Universidade de São Paulo
IME (Instituto de Matemática e Estatística) – MAE 121 – Profº. Wagner Borges
São Paulo, 11 de Junho de 2002
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa – Bach. Estatística
Lista de Exercícios #5
Parte 1
in Noções de Probabilidade e Estatística (Marcos N. Magalhães et al, 4ª. edição),
Capítulo 5, seção 5.3, páginas 156-161.
8. A tabela a seguir consiste de 16 valores de três variáveis observadas em alunos do
curso de Ciências Sociais: sexo (S), nota de estatística (E) e nota de antropologia (A).
S
E
A
M
3
3
F
6
4
M
4
3
F
3
5
M
6
5
M
5
5
F
5
4
F
7
6
F
4
5
M
5
5
M
5
4
F
6
4
M
5
5
F
4
5
F
3
6
M
6
5
a. Construa a tabela de dupla entrada para as notas de estatística e antropologia.
E\A
3
4
5
6
7
3
1
1
0
0
0
4
0
0
2
2
0
5
1
2
3
2
0
6
1
0
0
0
1
b. Repita o item (a), considerando apenas os homens.
E\A
3
4
5
6
3
1
1
0
0
4
0
0
1
0
5
0
0
3
2
c. Calcule, para os alunos do sexo masculino, o coeficiente de correlação entre as
notas de estatística e de antropologia.
n
ρ X ,Y =
∑(x
i =1
i
− x obs )( yi − y obs )
n
n
j =1
j =1
[∑ ( x j − x obs ) 2 ][∑ ( y j − y obs ) 2 ]
5.375
= 0.845743
6.875 ⋅ 5.875
d. Com o uso da tabela obtida em (a), calcule a porcentagem de cada freqüência
conjunta em relação ao total de alunos.
ρ X ,Y =
(E,A)
(3,3)
(3,5)
(3,6)
(4,3)
(4,5)
(5,4)
(5,5)
(6,4)
(6,5)
(7,6)
total
freq.
1
1
1
1
2
2
3
2
2
1
16
12. Um total de 1000 passageiros de vôos domésticos foram entrevistados no
Aeroporto de Garulhos. Duas variáveis foram observadas: número de viagens mensais
(V) e número de automóveis na família (A). O resultado está na próxima tabela que,
por descuido, está incompleta.
V\A
1
2
3
total
1
110
150
40
300
2
80
300
120
500
3
60
0
140
200
total
250
450
300
1000
a. Complete a tabela.
b. Calcule as porcentagens em relação ao total de coluna.
V\A
1
2
3
total
1
36%
50%
14%
300
2
16%
60%
24%
500
3
30%
0%
70%
200
total
250
450
300
1000
c. As variáveis são independentes? Justifique.
Não as varíaveis não podem ser independentes, pois um dos elementos (2,3)
tem valor 0, ao mesmo tempo que nenhuma das marginais vale zero. Como o
produto de dois numeros reais não nulos nunca é zero, esse 0 não pode ter
surgido a partir das marginais e portanto as variáveis não são independentes.
14. Para o lançamento de dois dados equilibrados, defina duas variáveis aleatórias.
Seja X o número de vezes que aparece a face 2 e Y igual a 0 se soma for par e 1, caso
contrário.
X\Y
0
1
0
13/36
5/36
1
12/36
5/36
2
0
1/36
a. Determine a função de probabilidade conjunta de X e Y.
b. Calcule E(X), E(Y) e E(X+Y).
c. Verifique se X e Y são independentes.
X e Y não podem ser independentes pois uma das casas tem 0 sendo que
nenhuma das marginais são 0, como nenhuma multiplicação de dois números
reais não nulos não pode dar zero, essa casa não pode se originar a partir das
marginais e portanto X e Y não são independentes.
d. Calcule o coeficiente de correlação entre X e Y.
20. A tabela a seguir apresenta a função de probabilidade conjunta de duas varíaveis
aleatórias independentes.
X\Y
-1
0
1
P(X=x)
1
1/30
2/30
3/30
1/5
2
3/30
6/30
9/30
3/5
3
1/30
2/30
3/30
1/5
P(Y=y)
1/6
2/6
3/6
1
a. Complete a tabela.
b. Determine E(X), E(Y) e Cov(X,Y).
E ( X ) = (−1).(5 / 30) +(0)(10 / 30) + (1)(15 / 30) = 10 / 30 = 2 / 6
E (Y ) = (1).(1 / 5) + (2).(3 / 5) + (3).(1 / 5) = 10 / 5 = 2
Cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
E ( XY ) = (−1)(1 / 30) + (−2)(3 / 30) + (−3)(1 / 30) + (1).(3 / 30) + (2)(9 / 30) + (3).(3 / 30) = 20 / 30
Cov( X , Y ) = 20 / 30 − 4 / 6 = 0.
(resultado coerente, pois as variáveis são independentes)
c. Calcule Var(X + Y)
Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var ( X + Y ) = Var ( X ) + Var (Y ) + 2Cov( X , Y )
Var ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) = (1).(1 / 6) + (1).(3 / 6) − 4 / 6
Var ( X ) = 4 / 6 − 4 / 6 = 0
Var (Y ) = E (Y 2 ) − E 2 (Y ) = (1)(1 / 5) + (4).(3 / 5) + (9).(1 / 5) − 4 = 2 / 5
Var ( X + Y ) = 2 / 5.
26. Sendo X1, X2 e X3 varíaveis aleatórias independentes, seguindo o modelo Bernouli
de parâmetro p, pergunta-se:
a. Qual é a função de probabilidade de X1 + X2 + X3? Você reconhece essa
varíavel?
X1 + X2 + X3
0
1
2
3
(1-p)³
(1-p)²p
(1-p)p²
p³
Essa varíavel parece uma Binomial.
X1 + X 2 + X 3
)?
3
Essa variância deve ser igual a variância da Binomial com parâmetros p e n = 3.
No caso, Var = 3p(1-p).
b. Qual é o valor de Var (