Congruência e Semelhança de
Triângulos
Congruência
Dois triângulos são chamados congruentes quando os seus lados e os seus
ângulos são congruentes, ou seja, se correspondem.
Em outras palavras, pode-se afirmar que dois triângulos são denominados
congruentes se eles têm ordenadamente os três lados e os três ângulos iguais.
Exemplo:
Figura 1
A congruência de dois triângulos determina a congruência dos seis elementos.
Esses elementos são os três lados e os três ângulos. Então, será que para
saber se dois triângulos são congruentes, temos que verificar toda vez à
congruência dos seis elementos?
A resposta é NÃO. Existem condições mínimas para que dois triângulos sejam
congruentes. Podemos verificar a congruência de três elementos num dada
ordem. Vejamos os casos de congruência de triângulos.
Casos ou Ccritérios de Congruência
Existem 5 casos ou critérios de congruência, vejamos abaixo:
1º caso: LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados
também congruentes.
19
Figura 2
2º caso: LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.
Figura 3
3º caso: ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os
ângulos congruente.
Figura 4
4º caso: LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado,
e congruência do ângulo oposto ao lado.
20
Figura 5
5º caso: Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um
cateto e a hipotenusa, então eles são congruentes.
Figura 6
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às
propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados
congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles
são congruentes.
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Figura 7
21
Semelhança de Triângulos
Antes de iniciarmos o conteúdo, convém lembrar que os triângulos apresentam
duas propriedades exclusivas, que permitem reconhecer com maior facilidade
quando dois triângulos são semelhantes.
1° Propriedade: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é
180°.
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Figura 8
Essa propriedade mostra que, se dois ângulos de um triângulo são
respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo desses
triângulos também serão congruentes.
2° Propriedade: A congruência dos ângulos internos
proporcionalidade dos lados dos triângulos, e vice-versa.
implica
a
Dois triângulos ∆ ABC e ∆ ADE dizem-se semelhantes, quando seus lados são
correspondentes, como podemos observar na figura abaixo:
Figura 9
22
Dessa forma, escrevemos ∆ABC ≅ ∆ ADE. Essa condição é atendida se:
 Os ângulos correspondentes forem congruentes; e
̅̅̅̅
̅̅̅ ̅̅̅̅
 Os lados forem proporcionais, ou seja: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Essa razão entre lados correspondentes de triângulos semelhantes é chamada
de razão de semelhança.
Para semelhança de triângulos, também se deve analisar alguns critérios, são
eles:
1° Critério AAA (ângulo/ ângulo/ ângulo): Se os ângulos de um triângulo forem
respectivamente congruentes aos ângulos correspondentes de outro triangulo,
então os triângulos são semelhantes.
Figura 10
2° Critério LAL (lado/ângulo/lado): Se as medidas de dois dos lados de um
triângulo são respectivamente proporcionais às medidas de dois lados
correspondentes de outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados
são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
23
Figura 11
3° Critério AA (ângulo/ângulo): Se dois triângulos têm dois ângulos internos
correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Figura 12
4° Critério LLL (lado/lado/lado): Se as medidas dos lados de dois triângulos são
respectivamente proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Figura 13
24
Observe que :
̅̅̅̅
̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
→
→
.Com isso, tem-se que
os lados do triângulos ABC são duas vezes a medida dos lados do triângulos
DEF, respectivamente.
REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática:
Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.
CONGRUÊNCIA de Triângulos. Rio de Janeiro: CEDERJ. Disponível em:
<http://www.professores.uff.br/dirceuesu/GBaula2.pdf>.. Acesso em: 16 abril
2012.
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