Medidas de Dispersão e Assimetria
• Desvio Médio
• Variância
• Desvio Padrão
• Medidas de Assimetria
• Coeficiente de Assimetria
• Exemplos
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Medidas de Dispersão - Média
• Servem para verificação e representatividade das medidas de posição em
relação as médias:
Média aritmética simples:
X

Xm  X 
a) 20, 20, 20, 20, 20
Média
Xma=20
n
Média ponderada:
X .F

Xm  X 
F
i
b) 15, 10, 20, 25, 30
Média
Xmb=20
i
i
i
Apesar da mesma média entre as séries,
os valores estão mais dispersos da média na séria “b”.
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Desvio Médio
• Para medir a dispersão em torno da média, estudamos o
comportamento dos desvios de cada valor em relação à
( X i  Xm)
média:
• Sabe-se que:
(X
i
 Xm)  0
• Média aritimética dos desvios em módulo:
DM
X  Xm .F


F
i
i
i
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Variância
• Média aritimética dos quadrados dos desvios
– O quadrado de cada desvio para evitar o somatório nulo
S2 
2


X

Xm
.Fi
 i
F
i
S2 
2


X

Xm
.Fi
 i
 F 1
População
Amostra
i
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Desvio Padrão ()
• Como a variância é uma soma de quadrados, para voltar a
variável original, defini-se a raiz quadrada da variância.
 S
2
População ou Amostra
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Medidas de Assimetria - MODA
Denominamos moda (Mo) o valor que ocorre com maior
frequência em uma série de valores.
Dada uma série de dados não-agrupados:
7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15
moda igual a 10.
AMODAL: Séries que não apresentam moda;
BIMODAL: Séries com dois ou mais valores de concentração para a moda.
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Medidas de Assimetria - MEDIANA
A mediana é outra medida de posição definida como o número
que se encontra no centro de uma série de números,
estando estes dispostos segundo uma ordem.
Dada uma série de valores não-agrupados:
2 5 6 9 10 13 15 16 18
Md=10
Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos
números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o
ponto médio.
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Medidas de Assimetria - MEDIANA
Dados agrupados com intervalos de classe
(ponto do intervalo em que está compreendida a classe mediana).
l* – limite inferior classe mediana .
f* – frequência simples da classe mediana.
F(ant) – frequência acumulada classe anterior à classe mediana.
h* – amplitudo do intervalo da classe mediana.
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Medidas de Assimetria
• Uma distribuição é simétrica quando a média, mediana e moda são
coincidentes.
Xm  Md  Mo
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Medidas de Assimetria
• Uma distribuição é assimétrica negativa quando a média é menor que a
mediana e menor que a moda.
Xm  Md  Mo
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Medidas de Assimetria
• Uma distribuição é assimétrica positiva quando a média é maior que a
mediana e maior que a moda.
Xm  Md  Mo
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• Coeficiente de Assimetria - Coeficiente Pearson (As):
AS 
Xm  Mo

• Se:
AS=0 → Distribuição simétrica
AS<0 → Distribuição assimétrica negativa
AS>0 → Distribuição assimétrica positiva
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• Exemplo: Classificar quanto a assimetria a distribuição abaixo, segundo
o coeficiente de Pearson.
Xi
Fi
Xi.Fi
1
2
2
2
10
20
3
6
18
4
4
16
5
2
10
6
1
6
25
72
X .F

Xm 
F
i
i
i
72

 2,88
25
2) Cálculo da Moda (é o Xi de maior Fi)
Mo  2
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• Montagem do cálculo da Variância:
Xi
Fi
Xi.Fi
1
2
2
2
10
20
3
6
18
4
4
16
5
2
10
6
1
6
25
72
S2 
2


X

Xm
.Fi
 i
F
i
 X i  Xm 
 X i  Xm 2
  X i  Xm .Fi
2
S2 
 X i  Xm 2 .Fi
2


X

Xm
.Fi
 i
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F
i
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• Cálculo da Variância:
Xi
Fi
Xi.Fi
Xi-Xm
(Xi-Xm)2
(Xi-Xm)2.Fi
1
2
2
-1,88
3,535
7,068
2
10
20
-0,88
0,774
7,744
3
6
18
0,12
0,144
0,086
4
4
16
1,12
1,254
5,017
5
2
10
2,12
4,494
8,988
6
1
6
3,12
9,734
9,734
25
72
38,637
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• Cálculo do desvio padrão () e do coeficiente de Pearson (AS)
S 
2
2


X

Xm
.Fi
 i
F
i
38,637
S 
 1,54
25
  1,54  1,24
2
AS 
Xm  Mo

2,88  2
AS 
1,24
AS  0,71
AS>0 → Distrbuição assimétrica positiva
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