Revista Brasileira de Ensino de Fsica, vol. 19, no. 3, setembro, 1997
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A Origem Fsica do A^ ngulo de Brewster
(The Physical Origin of the Brewster Angle)
M.L. Bedran, B. Lesche
Instituto de F
sica, Universidade Federal do Rio de Janeiro
C.P. 68528, 21945-970, Rio de Janeiro, RJ, Brazil
Trabalho recebido em 6 de setembro de 1996
O fen^omeno de Brewster pode ser explicado pelas caractersticas de emiss~ao de um dipolo
oscilante. Mostra-se que esta interpretac~ao tambeme valida no caso de materiais magneticos,
se tanto os dipolos eletricos como os magneticos forem considerados. Este calculo pode ser
dado como exerccio num curso de Eletrodin^amica.
The Brewster phenomenon can be explained by the emission characteristics of an oscillating
dipole. It is shown that this interpretation is also valid in the case of magnetic materials if
both electric and magnetic dipoles are considered. The corresponding calculation may be
given as an exercise in an electrodynamics course.
Quando a luz incide na superfcie de um dieletrico
com seu vetor eletrico oscilando no plano formado pelo
raio incidente e a normal a superfcie, existe um ^angulo
de incid^encia tal que a luz e completamente transmitida para o material dieletrico. Este unico ^angulo de
incid^encia, que anula o feixe reetido, e conhecido como
^angulo de Brewster. Em alguns livros de Graduac~ao[1;2]
encontra-se uma explicac~ao para a falta do feixe reetido em termos da caracterstica de emiss~ao de um dipolo eletrico oscilante. O argumento usado e o seguinte:
Qualquer onda reetida deve-se a alguma emiss~ao dos
dipolos induzidos no material dieletrico. E um fato bem
conhecido que um dipolo eletrico oscilante n~ao emite na
direc~ao do eixo do dipolo. Portanto, se a direc~ao de reex~ao coincidir com a direc~ao deste eixo, n~ao havera luz
reetida. Correspondendemente, o ^angulo de Brewster
e aquele para o qual a direc~ao de reex~ao e perpendicular ao feixe transmitido. A Fig. 1 ilustra esta situac~ao.
De fato, para o caso de materiais n~ao magneticos e
isotropicos, o ^angulo de Brewster e caracterizado corretamente por esta condic~ao. Entretanto, poder-se-ia
argumentar que, no caso de materiais magneticos, o
^angulo de Brewster n~ao mais seria dado pela condic~ao
de ortogonalidade entre o feixe transmitido e a direc~ao
de reex~ao. De fato, resolvendo as equac~oes de Max E-mail:
[email protected]
well com as condic~oes de contorno apropriadas na interface vacuo-dieletrico, encontra-se para o a^ngulo de
Brewster[3]
onde
2
2
(sinB )2 = n1 ;(1n;2 2 ))
(1)
r
n = e = n 0 :
(2)
0 0
Para o ^angulo 'B entre o feixe transmitido e a direc~ao
de reex~ao na condic~ao de Brewster, obtem-se (veja a
g. 2):
cos'B = cos( ; (B + T )) =
;cosB cosT + sinB sinT
(3)
Combinando a equac~ao (3) com a lei de Snell (sinB =
nsinT ), obtem-se apos algumas passagens algebricas:
:
(4)
cos'B = 1n;;n
Isto e zero ('B = =2) somente se n = , ou seja, para
materiais n~ao-magneticos. Neste trabalho mostraremos
que, mesmo para materiais magneticos, a explicac~ao do
fen^omeno de Brewster em termos das caractersticas de
emiss~ao dos dipolos e correta. Entretanto, no caso de
M.L. Bedran e B. Lesche
materiais magneticos, deve-se tambem levar em conta
a contribuic~ao da emiss~ao dos dipolos magneticos.
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x; y; z de tal modo que o eixo y aponte na direca~o de
propagac~ao do feixe transmitido e o eixo z que no
plano de incid^encia. Suporemos que o campo eletrico
da onda transmitida oscile na direc~ao z e o campo
magnetico na direc~ao x. O campo eletrico de um dipolo eletrico oscilante ~p(t) = p0 z^cos(!t) e dado por
p0!2 sin cos ! t ; r (5)
E~ p = ;^ 04
r
c
onde z^ e ^ s~ao vetores unitarios nas direc~oes z e respectivamente e r, s~ao duas das coordenadas esfericas usuais. Em coordenadas Cartesianas esta express~ao tem a
forma:
p0 !
E~ p = ; 04
2
f(t; r) [z(x^x +y^y ) ; (x2 +y2 )^z ] (6)
r3
onde
Figure 1. Luz incidindo numa superfcie dieletrica na
condic~ao de Brewster. As setas no feixe transmitido indicam os dipolos eletricos oscilantes. A gura em forma de
8 representa a caracterstica de emiss~ao de um dos dipolos.
f(t; r) = cos ! t ; rc
(7)
O campo eletrico de um dipolo magnetico oscilante
m
~ = m0 z^cos(!t) e dado por
0
m0 !2 sin cos ! t ; r (8)
E~ m = '^ 04c
r
c
que, em coordenadas Cartesianas, tem a forma:
2
~Em = 0m0 ! f(t;2r) [;y^x + x^y]
(9)
4c
r
No material transparente, o dipolo magnetico induzido
estara de fato perpendicular ao dipolo eletrico. Por isso
calcularemos agora o campo de radiac~ao de um dipolo
magnetico na direc~ao x, m
~ (t) = m0 x^cos(!t). O resultado pode ser lido facilmente da equac~ao 9 permutandose x; y; e z ciclicamente:
0
0
Figure 2. Denic~ao dos a^ngulos B , 'B , T e dos eixos y, z .
A projeca~o ortogonal
do vetor ~r no eixo y ilustra a equac~ao
(14): cos'B = yr = ;:
Para calcular os campos criados pelos dipolos oscilantes induzidos, vamos orientar os eixos coordenados
f(t; r) [;z^y + y^z ]
(10)
r2
Em seguida, precisamos relacionar o momento de dipolo magnetico induzido com o correspondente eletrico.
Sabemos que as amplitudes dos dipolos est~ao relacionadas com as amplitudes dos campos eletrico e magnetico
atraves das susceptibilidades:
p0 = 0 eET
e
m0 = 1 m HT = 1 m BT
(11)
m0 !
E~ m = 04c
2
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onde e a densidade de dipolos, e e m s~ao as susceptibilidades eletrica e magnetica e ET , BT s~ao as amplitudes dos campos da onda transmitida. Por outro lado,
~
tem-se da equac~ao de Maxwell r E~ = ;(@ B=@t),
relac~ao bem conhecida entre as amplitudes: BT =
n ET : Combinando esta ultima relac~ao com as equac~oes
c
11 obtem- se que
m0 = m n p = n ; p p
(12)
0
c e c2 0 0 n ; 1 0
A equac~ao 12 nos permite combinar as equaco~es 6 e 10
para encontrar o campo eletrico total de radiaca~o de
um unico dipolo induzido:
c
p0 !2 f(t; r) [;z(y + r)^y + y(y + r)^z ]
E~ = E~ e + E~ m = 04
r3
Este campo e zero se y + r = 0. Ent~ao o ^angulo que a
direc~ao de emiss~ao zero faz com o eixo y (a direc~ao do
feixe transmitido) satisfaz a relac~ao
(13)
d
Agradecimentos
B.L. agradece ao CNPq pela ajuda nanceira.
Refer^encias
cos'B = yr = ; = 1n;;n
(14)
Ela e id^entica a condic~ao de Brewster (equac~ao 4) para
materiais magneticos. O calculo acima pode ser dado
como exerccio num curso de Eletrodin^amica e fornece
uma abordagem interessante ao fen^omeno de Brewster.
1. P.A. Tipler, Physics, Vol. 2b Worth Publishers
Inc. 1982.
2. Chr. Gerthsen, H.O. Kneser, Physik, SpringerVerlag Berlin, Heidelberg, New York, 1971.
3. D.J. Griths, Introduction to Electrodynamics,
2nd ed. Prentice-Hall, Englewood Clis, 1981.