Lista de exercícios
(Termodinâmica: Temperatura, dilatação térmica e Calor)
1. Observamos no dia-a-dia, que objetos quentes ou frios, esfriam ou aquecem até adquirir a temperatura
ambiente. Se a diferença de temperatura ∆T entre o objeto e o meio ambiente não for muito grande, a taxa
de esfriamento ou aquecimento será proporcional à diferença de temperatura, isto é,
݀(∆ܶ)
= −‫)ܶ∆(ܣ‬
݀‫ݐ‬
onde A é uma constante. O sinal negativo aparece porque ∆T diminui com o tempo, se for positivo, e
aumenta, se negativo. Está é a lei de Resfriamento de Newton. (a) de quais fatores depende a constante
A? qual a sua dimensão? (b) se no instante t = 0 a diferença de temperatura for ∆T0, mostre que em um
instante posterior t:
∆ܶ = ∆ܶ଴ ݁ ି஺௧
2. A área de uma placa retangular é a.b. O coeficiente de dilatação linear é α. Depois de um aumento de
temperatura ∆T, o lado a aumenta de ∆a e b de ∆b. Mostre que, desprezando a quantidade pequena (∆a x
∆b)/ab,
∆‫ = ܣ‬2ߙ‫ܶ∆ܣ‬
3. O pendulo de um relógio feito de invar (α = 0,7 x 10-6 °C – o invar é uma liga projetada com
coeficiente de dilatação muito baixo- este nome é uma abreviatura de invariável) tem periodo de 0,5 s e é
exato a 20°C. Se levarmos o relógio para um local à temperatura de 30°C, qual a correção necessária
aproximada do relógio, após 30 dias?
4. A figura mostra um esquema possível de construção de um pêndulo cujo comprimento l não seja
afetado pela dilatação térmica. As três barras verticais claras na figura, de mesmo comprimento l1 , são de
aço, cujo coeficiente de dilatação linear é 1,1 x 10-5/°C. As duas barras verticais escuras na figura, de
mesmo comprimento l2, são de alumínio cujo coeficiente de dilatação linear é 2,3 x 10-5/°C. Determine l1
e l2 de forma a manter l = 0,5 m.
5. Uma tira bi-metalica, de espessura x, é constituída de dois materiais distintos com coeficientes de
dilatação α1 e α2 respectivamente, com α1 < α2 , e com o mesmo comprimento a uma temperatura T. Qual
o raio de curvatura da tira a uma temperatura T + ∆T, considere x << R.
6. Uma chapa de cobre a 0°C tem espessura de 5 mm e um orifício circular de 75 mm de raio. Eleva-se
sua temperatura a 220 °C. determine os valores, a essa temperatura, (a) da espessura da chapa, (b) do raio
do orifício e (c) da área do orifício na chapa. (αCu = 17 x 10-6/°C).
7. Uma barra, composta de comprimento L = L1 + L2, é feita de uma barra de um material 1 comprimento
L1, ligada a outra de um material 2 e comprimento L2 conforme mostra a figura. Mostre que o coeficiente
de dilatação linear efetivo para esta barra é:
∝=
∝ଵ ‫ܮ‬ଵ +∝ଶ ‫ܮ‬ଶ
‫ܮ‬ଵ + ‫ܮ‬ଶ
8. Um bloco de gelo de 1 tonelada, destacado de uma geleira, desliza por uma encosta de 10 ° de
inclinação com velocidade constante 0,1 m/s. O calor de fusão do gelo é de 80 cal/g. Calcule a quantidade
de gelo que se derrete por minuto em conseqüência do atrito. Dado: sin 10° = 0,17
9. Um corpo, inicialmente na temperatura Ti , resfria-se por convecção e radiação numa sala com
temperatura T0 . O resfriamento se faz conforme a Lei de Newton,
݀ܳ
= ℎ‫ ܶ(ܣ‬− ܶ଴ )
݀‫ݐ‬
onde A é a área do corpo e h uma constante denominada coeficiente superficial de transferência de calor.
Mostrar que a temperatura T, em função do tempo t, é dada por:
௛஺௧
ܶ = ܶ଴ + (ܶ௜ − ܶ଴ )݁ ି ௠௖
onde m é a massa do corpo e c é o seu calor específico.
10. Modelo de Debye para o calor específico de um sólido. Um aperfeiçoamento do modelo de Einstein é
o modelo de Debye, que proporciona a seguinte expressão para o calor específico molar:
ܿ௏ = 9ܴ ൬
ܶ ଷ ௬ ‫ ݔ‬ସ݁ ௫
൰ න
݀‫ݔ‬
௫
ଶ
ܶ஽
଴ (݁ − 1)
Em que TD é a temperatura de Debye e y = TD / T. (a) Mostrar que quando T for mais elevada do que TD ,
a expressão se reduz ao resultado de Dulong-Petit. (b) Quando T<< TD o limite superior da integral é
infinitamente grande. A integral definida tem valor 4π4/15. Mostrar que em temperatura muito baixas o
calor especifico molar é dado por:
ܿ௏ = ቆ
12ߨ ସ
ܶ ଷ
ቇܴ൬ ൰
5
ܶ஽
11. Um sistema termodinâmico é levado de um estado inicial A para um B e, depois, de volta ao estado
A, via C, como mostrado na caminho ABCA no gráfico PV da figura. (a) Complete a tabela ao lado do
gráfico, colocando + ou – para o sinal de cada quantidade termodinâmica associada a cada processo. (b)
Calcule o valor numérico do trabalho realizado sobre o sistema durante o ciclo completo ABCA.
12. A energia interna de um sistema pode ser considerada como uma função de V e T, ou seja, U (V, T).
(a) Use a primeira lei da Termodinâmica para mostrar que
ܿ௏ =
1 ߲ܷ
.൬ ൰
݉ ߲ܶ ௏
onde V é mantido fixo ao tomarmos a derivada em relação a T. (b) mostre que não vale para cP uma
expressão análoga, onde a derivada é tomada com P fixo.