4,5 m
4m
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08. Pelas informações fornecidas observamos que o comprimento de um dos cabos corresponde
à hipotenusa no triângulo retângulo e a distância do ponto onde o cabo está fixado até o pé
da torre corresponde a um dos catetos. A altura da torre corresponde ao outro cateto.
25m
x
16m
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
252 = 162 + x2
625 = 256 + x2
625 – 256 = x2
369 = x2
x2 = 369
Extraindo a raiz quadrada teremos:
x  19,2 m