Número de Reynolds
Vamos considerar novamente o movimento de um fluido através de um tubo
cilíndrico num referencial fixo no tubo. Quando o fluido se desloca com velocidade de
módulo relativamente pequeno, o escoamento é lamelar. Assim, o fluido se divide em
camadas cilíndricas coaxiais, que se movem com velocidades de módulos diferentes.
A camada mais externa, chamada de camada limite, adere à parede do tubo e tem
velocidade nula no referencial considerado. A camada central tem velocidade de
módulo máximo.
Quando o módulo da velocidade do fluido excede certo valor crítico, o regime
de escoamento passa de lamelar para turbulento, exceto nas proximidades imediatas
da parede do tubo, onde a antiga estrutura de camadas permanece. Onde o
escoamento é turbulento, o movimento do fluido é altamente irregular, caracterizado
por vórtices locais e um grande aumento na resistência ao escoamento.
O regime de escoamento, se lamelar ou turbulento, é determinado pela
seguinte quantidade adimensional, chamada de número de Reynolds:
ρ
NR = D   v m
η
em que D é o diâmetro do tubo, ρ é a densidade, η é o coeficiente de viscosidade e vm
é o módulo da velocidade média de escoamento do fluido. A velocidade média de
escoamento é definida como sendo a velocidade constante, igual para todos os
elementos de volume do fluido, que produz a mesma vazão.
É um dado experimental que o escoamento de um fluido pode ser lamelar ou
turbulento conforme o valor do número de Reynolds:
NR < 2 000
lamelar
NR > 3 000
turbulento
e
Se o número de Reynolds está entre 2 000 e 3 000, o escoamento é instável,
podendo mudar de um regime para outro.
Exemplo
Vamos considerar o escoamento de água e de ar por um tubo com diâmetro
interno de 1 cm.
Para a água a 20 oC temos:
η ≈ 1 × 10−2 P
e
ρ ≈ 1 g/cm3
de modo que o escoamento de água é laminar se o módulo da velocidade média de
escoamento pelo tubo considerado tiver, no máximo, o valor:
vm =
2 000 η 2 000 ( 1 x 10 −2 P )
≈
= 20 cm / s
ρD
( 1g / cm 3 )( 1cm )
Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria
Um cálculo análogo mostra que o escoamento de água pelo mesmo tubo é
turbulento se a velocidade média tem módulo vm > 30 cm/s.
Para o ar a 20 oC temos:
η ≈ 1,8 × 10−4 P
e
ρ ≈ 1,3 x 10−3 g/cm3
de modo que o escoamento de ar é laminar se o módulo da velocidade média de
escoamento pelo tubo considerado tiver, no máximo, o valor:
vm ≈
2 000 ( 1,8 x 10 −4 P )
( 1,3 x 10 − 3 g / cm 3 )( 1cm )
≈ 277 cm / s
Um cálculo análogo mostra que o escoamento de ar pelo mesmo tubo é
turbulento se a velocidade média tem módulo vm > 415 cm/s.
Conseqüência da Mudança de Regime
Já vimos que, quando um objeto se move em um fluido viscoso com velocidade
de módulo relativamente pequeno, no referencial em que o fluido está em repouso,
atua sobre ele uma força de arraste cujo módulo é proporcional ao módulo da
velocidade. Por outro lado, quando um objeto se move em um fluido viscoso com
velocidade de módulo não muito pequeno, atua sobre ele uma força de arraste cujo
módulo é proporcional ao quadrado do módulo da velocidade.
Essa mudança no módulo da força de arraste, de uma dependência linear para
uma dependência quadrática com o módulo da velocidade do corpo, não é gradual,
mas acontece bruscamente e ocorre, para um dado fluido, sempre que o módulo da
sua velocidade alcança o mesmo valor crítico, independentemente do aparato de
medida.
Além disso, podemos verificar experimentalmente que a mudança no módulo
da força de arraste ocorre simultaneamente com a mudança no regime do escoamento
no aparato de medida, de laminar para turbulento.
Exercício
A mudança no módulo da força de arraste, da dependência linear para a
dependência quadrática com o módulo da velocidade do corpo, ocorre
Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria
simultaneamente com a mudança no regime do escoamento, de laminar para
turbulento. Com base nesse fato, o número de Reynolds pode ser determinado
experimentalmente.
Conecte uma mangueira transparente a uma torneira. Abra a torneira o
suficiente para que a água escoe com velocidade de módulo pequeno e tenha um
escoamento laminar.
Com uma seringa, introduza lentamente um líquido colorido (como suco de
uva, por exemplo) no centro da mangueira (Fig.11(a)). Como o escoamento é laminar,
o fio de líquido colorido que sai da agulha deve ser contínuo e acompanhar a curvatura
da mangueira.
Enquanto injeta o líquido colorido no centro da mangueira, vá abrindo cada vez
mais a torneira, gradativa e lentamente, até o exato instante em que o regime de
escoamento passa de laminar para turbulento (Fig.11(b)). Agora, o fio de líquido
colorido é violentamente agitado e sua continuidade é destruída por curvas e vórtices.
Determine, pela medida da vazão, o módulo da velocidade de escoamento da
água num referencial fixo na mangueira.
Repita várias vezes todo o procedimento para encontrar um valor médio para o
módulo da velocidade de escoamento da água na mangueira.
Sabendo que, para 0 oC, para 20 oC e para 40 oC, o coeficiente de viscosidade
da água tem, respectivamente, os valores:
η = 1,79 × 10−2 P
η = 1,01 × 10−2 P
e
η = 0,66 × 10−2 P
faça uma interpolação linear e determine o coeficiente de viscosidade da água à
temperatura ambiente.
Com o valor médio vm do módulo da velocidade de escoamento e com os
valores conhecidos do diâmetro interno D da mangueira, da densidade ρ e do
coeficiente de viscosidade η da água à temperatura ambiente, calcule o número de
Reynolds pela expressão NR = Dρvm / η.
Grupo de Ensino de Física da Universidade Federal de Santa Maria