A- Um dado movimento no plano tem a seguinte equação de movimento: r(t)=cos(t)⋅ux+sin(t)⋅uy em unidades do Sistema Internacional. a) Determinar a velocidade da partícula no instante t=2π segundos. b) Determinar a aceleração da partícula nesse instante. c) Mostrar que se trata de um movimento circular uniforme. d) Determinar o módulo da velocidade instantânea desse movimento e a sua expressão vectorial se o movimento estiver a realizar-se no sentido directo (anti-horário). B - Mostre que num movimento unidimensional uniformemente acelerado se verifica a relação: v + vi = 2∆x t sendo ∆x o espaço percorrido em t segundos e vi a velocidade inicial. A - Uma partícula move-se ao longo da parábola 1 2 x , para x>0 2 de tal modo que a componente da sua velocidade segundo o eixo dos xx é constante, sendo vx=k, e logo, x=k⋅t. y= a) Determinar a componente da velocidade segundo o eixo dos yy, vy, como função de x. b) Determinar as componentes de aceleração segundo os eixos, isto é, ax e ay. c) Representar num diagrama os vectores velocidade e aceleração no ponto , x = 2 . B - Mostre que num movimento unidimensional uniformemente acelerado se verifica a relação: v + vi = 2∆x t sendo ∆x o espaço percorrido em t segundos e vi a velocidade inicial. A equação vectorial r = 490 ⋅ t ⋅ u x + (490 ⋅ t − 4,9 ⋅ t 2 ) ⋅ u y refere-se ao lançamento de um projéctil numa base ortonormal cuja origem coincide com o ponto de lançamento, sendo o eixo dos xx o eixo horizontal. Desprezou-se a resistência do ar. a) Determinar o tempo que o projéctil demora a atingir o ponto mais alto da trajectória. b) Determinar o alcance horizontal do projéctil. c) No instante t=10s, posterior ao lançamento, a que altura se encontra o projéctil? d) No instante t=10s, posterior ao lançamento, qual a aceleração instantânea do projéctil? Um canhão lança um projéctil com velocidade inicial vi. Esta velocidade é perpendicular à rampa cujo ângulo de inclinação é φ. Vi A B φ Prove que a distância d entre o ponto de lançamento, A, e o ponto de impacto na rampa, B, é d= quando se toma g=10,0 m/s2. vi2 sin(φ ) 5 cos 2 (φ ) Uma esfera de massa 10,0 g é abandonada na periferia A de uma semi-esfera de raio 10 cm (ver figura). Considera-se que o atrito existente é desprezável. a) Represente com os vectores adequados as forças que actuam na esfera na posição P. b) Prove que o módulo da força de reacção a que está submetida a esfera na posição P é: v2 FR = m + g cos φ r φ A B P C a) A que altura (a partir do centro da Terra) se deve encontrar um satélite de forma a que este seja geoestacionário? b) Determine o atraso de transmissão inerente a uma ligação via satélite entre dois locais da Terra que estejam na zona de serviço do satélite geoestacionário (despreze a distância entre eles face à distância Terra-satélite). c) Partindo da órbita geoestacionária, à altura calculada em a), se o satélite se afastar da Terra qual o efeito em termos de movimento relativo visto da superfície da Terra? O que teria de fazer o utilizador de uma antena parabólica para continuar a captar o sinal? Seria possível captá-lo sempre? d) Se um satélite estiver numa órbita circular a 800 km de altitude (a partir da superfície da Terra) qual a aceleração centrípeta associada à força gravítica sofrida. e) Qual velocidade angular, em graus por hora, do satélite referido em d)? (Use os dados físicos de que necessitar: raio da Terra, velocidade da luz no vazio, etc) Um objecto de 3,00 kg é deixado cair, partindo do estado de repouso, sobre um plano inclinado, sem atrito, com θ=30º. Este sistema está em cima de uma mesa de altura H=1,5 m. O objecto é largado sobre o plano inclinado de uma altura h=0,50m. a) Qual a aceleração do objecto durante o trajecto sobre o plano inclinado? b) Qual a velocidade do objecto no instante em que sai da mesa? c) A que distância da mesa, R, cairá o objecto? d) Desde o repouso até bater no chão, quanto tempo demorou o trajecto total do objecto? e) A massa do corpo afecta algum dos cálculos anteriores? Comente. m h θ H R Dois alvos circulares rodam em torno do mesmo eixo (eixo dos xx) com uma velocidade constante de 60,0 rotações por segundo. Estão separados de uma distância de 1,0 m. Dispara-se uma pistola de modo a perfurar os dois discos. Os raios que passam pelas perfurações diferem entre si dum ângulo de 30º (i.e. o projéctil atinge o 2º alvo quando este já rodou 30º). O raio de cada disco é 40,0 cm. a) Determine a velocidade e a aceleração de um ponto na periferia de cada disco. b) Determine a velocidade do projéctil. c) A que distância teriam de estar os dois discos para que o ângulo entre os furos fosse π? d) Suponha que o impacto no primeiro disco o faz deslocar no eixo em direcção ao segundo disco. Parte e, por atrito no eixo de suporte, trava uniformemente até, 0,5 segundos depois, parar exactamente a 5 cm do segundo disco. O seu movimento de rotação manteve-se intacto. Qual a aceleração total de um ponto na periferia desse disco durante o trajecto desde o impacto do projéctil até ao instante em que parou.? 1m Considere os três objectos ligados tal como se vê na figura. Se os deslocamentos se fizerem sem atrito e se o sistema estiver em equilíbrio, qual será, em termos de m, g e θ : a) a massa M; b) As tensões T1 e T2. Se M for o dobro do valor obtido em a): c) qual a aceleração de cada um dos objectos; d) As tensões T1 e T2. Se o coeficiente de atrito (estático) entre cada um dos objectos no plano e o plano for µa, e existir equilíbrio: e) Qual o valor mínimo de M? f) Qual o valor máximo de M? T2 T1 m 2m M θ Um dinamómetro marca 100 N quando mede o peso de uma esfera durante o percurso ascendente de um elevador. A esfera possui massa m=8000g. a) A velocidade do elevador está a aumentar, a decrescer ou é constante? Justifique. b) Em que condições o dinamómetro marcaria 80 N? c) Qual a aceleração do elevador nas condições de a)? d) Se o cabo se partisse, que valor seria lido no dinamómetro se o atrito for nulo? e) Durante a queda qual o movimento que uma bola lançada faz quando observada dentro da cabina? f) Quando o travão de segurança entra em funcionamento o dinamómetro mede 350 N. Quando pesaria numa balança (de torção de mola) uma pessoa com 80 kg de massa? g) Durante a queda, a roldana vertical (com 20 cm de raio) que segurava o elevador continua a rodar uniformemente com 2 rotações por segundo (ver figura). Qual a aceleração total de um ponto na periferia da roldana, medida num referencial exterior à cabina? Desenhe um esquema que ilustre a situação? P Fg