Power vs n by Alpha with P0=0,5000 P1=0,6000 2-Sided
Binom Test
1.0
0.6
Alpha
Power
0.8
0,01
0.4
0,05
0.2
0.0
0
50
100
150
n
200
250
300
Power vs N1 by Alpha with P1=0,50 P2=0,60 N2=N1
2-Sided Prop Test
0.8
Alpha
Power
0.6
0.4
0,01
0,05
0.2
0.0
0
100
200
N1
300
400
Numeric Results
Null Hypothesis: P1=P2 Alternative Hypothesis: P1<>P2. Continuity Correction Used.
Allocation
Power
0,03781
0,09630
0,17009
0,25239
0,33809
0,42300
0,50404
0,57907
0,12539
0,24748
0,36902
0,48091
0,57979
0,66451
0,73537
0,79347
N1
50
100
150
200
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
N2
50
100
150
200
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
Ratio
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
Odds
P1
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
0,50000
P2
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
0,60000
Ratio
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
1,500
Alpha
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
Beta
0,96219
0,90370
0,82991
0,74761
0,66191
0,57700
0,49596
0,42093
0,87461
0,75252
0,63098
0,51909
0,42021
0,33549
0,26463
0,20653
Power
0,65332
0,96630
0,99819
0,99993
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,85155
0,99339
0,99981
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
N1
50
100
150
200
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
N2
50
100
150
200
250
300
350
400
50
100
150
200
250
300
350
400
Allocation
Ratio P1
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
1,000 0,50000
P2
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
0,80000
Ratio
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
4,000
Odds
Alpha
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,01000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
0,05000
Beta
0,34668
0,03370
0,00181
0,00007
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,14845
0,00661
0,00019
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,00000
Power vs N1 by Alpha with P1=0,50 P2=0,80 N2=N1
2-Sided Prop Test
1.0
Alpha
Power
0.9
0.8
0,01
0,05
0.7
0.6
0
100
200
N1
300
400
Comparação de duas médias
• Muitas vezes queremos comparar duas
populações independentes. Por exemplo:
– Verificar se existe diferença entre a idade em que
as crianças do sexo feminino ou masculino
aprendem a falar.
– Nível sérico de ferro em crianças do bairro A com
o nível sérico das crianças do bairro B
Calculo tamanho da amostra para
uma proporção
n
2
1 2
z
p(1  p)
d
2
(1,96) 2 0,5(0,5)
n
 9604se aum entarm soo erro para0,05
2
0,01
(1,96) 2 0,5(0,5)
n
 384
2
0,05
Teste de comparação de médias
• Suponha que a distribuição do nível sérico
de ferro da população do bairro A tem
distribuição normal
• Suponha que a distribuição do nível sérico
de ferro da população do bairro B tem
distribuição normal
Teste de comparação de médias
• Tomo uma amostra de cada população e obtenho a
média do nível sérico da população A e da
população B.
• O tamanho destas amostras nA e nB não precisa ser
igual
• Tenho 3 situações possíveis para as variâncias das
populações
– São conhecidas (teste utilizando z)
São desconhecidas e
– iguais (teste utilizando t)
– diferentes (teste utilizando t-modificado)
Teste de comparação de médias
Observação :
• Posso testar formalmente a normalidade
através de testes estatísticos (qui-quadrado
ou Komolgorav) ou fazer uma avaliação
visual através de histograma ou box-plot
• posso testar a igualdade de variâncias para
auxiliar na utilização da técnica mais
adequada. (testes Levene, teste Bartlet etc.)
Teste t para observações
independentes com variâncias iguais
•
O teste é realizado como qualquer teste
estatístico
1. Estabelecer a hipótese
H0: As médias dos grupos A e B são iguais
Há: As médias dos grupos A e B são diferentes
2. Calcular a estatística do teste
Teste t
3. Estabelecer a região crítica de rejeição e
de aceitação baseado na hipótese H0.
Utilizar a tabela t com (n+m-1 ) graus de
liberdade, no nível de significância
escolhido em geral 5% (=0,05)
4. Comparar o valor calculado com o valor
da tabela aceitando ou rejeitando H0
Estatística do teste
• XA=nível sérico de A
• XB=nível sérico de B
X A  N ( X A , sA )
2
X B  N ( X B , sB )
2
X A  X B  N(X A
2
sA
s B2
 XB,

)
nA
nB
Comparo com
o t crítico
A estatística do teste é
Tcalculado 
ondes p
XA  XB
 t( n A  nB  2 )
1
1
sp (

)
Combino as duas
nA
nB
( n A  1) s  ( nB  1) s

n A  nB  2
2
A
2
B
variâncias
Exemplo
1
Perda de peso por Tipo de dieta
2
12
8
15
13
15
19
15
12
10
12
14
13
16
15
11
12
13
Calculo a média e o desvio padrão das amostras
12  8  15  ...  13 120
x1 

 12
10
10
15  19  15  ...  15 105
x2 

 15
7
7
1202
1476
36
2
10
s1 

4
9
9
1052
1605
30
2
7
s2 

5
6
6
Calculo o s ponderado e a estatística t
9* 4  6*5
S 
 4,4
10  7  2
15  12
t
 2,902
 1 1
4,4  
 10 7 
2
Decisão do teste comparo os 2
valores
• Tcalculado=2,902
• T crítico=2,13 (10+7-2 graus de liberdade e
0,05)
• Como o valor calculado é maior que o t da
tabela podemos concluir que existe
diferença entre as dietas.
Teste t pareado
• Quando se quer comparar o efeito de um
tratamento com pares de gêmeos
• Dois lados do mesmo indivíduo
• Ou no mesmo indivíduo duas vezes por
exemplo antes e depois de administrar um
medicamento
Teste t pareado
• Calculam-se as diferenças
D=x1-x2
• Calculam-se a média e a variância das
diferenças
(
d)

d  n
2
d

&d&& 
n
2
s 
2
n 1
Teste t pareado
• Calcula-se t e compara com o valor da
tabela t com n-1 graus de liberdade
t
d
2
s
n
Exemplo
Antes
75
50
50
60
50
70
Média
variância
Depois
85
75
70
65
60
90
Dif
10
25
20
5
10
20
15
60
t
15
 4,74
60
6
Valor de t na tabela com 5 gl e 5% é 2,57.
Portanto rejeita-se a igualdade antes e depois
TESTE DE DIFERENÇA DE PROPORÇÕES
H0: p1=p2
Ha: p1≠p2
ˆp 
p
Z 
ˆ 1  n2 p
ˆ2
n1 p
n1  n2
ˆ1  p
ˆ2
p
 1
1 
ˆ p (1  p
ˆ p )

p

n

n
2 
 1
• Queremos saber se as verminoses são afetadas pela
idade em crianças comparando o grupo A de 2 a 4
anos com o grupo B de 7 a 9 anos. Foram
encontrados 0,085 no grupo A (120 crianças) e 0,103
no grupo B (260 crianças). Para saber se existe
diferença entre ales faremos o teste. H0: a proporção
de verminoses são iguais
• Ha: a proporção de verminoses são diferentes
0,085 0,103
Z
 0,6
0,09(0,093)(1 / 120 1 / 260)
120X 0,085 260X 0,103
ˆ
Pp 
 0,09
120 260
Zc=1,96
Então não há motivos para rejeitar H0