Universidade Federal de Santa Catarina
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina ECV 5645 – Resistência dos Sólidos
Turma 0331 – Arquitetura e Urbanismo
RESISTÊNCIA DOS SÓLIDOS PARA ESTUDANTES DE
ARQUITETURA
Prof. Enedir Ghisi, PhD
Florianópolis, Março de 2005
ECV5645 – Resistência dos Sólidos
2
Sumário
Agradecimentos.......................................................................................................................................... 3
1. Introdução à Resistência dos Materiais............................................................................................... 4
1.1. Estrutura............................................................................................................................................ 4
1.1.1. Tipos de estrutura ...................................................................................................................... 4
1.1.2. Ações externas (cargas) ............................................................................................................ 5
1.1.3. Vínculos (ou apoios) .................................................................................................................. 6
1.2. Equações de equilíbrio estático ........................................................................................................ 7
1.2.1. Condições de equilíbrio ............................................................................................................. 8
1.3. Exercícios - Reações de apoio ......................................................................................................... 9
2. Esforços internos ................................................................................................................................. 11
2.1. Método das seções ......................................................................................................................... 12
2.1.1. Exercícios ................................................................................................................................ 12
2.2. Diagramas de esforços internos ..................................................................................................... 14
2.2.1. Exercícios ................................................................................................................................ 18
2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 19
3. Diagramas tensão x deformação ........................................................................................................ 21
3.1. Esforços internos............................................................................................................................. 21
3.2. Barra carregada axialmente............................................................................................................ 21
3.2.1. Distribuição dos esforços internos........................................................................................... 21
3.2.2. Tensão normal ......................................................................................................................... 21
3.3. Corpos de prova.............................................................................................................................. 22
3.4. Deformação linear ........................................................................................................................... 22
3.5. Diagrama tensão x deformação ...................................................................................................... 22
3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis ....................................................................................................... 22
3.5.2. Lei de Hooke............................................................................................................................ 23
3.5.3. Módulo de elasticidade ............................................................................................................ 23
3.5.4. Propriedades mecânicas ......................................................................................................... 23
3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke .................................................................................................. 24
3.6. Análise elástica e análise plástica................................................................................................... 25
3.7. Classificação dos materiais............................................................................................................. 25
3.8. Exercícios........................................................................................................................................ 25
4. Treliças .................................................................................................................................................. 26
4.1. Treliças planas ................................................................................................................................ 26
4.2. Esforços primários e secundários ................................................................................................... 26
4.3. Treliças isostáticas .......................................................................................................................... 26
4.4. Método dos nós............................................................................................................................... 27
4.4.1. Exercícios ................................................................................................................................ 27
4.5. Método de Ritter.............................................................................................................................. 28
4.5.1. Exercícios ................................................................................................................................ 28
4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 28
5. Cisalhamento simples.......................................................................................................................... 30
5.1. Deformação no cisalhamento ......................................................................................................... 30
5.2. Módulo transversal de elasticidade................................................................................................. 30
5.3. Exercícios........................................................................................................................................ 31
5.4. Ligações soldadas........................................................................................................................... 31
5.5. Ligações rebitadas .......................................................................................................................... 31
5.5.1. Ligação com simples superposição......................................................................................... 31
5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura .................................................................................... 32
5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura.................................................................................. 32
5.6. Ruptura de ligações rebitadas ........................................................................................................ 32
5.6.1. Cisalhamento nos rebites ........................................................................................................ 32
5.6.2. Compressão nas paredes dos furos........................................................................................ 32
5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites ......................................................................................... 33
5.6.4. Tração nas chapas .................................................................................................................. 33
5.7. Exercícios........................................................................................................................................ 34
5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 35
6. Propriedades geométricas de superfícies planas............................................................................. 37
6.1. Momento estático e baricentro........................................................................................................ 37
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6.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 37
6.2. Centro de gravidade (baricentro) .................................................................................................... 37
6.2.1. Propriedades do centro de gravidade...................................................................................... 38
6.2.2. Exercícios ................................................................................................................................ 38
6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas ...................................................... 38
6.3.1. Exercícios ................................................................................................................................ 39
6.4. Momento de inércia......................................................................................................................... 39
6.4.1. Momento de inércia de um elemento ...................................................................................... 39
6.4.2. Momento de inércia de uma superfície.................................................................................... 39
6.4.3. Raio de giração........................................................................................................................ 40
6.4.4. Propriedades............................................................................................................................ 40
6.4.5. Exercícios ................................................................................................................................ 40
6.4.6. Teorema de Steiner ................................................................................................................. 41
6.4.7. Exercícios ................................................................................................................................ 42
6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas................................................................................ 42
6.4.9. Exercícios ................................................................................................................................ 42
6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 43
7. Flexão simples ...................................................................................................................................... 44
7.1. Projeto de vigas............................................................................................................................... 46
7.2. Verificação de vigas ........................................................................................................................ 46
7.3. Exercícios........................................................................................................................................ 46
7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 48
8. Flexão composta .................................................................................................................................. 49
8.1. Esforço normal excêntrico............................................................................................................... 50
8.1.1. Exercício .................................................................................................................................. 51
8.2. Linha neutra .................................................................................................................................... 52
8.2.1. Linha neutra oblíqua ................................................................................................................ 52
8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y................................................................................................ 52
8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z................................................................................................ 52
8.3. Núcleo central ................................................................................................................................. 52
8.4. Exercícios........................................................................................................................................ 53
8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................... 54
9. Tensões de cisalhamento em vigas ................................................................................................... 55
9.1. Teorema da reciprocidade .............................................................................................................. 55
9.2. Fluxo de cisalhamento .................................................................................................................... 55
9.3. Variação das tensões de cisalhamento .......................................................................................... 58
9.4. Exercícios........................................................................................................................................ 59
10. Torção.................................................................................................................................................. 61
10.1. Torção de barras circulares .......................................................................................................... 61
10.2. Relação entre torque e ângulo de torção...................................................................................... 62
10.3. Torção de barras circulares vazadas ............................................................................................ 62
10.4. Torção de seções vazadas com paredes delgadas...................................................................... 63
10.4.1. Relação entre torque e fluxo de cisalhamento ...................................................................... 64
10.5. Exercícios...................................................................................................................................... 65
10.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 66
11. Flambagem de colunas...................................................................................................................... 67
11.1. Tensão crítica................................................................................................................................ 68
11.2. Comprimento de flambagem......................................................................................................... 69
11.3. Carga admissível........................................................................................................................... 69
11.4. Exercícios...................................................................................................................................... 69
11.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe) .................................................................................. 71
Referências bibliográficas....................................................................................................................... 72
Agradecimentos
À arquiteta e mestranda do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Marina Vasconcelos
Santana, pelas ilustrações.
Ao acadêmico do curso de Arquitetura e Urbanismo, Olavo Avalone Neto, pela digitação de parte do
conteúdo.
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ECV5645 – Resistência dos Sólidos
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1. Introdução à Resistência dos Materiais
Cronologicamente o desenvolvimento da resistência dos materiais seguiu-se ao desenvolvimento das
leis da estática. A estática considera os efeitos externos das forças que atuam num corpo, isto é, o fato
de as forças tenderem a alterar o estado de movimento do corpo. A resistência dos materiais considera
os efeitos internos, ou seja, o estado de tensões e deformações que se origina no corpo.
O estudo da resistência dos materiais constitui-se na determinação das reações vinculares externas
e na caracterização das solicitações fundamentais, bem como na obtenção da configuração deformada
de um dado corpo sólido deformável submetido à ações externas e certas condições de vínculos.
Após o cálculo das ações vinculares externas, penetra-se no interior da estrutura para, em suas
diversas seções, analisar os esforços internos: esforços normais de tração ou compressão, esforços
cortantes, momentos fletores e torçores, que provocam a mudança da forma original do corpo, ou seja,
provocam a deformação e o conseqüente aparecimento de tensões.
Os problemas de resistência dos materiais constituem a verificação e o projeto de estruturas.
No problema de verificação, conhece-se a estrutura, suas dimensões, carregamento e material
utilizado. A resolução do problema consiste em calcular o menor coeficiente de segurança para a
estrutura, ou seja, calcular o coeficiente de segurança no ponto mais solicitado de toda a estrutura.
No problema de projeto ou dimensionamento, conhece-se a estrutura, o carregamento e o
coeficiente de segurança mínimo prescrito por norma conforme o material. A resolução do problema
consiste em escolher o material, a forma e as dimensões da seção transversal da peça de modo que ela
não venha a falhar devido ao carregamento esperado.
Qualquer um dos problemas é resolvido por condições matemáticas que comparem as maiores
tensões que ocorram na estrutura com as tensões limites que caracterizam a capacidade resistente do
material utilizado na estrutura.
A fim de responder a estas questões matemáticas, deve ser respondida uma pergunta fundamental:
“Em que condições uma peça submetida a esforços entra em colapso estrutural?”
• “Quando, em um ponto, a deformação for elevada?”
• “Quando, em um ponto, a tensão for elevada?”
O colapso de um material é determinado por critérios de ruptura definidos de acordo com a
natureza do material. Portanto, é necessário conhecer as tensões e as deformações máximas atuantes
na estrutura, bem como o critério de ruptura que o material obedece.
O projeto de uma estrutura deve ser iniciado pela determinação das seções críticas das vigas, onde
ocorrem os valores máximos da força cortante, da força normal e do momento fletor. Esses cálculos se
simplificam bastante pela construção dos diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço
normal.
1.1. Estrutura
A estrutura é a parte da construção responsável pela resistência às ações externas e é o objeto de
estudo da resistência dos materiais.
1.1.1. Tipos de estrutura
As estruturas podem ser classificadas de diversas formas:
- quanto às dimensões
- quanto à vinculação
Quanto às dimensões:
- Reticulares: - uma dimensão predomina sobre as outras duas (ex.: vigas, treliças, pórticos planos, etc.)
- Laminares: - duas dimensões predominam sobre a terceira (ex.: cortinas, lajes, etc.)
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- Tridimensionais: - as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza (ex.: barragens)
Nesta disciplina será dado ênfase no estudo das estruturas reticulares planas.
1.1.2. Ações externas (cargas)
Uma estrutura pode estar sujeita à ação de diferentes tipos de carga, tais como pressão do vento,
reação de um pilar ou viga, as rodas de um veículo, o peso de mercadorias, etc. Estas cargas podem ser
classificadas quanto à ocorrência em relação ao tempo e quanto às leis de distribuição.
Quanto à ocorrência em relação ao tempo:
Cargas Permanentes:
Atuam constantemente na estrutura ao longo do tempo e são devidas ao seu peso próprio e dos
revestimentos e materiais que a estrutura suporta. Tratam-se de cargas com posição e valor
conhecidos e invariáveis.
Cargas Acidentais:
São aquelas que podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por ventos, empuxo de
terra ou água, impactos laterais, frenagem ou aceleração de veículos, sobrecargas em edifícios,
peso de materiais que preencherão a estrutura no caso de reservatórios de água e silos, efeitos
de terremotos, peso de neve acumulada (regiões frias), etc.
Quanto às leis de distribuição:
Cargas concentradas:
São cargas distribuídas aplicadas a uma parcela reduzida da estrutura, podendo-se afirmar que
são áreas tão pequenas em presença da dimensão da estrutura que podem ser consideradas
pontualmente (ex.: a carga em cima de uma viga, a roda de um automóvel, etc.).
Cargas distribuídas:
Podem ser classificadas em uniformemente distribuídas e uniformemente variáveis.
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Uniformemente distribuídas:
São cargas constantes ao longo ou em trechos da estrutura (ex.: peso próprio, peso de
uma parede sobre uma viga, pressão do vento em uma mesma altura da edificação,
etc.).
Hh
Vento
Uniformemente variáveis:
São cargas triangulares (ex.: carga em paredes de reservatório de líquido, carga de
grãos a granel, empuxo de terra ou água, vento ao longo da altura da edificação, etc.).
1.1.3. Vínculos (ou apoios)
A função básica dos vínculos ou apoios é de restringir o grau de liberdade das estruturas por meio de
reações nas direções dos movimentos impedidos, ou seja, restringir as tendências de movimento de uma
estrutura. Os vínculos têm a função física de ligar elementos que compõem a estrutura, além da função
estática de transmitir as cargas ou forças.
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de movimentos impedidos. Para
estruturas planas existem três tipos de vínculos:
Vínculos de Primeira Ordem (apoio simples):
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma direção, produzindo reações
equivalentes a uma força com linha de ação conhecida. Apenas uma reação será a incógnita.
Oou
Oou
V
V
V
O deslocamento na posição y é impedido, logo, nesta direção, tem-se uma reação de apoio V.
Vínculos de Segunda Ordem (articulação plana):
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em todas as direções, mas não
podem restringir a rotação em torno da conexão. Portanto, a reação produzida equivale a uma
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7
força com direção conhecida, envolvendo duas incógnitas, geralmente representadas pelas
componentes x e y da reação.
H
Oou H
Oou H
V
V
V
Vínculo de Terceira Ordem (engaste ou apoio fixo):
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, imobilizando-o completamente.
Estrutura
M
H
Engaste
V
Observação: Os vínculos podem ser chamados de 1a, 2a e 3a ordem ou classe ou gênero ou tipo.
Classificação da estrutura quanto à vinculação:
Isostática: tem o número necessário de vínculos para impedir o deslocamento. Bastam as equações
fundamentais da estática para determinar as suas reações de apoio.
Hipostática: tem menos vínculos do que o necessário.
Hiperstática: tem número de vínculos maior que o necessário. O número de reações de apoio excede o
das equações fundamentais da estática.
Exemplo: Determinar, qualitativamente, as reações de apoio resultantes na estrutura abaixo:
500N
100N
200N
A
B
1.5
2.5
2.0
1.2. Equações de equilíbrio estático
Força: é tudo que altera o estado de repouso ou o movimento de um corpo. Sua unidade no S.I. é N
(Newton).
As forças são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade.
Direção
Sentido
Intensidade
Observação: 1 kgf = 10 N
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8
Y
Kj
X
Ki
Z
Kk
F = iFx + jFy + kFz
Momento: se chama momento de uma força F em relação ao ponto zero ao produto vetorial M = om x F
(m é um ponto situado sobre a linha de ação de F). Sua unidade no S.I. é Nm (Newton x metro).
F
0
m
Os momentos também são quantidades vetoriais com direção, sentido e intensidade.
Direção
Sentido
Intensidade
Y
Kj
Ki
Z
X
Kk
M = iM x + jM y + kM z
1.2.1. Condições de equilíbrio
Para um corpo, submetido a diferentes forças, estar em equilíbrio, é necessário que as forças não
provoquem tendência à rotação e translação.
Translação depende das forças resultantes: ∑ F = 0
Rotação depende dos momentos resultantes: ∑ M = 0
Logo, tem-se as seis equações fundamentais da estática:
∑ Fx = 0; ∑ Fy = 0; ∑ Fz = 0
∑ Mx = 0; ∑ My = 0; ∑ Mz = 0
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1.3. Exercícios - Reações de apoio
Determinar as reações de apoio para as estruturas dadas abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala
de aula.
1. Viga biapoiada com carga concentrada:
400N
A
B
2,0m
2,0m
2. Viga biapoiada com carga concentrada:
400N
A
B
3,0m
1,0m
3. Viga biapoiada com carga concentrada:
400N
A
45ºB
3,0m
1,0m
4. Viga engastada com carga concentrada:
200N
A
B
2,0m
5. Viga biapoiada com momento aplicado:
100Nm
2,0m
2,0m
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6. Pórtico com carga concentrada e momento aplicado:
6t
8tm
A
4t
C
3,0m
D
3,0m
B
4,0m
4,0m
7. Viga biapoiada com cargas concentradas na direção horizontal:
1kN
A
0,5
B
0,5
1kN
2,0m
2,0m
8. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
Lq[N/m]
A
B
Ll
9. Viga engastada com carga uniformemente variável e uniformemente distribuída:
2kN/m
1kN/m
10kNm
3,0m
2,0
2,0m
1,0
1,0
1,0
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11
2. Esforços internos
Viu-se, anteriormente, os esforços que atuam numa estrutura em equilíbrio. Veremos agora os esforços
que atuam numa seção qualquer da estrutura, provocados por forças ativas e reativas. Numa seção
qualquer, para manter o equilíbrio, as forças da esquerda devem ser iguais às da direita.
R
R
E
D
M
M
Uma seção S de uma estrutura em equilíbrio está submetida a um par de forças R e –R e um par de
momentos M e –M aplicados no seu centro de gravidade, resultantes das forças atuantes à direita e à
esquerda da seção.
R
M
M
R
Decompondo a força resultante e o momento em duas componentes, uma perpendicular e a outra
paralela à seção, teremos:
M
M0
N
T
Q
R
Assim, têm-se os seguintes esforços solicitantes:
N = força normal (força perpendicular à seção S);
Q = esforço cortante (força pertencente à seção S);
T = momento torçor (momento perpendicular à seção S);
M = momento fletor (momento pertencente à seção S).
Esforço Normal (N): é a soma algébrica de todas as componentes, na direção normal à seção,
de todas as forças atuantes de um dos lados da seção. Por convenção, o esforço normal é positivo
quando determina tração e negativo quando determina compressão.
N
N
N
N
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Esforço Cortante (Q): é a soma vetorial das componentes sobre o plano da seção das forças
situadas de um mesmo lado da seção. Por convenção, as projeções que se orientarem no sentido dos
eixos serão positivas e nos sentidos opostos, negativas.
Qy
Z
Qz
Q
CG
Z
Q
CG
Qz
Qy
Y
Y
Momento Fletor (M): é a soma vetorial das componentes dos momentos atuantes sobre a seção,
situados de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade.
Z
M
Mz
Tração
Compressão
M
Y
No caso de momento fletor, o sinal positivo ou negativo é irrelevante, importante é determinar o seu
módulo e verificar onde ocorre compressão e tração.
Tração
My
Tração
Mz
Compressão
Compressão
2.1. Método das seções
Imagine-se uma estrutura qualquer com forças aplicadas; considerando que as partes do corpo têm de
estar em equilíbrio quando o corpo o está, e fazendo-se um corte imaginário perpendicular ao eixo da
viga, qualquer parte da viga poderá ser considerada como um corpo livre. Cada um dos segmentos da
viga está em equilíbrio, cujas condições exigem a existência de um sistema de forças na seção de corte
da viga. Em geral, na seção de uma viga, são necessários uma força vertical, uma horizontal e um
momento para manter a parte da viga em equilíbrio.
A representação gráfica dos esforços internos em qualquer ponto da viga, representados em
função de uma distância x a partir de uma das extremidades da mesma, se dá através dos chamados
diagramas de estado ou diagramas de esforços internos. Por meio desses diagramas é possível a
determinação dos valores máximos absolutos do esforço cortante, do momento fletor e do esforço
normal.
2.1.1. Exercícios
Determinar os esforços simples atuantes nas seções indicadas nas estruturas dadas abaixo. Exercícios
a serem resolvidos em sala de aula.
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13
1. Viga biapoiada com carga concentrada:
10kN
S
1,0m
1,0m
2,0m
2. Pórtico com cargas concentradas:
9t
S2
B
C
2,0m
S1
2,0m
D
9t
2,0m
A
3,0m
3,0m
3,0m
3. Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
1,0t/m
1,5m
S
4,0m
5. Viga biapoiada com carga concentrada e trecho
em balanço:
4. Pórtico com cargas diversas:
1,0t/m
5kN
S1
2,0m
1t
S
S3
S2
1,0
2,0m
A
10kN
1,0
2,0m
3,0m
0,5
1,0m
B
6,0m
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14
2.2. Diagramas de esforços internos
Viga biapoiada com carga concentrada:
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15
Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída:
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16
Balanço com carga uniformemente distribuída:
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17
Viga biapoiada com carga triangular:
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18
2.2.1. Exercícios
Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas
abaixo. Exercícios a serem resolvidos em sala de aula.
1)
2)
3)
4)
5)
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19
2.3. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
Traçar os diagramas de momento fletor, esforço cortante e esforço normal para as estruturas dadas
abaixo.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
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20
11)
12)
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21
3. Diagramas tensão x deformação
3.1. Esforços internos
O objetivo principal deste módulo é estudar os esforços ou efeitos internos de forças que agem sobre um
corpo. Os corpos considerados não são supostos perfeitamente rígidos; são corpos deformáveis de
diferentes formas e submetidos a diferentes carregamentos.
3.2. Barra carregada axialmente
Considerando-se uma barra prismática (de eixo reto e seção transversal constante) sob ação de duas
forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo, a barra é tracionada quando as forças são
direcionadas para fora da barra. Em caso contrário, a barra é comprimida.
P
P
P
COMPRESSÃO
TRAÇÃO
Sob a ação dessas forças externas surgem
esforços internos na barra; para o seu estudo,
imagina-se a barra cortada ao longo de uma seção
transversal qualquer.
Removendo-se a parte do corpo situada à direita
do corte, tem-se a situação onde está apresentada
a ação que a parte suprimida exercia sobre o
restante.
P
Pa
P
P
Pa
P
P
Através deste artifício, os esforços internos na seção considerada transformam-se em externos. Para
que não se altere o equilíbrio, estes estorços devem ser equivalentes à resultante, também axial de
intensidade P, e devem ser perpendiculares à seção transversal considerada.
3.2.1. Distribuição dos esforços internos
A distribuição dos esforços resistentes ao longo de todos os pontos da seção transversal é considerada
uniforme embora talvez nunca se verifique na realidade. O valor exato do esforço que atua em cada
ponto é função da natureza cristalina do material e da orientação dos cristais no ponto.
3.2.2. Tensão normal
Quando o esforço interno resistente atuando em cada ponto da seção transversal for perpendicular à
esta seção, recebe o nome de tensão normal. A tensão normal tem a mesma unidade de pressão, ou
seja, força por unidade de área. No exemplo em questão, a intensidade da tensão normal em qualquer
ponto da seção transversal é obtida dividindo-se a força P pela área A da seção transversal.
σ = P/A
Onde:
σ é a tensão normal (N/m2);
P é a força aplicada na seção transversal (N);
A é a área da seção transversal (m2).
Se a força P é de tração, a tensão normal é de tração.
Se a força P é de compressão, a tensão normal é de compressão.
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22
3.3. Corpos de prova
Para a análise de tensões e deformações, corpos de prova são ensaiados em laboratório. Os ensaios
são padronizados: a forma e as dimensões dos corpos de prova variam conforme o material a ser
ensaiado ou o tipo de ensaio a se realizar.
3.4. Deformação linear
Ensaiando-se um corpo de prova à tração,
com forças axiais gradualmente crescentes
e medindo-se os acréscimos sofridos pelo
comprimento inicial, pode-se obter a
deformação linear.
P
P
L
L
L
P’
P’
ε = ∆L/L
Onde:
ε é a deformação linear (adimensional);
∆L é o acréscimo do comprimento do corpo de prova devido à aplicação da carga (m);
L é o comprimento inicial do corpo de prova (m).
3.5. Diagrama tensão x deformação
Pode-se então medir os diversos ∆Ls correspondentes aos acréscimos da carga axial aplicada à barra e
realizar o ensaio até a ruptura do corpo de prova. Chamando de A a área da seção transversal inicial do
corpo de prova, a tensão normal
P/A.
σ pode ser determinada para qualquer valor de P, com a fórmula σ =
Obtêm-se, assim, diversos pares de valores σ e ε. A representação gráfica da função que os relaciona
recebe o nome de diagrama tensão x deformação.
Exemplos de diagrama tensão x deformação:
σ
σ
ε
0
ε
O diagrama tensão x deformação varia muito de material para material e, dependendo da temperatura do
corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga podem ocorrer resultados diferentes para um
mesmo material. Entre os diagramas tensão x deformação de vários grupos de materiais é possível, no
entanto, distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas
importantes categorias: materiais dúcteis e materiais frágeis.
3.5.1. Materiais dúcteis e frágeis
Material dúctil é aquele que apresenta grandes deformações antes de se romper (aço e alumínio, por
exemplo), enquanto que o frágil é aquele que se deforma relativamente pouco antes de se romper (ferro
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fundido e concreto, por exemplo).
3.5.2. Lei de Hooke
Para os materiais dúcteis, observa-se que a função tensão x
deformação, no trecho OP, é linear. Esta relação linear entre os
deslocamentos e as cargas axiais foi apresentada por Robert
Hooke em 1678 e é conhecida como Lei de Hooke. Logo, o
trecho OP do diagrama é representado por:
σ =Eε
σ
P
Onde:
σ é a tensão normal (N/m2);
E é o módulo de elasticidade do material (N/m2) e representa a
ε
tangente do ângulo que a reta OP forma com o eixo ε;
ε é a deformação linear (adimensional).
3.5.3. Módulo de elasticidade
A constante E representa o módulo de elasticidade do material sob tração e também pode ser chamada
de Módulo de Young. Tabelas com os módulos de elasticidade de diferentes materiais podem ser
obtidas em manuais ou livros de engenharia.
3.5.4. Propriedades mecânicas
A análise dos diagramas tensão x deformação permite caracterizar diversas propriedades do material:
Limite de proporcionalidade: A tensão correspondente ao ponto P recebe o nome de limite de
proporcionalidade e representa o valor máximo da tensão abaixo da qual o material obedece a Lei de
Hooke. Para um material frágil, não existe limite de proporcionalidade (o diagrama não apresenta parte
reta).
Limite de elasticidade: Muito próximo a P, existe um ponto na curva tensão x deformação ao qual
corresponde o limite de elasticidade; representa a tensão máxima que pode ser aplicada à barra sem
que apareçam deformações residuais ou permanentes após a retirada integral da carga externa. Para
muitos materiais, os valores dos limites de elasticidade e proporcionalidade são praticamente iguais,
sendo usados como sinônimos.
Região elástica: O trecho da curva
compreendido entre a origem e o limite de
proporcionalidade recebe o nome de região
elástica.
Região plástica: O trecho da curva entre o
limite de proporcionalidade e o ponto de
ruptura do material; é chamado de região
plástica.
σ
Região
Plástica
Região
Elástica
ε
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Limite de escoamento: A tensão correspondente ao ponto Y
tem o nome de limite de escoamento. A partir deste ponto,
aumentam as deformações sem que se altere praticamente
o valor da tensão. Quando se atinge o limite de
escoamento, diz-se que o material passa a escoar-se.
σ
U
R
Y
P
Limite de resistência (ou resistência à tração): A tensão
correspondente ao ponto U recebe o nome de limite de
resistência.
Limite de ruptura: A tensão correspondente ao ponto R
recebe o nome de limite de ruptura (ocorre a ruptura do
corpo de prova).
ε
Tensão admissível: Obtém-se a tensão admissível dividindo-se a tensão correspondente ao limite de
resistência ou a tensão correspondente ao limite de escoamento por um número, maior do que a unidade
(1), denominado coeficiente de segurança. A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de
cálculo ou, às vezes, pelo próprio calculista, baseado em experiência própria.
σadm = σres/s
σadm = σesc/s
σ
Limite de escoamento de materiais frágeis:
Denomina-se agora o limite de escoamento como
a tensão que corresponde a uma deformação
permanente,
pré-fixada,
depois
do
Y
descarregamento do corpo de prova. Fixa-se ε1,
traça-se a reta tangente à curva partindo da
origem, traça-se uma reta paralela à tangente
passando por O’; sua interseção com a curva
determina o ponto Y que corresponde ao limite
de escoamento procurado.
0
ν = εy / εx ou ν = εz / εx
/
ε
Yy
Coeficiente de Poisson: a relação entre a
deformação transversal e a longitudinal verificada
em barras tracionadas recebe o nome de
coeficiente de Poisson (ν). Para diversos metais,
o coeficiente de Poisson varia entre 0,25 e 0,35.
ν = deformação específica transversal
deformação específica longitudinal
ε1
0’
Yz
P
Yx
3.5.5. Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se, anteriormente, o caso particular da Lei de Hooke aplicável ao caso simples de solicitação
σx,
σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem, respectivamente, as deformações εx, εy e εz,
axial. No caso mais geral, em que um elemento do material está solicitado por três tensões normais
a Lei de Hooke se escreve da seguinte forma:
εx = (1/E) [σx – ν (σy + σz)]
εy = (1/E) [σy – ν (σx + σz)]
εz = (1/E) [σz – ν (σx + σy)]
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3.6. Análise elástica e análise plástica
Tensões e deformações nas regiões plásticas dos materiais são
freqüentemente permitidas em certas estruturas. Algumas normas
construtivas permitem que certos membros estruturais sofram
deformações plásticas e certos componentes de aviões e mísseis são
projetados deliberadamente para agir na região plástica de modo a se
obter menores pesos.
σ
Para pequenas deformações plásticas de aços estruturais de baixo e
médio carbono, a curva de tensão x deformação é normalmente
representada por duas linhas retas, uma com inclinação definida por
E, representando a região elástica, outra horizontal, representando a
região plástica. Tal curva de tensão x deformação representa um,
assim chamado, material elástico e perfeitamente plástico; não
levando em consideração deformações plásticas ainda menores que
ocorrem na região mostrada na porção à direita da curva tensão x
deformação.
ε
3.7. Classificação dos materiais
O conteúdo que foi apresentado neste capítulo 3 baseia-se na hipótese de que o material satisfaça a
duas condições, isto é, que seja:
Material homogêneo:
Com as mesmas propriedades (mesmos E e ν), em todos os seus pontos.
Material isótropo:
Com as mesmas propriedades, qualquer que seja a direção escolhida, no ponto considerado. Nem todos
os materiais são isótropos. Se um material não possui qualquer espécie de simetria elástica, ele é
chamado anisótropo e, à vezes, aelótropo. Em lugar de dias constantes elásticas (E e ν), que definem o
sólido isótropo que obedece à Lei de Hooke, tal substância terá 21 constantes elásticas. Se o material
possui três planos de simetria elástica, perpendiculares entre si, ele recebe o nome de ortótropo. Nesse
caso, o número de constantes independentes é 9. Aqui se consideram somente os materiais isótropos e
homogêneos que obedecem à Lei de Hooke.
3.8. Exercícios
1) Uma barra de 3 metros de comprimento tem seção transversal retangular de 3 cm x 1 cm. Determinar
o alongamento produzido pela carga axial de 60N. O módulo de elasticidade do material é de 200000
N/mm2.
60N
60N
2) Uma barra de 30 cm de comprimento e diâmetro de 1 cm sofre um alongamento produzido por uma
carga de 5 toneladas. O módulo de elasticidade do material é de 150000 N/mm2. Determinar o
alongamento da barra.
5t
5t
3) Uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro é tracionada por uma carga axial de 12
kN. O seu comprimento aumenta em 0,3 mm e o seu diâmetro se reduz em 0,0024 mm. Determinar o
módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material.
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4. Treliças
As treliças são um tipo de estrutura usado em
engenharia normalmente em projetos de
pontes e edifícios. Uma treliça é uma estrutura
composta de barras retas articuladas nas
juntas.
Em geral as barras de uma treliça são finas e
podem suportar pequena carga lateral. Todas
as cargas são, portanto, aplicadas às juntas e
não às barras.
Embora as barras sejam unidas por
meio de conexões pivotadas ou soldadas,
costuma-se considerar que as barras são
unidas através de pinos; logo, as forças que
atuam em cada extremidade de uma barra
reduzem-se a uma única força sem nenhum
momento.
Cada barra pode então, ser tratada como uma barra
sob a ação de duas forças; e a treliça pode ser
considerada como um grupo de pinos e barras com
duas forças. A ação das forças sobre uma barra
individual pode provocar esforços de tração ou
compressão.
4.1. Treliças planas
São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas extremidades,
formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós. Como as cargas
externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas apenas por forças
normais.
Hipóteses de Cálculo:
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito.
2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça.
3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas extremidades.
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal.
4.2. Esforços primários e secundários
Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um único ponto,
os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras devido à rigidez
dos nós).
4.3. Treliças isostáticas
Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática, pode-se
determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras.
Condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça seja isostática:
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27
2n = b + v
Onde:
n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos;
b = número de barras da treliça;
v = número total de reações dos vínculos externos;
b + v indica o número de incógnitas do problema.
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de incógnitas.
Exemplo:
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é deformável
(hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob carregamentos
particulares). O trecho ABED é hiperestático.
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente, pois além de verificada esta
condição é preciso que as malhas sejam triangulares.
4.4. Método dos nós
Consiste em determinar as forças atuantes em cada nó da treliça.
4.4.1. Exercícios
Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas:
1)
2)
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4.5. Método de Ritter
Consiste em cortar a treliça de modo a evidenciar os esforços internos (solicitantes) das barras em que
se quer determiná-los. O corte deve seccionar no máximo três barras da treliça (número de incógnitas a
determinar).
4.5.1. Exercícios
1) Determinar o esforço normal em cada barra da treliça abaixo indicada:
2) Determinar o diâmetro das barras da treliça do exercício anterior. A tensão admissível do material à
tração é de 210 N/mm² e à compressão é de 120 N/mm². O módulo de elasticidade do material é de
210.000 N/mm².
4.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
Determinar o esforço normal em cada barra das treliças abaixo indicadas, especificando se o esforço é
de compressão ou tração.
1)
2)
3
4)
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5)
29
6)
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5. Cisalhamento simples
Força cortante Q é uma força que atua no plano de uma seção transversal. A força cortante provoca, em
cada ponto da seção, o aparecimento de uma tensão tangencial denominada tensão de cisalhamento,
representada pela letra grega τ (tau).
τ = Q/A
Onde:
τ é a tensão de cisalhamento (N/m2);
Q é a força cortante aplicada na seção transversal
(N);
A é a área da seção transversal (m2).
Com relação à distribuição das tensões de cisalhamento, admite-se, com precisão satisfatória, para os
fins da prática, a hipótese da distribuição uniforme, segundo a qual, em todos os pontos da seção se
tenha a mesma tensão média τ.
5.1. Deformação no cisalhamento
Considere-se a deformação de um elemento plano retangular, cortado em um corpo onde as forças que
nele atuam dão origem somente à tensões de cisalhamento.
Como não existem tensões normais atuando no elemento, os comprimentos das arestas não se
alteram com a aplicação das tensões de cisalhamento. No entanto, aparece uma distorção dos ângulos
inicialmente retos. A variação
radianos (adimensional).
γ do ângulo A, inicialmente reto, denomina-se distorção e é expressa em
τ
γ
5.2. Módulo transversal de elasticidade
Desde que o material obedeça à Lei de Hooke, há proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a
distorção. A constante de proporcionalidade é chamada de módulo transversal de elasticidade e
designada pela letra G.
Na tração tínhamos que E = σ/ε
No cisalhamento teremos: G = τ/γ
A determinação experimental de G pela região de proporcionalidade entre τ e γ é feita através de
diagramas tensão x deformação para cisalhamento. Esses diagramas são semelhantes àqueles obtidos
em ensaios de tração. Todavia, valores tais como tensão de escoamento, limite de resistência, etc para
um determinado material, dão em torno da metade dos valores obtidos no ensaio de tração desse
mesmo material.
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5.3. Exercícios
1) Um bloco retangular é feito de material que tem módulo de elasticidade transversal de 600 MPa. O
bloco é colado a duas placas horizontais rígidas. A placa inferior é fixa e a superior é submetida à uma
força P. Sabendo-se que a placa superior se move 0,8 mm sob a ação da força, determine: (a) a
deformação de cisalhamento no material, (b) a força P que atua na placa superior.
2) Na ligação rebitada abaixo atua um carregamento axial de 20 kN. Determine a tensão de
cisalhamento no pino, sabendo-se que o mesmo tem um diâmetro de 1 cm.
5.4. Ligações soldadas
Para o caso da ligação soldada indicada na figura abaixo, a área que resiste ao cisalhamento é dada por
e
(a ser deduzido em aula).
A = 2.b.l (pois tem-se solda nos dois lados); b =
2
5.5. Ligações rebitadas
A união de duas chapas por meio de rebites pode ser feita de três maneiras.
5.5.1. Ligação com simples superposição
Cada rebite proporciona uma seção resistente.
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5.5.2. Ligação com uma chapa de cobertura
Cada rebite proporciona uma seção resistente.
5.5.3. Ligação com duas chapas de cobertura
Cada rebite proporciona duas seções resistentes.
5.6. Ruptura de ligações rebitadas
Os fenômenos que podem provocar o colapso de estruturas rebitadas são os seguintes:
5.6.1. Cisalhamento nos rebites
Para que não ocorra ruptura, a tensão de cisalhamento nos rebites deve ser inferior à tensão admissível
ao cisalhamento nos rebites (τ ≤ τadm). A tensão de cisalhamento nos rebites é dada por:
τ = Q/A
onde a força cortante Q é igual à carga P e a área A é dada pela área total de seções resistentes dos
rebites.
5.6.2. Compressão nas paredes dos furos
Para que não ocorra ruptura, a tensão de compressão nas paredes dos furos deve ser inferior à tensão
admissível à compressão (σc ≤ σadmc). A compressão exercida pelo rebite na parede tem distribuição
não uniforme e atua num semicírculo de altura “e” e diâmetro “d”. A tensão de compressão nas paredes
dos furos é dada por:
σc =
P
n.A
onde:
n é o número de rebites;
A é a área resistente à compressão; Para ficar a favor da segurança, normas recomendam que se adote
A = d.e, sendo “e” a espessura da chapa em condições mais desfavoráveis.
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5.6.3. Espaçamento mínimo entre rebites
Para evitar a possibilidade de ruptura da chapa entre os furos, a ABNT recomenda que sejam adotados
os espaçamentos indicados na figura abaixo (“d” representa o diâmetro dos furos).
5.6.4. Tração nas chapas
Ao se fazerem furos para colocação dos rebites, a área resistente à tração fica reduzida. Logo, para que
não ocorra ruptura por tração, a tensão de tração deve ser inferior à tensão admissível à tração (σt ≤
σadmt). A tensão de tração nas chapas será dada por:
σt =
P
A
A representa a área da seção transversal da chapa descontadas as áreas dos furos.
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5.7. Exercícios
1) Projetar a ligação com duas chapas de cobertura com rebites de diâmetro de 1,6cm e carga P de 300
kN.
2) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 1,60cm. Qual o valor máximo de P se na solda
usada a máxima tensão admissível ao cisalhamento da solda usada é de 80 MPa.
3) As chapas soldadas da figura abaixo têm espessura de 2,50 cm. Qual a tensão máxima de
cisalhamento quando a carga P for de 480 kN.
4) Dimensionar as ligações em A e em B, colocando um parafuso por ligação com uma seção resistente.
A tensão admissível ao cisalhamento é de 80 MPa.
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5) Verificar se a ligação rebitada abaixo foi dimensionada corretamente. Dados:
τadm = 120 MPa
σadmc = 250 MPa
σadmt = 180 MPa
P = 100 kN
d = 1,27 cm
5.8. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1. Considere um pino de aço de 10 mm de diâmetro sujeito à força de tração de 10 kN. Calcule a tensão
de cisalhamento na cabeça do pino admitindo que a seção resistente seja uma superfície cilíndrica de
mesmo diâmetro que o pino. (Resposta: 40 MPa).
2. Emprega-se um rebite de 20 mm de diâmetro para ligar duas chapas de aço sujeitas a uma carga P
de 20 kN. Determine a tensão de cisalhamento no rebite. (Resposta: 64 MPa).
3. Determine a força de tração admissível P para a ligação soldada abaixo, sabendo-se que a tensão
admissível ao cisalhamento é de 80 MPa. (Resposta: 265 kN).
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4. Determine a tensão de cisalhamento nos 2 rebites da estrutura abaixo sabendo-se que o diâmetro dos
mesmos é de 20 mm. (Resposta: 80 MPa).
5. Calcular a tensão de cisalhamento da junta colada abaixo. (Resposta: 7,5 MPa).
6. Verifique se a ligação rebitada abaixo foi projetada corretamente.
Dados:
τadm = 100 MPa
σadm comp = 180 MPa
σadm trac = 150 MPa
P = 40 kN
drebites = 1,27 cm
(Resposta: Sim)
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6. Propriedades geométricas de superfícies planas
6.1. Momento estático e baricentro
Momento estático de um elemento de uma superfície plana em
relação a um eixo é o produto da área do elemento pela sua
distância ao eixo considerado. Logo:
O momento estático do elemento em relação ao eixo x será:
Q’x = y dA
O momento estático do elemento em relação ao eixo y será:
Q’y = x dA
Momento estático de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos estáticos, em
relação ao mesmo eixo, dos elementos que a constituem. Logo:
O momento estático da superfície em relação ao eixo x será:
Qx =
∫
A
Q' x =
∫
A
ydA
O momento estático da superfície em relação ao eixo y será:
Qy =
∫
A
Q' y =
∫ xdA
A
Momento estático é uma grandeza escalar com dimensão Q = l³, podendo ser positivo, negativo ou nulo.
6.1.1. Exercício
1) Determinar os momentos estáticos do retângulo abaixo em relação aos eixos x e y.
6.2. Centro de gravidade (baricentro)
Sendo CG o centro de gravidade de uma superfície plana de área A definido
pelo par ordenado ( x , y ) tem-se as seguintes expressões:
Q x = yA
e
Q y = xA
que exprimem o chamado teorema dos momentos estáticos e possibilitam
determinar o centro de gravidade da superfície plana, ou seja:
Qy
Q
y= x
x=
e
A
A
Logo: x =
∫ xdA
A
A
e
y=
∫
A
ydA
A
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6.2.1. Propriedades do centro de gravidade
•
•
O momento estático de uma superfície em relação a qualquer eixo baricêntrico (que passe pelo
CG) é nulo.
Se existe um eixo de simetria na peça, então o CG está contido neste eixo.
6.2.2. Exercícios
1) Determinar as coordenadas do CG do retângulo abaixo.
2) Determinar as coordenadas do CG do triângulo abaixo.
6.3. Momento estático e centro de gravidade de áreas compostas
Qualquer polígono pode ser decomposto em retângulos ou triângulos, cujos CGs podem ser facilmente
determinados.
=
Para a figura acima, os momentos estáticos em relação aos eixos x e y poderão ser determinados da
seguinte forma:
n
Q x = y1A1 + y 2 A 2 + y 3 A 3 =
∑yA
i
i
i=0
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n
Q y = x1A1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 =
∑xA
i
i
i=0
6.3.1. Exercícios
Determinar as coordenadas do CG das figuras abaixo:
2)
1)
3)
6.4. Momento de inércia
Momento de inércia (ou inércia rotacional) é uma medida da resistência que um corpo oferece a uma
mudança em seu movimento de rotação em torno de um dado eixo.
6.4.1. Momento de inércia de um elemento
O momento de inércia de um elemento de uma superfície plana em relação a
um eixo qualquer é o produto da área do elemento pelo quadrado de sua
distância ao eixo considerado.
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo x será:
I’x = y2 dA
O momento de inércia do elemento em relação ao eixo y será:
I’y = x2 dA
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de
eixos) será:
I’o = r2 dA
Como r2 = x2 + y2, tem-se:
I’o = (x2 + y2) dA = x2 dA + y2 dA = I’x + I’y
O produto de inércia de um elemento em relação a um par de eixos é o produto da área do elemento
pelos eixos considerados.
I’xy = x y dA
6.4.2. Momento de inércia de uma superfície
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo é a soma dos momentos de
inércia dos elementos que a constituem, em relação ao mesmo eixo.
O momento de inércia da superfície em relação ao eixo x será:
Ix =
∫ I' = ∫
A
x
A
y 2dA
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40
O momento de inércia da superfície em relação ao eixo y será:
Iy =
∫ I' = ∫ x dA
2
y
A
A
Por analogia, o momento de inércia de um elemento em relação ao ponto “o” (origem do sistema de
eixos) será:
Io =
∫ I' = ∫ r dA = ∫ ( x
o
A
2
2
A
+ y 2 )dA =
∫ x dA + ∫
2
A
A
y 2dA = Iy + Ix
Por analogia, o produto de inércia de uma superfície em relação a um par de eixos x e y será:
Ixy =
∫ I'
A
xy
=
∫
A
xydA
6.4.3. Raio de giração
O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza rx que satisfaz a relação:
Ix = rx2 A
Portanto:
Ix
A
rx =
De maneira análoga, tem-se
Iy
ry =
A
Io
A
ro =
6.4.4. Propriedades
•
•
•
•
Momentos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e são positivos.
Produtos de inércia são grandezas escalares com dimensão I = l4 e podem ser positivos,
negativos ou nulos.
Se o produto de inércia em relação a um par de eixos for nulo, os eixos serão chamados
conjugados.
Sempre que existir pelo menos um eixo de simetria o produto de inércia em relação a este par de
eixos será 0 (zero).
6.4.5. Exercícios
1) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que
passe pela sua base.
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41
2) Determinar o momento de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação a um eixo que
passe pelo CG.
3) Determinar o produto de inércia de um retângulo de base b e altura h em relação aos eixos x e y e
também em relação aos eixos que passam pelo CG.
6.4.6. Teorema de Steiner
O teorema de Steiner, também conhecido como teorema dos eixos paralelos,
é utilizado para determinar o momento de inércia de superfícies em relação a
eixos que não tocam a mesma.
Já sabemos que:
Ix =
∫ I' = ∫
A
x
A
y 2dA
Portanto, o momento de inércia da superfície plana de área A em relação ao eixo x’ será:
Ix ' =
∫
A
( y + y )2 dA =
∫
A
( y 2 + 2yy + y 2 )dA =
∫
A
y 2dA +
∫
A
2yydA +
∫
A
y 2dA
Analisando-se as três integrais, temos que:
1) A primeira integral pode ser facilmente resolvida:
∫
A
∫
y 2dA = y 2 dA = y 2 A
A
2) A segunda integral representa o momento estático Qx da área A em relação ao eixo x. Este momento
estático é nulo, uma vez que o eixo x passa pelo CG.
∫
A
2yydA = 2y
∫
A
ydA = 2yQ x = 0
3) A terceira integral representa Ix.
Logo: Ix ' = Ix + y 2 A
Por analogia:
Iy ' = Iy + x 2 A
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42
Ix ' y ' = Ixy + xyA
Exemplo: Sabendo-se que para um retângulo Ix = b.h³ / 12 (eixo passando pelo eixo de gravidade – x é o
eixo que passa pelo C.G.) determine o seu momento de inércia em relação a um eixo que passe pela
sua base.
6.4.7. Exercícios
1) Determinar o momento de inércia de um triângulo de base b e altura h em relação a um eixo que
passa pela sua base.
2) Aplicando o teorema de Steiner, determine o momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico para
o triângulo do exercício anterior.
6.4.8. Momento de inércia de áreas compostas
O momento de inércia de uma superfície complexa é a soma dos momentos de inércia das diversas
superfícies que a compõe.
6.4.9. Exercícios
Calcular o momento de inércia das seções abaixo em relação ao eixo baricêntrico.
1)
2)
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43
6.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
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44
7. Flexão simples
No estudo da flexão simples serão analisadas as tensões internas decorrentes de momentos fletores.
Para isso, analisemos as seguintes imagens:
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45
Supondo uma viga biapoiada com um carregamento qualquer e um momento fletor Mx conhecido na
seção S e isolando-se a zona à esquerda de S tem-se:
∆
Na seção transversal, x e y são eixos principais de inércia (passando pelo centro de gravidade).
Supondo que a seção S, plana antes da atuação do momento Mx, continuará plana após a atuação
deste momento, então a seção S antes da atuação de Mx, passará para a posição S’ após a atuação de
Mx. Analisando uma fibra genérica “f” na parte inferior da viga, observa-se que o seu alongamento é
proporcional à coordenada y e independe da coordenada x. Logo, as tensões normais causadas por Mx
nos diversos pontos da seção S têm distribuição linear ao longo de y e independentes de x. Assim, o
diagrama de tensões será:
σ
σ
σ
De acordo com o exposto é possível admitir uma lei de variação das tensões normais nos diversos
pontos da seção. Tal lei é σ = c.y , onde c é uma constante não nula. Como as tensões normais são
provocadas pelo momento Mx, o momento resultante das tensões em relação ao eixo x deve ser o
próprio Mx. Logo:
M=Fd=σ Ad
No nosso caso temos:
Mx =
∫
σydA =
A
∫
A
cyydA = c
Como já sabemos que
Mx = c
∫
A
∫
A
∫
A
y 2dA
y 2dA = Ix , teremos:
y 2dA = cIx
Portanto, a constante c será dada por:
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c=
46
Mx
Ix
Assim, a tensão normal será dada por:
σ=
Mx
y [N/m2]
Ix
Pode-se fazer também:
σ=
Mx
w
onde w =
Ix
é chamado de módulo de resistência à flexão [m3].
y
7.1. Projeto de vigas
O projeto de vigas de seção constante e material homogêneo segue os seguintes passos:
a) Calcular o momento fletor máximo;
b) Verificar as tensões máximas de tração e compressão em função do momento;
c) Comparar as tensões máximas de tração e compressão com as tensões admissíveis do material;
d) Calcular as dimensões da seção transversal.
7.2. Verificação de vigas
Em um problema de verificação deve-se calcular o coeficiente de segurança seguindo os seguintes
passos:
a) Calcular o momento fletor máximo;
b) Calcular o coeficiente de segurança no ponto em pior situação na seção mais solicitada.
7.3. Exercícios
1) Tem-se uma seção quadrada de lado ‘a’ e uma seção circular de raio R, ambas com mesma área.
Qual possui maior resistência à flexão?
2) Uma viga de madeira, com seção transversal de 30 x 40 cm, pesa 75 kgf/m e suporta uma carga
concentrada de 2000 kgf aplicada na extremidade com sentido de baixo para cima. Determinar as
máximas tensões de flexão numa seção a 2 m da extremidade livre.
3) Para o exercício anterior considere L = 6m e determine as tensões de flexão no engaste.
4) Calcule a altura da viga abaixo sabendo-se que a tensão de ruptura do material é de 5 kN/cm². Adote
coeficiente de segurança igual a 2.
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5) Sabendo-se que a tensão de ruptura do material utilizado na viga abaixo é de 500 N/cm², verifique a
sua resistência à flexão.
6) Dada a estrutura abaixo, determine a carga máxima que ela suportará. A tensão admissível é de 150
MPa e Ix = 5140 cm4.
7) Determinar a seção transversal da viga abaixo (h = 2b). A viga será construída com material dúctil
com tensão de escoamento igual a 4000 kgf/cm². Adote coeficiente de segurança igual a 2,5.
8) Considerando que no exercício anterior se adote uma seção transversal triangular, determine a
dimensão ‘b’ sabendo-se que a tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão
é de 1600 kgf/cm2. Adote coeficiente de segurança igual a 3.
9) Determinar a dimensão ‘b’ da seção transversal da viga abaixo de forma a resistir ao carregamento
indicado. A tensão de ruptura do material à tração é de 800 kgf/cm2 e à compressão é de 1600 kgf/cm2.
Adote coeficiente de segurança igual a 3.
10) Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de
escoamento de 25 kN/cm².
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11) Verificar a viga abaixo. O material é dúctil com tensão de escoamento de 4000 Kgf/cm². O peso
próprio do perfil duplo T é 26,3 kgf/m.
7.4. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1) Utilizando seção transversal retangular com altura igual ao dobro da base (h=2b), determine b e h
para todas as vigas da lista de exercícios do item 2.2.2. A tensão de ruptura à tração é de 70MPa e à
compressão é de 90MPa. Utilize coeficiente de segurança 2 para tração e 3,5 para compressão.
2) Utilizando a seção transversal do tipo I dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do
item 2.2.2. Material dúctil com tensão de escoamento de 8kN/cm2.
3) Utilizando a seção transversal do tipo T dada abaixo, verifique todas as vigas da lista de exercícios do
item 2.2.2. Material frágil com tensão de ruptura à tração de 10kN/cm2 e à compressão de 20kN/cm2.
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8. Flexão composta
No estudo de flexão composta são estudadas colunas submetidas a esforços excêntricos, ou seja,
aplicados fora do centro de gravidade da seção transversal da estrutura. Para isso, analisemos as
seguintes imagens:
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8.1. Esforço normal excêntrico
Seja o pilar abaixo, submetido a uma carga P cuja direção é a mesma do eixo do pilar. A seção
transversal é constante e seus eixos principais de inércia são y e z.
A posição do ponto de aplicação da carga P (ponto A) é determinada pelas distâncias Ly e Lz.
Transladando P ao baricentro tem-se:
My = P Ly
Mz = P Lz
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Tem-se então dois sistemas vetorialmente equivalentes.
a) Carga P aplicada no ponto A.
b) Carga P aplicada no CG mais o momento My atuando em torno do eixo y e mais o momento Mz
atuando em torno do eixo z.
Analisando-se a distribuição de tensões através do segundo sistema tem-se:
Seção transversal submetida à carga P: tem-se compressão normal simples.
σ' = −
P
A
Seção transversal submetida ao momento Mz: O momento fletor Mz provoca tensões normais de tração
na zona do semi-eixo y negativo e compressão na zona do semi-eixo y positivo. A linha neutra é o eixo z.
σ' ' = ±
Mz
y
Iz
Seção transversal submetida ao momento My: O momento fletor My provoca tensões normais de tração
na zona do semi-eixo z positivo e compressão na zona do semi-eixo z negativo. A linha neutra é o eixo y.
σ' ' ' = ±
My
Iy
z
Por superposição de efeitos tem-se: σ = σ’ + σ’’ + σ’’’
σ é a tensão em qualquer ponto da seção transversal.
8.1.1. Exercício
1) Verificar as tensões provocadas nos pontos indicados na seção transversal quando uma carga P é
posicionada em A.
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8.2. Linha neutra
A linha neutra é caracterizada por tensões nulas (σ = 0)
8.2.1. Linha neutra oblíqua
Para Lz ≠ 0 e Ly ≠ 0, a linha neutra é oblíqua em
relação aos eixos y e z. Neste caso tem-se
flexão composta oblíqua.
8.2.2. Linha neutra paralela ao eixo y
Para Lz = 0 e Ly ≠ 0, a carga é aplicada em um
ponto sobre o eixo z e a linha neutra é paralela
ao eixo y. Neste caso tem-se flexão composta
normal.
8.2.3. Linha neutra paralela ao eixo z
Para Lz ≠ 0 e Ly = 0, a carga é aplicada em um
ponto sobre o eixo y e a linha neutra é paralela
ao eixo z. Neste caso também tem-se flexão
composta normal.
8.3. Núcleo central
Seja uma seção qualquer submetida a um esforço normal excêntrico. Os eixos y e z são eixos principais
de inércia.
Para a carga aplicada em P1 a linha neutra é LN1, que neste caso não corta a seção. Só ocorrem
tensões do mesmo tipo da carga.
Para a carga aplicada em P3 a linha neutra é LN3 e corta a seção. Neste caso, ocorrerão tensões de
tração e compressão.
Para a carga aplicada em P2, entre P1 e P3, a linha neutra LN2 é tangente à seção transversal. Nesta
situação todas as tensões são do mesmo tipo da carga.
Portanto, pode-se concluir:
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Para Ly < z a linha neutra não corta a seção e ocorrem tensões somente de um tipo.
Para Ly > z a linha neutra corta a seção e ocorrem tensões de dois tipos.
Para Ly = z a linha neutra é tangente a seção e ocorrem tensões somente de um tipo.
Logo diz-se que P2 é um ponto do contorno do núcleo central da seção. Deslocando-se o ponto de
aplicação da carga sobre qualquer reta baricêntrica chega-se a uma infinidade de pontos que
caracterizam o núcleo central.
Propriedade: se a carga está aplicada no interior ou no contorno do núcleo central, só ocorrerão, na
seção, tensões normais de um tipo.
8.4. Exercícios
1) Um pilar de seção circular é carregado excentricamente com 2000 kN. Calcular o coeficiente de
segurança. A tensão de ruptura do material por compressão é de 25 MPa e por tração é de 5 MPa.
2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar do exercício 1.
3) Determinar o núcleo central para o pilar do exercício 1.
4) Determinar as tensões máximas de tração e compressão que ocorrem na seção transversal do pilar
abaixo. Resposta em MPa. Determinar a posição da linha neutra.
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5) Determinar o núcleo central de uma seção retangular de dimensões a x b.
8.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1) Calcule o coeficiente de segurança para o pilar abaixo. Material frágil com tensão de ruptura à tração
de 10 MPa e à compressão de 40 MPa.
2) Determinar a posição da linha neutra para o pilar comprimido excentricamente.
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9. Tensões de cisalhamento em vigas
9.1. Teorema da reciprocidade
As tensões de cisalhamento são recíprocas.
Fazendo Σ MS = 0 teremos τxy ∆A a - τyx ∆A a = 0 logo τxy = τyx
9.2. Fluxo de cisalhamento
Supõe-se uma viga sujeita à flexão simples, ou seja, com esforços combinados de momento fletor e
força cortante.
Sempre que existir uma força cortante diferente de zero, os momentos fletores que ocorrem nas
diferentes faces de um segmento de viga com comprimento ∆x serão diferentes.
∆
Logo: MB = MA + ∆M
Fazendo Σ MA = 0, tem-se:
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MB - MA - V ∆x = 0, ou seja, ∆M - V ∆x = 0
V=
∆M
∆x
∆M
=V
∆x → o ∆ x
lim
Logo:
dM
=V
dx
No estudo do problema de cisalhamento causado pela flexão admite-se:
• A distribuição de tensões causada pela flexão;
• Vigas com seção transversal simétrica;
• Cargas aplicadas no eixo de simetria da viga;
• Requisitos de equilíbrio de força e de momento.
A existência de tensões horizontais de cisalhamento pode ser demonstrada através de um ensaio com
duas barras retangulares iguais, sobrepostas e submetidas à flexão. Se não existir atrito entre as barras
haverá deslizamento de uma em relação à outra. Para viga com h = 2 c deverão ocorrer tensões de
cisalhamento ao longo de plano neutro para impedir o deslizamento.
Para se obter a distribuição de tensões de cisalhamento ao longo da altura da viga, verifica-se o
equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga. Consideremos uma seção transversal retangular
constituída de várias pranchas e sujeita a uma força cortante.
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A
B
As tensões normais variam linearmente com y, ou seja:
σ=
M
y
I
Na área elementar dA da face B, a força FB será:
FB =
∫ σdA = ∫
abcd
MB
M
ydA = B
I
I
abcd
∫ ydA
abcd
∫ ydA representa o momento estático da superfície abcd, portanto, teremos:
Já sabemos que
abcd
FB =
MB
Qabcd
I
Para a face A, teremos:
FA =
∫ σdA = ∫
abcd
MA
M
ydA = A
I
I
abcd
∫ ydA =
abcd
MA
Qabcd
I
Fazendo a diferença entre as duas forças, obtemos:
FB − FA =
MB
M
Q
Qabcd − A Qabcd = (MB − MA ) abcd
I
I
I
Também podemos escrever:
dF = dM
Qabcd
I
Dividindo-se a equação acima por dx, tem-se:
dF dM Qabcd
Q
=
= V abcd
dx
dx
I
I
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Chamando
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dF
= q = fluxo de cisalhamento, tem-se:
dx
VQ
[N/m]
I
q=
onde:
q é o fluxo de cisalhamento (N/m);
V é o esforço cortante (N);
Q é o momento estático (m3);
I é o momento de inércia (m4).
9.3. Variação das tensões de cisalhamento
Se
dF
∆F
= q então ∆F = q∆x
= q ou
dx
∆x
σ
∆
∆
Assim
τmed =
∆F
∆F q ∆x q
=
=
=
∆ A b∆ x b∆ x b
τmed
VQ
[N/m2]
Ib
=
Para verificar a variação da tensão de cisalhamento (τ) com y1 deve-se analisar a variação do momento
estático (Q) com y1, pois o esforço constante (V), o momento de inércia (I) e a base da viga b são
constantes.

1h
  b  h2
h

− y12 
Q = Ay = A abcdy = b − y1   y1 +  − y1  = 

22
 2  4
2


Logo τ =
 V  h2

V b  h2
− y12  = 
− y12 




Ib 2  4
 2I  4

Para y1 = ±
h
teremos τ = 0
2
Para y1 = 0 teremos τ =
3V
Vh2
Vh2
V
=
=
=
= máxima tensão de cisalhamento.
2bh 2A
8I
bh3
8
3
12
Também pode-se fazer essa verificação sabendo-se que a tensão de cisalhamento (τ) será máxima
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quando o momento estático (Qabcd) for máximo, ou seja, na seção sobre a linha neutra (y1 = 0).
Q = Ay = b
τ
h h bh2
=
24
8
bh2
VQ
8 = 3V
=
=
3
2A
Ib
bh
b
12
V
τ
τ
τ
τ
τ
τ
A forma de distribuição das tensões de cisalhamento dependerá da forma da seção transversal. Para
uma seção duplo T, teremos:
Na prática, considera-se que todo esforço cortante em seções I ou T é absorvido pela alma, e que uma
boa aproximação do valor máximo da tensão de cisalhamento é dado pela divisão do esforço cortante
(V) pela área da seção transversal da alma (A).
9.4. Exercícios
1) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na seção transversal para uma força
cortante de 10 tf, sendo a seção constante ao longo da peça. Resposta em kgf/cm2.
2) Calcular as tensões de cisalhamento nas posições indicadas na viga T. Força cortante igual a 10 tf.
Resposta em kgf/cm2.
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3) Sabendo-se que as peças da viga de madeira abaixo são unidas por pregos espaçados a cada 2,5 cm
e que a viga está submetida a uma força cortante de 500 N, determine a força cortante em cada prego.
4) Sabendo-se que na seção transversal dada abaixo atua uma força cortante de 3 kN e que a mesa é
unida à alma através de pregos que suportam 700 N (carga admissível ao cisalhamento), pede-se o
espaçamento entre os pregos.
5) Sabendo-se que os parafusos usados na viga abaixo apresentam uma força admissível ao
cisalhamento de 2250 N, pede-se o espaçamento entre os parafusos.
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10. Torção
10.1. Torção de barras circulares
Considere-se uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por meio de momentos torçores
(torque) atuando em suas extremidades.
τ
τ
τ
τ
φ
Durante a torção haverá rotação em torno do eixo longitudinal. Considerando-se fixa a extremidade
esquerda da barra, a da direita gira num ângulo ϕ em relação à primeira. A linha nn gira num pequeno
ângulo para nn’. Tomando-se um elemento retangular sobre a superfície da barra, entre duas seções
transversais afastadas de dx, tem-se:
γ
Os comprimentos dos lados do elemento não variam durante esta rotação, porém os ângulos dos
vértices não continuam retos. Logo, o elemento está em estado de cisalhamento puro e portanto a
deformação de cisalhamento γ será:
γ=
bb' Rdφ
=
ab
dx
Quando uma barra circular sofre torção pura, a taxa de variação dϕ do ângulo de torção é constante ao
longo do comprimento dx da barra. Essa constante é o ângulo de torção por unidade de comprimento e
será designado por θ.
θ=
φ
φ
logo γ = Rθ = R
L
L
As tensões de cisalhamento que agem nos lados do elemento, como visto anteriormente na disciplina,
para material elástico, serão dadas por:
τ=Gγ =GRθ
G é o módulo de elasticidade transversal.
O estado de tensões no interior do eixo (barra circular) pode ser determinado de forma análoga.
γ=rθ
τ
τ=Gγ =Grθ
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10.2. Relação entre torque e ângulo de torção
Uma vez que o momento de torção causa o aparecimento de tensões de cisalhamento, deveremos ter
que o momento resultante das tensões tangenciais em relação ao eixo 0 deve ser igual ao momento de
torção. Logo:
MT = Fd =
∫ τ.dA.r =∫ G.r.θ.dA.r = Gθ∫ r .dA
2
A
Como
A
A
∫ r .dA representa o momento de inércia polar (I) da seção transversal circular, teremos:
2
A
MT = G θ I
Ou
θ=
MT
GI
Como visto anteriormente, τ = G r θ, logo pode-se escrever que θ =
τ
Gr
Dessa forma, igualando as duas equações de θ, teremos:
τ
MT
=
GI Gr
Portanto,
τ=
MT .r
I
Para r = R, τ = τmax
Para r = 0, τ = 0
Observação: para um círculo de raio R, o momento de inércia polar (I) da seção transversal é dado por:
I=
πR 4
πD 4
=
2
32
O ângulo de torção por unidade de comprimento é θ =
ϕ=
MT
e o ângulo total de torção é ϕ = θ L, logo:
GI
MTL
GI
10.3. Torção de barras circulares vazadas
Como visto, a tensão de cisalhamento em barras circulares é máxima na superfície e nula no centro. Em
conseqüência, grande parte do material trabalha com tensões bem inferiores à admissível. Se a redução
de peso e a economia de material forem fatores importantes é preferível usar eixos vazados.
A análise de torção de barras circulares vazadas baseia-se nas mesmas hipóteses levantadas na análise
de barras circulares cheias (vista na seção anterior). Portanto, as expressões para as tensões e
deformações de cisalhamento deduzidas anteriormente podem ser utilizadas observando-se que a
distância radial fica limitada ao intervalo entre R1 e R2.
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Observação: o momento de inércia polar (I) da seção transversal vazada é dado por:
I=
(
)
(
π 4
π
R 2 − R 14 =
D 24 − D14
2
32
)
10.4. Torção de seções vazadas com paredes delgadas
Seja um tubo com parede fina e seção transversal constante, cuja espessura da parede pode variar ao
longo da seção transversal, mas é considerada pequena em relação a largura total da seção.
O tubo está sujeito a um momento torçor em cada extremidade. Em conseqüência aparecem tensões de
cisalhamento em todas as seções transversais do tubo. Tais tensões são consideradas uniformes na
pequena espessura da parede do tubo, porém podem variar ao redor da seção.
Tomando-se um elemento infinitesimal dx, teremos:
τ
τ
Para haver equilíbrio, teremos F1 = F2
Como F = τ A, teremos:
F1 = τ1 e1 dx
F2 = τ2 e2 dx
Logo τ1 e1 dx = τ2 e2 dx. Portanto τ1 e1 = τ2 e2
Ou seja, o produto da tensão de cisalhamento pela espessura da parede é o mesmo em qualquer ponto
da seção transversal.
Tínhamos, no módulo anterior, que
τ = q / b onde q é igual ao fluxo de cisalhamento e b é igual a base
da viga. Logo, ao produto τ e (tensão vezes espessura) chama-se fluxo de cisalhamento q. Logo
q=
τ e = constante
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Assim a maior tensão de cisalhamento ocorre no ponto de espessura mínima e vice-versa. Se a
espessura for uniforme a tensão será constante ao redor do tubo.
10.4.1. Relação entre torque e fluxo de cisalhamento
A força de cisalhamento que atua no elemento ds será:
F=
τ A = τ e ds = q ds
E o momento desta força em torno de qualquer elemento será:
dMT = F R= q ds R
Logo:
MT =
∫
Lm
0
q.R.ds = q
∫
Lm
0
R.ds
Lm é o comprimento total da linha média da seção transversal. Como a quantidade R ds representa o
dobro da área do triângulo, a integral representa o dobro da área limitada pela linha média da parede do
tubo. Chamando-se essa área de Am, tem-se:
MT = q 2 Am
Portanto, q =
MT
2A m
Integrando-se ao longo do contorno ds, obtém-se:
θ=
τLm
2GA m
Observação: para tubos circulares de parede delgada, espessura constante e raio r na linha média da
seção, teremos Lm = 2 π r e Am = π r2
Logo, para tubos circulares de parede delgada, teremos:
q=
MT
2πr
2
e também: τ =
q
MT
=
e 2πr 2e
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10.5. Exercícios
1. Dada a barra circular abaixo, determine a máxima tensão de cisalhamento (resposta em N/cm2).
2. Determine as tensões de cisalhamento na parte interna e externa de um tubo vazado quando
submetido a um torque de 4 kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 15mm e o externo, de 25mm
(resposta em kN/cm2).
3. Sabendo-se que o tubo da questão anterior tem comprimento de 2m e que o seu módulo de
elasticidade transversal é de 8000 kN/cm2, determine o ângulo total de torção.
4. Qual é o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo circular vazado abaixo para que as
tensões de cisalhamento não excedam a 120 MPa? Qual o valor mínimo da tensão de cisalhamento para
este caso?
5. Determine a tensão de cisalhamento para um tubo de parede delgada sujeito a um torque de 3000
kgf.m. O diâmetro interno do tubo é de 20cm, o diâmetro externo é de 24cm e a espessura da parede é
de 2cm.
6. Dada uma barra circular maciça com diferentes diâmetros e diferentes torques aplicados conforme a
figura abaixo, pede-se:
(a) A máxima tensão de cisalhamento;
(b) O ângulo de torção (em graus) entre as duas extremidades sabendo-se que o módulo de
elasticidade transversal do material é de 8500 kgf/mm2.
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10.6. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1. Determine a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção entre as duas extremidades da
barra circular abaixo (Diâmetro = 10 cm). O módulo de elasticidade transversal do material é 10000
kgf/mm2.
2. Determine a máxima tensão de cisalhamento e o ângulo de torção entre as duas extremidades da
barra circular vazada representada abaixo (Diâmetro externo = 10 cm, Diâmetro interno = 3 cm). O
módulo de elasticidade transversal do material é 9000 kgf/mm2.
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11. Flambagem de colunas
Neste último módulo da disciplina (aleluia!) estuda-se a estabilidade da estrutura, ou seja, sua
capacidade para suportar uma dada carga sem sofrer uma mudança brusca em sua configuração. O
estudo será voltado para colunas suportando cargas axiais. Vejamos as seguintes imagens:
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Uma coluna qualquer de comprimento L que vai suportar uma carga qualquer P
estará bem dimensionada se a área A da seção transversal for escolhida de
modo que a tensão normal em qualquer ponto da seção transversal fique
abaixo da tensão admissível à tração ou compressão do material usado; e se a
deformação se mantiver dentro de especificações recomendadas. No entanto,
pode ocorrer o fenômeno da flambagem quando a carga P é aplicada; em vez
de permanecer com seu eixo retilíneo, a coluna se torna encurvada. A coluna
que flamba sob o carregamento especificado no cálculo não está dimensionada
corretamente.
Se a condição de equilíbrio é perturbada, o sistema retornará à sua posição original de equilíbrio desde
que a carga P não exceda a um certo valor Pcr, denominado carga crítica. Se P < Pcr então o sistema é
estável.
A carga crítica é determinada através da Fórmula de Euler (Leonhard Euler, matemático suíço, 17071783), dada abaixo:
Pcr =
π2EI
L2f
onde:
Pcr = carga crítica;
E = módulo de elasticidade;
I = momento de inércia;
Lf = comprimento de flambagem.
No caso de colunas com seção transversal quadrada ou circular, o momento de inércia da seção
transversal em relação a qualquer eixo baricêntrico é o mesmo, de modo que a coluna pode flambar em
qualquer plano. Para seções transversais de outras formas, a carga crítica deve ser calculada para I =
Imin. Se a flambagem ocorrer, ela acontecerá em um plano perpendicular ao eixo principal de inércia
correspondente.
11.1. Tensão crítica
A tensão crítica é dada por:
σ cr =
Pcr
π 2 EI
=
A
AL2f
Do estudo de propriedades geométricas de superfícies planas, temos que I = r2 A, onde r é o raio de
giração e A, a área da seção transversal. Logo:
σ cr =
π 2 EAr 2
AL2f
=
π 2 Er 2
L2f
Esta equação pode ser reescrita na forma:
σ cr =
π 2E
 Lf

 r
A parcela



2
Lf
é chamada de índice de esbeltez e representada pela letra λ. Assim, teremos:
r
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σ cr =
69
π 2E
λ2
Observação: o raio de giração deve ser aquele correspondente ao momento de inércia mínimo.
11.2. Comprimento de flambagem
O comprimento de flambagem é dado pela seguinte fórmula:
Lf = k L
Onde:
Lf
= comprimento de flambagem;
k
= coeficiente que depende dos tipos de vínculo da coluna;
L
= comprimento real da coluna.
O coeficiente k é dado abaixo para quatro diferentes situações:
11.3. Carga admissível
Para garantir que não ocorra flambagem, adota-se um coeficiente de segurança e calcula-se a carga
admissível, da seguinte forma:
Padm =
onde:
Padm
Pcr
s
Pcr
s
= carga admissível;
= carga crítica;
= coeficiente de segurança.
11.4. Exercícios
1. Determinar a carga crítica de flambagem de um pilar de 2 m com extremidades articuladas sabendose que o módulo de elasticidade do material é de 200.000 kgf/cm². A seção transversal mede 10 x 15
cm.
2. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça
está sujeita à flambagem.
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3. Determine a carga crítica de flambagem para um pilar engastado com 2 m de altura. O módulo de
elasticidade é de 200.000 kgf/cm².
4. Supondo-se que a tensão crítica para o pilar da questão anterior é de 500 kgf/cm², verifique se a peça
está sujeita à flambagem.
5. Determine a carga crítica de flambagem para o pilar de seção transversal tipo T dado abaixo. O
módulo de elasticidade é de 250.000 kgf/cm².
6. Determine a carga admissível para o pilar da questão anterior adotando coeficiente de segurança igual
a 2.
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11.5. Lista de exercícios (atividade extra-classe)
1. Caso ocorra flambagem nos pilares cujas seções transversais estão abaixo representadas, em relação
a qual plano esta ocorrerá?
2. Determine a carga crítica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seção transversal e o
módulo de elasticidade do material (2,5x105 kgf/cm2).
3. Determine a carga crítica de flambagem para os pilares abaixo sendo dada a seção transversal e o
módulo de elasticidade do material (2,4x105 kgf/cm2).
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Referências bibliográficas
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Universitária da UFSC: 620.17 B398r.
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propostos. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1978. 384p. Número de Chamada na Biblioteca
Universitária da UFSC: 620.17 N253r.
POPOV, Egor Paul. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Edgard Blucher, 1978. 534p.
Número de chamada na Biblioteca Universitária da UFSC: 620.172.2-405 P829i.
SCHIEL, Frederico. Introdução à Resistência de Materiais. São Paulo: HARBRA, 1984. 395p.Número
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chamada na Biblioteca Universitária da UFSC: 620.17 T443r.
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