2o TESTE FORMATIVO
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1. Prove que ângulos verticalmente opostos são congruentes entre si.
R: Considere a seguinte figura:
b
a
c
Evidentemente temos a + b = 180o e b + c = 180o . Logo a + b = c + b
e portanto a = c.
2. Seja l uma recta. Construa com um compasso e uma régua uma perpendicular a l.
R: Escolha um ponto P fora de l. Marque a circunferência C de centro
em P e raio r tal que C corta l em dois pontos, digamos A e B.
Agora trace a circunferência de centro em A e raio AB. Analogamente
trace a circunferência de centro B e raio AB. Estas duas circunferências
cruzam-se em dois pontos, digamos C e D. Trace o semento CD. Este
segmento é perpendicular a AB. Porquê? Porque AC = CB = BD =
DA. Logo, pela Propriedade 11 na página 59, o quadrilâtero ♦ACBD
é um rombo, e pela tabela na página 58 vemos que nos rombos as
diagonais são perpendiculares. Está provado que CD é a perpendicular
a l.
2
C
P
l
A
B
D
3. Prove que num triângulo equilâtero qualquer ângulo externo mede 120o .
R: A soma dos ângulos internos de um triângulo dá 180o . Como neste
triângulo todos os lados são iguais, então todos os ângulos são iguais
o
pelo que qualquer ângulo mede 180
= 60o .
3
Na página 49 diz que num polı́gono regular a soma de um ângulo externo com uma ângulo interno dá 180o . Logo qualquer ângulo externo
mede 180o − 60o = 120o .
4. Prove que os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
R: Considere o paralelogramo ♦ABCD e as diagonais AC e BD. Por
serem ângulos alternos internos temos 6 ADB ∼
= 6 CBD e 6 ABD ∼
=
6 CDB. Como o lado BD é comum aos dois triângulos, temos ∆ADB ∼
=
∆CBD. Logo AD = BC e AB = CD.
5. Prove que se dois ângulos de um triângulo são congruentes com dois
ângulos de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
R: Dois triângulos são semelhantes se têm os três ângulos congruentes.
3
Sejam a1 , a2 e a3 as medidas dos ângulos do primeiro triângulo e b1 , b2
e b3 as medidas dos ângulos do segundo triângulo. Suponhamos que
a1 = b1 e a2 = b2 . Então, como a1 + a2 + a3 = 180o = b1 + b2 + b3 temos
a3 = 180o − a1 − a2 = 180o − b1 − b2 = b3
e está provado que a3 = b3 . Logo se dois triângulos têm dois ângulos
congruentes, então os dois triângulos têm os três ângulos congruentes
e por isso os triângulos são semelhantes.
6. Determine a fórmula da área de um triângulo equilatero de base b.
R: Temos de determinar a altura (h) do triângulo em função de b. Pelo
teorema de Pitágoras,
b
b2 = ( )2 + h2 .
2
Logo
b
4b2 b2
3b2
h2 = b2 − ( )2 ⇒ h2 =
−
⇒ h2 =
⇒ h2 =
2
4
4
4
s
√
3b2
3
=
b.
4
2
Agora a área do triângulo é
√
√
b( 23 b)
bh
3 2
A=
=
=
b.
2
2
4
7. Construa um hexágono de lado l.
R: Trace uma circunferência de centro O e raio l. Trace um raio OA.
Com centro em A trace a circunferência de raio l. Esta circunferência
cruza a circunferência inicial em dois ponto, digamos B e C. Com
centro em B trace um circunferência de raio l (que corta a inicial nos
pontos A e D). Analogamente, com centro em C trace a cricunferência
de raio l (que corta a inicial nos pontos A e E). Finalmente, com centro
em E e raio l trace uma nova circunferência que corta a inicial num
novo ponto F . Pela página 94 sabemos que estes pontos definem um
hexágono.
4
F
D
E
B
C
A
8. Diga qual a equação da recta que passa pelos pontos (1, 0) e (3, 2).
R: A equação da recta é da forma y = mx + b e queremos determinar
o m e o b. Assim substituı́mos os valores que temos 0 = m ∗ 1 + b e
2 = m ∗ 3 + b e resolvemos o sistema. O resultado é m = 1 e b = −1.
A equação pedida é y = x − 1.
9. Se dois ângulos de um triângulo são congruentes, os lados opostos a
esses ângulos são congruentes.
R: É a demonstração 3 na página 127. Em todos os exames sairá
uma demonstração similar a alguma das demonstrações do Apêndice
B. Convém pois conhecê-las todas em pormenor.
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