3o TESTE FORMATIVO
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1. Diga se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa: A recı́proca de uma
proposição verdadeira é uma proposição verdadeira.
R: Falsa. Por exemplo, Se os dinossauros eram répteis, então ainda há
dinossauros. De os dinossauros eram répteis não se pode concluir que
todos os répteis são dinossauros.
2. Diga qual o recı́proco do Teorema de Pitágoras.
R: O Teorema de Pitágoras diz que Num triângulo rectângulo a soma
do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. O recı́proco
é, portanto, Se num triângulo a soma do quadrado dos catetos é igual
ao quadrado da hipotenusa, então o triângulo é rectãngulo.
3. Usando o critério de congruência a.l.a. ∼
= a.l.a. (normalmente designado por ALA) demonstre o critério l.l.l. ∼
= l.l.l. (LLL).
R: Vamos supor que temos dois triângulo em que os lados são congruentes dois a dois, isto é, temos ∆ABC e ∆DEF e AB = DE,
AC = DF e BC = EF . Queremos provar que eles são congruentes
usando o critério ALA.
Como AB = DE os ângulos que se lhes opõem, Ĉ e F̂ , são congruentes.
De igual modo AC = DF implica que B̂ e Ê são congruentes. Logo
temos Ĉ ∼
= F̂ , BC = EF , B̂ ∼
= Ê, pelo que, por ALA, os dois triângulos
são congruentes.
4. Prove que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180o .
R:
2
c
a
b
a
c
5. Determine a distância de uma circunferência a um ponto exterior P .
R: Determinar a distância entre duas figuras é determinar o comprimento do menor segmento que une pontos das duas figuras. Neste
caso traçamos a recta que une o centro da circunferência ao ponto P
(esta recta corta a circunferência em Q) e vamos provar que a distância
pretendida é QP .
Q
P
Suponhamos que existe um ponto R na circunferência tal que RP <
QP . Seja O o centro da circunferência. Então RP + OR < QP + OQ
(porque OR = OQ é o raio da circunferência). Simplesmente, os pontos
O, R, P formam um triângulo sendo OP = OQ + QP a medida de um
dos lados; RP a medida de outro lado e OR a medida do terceiro lado.
Portanto temos que RP + OR < OP , o que é impossı́vel dado que num
3
R
Q
O
P
triângulo qualquer lado mede menos que a soma dos outros dois. Está
provado que QP é a distância da circunferência a P .
6. Prove que os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
R:
b
a
c
Os ângulos b e c são congruentes porque são alternos internos. Os
ângulos a e c são congruentes porque são ângulos correspondentes. Portanto a e b são congruentes.
7. Uma diagonal de um paralelogramo divide-o em em dois triângulos
congruentes.
4
R: Consideremos o paralelogramo seguinte:
c
b
a
d
Temos a ∼
=bec∼
= d porque são alternos internos. Para mais a diagonal
é comum aos dois triângulos. Logo, por ALA, temos que os triângulos
são congruentes.
8. Sabendo que na figura seguinte o ângulo y mede 50o e o x mede 30o ,
diga quanto mede o arco b.
a
y
x
b
R: Como o ângulo y é inscrito, pela Propriedade 2 (página 69), temos
que o arco a mede 100o . Como x é um ângulo formado por duas
secantes, pela Propriedade 11 (página 70), temos que
30o =
100o − b
a−b
=
⇒ b = 40o .
2
2
5
9. Diga qual a equação da recta que passa no ponto (1, 3) com declive 2.
R: A equação de uma recta é da forma y = mx + b. No nosso caso
m = 2 e a recta passa em (1, 3). Logo 3 = 2 ∗ 1 + b, donde resulta b = 1.
A equação é y = 2x + 1.
10. Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, os lados opostos a
esses ângulos são congruentes.
R: É a demonstração 3 na página 127. Em todos os exames sairá
uma demonstração similar a alguma das demonstrações do Apêndice
B. Convém pois conhecê-las todas em pormenor.
11. Considere um triângulo rectângulo cujos ângulos medem 30o , 60o e 90o .
Prove que o comprimento do cateto oposto ao ângulo de 30o é metade
do comprimento da hipotenusa.
R: Observe que um triângulo destes é metade de um triângulo equilatero cuja base mede o mesmo que a hipotenusa do triângulo rectângulo
dado. Logo o cateto mais pequeno mede metade da hipotenusa.
30º
h
60º
60º
60º
h/2
6