GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 02: TRIÂNGULO
TÓPICO 01: DEFINIÇÕES
DEFINIÇÃO 1
Chamaremos de triângulo ou de trilátero a região do plano limitada por 3
segmentos de reta
em que os pontos A, B e C não são
colineares.
Adotaremos a notação ABC para representar o triângulo determinado pelos
. Chama-se lado de um triângulo ABC qualquer
segmentos
um dos segmentos
,
ou
; ângulo interno ou simplesmente
ângulo do triângulo ABC qualquer um dos ângulos
e vértice
qualquer um dos pontos A, B ou C.
Chamaremos de perímetro de um triângulo a soma das medidas de seus
lados.
CLASSIFICANDO OS TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS
ESCALENO
Um triângulo chama-se escaleno se as medidas de seus lados são
desiguais.
ISÓSCELES
Caso contrário, ou seja, se o triângulo tiver pelo menos dois lados
congruentes, diremos que ele é isósceles.
EQUILÁTERO
Caso os três lados tenham a mesma medida, diremos que é equilátero .
CLASSIFICANDO OS TRIÂNGULOS QUANTO AOS ÂNGULOS
EQUIÂNGULO
Chamaremos de triângulo equiângulo todo aquele que tem os ângulos
com a mesma medida.
ACUTÂNGULO
Um triângulo chama-se acutângulo se todos os seus ângulos internos são
agudos.
OBTUSÂNGULO
Um triângulo chama-se obtusângulo se algum de seus ângulos internos é
obtuso.
RETÂNGULO
Um triângulo chama-se retângulo se um de seus ângulos internos é reto.
Num triângulo retângulo os lados que formam o ângulo reto são chamados
de catetos e o terceiro de hipotenusa.
Num triângulo, um vértice e um lado são ditos opostos se o vértice não é
extremidade do lado.
EXERCITANDO 09 A 11
“Só conheço duas formas de aprender Matemática, uma é pelo talento a
outra é pelo esforço”
Prof. Ms. Ailton Feitosa
09º) Em um triângulo ΔPQR, temos os ângulos dos vértices P, Q e R
medindo, respectivamente, 72°, 37° e 71°. Indique qual o maior lado e qual
o menor lado do triângulo.
10º) Se um triângulo isósceles tem um lado que mede 10 cm e o outro
medindo 4 cm, o que podemos afirmar sobre o comprimento do terceiro
lado?
11º) Os comprimentos dos lados de um triângulo são dados por 2x-3, x+6
e 3x- 12 unidades. Verifique que, se o triângulo for isósceles, então ele será
eqüilátero.
OLHANDO DE PERTO
No triângulo ao lado, A e
são opostos assim como B e
, e, C, e
Num triângulo, um ângulo e um lado são ditos opostos se o vértice do ângulo
e o lado forem opostos. No triângulo ABC, são opostos:
. Caso contrário, isto é, se o vértice do ângulo
for extremidade do lado, eles são chamados de adjacentes.
Exemplo
CASO L.A.L. DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
DEFINIÇÃO 2
Dois triângulos ABC e A 'B' C' são ditos congruentes e escrevemos
Dizer que dois triângulos são congruentes, significa que é possível
estabelecer uma correspondência entre os vértices de um e os vértices do
outro de tal forma que ângulos correspondentes são congruentes e lados
correspondentes são também congruentes. Faça a seguinte experiência com
o auxílio de uma régua e um transferidor.
OLHANDO DE PERTO
Se dois triângulos são congruentes, podemos imaginar que um, através de
um deslocamento, pode ser colocado sobre o outro de modo a ficarem
coincidentes.
OLHANDO DE PERTO
Escolha uma medida de ângulo qualquer no transferidor. Desenhe agora
dois ângulos com essa mesma medida em locais distintos numa folha de
papel. Em seguida, escolha duas medidas de qualquer comprimento na
régua. Marque cada medida em cada lado de um dos ângulos a partir do
vértice. Depois faça o mesmo com o outro ângulo. A essa altura seus
desenhos estarão mais ou menos assim:
Agora, em cada ângulo ligue os dois pontos que você marcou e recorte os
triângulos ABC e A' B' C' de sua folha de papel. Em seguida, tente pôr um
sobre o outro de modo a ficarem coincidentes.
CONSEGUIU? Tenho certeza que sim.
Desta experiência podemos concluir que:
Para que dois triângulos sejam congruentes basta que dois lados de um
sejam, respectivamente, congruentes a dois lados do outro e os ângulos
formados por esses lados sejam também congruentes.
Em símbolos, temos:
Este é o chamado caso lado-ângulo-lado (obreviado por L.A.L.) de
congruência de triângulos.
Prova:
Seja ABC um triângulo em que AB = AX. Devemos mostrar que
.
Considere a bissetriz do ângulo
. Esta intercepta
num ponto D.
Pelo caso L.A.L , podemos concluir que
Conclua, à luz do teorema anterior, que os ângulos de um triângulo
equilátero são congruentes entre si.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual