Triângulos Classificação segundo os lados MA092 – Geometria plana e analı́tica Triângulos Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Classificação Um triângulo é Agosto de 2015 Equilátero, se tem três lados congruentes. Isósceles, se tem dois lados congruentes. Escaleno, se não tem lados congruentes. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 1 / 24 Triângulos Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 2 / 24 Triângulos Triângulo retângulo Congruência de triângulos Definição Um triângulo é dito retângulo se um de seus ângulos é reto, ou seja, mede 90◦ . Definição Dois triângulos são congruentes se podemos estabelecer uma correspondência entre os ângulos de modo que Os lados correspondentes sejam congruentes; e Os ângulos correspondentes sejam congruentes. Em um triângulo retângulo, O lado oposto ao ângulo reto é chamado hipotenusa. Os outros lados são chamados catetos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 3 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 4 / 24 Triângulos Triângulos Congruência de triângulos Caso LLL Uso da congruência na prática A teoria sobre congruência de triângulos nos permite desenhar um triângulo a partir de medidas conhecidas. Caso LLL Dois triângulos são congruentes se possuem três lados congruentes. Apesar de dois triângulos serem congruentes quando suas seis medidas são iguais (lados e ângulos), três medidas já bastam. As possibilidades são Desenhando ∆ABC a partir de AB, AC e BC Desenhe o lado AB. (Fig. 1) Com o compasso centrado em A, marque os pontos que estão a uma distância igual à medida do lado AC. (Fig. 1) LLL (os três lados são conhecidos) LLA (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles)LLA (dois lados e um ângulo não compreendido entre eles) LAL (dois lados e o ângulo compreendido entre eles) LAA (dois ângulos e um lado não compreendido entre eles) ALA (dois ângulos e o lado compreendido entre eles) AAA (os três ângulos são conhecidos)AAA (os três ângulos são conhecidos) Com o compasso centrado em B, marque os pontos que estão a uma distância igual à medida do lado BC. (Fig. 1) Descoberta a localização de C, trace os lados que faltam. (Fig. 2) As combinações LLL, LAL, LAA e ALA servem AAA e LLA não servem Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 5 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Triângulos Agosto de 2015 6 / 24 Triângulos Caso ALA Caso LAL Caso LAL Dois triângulos são congruentes se possuem dois lados congruentes, bem como o ângulo entre eles. Desenhando ∆ABC a partir de AB, BC e B̂ Desenhando ∆ABC a partir de AB,  e B̂ Desenhe o lado AB. (Fig. 1) Desenhe o lado AB. (Fig. 1) Com um transferidor, marque o ângulo B̂ −−→ (ponto D) e trace a semirreta BD.(Fig.1) Com o compasso centrado em B ou uma régua, marque o ponto C sobre a semirreta −−→ BD. (Fig. 1) Descoberta a localização de C, trace o lado AC. (Fig. 2) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 Caso ALA Dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos congruentes, bem como o lado entre eles. 7 / 24 Com um transferidor, marque o ângulo  −−→ (ponto D) e trace a semirreta AD.(Fig.1) Com um transferidor, marque o ângulo B̂ −−→ (ponto E) e trace a semirreta BE.(Fig.1) O vértice C está na interseção das semirretas. (Fig. 2) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 8 / 24 Triângulos Triângulos Caso LAA Medidas insuficientes: AAA Caso LAL Dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos congruentes, bem como um lado não compreendido entre eles. Caso AAA É possı́vel construir infinitos triângulos dadas as medidas dos três ângulos. Desenhando ∆ABC a partir de AB,  e Ĉ Os triângulos ABC e ADE não são congruentes, embora B̂ ≡ D̂ e Ĉ ≡ Ê. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180◦ . Esse caso é equivalente a termos apenas dois ângulos conhecidos, pois a medida do terceiro sempre pode ser descoberta usando o fato de que a soma dos ângulos internos é 180◦ . Logo, conhecendo  e Ĉ, encontramos B̂ calculando B̂ = 180◦ −  − Ĉ. Assim, caı́mos no caso ALA, mencionado anteriormente. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 9 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Triângulos Agosto de 2015 10 / 24 Triângulos Medidas insuficientes: LLA Triângulo isósceles Caso LLA Teorema Um triângulo é isósceles se e somente se possui dois ângulos congruentes. É possı́vel construir dois triângulos dadas as medidas de dois lados e um ângulo não compreendido entre eles. Os triângulos ABC e ABD não são congruentes, embora Se  ≡ B̂ então ∆ABC é isósceles. (∆ABC ≡ ∆BAC por ALA.) Ambos tenham em comum o ângulo  e o lado AB. Se ∆ABC é isósceles então  ≡ B̂. (∆ABC ≡ ∆BAC por LAL.) O lado BC seja congruente com BD. O lado compreendido entre os ângulos iguais (AB) é chamado base. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 11 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 12 / 24 Triângulos Triângulos Desigualdade triangular Bissetriz de um ângulo Teorema Em um triângulo, a medida de um lado é menor que a soma das medidas dos outros dois lados. a<b+c b<a+c Definição −−→ Uma semirreta AD interna a um ângulo B ÂC é chamada bissetriz do ângulo se B ÂD ≡ C ÂD. c<a+b Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 13 / 24 Triângulos Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 14 / 24 Triângulos Bissetriz de um triângulo Mediana de um triângulo Definição Definição Mediana de um triângulo é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Bissetriz (interna) de um triângulo é o segmento com extremidades em um vértice e no lado oposto a este, que divide o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 15 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 16 / 24 Triângulos Triângulos Altura de um triângulo Perı́metro de um triângulo Definição Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice à sua projeção na reta que contém o lado oposto. Definição O Perı́metro de um triângulo é a soma dos comprimentos de seus lados. Perı́metro: p = a + b + c Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 17 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Agosto de 2015 Exercı́cios Exercı́cio 1 Exercı́cio 2 Problema Problema Sabendo que o triângulo ABC é equilátero, determine x e y. Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles, com base BC. Determine x e y. x = 85◦ , y = 50◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica 18 / 24 x = 4, y = 9 Agosto de 2015 19 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 20 / 24 Exercı́cios Exercı́cios Exercı́cio 3 Exercı́cio 4 Problema Encontre os valores de x e y na figura abaixo (não é preciso encontrar z e α). Problema Um triângulo isósceles tem um lado com 10 cm e outro com 24 cm. Nesse caso, o comprimento do terceiro lado é A) x = 10 cm B) x = 24 cm C) x = 10 cm ou x = 24 cm D) 10 cm ≤ x ≤ 24 cm x = 11, y = 15 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 21 / 24 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Agosto de 2015 22 / 24 Exercı́cios Exercı́cio 5 Exercı́cio 6 Problema As bissetrizes de dois ângulos adjacentes a um lado de um triângulo formam um ângulo de 120◦ . Sabendo que um desses dois ângulos mede 70◦ , determine a medida do outro. Problema Usando esquadros, compasso e transferidor, desenhe triângulos a partir das informações fornecidas abaixo. 50◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 23 / 24 1 Lados que medem 3 cm e 6 cm e ângulo compreendido entre eles de 60◦ . 2 Lados que medem 4 cm, 5 cm e 7 cm. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2015 24 / 24
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