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RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA 9
TRIGONOMETRIA
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Considere um triângulo ABC, retângulo em  (  = 90°), onde a é a medida da hipotenusa, b e
c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos agudos (menores que 90°).
A
b
c
B
β
α
C
a
Enunciado do teorema de PITÁGORAS:
"O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. "
Na figura:
a2 = b2 + c2
ainda:
" Os ângulos agudos do triângulo retângulo são complementares (a soma de suas medidas é igual a 90°) ".
Na figura:
a + β = 90º
Exercícios
1. Usando o teorema de Pitágoras, calcule o valor de x nas figuras abaixo:
a)
x
3
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b)
2√3
x
4
c)
x
4
4
2. Determine o valor de a ou R nas figuras seguintes:
a)
60º
α
b)
β
45
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Considere o triângulo retângulo ABC, reto em A e um de seus ângulos agudos, a por
exemplo.
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C
α
a
b
A
B
c
O ângulo a é formado pela hipotenusa a e pelo cateto b. Este cateto é adjacente a α e assim
c é o cateto oposto a α.
DEFINIÇÕES:
Seno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto oposto e a hipotenusa.
Na figura:
sen a = c
a
Cosseno de um ângulo a é a razão entre o seu cateto adjacente e a hipotenusa.
Na figura:
Cos α = b
a
Tangente de um ângulo
Na figura:
é a razão entre o seu cateto oposto e o seu cateto adjacente.
Tg α = c
b
As funções cossecante, secante e cotangente são definidas como o inverso do seno, Cosseno e
tangente respectivamente.
Observação
O cálculo destas funções é feito baseado em seno, Cosseno e tangente e consequentemente,
em seus inversos.
Cossec α =
1
sem α
sec α =
1
cos α
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C
cotg α =
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1
tg α
TABELA DE VALORES NOTÁVEIS
O valor de uma função trigonométrica depende do ângulo a que for aplicada. Os catetos, adjacente e
oposto, não são fixos. Os valores de ângulo da tabela abaixo são importantes devido ao seu uso freqüente.
0º 30º 45º 60º 90º
SENO
0
COSSENO
1
TANGENT
0
E
1
2
√3
2
√3
3
√2
2
√2
2
√3
2
1
2
1
√3
1
0

Exercícios
1. Calcule os valores pedidos na figura abaixo:
10
8
β
6
sen β =
cos β =
tg β =
2. Calcule o valor de "x" e de "y" em cada uma das figuras abaixo:
a)
30º
x
y
4
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b)
x
3√2
45º
TRIÂNGULOS QUAISQUER
Num triângulo ABC qualquer, dados três de seus elementos, um dos quais deve ser o lado, determinar os
outros três elementos e a área, significa resolver o triângulo.
Na solução de problemas desse tipo, utilizaremos duas leis importantes: a lei dos senos e a lei dos cossenos,
ambas com aplicação em Física.
Para a correta aplicação destas leis, tenha em mente a seguinte figura geral:
A
b
c
C
a
B
Note que ao ângulo A se opõe o lado a e assim por diante.
LEI DOS SENOS
"Em qualquer triângulo, a razão entre a medida de um lado e o seno do ângulo oposto é constante e vale 2R, onde
R é a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo. "
Ou, o que é equivalente:
a =
sen a
b
sen b
=
c = 2R
sen c
LEIS DOS COSSENOS
"Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado (a) é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados (b
e c), menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado."
Aplicando a lei dos cossenos aos três lados (a, b e c) obteremos as seguintes expressões:
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a2 = b2 + c2 - 2bc cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
E ainda:
LEIS DAS AREAS
S = bc sem A = ab sem C = ac sem B
2
2
2
Exercício
1. Calcule o valor de x nas figuras:
a)
x
3√2
45
120º
b)
6
x
60
3
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TESTES
01. Analise as proposições:
01) Todo triângulo é retângulo.
02) Somente nos triângulos retângulos é possível a aplicação do teorema de Pitágoras.
04) Um triângulo retângulo pode ter um ângulo obtuso.
08) Os dois catetos de um triângulo retângulo sempre têm a mesma medida.
16) O maior lado de um triângulo retângulo é sempre a hipotenusa.
32) O triângulo retângulo pode ter três ângulos internos agudos.
02. Num triângulo retângulo um dos ângulos mede 30°. Assinale a soma das proposições verdadeiras:
01) O cateto oposto a esse ângulo mede a metade da hipotenusa.
02) O outro ângulo do triângulo também mede 30°.
04) Um dos outros dois ângulos do triângulo é obtuso.
08) A soma das medidas dos outros dois ângulos do triângulo é 150°.
16) O cateto adjacente a esse ângulo mede a metade da sua hipotenusa.
03. A soma dos quadrados dos três lados de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a hipotenusa
do triângulo?
04. Dado o triângulo retângulo da figura seguinte, onde tg α = 0,22 e tg β = 0,25 o valor de x é:
x
β
α
20
a) 0,520
b) 3,5
c) 0,6
d) 2,4
e) 1,8
05. (UFPR) - Os lados do triângulo abaixo, medem respectivamente 3, 4 e 5 unidades de comprimento.
Então sen β é igual a:
β
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a) 0,4
b) 0,6
c) 0,8
d) 0,7
e) 0,5
06. Na figura, os valores de x e y são, respectivamente:
y
30
A
4
60
B
x
a) 2√2 e √3
b) 2 e 2√3
c) 3 e 3√3
d) √3 e 3√3
e) 4 e √3
07. Uma torre projeta uma sombra de 40 m, quando o Sol se encontra a 64° acima do horizonte (ângulo de
elevação). Calcule a altura da torre.
Dados: sen 64° = 0,89; cos 64° = 0,43; tg 64° = 2,05
64º
40m
08. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 5 m e um dos catetos 2,5 m. Determine o ângulo
formado pela hipotenusa e por esse cateto.
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 90°
e) 75°
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09. Para medir a altura de um barranco, um observador desloca-se na direção desse barranco até que sua
linha de visada, em A, faz 30° com a horizontal.
A seguir, o observador desloca-se de 20 m de forma que a nova linha de visada faça 60° com a horizontal.
Considerando-se a altura do observador 2 m e adotando-se √3 =1,7 a altura do barranco será
aproximadamente:
10.
Na figura abaixo, o valor de x é:
x
30
7√3
a) 5
b) 6
c) 5√3
d) 7
e) 7√3
11. Baseado na figura abaixo, calcule o valor de: 2 sen α + 3 tg α.
3
α
3√3
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a) 2√3
b) 1
c) 1+ √3
d) 4
e) √3
2
12. O valor de x no triângulo abaixo é:
x
5
120
10
a) 5√2
b) 5√3
c) 5√5
d) 5√7
e) 5√10
13. Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. Quando o navio está
em A, o comandante observa o farol em L, e calcula o ângulo LAC = 30°. Após navegar 4 milhas até B,
verifica-se o ângulo LBC = 75°. Quantas milhas separa o farol do ponto B?
L
A Å
4
milhas Æ
C
a) 4
b) 2√2
c) 6
d) 5
e) 7
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14. Calculando o valor do comprimento da corda AB relativa a uma circunferência de raio R e cujo centro
é vértice do triângulo eqüilátero, conforme afigura, obtém-se:
A
B
a) R
b) R√3
c) 2 R
d) R√2
e) 4√R
15. Na figura a seguir, o triângulo ABC está inscrito na circunferência de raio R.
Sendo  = 45° e BC = √2, o raio R terá valor, em metros, igual a:
A
B
C
a) 5√2
b) 1
c) 3√2
d) 0,2
e) 4√2
16. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d'água a 50 m de
distância. A casa está a 80 m de distância da caixa d'água e o ângulo formado pelas direções caixa d'água
bomba e caixa-d'água casa é de 60°. Se se pretende bombear água do mesmo ponto de captação até a casa,
quantos metros de encanamento serão necessários?
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Caixa
60
80m
Casa
x
17. Uma escada com pé na rua faz um ângulo de 30° com a horizontal, quando seu topo se apóia num
edifício de um lado da rua e um ângulo de 60°, quando o apoio é feito no edifício do outro lado. Tendo a
escada 20 m de comprimento, qual a largura da rua? (considere √3 = 1,732).
20m
60º
30º
a) 28,20 m
b) 20,28 m
c) 27,32 m
d) 30,10 m
e) 32,71 m
18. O cateto menor de um triângulo retângulo mede 6m e o cosseno do ângulo oposto a ele vale 4/5. A medida do outro cateto
é:
a) 4 m
b) 6 m
c) 10m
d) 8 m
e) 12 m
RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
Algumas são consequências da definição como já vimos:
Cossec x =
1
sen x
sec x =
1
cos x
cotg x = 1 .
tg x
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Outras fórmulas podem ser deduzidas do teorema de Pitágoras:
Importante
Sen2x + cons2x = 1
E ainda.
Sec2x = 1 + tg2x
tg x = sen x
cos x
cossec2x = 1 + cotg2x
cotg x = cos x
sen x
Memorize as relações acima. Elas serão extremamente importantes para o nosso estudo de agora em
diante...
Exercícios
1. Usando as fórmulas, prove que:
a) tg x =
cossec x
b)
sec x
cos x - sec x = 0
1- sen2x
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Circunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário (R = 1), um ponto de origem dos arcos
(ponto A) e um sentido positivo de percurso (anti-horário).
+ Anti –
Horário
A
R=1
- Horário
(negativo)
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Considerando ainda o centro dessa circunferência coincidindo com o centro do sistema de eixos
cartesianos, adotando a divisão em quadrantes e os sinais destes.
90
º
180º
II
I
III VI
0º
360º
270
QUADRANT
RADIANO
GRAUS
E
S
I
0 Æ 90
0 Æ π/2
II
90 Æ 180 π/2 Æ π
180 Æ
III
π Æ 3π/2
270
270 Æ
IV
3π/2 Æ 2π
360
Observação
Transformação de unidades
• Para transformarmos um ângulo de graus para radianos, simplificamos o número por 180 e
multiplicamos o resultado por π.
240° =
150° =
• Para transformarmos um ângulo de radianos para graus, substituímos
por 180° e efetuamos a conta.
3π =
4
7π =
6
Na circunferência trigonométrica, cada função adota um eixo e baseado nesse eixo analisamos seus
valores e sinais. (não esqueça do raio unitário)
Exercícios
a) Efetue:
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• 120° 30' 45" + 60° 20' 12"
• 18° 38' 40" + 136° 46' 42"
• 90° - 44° 34'
• 56° 24' 36" - 44° 16' 34"
Sistema Circular
A unidade é chamada de Radiano (rd), que é o ângulo central que intercepta um arco de circunferência de
comprimento igual ao raio da circuferência.
B
R
α
R
AB =
α=
AB
α=1
AA circunferência tem 2
Importante 180º =
Exercícios
a) Transformar para radianos:
• 60°
• 30°
• 45°
• 120°
• 150°
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• 135°
b) Transformar para graus:
3π rd
2
5π rd
3
2π rd
5
π rd
4
π rd
3
π rd
6
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