UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
FERNANDO SPADINI MURACA
EDUCAÇÃO CONTINUADA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UM
CONTEXTO DE PROBLEMATIZAÇÃO DESENVOLVIDO POR MEIO DE
ATIVIDADES EXPLORATÓRIO–INVESTIGATIVAS ENVOLVENDO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
SÃO PAULO
2011
FERNANDO SPADINI MURACA
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
EDUCAÇÃO CONTINUADA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UM
CONTEXTO DE PROBLEMATIZAÇÃO DESENVOLVIDO POR MEIO DE
ATIVIDADES EXPLORATÓRIO–INVESTIGATIVAS ENVOLVENDO
GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO
Dissertação
apresentada
a
Banca
Examinadora da Universidade Bandeirante
de São Paulo como exigência parcial para
a obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.
Orientadora:
Profª.
Dra.
Nielce
Meneguelo Lobo da Costa.
SÃO PAULO
2011
Muraca, Fernando Spadini
Educação Continuada do Professor de Matemática: um contexto de
problematização desenvolvido por meio de atividades exploratório–
investigativas envolvendo geometria espacial de posição./ Fernando Spadini
Muraca.- São Paulo: [s.n.], 2011.
159 f; il. 30 cm.
Dissertação de Mestrado para a obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática. Programa de Pós Graduação em Educação
Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo.
Orientadora: Profa. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa.
1. Educação Continuada de Professores de Matemática 2. Atividades
Exploratório-Investigativas 3. Geometria Espacial de Posição 4.
Problematização I. Título
Autor: Fernando Spadini Muraca
Título: Educação Continuada do Professor de matemática: um contexto de
problematização
desenvolvido
por
meio
de
atividades
exploratório–
investigativas envolvendo geometria espacial de posição
Este Trabalho foi julgado e aprovado para obtenção do título de Mestre em
Educação Matemática – UNIBAN
São Paulo, ____/_____/______.
Banca Examinadora
______________________________________________
Prof.ª Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa (Orientadora)
Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN
_____________________________________________
Prof. Dr. Dario Fiorentini
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP
______________________________________________
Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni
Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a
reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de
fotocopiadoras ou eletrônicos.
Local e data: ________________________________
Assinatura: _________________________________
Dedicatória
À minha
minha querida
esposa,
esposa, Maria Claudia,
Claudia,
pelo amor, carinho,
amizade, respeito,
incentivo e apoio
AGRADECIMENTOS
À minha querida orientadora Nielce Meneguelo Lobo da Costa pela amizade,
paciência, incentivo e apoio durante toda a pesquisa e a redação desta dissertação.
Aos Professores Doutores Dario Fiorentini e Vincenzo Bongiovanni pelas ricas
sugestões e criticas que contribuíram para a elaboração e evolução desta.
Aos professores doutores da linha de Formação de Professores Ruy Prietropaolo,
Maria Elisabette Prado e Angélica da Fontoura pela amizade e pela ajuda durante
toda a pesquisa.
Aos professores participantes do Projeto Observatório da Uniban, por me
acolherem e me respeitarem durante todos os encontros.
Aos amigos pesquisadores Rosana Magni, Nadir Campelo, Marcelo Kruppa, Olga
Corbo, Raquel Canova e Eduardo Vicentino que participam do grupo do Projeto
Observatório.
Aos professores do Programa de Mestrado em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo, por compartilharem seus conhecimentos
durante o curso.
Aos meus pais, Sidney e Cecilia, pelo constante incentivo e apoio durante todo esse
árduo trabalho.
À reitoria da Universidade Bandeirante de São Paulo pela bolsa que custeou parte
desse trabalho.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa é analisar uma experiência formativa (inserida em um
processo de educação continuada) que privilegie uma abordagem exploratório–
investigativa, particularmente quanto às reflexões feitas por professores relativas a
conceitos geométricos e ao ensino de geometria na Educação Básica. A fim de
atingir esse objetivo a pesquisa se constituiu em: (i) Construir uma experiência
formativa baseada em atividades exploratório-investigativas; (ii) Desenvolver essa
experiência com um grupo de professores; (iii) Analisar as problematizações, as
discussões e reflexões coletivas ao longo do processo e/ou as (re)conceituações
ocorridas. A fundamentação teórica foi construída a partir dos conceitos de reflexão
de Schön, do conhecimento profissional de Shulman, das vertentes do
conhecimento didático de Ponte & Oliveira e da articulação entre teoria e prática de
Tardif. Trata-se de uma pesquisa de caráter qualitativo que se propôs a responder à
seguinte questão: Que problematizações e reconceituações os professores
evidenciam em uma formação caracterizada por privilegiar uma abordagem
exploratório-investigativa sobre geometria espacial de posição? A coleta de dados
foi feita por observação direta, gravação dos encontros e registros produzidos pelos
sujeitos. Utilizou-se a análise interpretativa por triangulação de dados e os
resultados obtidos indicaram que a experiência formativa privilegiando uma
abordagem exploratório-investigativa levou a problematizações relacionadas aos
conteúdos de
Geometria
de
Posição que
possibilitaram reconceituações,
especificamente quanto aos conceitos de retas paralelas, retas reversas, posições
de reta e plano, figuras espaciais, tais como o conceito de quadrilátero. Quanto às
atividades que problematizaram o ensino, elas possibilitaram ao grupo a reflexão
sobre o uso de tecnologia, particularmente softwares de Geometria dinâmica, no
sentido de (re)pensar metodologias ou estratégias para a prática pedagógica.
Palavras-chave: Educação Continuada de Professores de Matemática. Atividades
Exploratório-Investigativas. Geometria Espacial de Posição. Problematização
ABSTRACT
The objective of this research is to analyze a formative experience (part of a process
of continuing education) which favors exploratory and investigative approach,
particularly with respect to the reflections made by teachers regarding geometrical
concepts and the teaching of geometry in Basic Education. In order to achieve this
goal the research consisted of: (i) Build a training experience based on exploratory
investigative activities, (ii) develop this experience with a group of teachers, (iii)
Review the problematization, discussions and reflections throughout the process
and/or reconceptualizations occurred. The theoretical foundation was built on the
Schön’s concepts of reflection, Shulman's professional knowledge, Ponte &
Oliveira’s knowledge of the aspects of teaching and the relationship between theory
and practice of Tardif. It is a qualitative study that set out to answer the following
question: What reconceptualizations and (re)teachers demonstrate concepts in a
formation characterized by an approach emphasis on exploratory investigative
activities about spatial geometry of position? Data collection was done by direct
observation, recording of meetings and records produced by the subjects. We used
the interpretative analysis by triangulation of data and the results indicated that the
training experience focusing on an exploratory and investigative approach led to the
problematization
regarding
the
contents
of
geometry
that
allowed
reconceptualizations position, specifically about the concepts of parallel lines,
straight reverse, positions straight and flat, spatial figures, such as the concept of a
quadrilateral. The activities that problematized the school, they enabled the group to
reflect on the use of technology, particularly software Dynamic geometry in order to
(re)
thinking
methodologies
or
strategies
for
teaching
practice.
Keywords: Mathematics Teacher Education. Exploratory-Investigative Activities.
Spatial Geometry of Position. Problematization.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Trabalho Colaborativo: contexto para o desenvolvimento profissional
docente ................................................................................................................... 27
Figura 2 – Conhecimento em Educação de Professores ........................................ 28
Figura 3 - Representação do Quinto Postulado de Euclides................................... 33
Figura 4 – Representação apresentada na proposição 29...................................... 34
Figura 5 – Obtenção da Esfera a partir da definição de Euclides............................ 36
Figura 6 - Obtenção do Cone a partir da definição de Euclides .............................. 36
Figura 7 - Obtenção do Cilindro a partir da definição de Euclides........................... 37
Figura 8 – Representação apresentada na proposição 1........................................ 44
Figura 9 – Representação apresentada na proposição 7........................................ 45
Figura 10 – Grupos formados no projeto Observatório ........................................... 54
Figura 11 – Página Inicial da Plataforma Tidia-Ae do Projeto Observatório da
Uniban..................................................................................................................... 57
Figura 12 – Paralelepípedo construído com a função “Paralelepípedo XYZ”.......... 65
Figura 13 – Perfil do Grupo Nuclear........................................................................ 72
Figura 14 – Motivação para participar do Projeto.................................................... 73
Figura 15 – Avaliação do próprio aprendizado de Geometria pelos professores .... 74
Figura 16 – Dificuldades encontradas elos professores no Ensino de Geometria .. 75
Figura 17 – Triângulo Isósceles Desenhado e Construído...................................... 80
Figura 18 – Triângulo Equilátero Desenhado e Construído .................................... 81
Figura 19 – Quadrado Desenhado e Construído..................................................... 81
Figura 20 – Reta Tangente Desenhada e Construída............................................. 81
Figura 21 – Construção da reta tangente a circunferência...................................... 83
Figura 22 –Paralelepípedo construído com a função “Paralelepípedo XYZ”........... 85
Figura 23 – Função “Ajuda” para a Ferramenta “Plano” do Cabri 3D...................... 87
Figura 24 – Retas Paralelas Construídas pela Professora Rosa ............................ 89
Figura 25 – Retas Construídas pela Professora Rosa ............................................ 90
Figura 26 – Mudança de Vista das retas de Rosa ................................................ 91
Figura 27 – Demonstração de teorema................................................................. 100
Figura 28 – Quadriláteros construídos no Cabri 3D .............................................. 107
Figura 29 –Quadrilátero Reverso construído no Cabri 3D .................................... 107
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – 6º e 7º Anos
................................................................................................................................ 49
Quadro 2 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – 8º e 9º Anos
................................................................................................................................ 50
Quadro 3 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – Ensino Médio
................................................................................................................................ 51
Quadro 4– Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório nos Encontros
Presenciais.............................................................................................................. 55
Quadro 5 – Níveis de aprendizagem de Geometria segundo Parzysz (2003) ........ 56
Quadro 6 – Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório no Ambiente Virtual.. 58
Quadro 7 – Instruções iniciais das quatro primeiras atividades............................... 65
Quadro 8 – Síntese do Planejamento dos três primeiros encontros ....................... 66
Quadro 9 – Síntese do Planejamento dos três últimos encontros........................... 67
Quadro 10 – Perfil dos Sujeitos de Pesquisa .......................................................... 73
Quadro 11 – Resumo Questionário de Geometria .................................................. 76
Quadro 12 – Instruções iniciais das quatro primeiras atividades............................. 85
Quadro 13 – Atividade 1 – Determinação de um Plano .......................................... 86
Quadro 14 – Atividade 2 – Posições Relativas entre Retas no Espaço .................. 88
Quadro 15 – Atividade 3 – Posições Relativas entre Plano e Reta no Espaço....... 93
Quadro 16 – Atividade 4 – Posições Relativas entre Planos no Espaço................. 93
Quadro 17 - Atividade Virtual – Junho/Julho 2010 .................................................. 94
Quadro 18 – Postulados apresentados ................................................................... 98
Quadro 19 – Atividade 5 – Determinação de Planos............................................. 100
Quadro 20 – Atividade 6 – Posições relativas entre retas..................................... 103
Quadro 21 – Atividade 7 – Posições relativas entre retas e planos ...................... 104
Quadro 22 – Atividade 8 – Posições relativas entre planos .................................. 105
Quadro 23 – Atividade 9 – Quadrilátero ................................................................ 107
Quadro 24 – Atividade 10 – Quadrilátero Reverso................................................ 108
Quadro 25 - Início do Fórum Compartilhando Saberes do Quadrilátero Reverso . 109
Quadro 26 – Atividade 1 – Módulo Geometria Espacial – Ambiente Virtual.......... 109
Quadro 27 – Atividade 2 – Módulo Geometria Espacial – Ambiente Virtual.......... 110
Quadro 28 – Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula – Ambiente Virtual ........... 110
Quadro 29 – Atividade 4 – Caminhos Percorridos – Ambiente Virtual .................. 111
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 ...........................................................................................................14
PROBLEMÁTICA ...................................................................................................14
1.1 ORIGEM DA PESQUISA...................................................................................14
1.2 OBJETIVO GERAL ...........................................................................................16
1.3 QUESTÃO DE PESQUISA................................................................................18
1.4 JUSTIFICATIVA ................................................................................................18
1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ...............................................................21
CAPÍTULO 2 ...........................................................................................................23
EM BUSCA DE FUNDAMENTAÇÃO .....................................................................23
2.1 EDUCAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA.............23
2.1.1 Conhecimento Profissional e Aprendizagem Profissional ..............................24
2.1.2 Grupos de Estudos.........................................................................................25
CAPÍTULO 3 ...........................................................................................................29
CONSIDERAÇÕES SOBRE GEOMETRIA EUCLIDIANA .....................................29
3.1 GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO – UM OLHAR SOBRE A HISTÓRIA..29
3.1.1 Os Elementos de Euclides .............................................................................31
3.1.2 A Axiomática de Hilbert ..................................................................................39
3.1.3 Geometria Espacial de Posição .....................................................................43
3.2 ENSINO DE GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA.......................................46
CAPÍTULO 4 ...........................................................................................................53
METODOLOGIA DA PESQUISA............................................................................53
4.1
CENÁRIO
DA
INVESTIGAÇÃO
–
O
CONTEXTO
DO
PROJETO
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO ........................................................................53
4.1.1 Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório............................................55
4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA.................................59
4.2.1 Criação do Módulo de Geometria Espacial de Posição .................................60
4.2.1.1 Planejamento do Módulo.............................................................................62
4.2.1.1.1 Planejamento do Momento 1....................................................................62
4.2.1.1.2 Planejamento do Momento 2....................................................................66
4.2.1.1.3 Atividades a Distância ..............................................................................68
4.2.2 Procedimentos para a Coleta e Análise de Dados .........................................69
CAPÍTULO 5 ...........................................................................................................71
A PESQUISA DE CAMPO ......................................................................................71
5.1 SUJEITOS DE PESQUISA................................................................................71
5.1.1 Caracterização dos Sujeitos...........................................................................71
5.2 OS ENCONTROS – DESCRIÇÃO E ANÁLISE.................................................77
5.2.1 Momento 1 .....................................................................................................77
5.2.1.1 Primeiro Encontro........................................................................................77
5.2.1.2 Segundo Encontro.......................................................................................84
5.2.1.3 Terceiro Encontro ........................................................................................92
5.2.1.4 Atividade no Ambiente Virtual – Momento 1................................................94
5.2.2 Momento 2 .....................................................................................................97
5.2.2.1 Quarto Encontro ..........................................................................................97
5.2.2.2 Quinto Encontro ........................................................................................102
5.2.2.3 Sexto Encontro..........................................................................................106
5.2.2.4 Análise das Atividades Virtuais do módulo................................................108
CAPITULO 6 .........................................................................................................113
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................113
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS .....................................................................115
ANEXOS ...............................................................................................................119
APÊNDICES .........................................................................................................132
14
CAPÍTULO 1
PROBLEMÁTICA
Neste capítulo apresentamos a motivação desta investigação e em seguida a
construção, a delimitação e a justificativa do problema de pesquisa. Ainda neste
capítulo, desenvolvemos a revisão de literatura e descrevemos a dissertação.
1.1 ORIGEM DA PESQUISA
A Matemática sempre foi minha disciplina preferida na época da escola, mas
percebia que a maioria das pessoas com as quais eu convivia não compartilhava da
mesma opinião, muitas revelando verdadeira repulsa. Inclusive, muitos pais
justificam as dificuldades de seus filhos em Matemática afirmando que eles, na
época de estudante, também tinham problemas nesta disciplina, fato já constatado
em pesquisas, como a de Vicentino (2009). Não sei dizer ao certo qual a raiz dessa
repulsa. Será que não é a forma como a Matemática é ensinada?
Muitas vezes os métodos usados por diversos professores não focavam o
significado dos conceitos matemáticos e os alunos apenas decoravam fórmulas e
procedimentos. Discordo totalmente de tais métodos, pois acredito que os
conceitos, as fórmulas e os procedimentos devem ser primeiro entendidos e não
decorados. Por essas razões, na tentativa de provocar mudanças nessa situação,
decidi ser professor de Matemática.
Durante o curso de Licenciatura em Matemática, além de aprofundar os
meus conhecimentos teóricos, aprendi que para ser professor não basta saber o
conteúdo, mas é necessário também saber como transmiti-los e como conduzir seu
comportamento de modo a criar um ambiente de confiança mútua, além de como
construir as estratégias didáticas e gerenciar a sala de aula. Ao longo do curso, tive
diversas conversas com professores sobre a área de Educação Matemática e
constatei que ela envolve pesquisas tanto em relação ao ensino e à aprendizagem
da Matemática quanto à formação, inicial e continuada de professores.
Especificamente na formação continuada tomei conhecimento de algumas
pesquisas, entre elas as que contemplam análises dos processos formativos pela
constituição de grupos colaborativos, que muito me interessaram. Acredito que na
15
profissão de professor a formação nunca se completa, o aprendizado é contínuo,
tanto na teoria quanto na prática e que se essa formação for feita por meio de troca
de experiências entre os educadores num ambiente de respeito mútuo ela pode vir
ser ainda mais eficaz. Por conta disso, considero importante pesquisar
metodologias de educação continuada que visem auxiliar a aprendizagem e o
desenvolvimento profissional docente.
Ao concluir o curso de Licenciatura e para dar continuidade aos meus
estudos ingressei no Mestrado Acadêmico em Educação Matemática. A escolha
deveu-se, principalmente, por nele existir, uma linha de pesquisa específica para a
“Formação de Professores que Ensinam Matemática”, voltada a “estudar os
processos de formação de professores que ensinam Matemática, em estreita
relação com os contextos em que estes ocorrem, levando em conta tendências
contemporâneas da formação de educadores e suas implicações na área de
Educação Matemática”1. Linha essa que veio ao encontro de meus anseios de
pesquisa.
Iniciado o mestrado, participando dessa linha de pesquisa e, principalmente,
pelo interesse que tenho na investigação sobre a educação continuada e a
constituição e desenvolvimento de grupos colaborativos fui convidado a participar e
desenvolver a investigação no projeto intitulado “Educação Continuada de
Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio: Constituição de um
Núcleo de Estudos e Investigações de Processos Formativos” ligado ao Programa
Observatório
da
Educação,
cuja
finalidade
é:
“promover
e
analisar
o
desenvolvimento profissional de professores de Matemática quando estes estão
inseridos em processos de implementação de inovações curriculares e de reflexão
sobre as práticas docentes” 2. Doravante nos referimos nesse texto ao Projeto maior
como Projeto Observatório.
Esta pesquisa se originou a partir de demandas do grupo de professores
observadas ao longo dos encontros do primeiro ano do Projeto. Nesse período
diversos assuntos foram desenvolvidos e discutidos, entre eles destacamos os
relativos ao Ensino de Geometria – resolução de problemas de Geometria Plana e
Espacial, aplicações e demonstrações do Teorema de Pitágoras – e a Didática da
1
Informações constantes no site: http://uniban.br/posgraduacao_stricto/inst_educa/educacao_matematica/index.html
(consultado em 27/05/2009)
2
Projeto 3314 do Programa Observatório da Educação (CNPq/ INEP/SECAD)
16
Geometria – níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico de Parzysz
(2003). Os professores participantes demonstraram muito interesse por esses
assuntos e solicitaram que as discussões sobre Geometria continuassem nos
encontros posteriores, já que eles confessaram ter muita dificuldade no ensino
desses tópicos – questão já apontada por outras pesquisas como a de Pavanello
(1989) e Magni (2011). Por essas razões consideramos investigar uma proposta de
formação cujo conteúdo matemático a ser discutido fosse Geometria, em particular,
a Geometria Espacial de Posição.
1.2 OBJETIVO GERAL
Temos por objetivo analisar uma experiência formativa (inserida em um
processo de educação continuada) que privilegie uma abordagem exploratório–
investigativa, particularmente quanto às reflexões feitas por professores relativas a
conceitos geométricos e ao ensino de geometria na Educação Básica.
A fim de atingir esse objetivo, constituímos a pesquisa da seguinte forma:
1. Construir uma experiência formativa baseada em atividades exploratórioinvestigativas;
2. Desenvolver essa experiência com um grupo de professores;
3. Analisar as problematizações, as discussões e reflexões coletivas ao longo
do processo e/ou as (re)conceituações ocorridas.
Nessa dissertação entendemos que a problematização se refere a situações
nas quais se estabelecem relações e conexões tanto entre conceitos quanto entre
ideias ou ocorrências. Ao problematizar questionam-se sentidos, conceitos e
finalidades (Fiorentini, 2009).
A problematização em si, leva a uma análise mais fina da questão
problematizada e a reflexões em direção a uma maior compreensão pela atribuição
de novos ou diferentes significados. Seguimos Coelho (2005) para a qual:
Problematizar, na nossa concepção, é questionar, mas é mais do que isso.
É aprofundar, questionar o que é hegemônico, desestabilizar o que está
estabelecido. É refletir sobre, mas não apenas isso; pressupõe a ação, a
quebra dos elementos de significação, e busca formar novos sentidos,
mudar a configuração da rede de significações. O ambiente propício para a
problematização é o diálogo, a interação, a formação conjunta de
significações (p. 90).
17
Como enfatiza a autora, o diálogo, assim como a interação no grupo e o
debate sobre os significados que cada indivíduo atribui à questão constituem o
ambiente propicio ao desenvolvimento da problematização.
Nesse sentido, pretendemos identificar e analisar as problematizações de
professores de Matemática e as possíveis reconceituações, que contribuem para a
reflexão sobre os de conceitos geométricos, em particular, os de Geometria
Espacial de Posição.
A reconceituação é o termo que adotamos no sentido de designar um
movimento em direção a uma compreensão institucional dos conceitos. Isto é,
ampliar o conceito previamente existente de um sentido individual para um sentido
adotado pela comunidade científica.
Entendemos por atividades exploratório-investigativas as propostas nas
quais não se apresentam diretamente definições, exercícios tipo, demonstrações
prontas, etc. Isto é em atividades do tipo exploratório-investigativas procura-se não
expor o conteúdo, transmitindo informações ou apresentando situações nas quais o
aluno apenas identifica ou constata fatos, tal qual se costuma fazer em uma aula
expositiva tradicional.
Por meio de atividades exploratório-investigativas procura-se levar os
aprendizes a levantarem hipóteses, testarem suas conjecturas, explorarem diversas
possibilidades e investigarem possíveis soluções. Para que uma atividade possa
ser considerada exploratório-investigativa, em nosso entender, ela depende não
apenas de sua construção, mas também da forma como é conduzida. Ela pode ter
desdobramentos não previstos, uma vez que ao longo da investigação são
percorridos caminhos que podem não ter sido os planejados.
Tais atividades têm por objetivo a construção do conhecimento de uma forma ativa
e problematizadora, que exija pesquisa, análise da situação e que leve a uma
reflexão crítica. A compreensão aqui expressada advém de nossos estudos a partir
Demo (2007), Facci (2004), Saviani (1996).
18
1.3 QUESTÃO DE PESQUISA
Na direção de atingir o objetivo da investigação, propomos a seguinte questão:
Que problematizações e (re)conceituações os professores evidenciam
em uma formação caracterizada por privilegiar uma abordagem exploratórioinvestigativa sobre geometria espacial de posição?
Tal questão se desdobra nas seguintes perguntas diretrizes:
•
Quais problematizações são relacionadas ao conteúdo de Geometria
Espacial de Posição com vistas à (re)conceituação?
•
Quais problematizações são relacionadas ao ensino de Geometria
Espacial de Posição no sentido de (re)pensar metodologias ou estratégias
para a prática pedagógica?
1.4 JUSTIFICATIVA
Investigar propostas de educação continuada de professores de matemática,
especialmente quanto à forma de abordagem e aos conteúdos matemáticos em
discussão, tem sido apontada como questão relevante na área de Educação
Matemática (Relatório do GT73 do III SIPEM4). Assim sendo, nesta pesquisa
pretendemos contribuir desenvolvendo uma proposta de abordagem para formação
baseada em atividades exploratório-investigativas e analisando as discussões e
reflexões coletivas ao longo do processo, de modo a apontar eventuais
necessidades de investigações futuras nessa área.
A escolha pela Geometria, como conteúdo matemático a se discutir com o
grupo pesquisado, se deve à grande dificuldade que professores de matemática
relatam ter ao lidarem com as dúvidas dos alunos, muitas vezes por não terem o
domínio dos conteúdos (Pavanello, 1989; Manrique 2003; Magni, 2011). Diversos
autores, tais como Novoa (2000) e Perrenoud (2002) apontam que o domínio do
3
4
GT7 – Grupo de Pesquisa sobre Formação de Professores
III SIPEM – Seminário Internacional de Pesquisas em Educação Matemática, outubro de 2006
19
conteúdo a ser ensinado e a segurança são fundamentais para o desempenho do
professor ao ensinar.
Além disso, sabe-se que o conhecimento de geometria dos alunos, ao final
tanto do Ensino Fundamental quanto do Ensino Médio, tem sido considerado
insuficiente, uma vez que há grande percentagem de erro em questões relativas a
esse tópico matemático em avaliações internas e externas. Em pesquisa feita por
Viana (2010) sobre a análise das questões e o desempenho dos alunos em
questões de matemática relativas à geometria espacial, do 9º ano do ensino
fundamental e do 3º ano do ensino médio, nas provas Proeb5/Simave6 realizadas
em 2006, 2007 e 2008, foi constatado que apesar de a maioria delas exigir nível
elementar de formação conceitual, a habilidade requerida (planificação) ser de
pouca complexidade, e os problemas exigirem poucas relações, a “porcentagem de
acertos em geometria espacial - ficou em torno de 41%, desempenho considerado
pouco satisfatório” (Viana, 2010, p. 505). Segundo a autora, a partir dos dados
pode-se afirmar que “há falhas no desenvolvimento de vários conceitos e
procedimentos relativos a esses níveis de ensino” (Viana, ibid, p. 524).
Na busca de pesquisas correlatas, que subsidiassem esta pesquisa,
constatamos a carência de investigações com o foco aqui posto, isto é, não
encontramos pesquisas cujo objetivo fosse construir e desenvolver uma experiência
formativa baseada em atividades exploratória investigativas com foco em
problematizações referentes a tópicos de Geometria Espacial de Posição.
Como nossa pesquisa está inserida num projeto maior, o Projeto
Observatório, que aloja outras investigações com o grupo no qual estamos
empreendendo esta experiência formativa, em nossa revisão as analisamos para
nos apropriar dos resultados de modo a utilizá-los como possíveis subsídios.
A primeira pesquisa empreendida no Projeto Observatório, envolvendo
Geometria, foi a de Magni (2011) a qual, considerando as inovações curriculares
que foram implementadas nas escolas públicas do estado de São Paulo a partir de
2008, buscou identificar as concepções do grupo de professores de Matemática
sobre o ensino e a aprendizagem de Geometria na Educação Básica. A
metodologia utilizada foi a qualitativa e a coleta de dados foi por meio de entrevistas
e depoimentos, participações nos fóruns e nas atividades presenciais dos
5
6
Proeb – Programa de Avaliação da Rede Publica da Educação Básica
Simave - Sistema Mineiro de Avaliação da Educação Pública
20
encontros. A fundamentação teórica da pesquisa baseia-se nos trabalhos de
Shulman e Tardif. A pesquisadora constatou que os professores participantes do
projeto se mostravam inseguros em utilizar em suas práticas de sala de aula as
novas orientações e materiais didáticos disponibilizados pela SEESP ao longo do
processo de implementação do novo Currículo Oficial do Estado de São Paulo. Os
próprios participantes admitiram não possuir os conhecimentos específicos da
Geometria, chegando inclusive a propor que ela fosse tratada como uma nova
disciplina separada da Matemática, com um docente devidamente preparado para
lecioná-la. Tais conclusões de pesquisa explicitam a demanda desse grupo,
expressa por eles mesmos, em continuar a discutir ao longo do Projeto
Observatório assuntos referentes aos conceitos geométricos.
A segunda pesquisa desenvolvida no projeto Observatório foi a realizada por
Castro (2011) que investigou a atuação do grupo de professores durante o
desenvolvimento de oficinas sobre o tema “Funções Polinomiais do Segundo Grau
com o uso integrado das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação –
TDIC”. A pesquisa buscou delinear estratégias, recursos e metodologias a serem
utilizadas nos cursos de formação continuada, visando favorecer a inserção das
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação – TDIC no ensino da
Matemática. A fundamentação teórica quanto à formação docente foi construída a
partir da teoria de Lee Shulman. A pesquisa evidenciou que a inserção das TDIC foi
bastante significativa, uma vez que possibilitou a superação da principal dificuldade
apresentada
conhecimento
pelos professores
pedagógico
do
participantes,
conteúdo
tais
como
matemático
a fragilidade do
estudado.
Assim,
a
metodologia das oficinas e as situações didáticas utilizadas revelaram ser um
caminho favorável para a formação de professores em contextos semelhantes, pelo
fato de potencializar a reconstrução dos conhecimentos sobre o ensinar e aprender
Matemática.
Vale ressaltar que, ao longo do desenvolvimento dos encontros que
subsidiaram a pesquisa de Castro (ibid) o grupo passou por experiências com
atividades matemáticas no laboratório de informática, com o uso de softwares para
o ensino de conteúdos vinculados ao currículo do Ensino Médio e, além disso,
tiveram contato com atividades exploratórias-investigativas, embora a autora não
tenha abordado tais aspectos com o grupo.
21
Nossa próxima busca quanto ao levantamento bibliográfico foi referente a
pesquisas que utilizassem ambientes de geometria dinâmica em formações, com
características de levar o professor a problematizar e refletir.
Nesse sentido, estudamos a pesquisa da dissertação de Santos (2007)
intitulada “Formação continuada de Professores em Geometria por meio de uma
plataforma de educação à distância: uma experiência com professores de Ensino
Médio” investiga a constituição de um grupo colaborativo em um curso de
capacitação à distância em Geometria para professores de matemática. Santos
(2007) utilizou ideias de Vygotsky para analisar as relações existentes entre
interações, mediação e trabalho colaborativo. A formação desse grupo foi por meio
de uma plataforma de educação à distância, o que difere de nossa pesquisa no
sentido que a proposta de formação investigado se desenvolveu tanto
presencialmente quanto a distância.
Santos (2007), durante sua pesquisa propôs atividades aos professores, e
para isso utilizou autores tais como: Aline Robert, com relação a classificação do
conhecimento pelos alunos em três níveis (técnico, mobilizável e disponível);
Raymond Duval, com relação a Teoria dos Registros de Representações
Semióticas; Regine Douady, com relação a importância da mudança de Quadro
(Geométrico, algébrico, numérico, gráfico...); e Bernard PARZYSZ (2001), com
relação as quatro etapas do desenvolvimento do pensamento geométrico (G0 –
Geometria Concreta; G1 – Geometria Espaço Gráfica; G2 – Geometria Protoaxiomática e G3 – Geometria Axiomática).
A pesquisa de Santos (2007) forneceu-nos subsídios para a metodologia da
pesquisa, especialmente quanto à construção das atividades exploratórioinvestigativas para a experiência formativa do grupo de professores. Evidentemente
considerando que Santos trabalhou somente à distância, diversas adaptações se
mostraram necessárias.
1.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
A presente dissertação está organizada em seis capítulos conforme segue:
O Capítulo 1 apresenta a motivação desta investigação e em seguida a
construção, a delimitação e a justificativa do problema de pesquisa. Ainda neste
capítulo, desenvolve-se a revisão de literatura e descreve-se a dissertação.
22
O Capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica dessa investigação,
construído a partir das contribuições de Schön(1995) a respeito do professor
reflexivo e as de Shulman (1986) e Ponte & Oliveira (2002) sobre o conhecimento
profissional do professor. Apresenta também um estudo sobre trabalho colaborativo
entre docentes e formadores da universidade.
O Capítulo 3 procura delinear fundamentos da geometria euclidiana revendo
os axiomas e postulados que embasaram a geometria até o início do século XIX e
discutir a configuração atual, modelada a partir do trabalho de Hilbert no início do
século XX. Na sequência analisa a Geometria Espacial de Posição, como foi tratada
nos Elementos e no Grundlagen der Geometrie de Hilbert. A última seção traz
considerações sobre o Ensino de Geometria no Currículo Oficial do Estado de São
Paulo para a Educação Básica.
O Capítulo 4 apresenta a metodologia desta pesquisa, a descrição do
projeto maior, integrante do Programa Observatório da Educação, no qual a
pesquisa se aloja. Apresenta também o planejamento do Módulo de Geometria
Espacial de Posição.
O Capítulo 5 apresenta a descrição dos encontros do módulo e as análises
dos dados neles obtidos, além de considerações a respeito das problematizações e
(re)conceitualizações geométricas e reflexões feitas sobre o ensino de Geometria
de Posição.
Finalmente, o Capítulo 6 apresenta as principais conclusões de pesquisa e
aponta caminhos para futuras investigações.
23
CAPÍTULO 2
EM BUSCA DE FUNDAMENTAÇÃO
Neste capítulo apresentamos a construção da fundamentação teórica da
pesquisa que foi empreendida a partir das contribuições de Schön(1995) a respeito
do professor reflexivo e as de Shulman (1986) e de Ponte & Oliveira (2002) sobre o
conhecimento profissional do professor. Além das considerações sobre grupos,
abordamos o trabalho colaborativo envolvendo docentes e formadores da
universidade. Finalizando, o ensino de Geometria na Educação Básica é analisado.
2.1 EDUCAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
A educação continuada do professor de matemática pode ser vista a partir de
duas perspectivas: uma baseada em ações de “reciclagem”, onde a formação está
associada à idéia de freqüentar cursos, e outra, “reconhecendo a necessidade do
professor refletir sobre a sua própria experiência e estudar e aprofundar temas para
os quais se sinta motivado” (Ponte, 1998, p. 1). A segunda perspectiva trás a idéia
de desenvolvimento profissional, onde a formação não ocorre somente através de
cursos, mas também através de atividades como projetos, trocas de experiências,
leituras, reflexões, entre outros, os quais tendem a considerar teoria e a prática de
uma forma interligada. (Ponte, 1998)
Utilizamos os conceitos de reflexão-na-ação, reflexão-sobre-a-ação e reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação desenvolvidos por Schön (1995). Esses termos
possibilitam que os professores reflitam e repensem sobre suas práticas e tentem
modificá-las visando o aperfeiçoamento de suas carreiras.
O conceito de reflexão-na-ação é a reflexão feita pelo professor no momento
de sua ação, ou seja, em sala de aula ainda. Ao ocorrer alguma situação dentro da
sala ele reflete sobre o acontecido naquele exato momento e toma as decisões
necessárias.
O conceito de reflexão-sobre-a-ação é a reflexão que o professor faz, fora da
sala de aula sobre algo que aconteceu durante suas aulas.
O conceito de reflexão-sobre-a-reflexão-na-ação é a reflexão que o professor
faz tomando uma postura mais crítica de sua ação, ou seja, é uma postura mais
investigativa sobre sua ação.
24
Os conceitos de reflexão de Schön têm um caráter mais individual, enquanto
que Zeichner (2003) amplia esses conceitos para uma dimensão mais coletiva, já ao
afirmar que a socialização do professores com seus pares é fundamental para que
ele assuma uma postura reflexiva .
2.1.1 Conhecimento Profissional e Aprendizagem Profissional
Outra ideia chave nesta pesquisa é a do conhecimento profissional docente.
Conceito desenvolvido por Shulman (1992), acrescido das contribuições de Ponte &
Oliveira (2002).
Shulman (1986) estabelece três vertentes a respeito do conhecimento
profissional do professor: conhecimento do conteúdo da disciplina específica
(subject matter content knowledge); conhecimento pedagógico do conteúdo
(pedagogical content knowledge) e conhecimento pedagógico geral (curricular
knowledge).
O conhecimento do conteúdo específico da disciplina refere-se aos conteúdos
específicos da matéria que o professor leciona. Inclui tanto as compreensões de
fatos, conceitos, processos e procedimentos de uma área específica, quanto
aquelas relativas às construções dessa área do conhecimento, estabelecendo
relações entre tópicos de sua disciplina com os de outras áreas do conhecimento.
O conhecimento pedagógico geral inclui o conhecimento de teorias
relacionadas aos processos de ensinar e aprender, o conhecimento do contexto
educacional e dos alunos e o conhecimento do currículo.
O conhecimento pedagógico do conteúdo é uma nova forma de conhecimento
do conteúdo que inclui o modo como ensiná-lo a fim de torná-lo compreensível ao
aluno.
Ponte & Oliveira (2002), tomando por base as idéias de Shulman desdobram
o conhecimento didático da Matemática em quatro vertentes: o conhecimento da
Matemática, o conhecimento dos processos de aprendizagem dos alunos, o
conhecimento do currículo, e o conhecimento do processo instrucional.
Segundo Ponte & Oliveira (2002), a primeira vertente do conhecimento
didático, o conhecimento da Matemática, “não se trata do conhecimento da
Matemática como ciência, mas da interpretação que dela faz o professor enquanto
disciplina escolar” (p. 6).
25
A segunda vertente do conhecimento didático é o conhecimento do aluno e
dos seus processos de aprendizagem. Segundo os autores, os professores devem
conhecer seus alunos, não apenas pelos nomes, mas também pelos seus
interesses, gostos, valores, etc. Além disso, devem conhecer seus processos de
aprendizagem e suas dificuldades cognitivas. Essas condições são decisivas para
que se tenha sucesso na atividade de ensinar.
A terceira vertente do conhecimento didático diz respeito ao conhecimento do
currículo, bem como a organização dos conteúdos, o conhecimento dos materiais,
das metodologias e das formas de avaliação. “Este conhecimento tem um papel
fundamental na tomada de decisões sobre os assuntos a que deve dedicar mais
tempo, sobre as prioridades a considerar a cada momento, sobre a forma de orientar
o processo de ensino-aprendizagem” (Ponte & Oliveira, 2002, p. 7).
Por fim, temos vertente considerada pelos autores como a vertente
fundamental do conhecimento didático, o conhecimento do processo instrucional.
Este inclui os planejamentos de curto, médio e longo prazo, bem como tudo o que
diz respeito à condução das aulas de Matemática. “Esta vertente inclui tudo o que se
passa antes da aula, em termos de preparação e tudo o que se passa depois, em
termos de reflexão, mas o seu núcleo essencial diz respeito à condução efectiva das
situações de aprendizagem” (Ponte & Oliveira, 2002, p. 7).
2.1.2 Grupos de Estudos
O termo colaboração e trabalho colaborativo vendo sendo muito utilizado nos
últimos anos como uma prática a ser empregada em escolas. Porém, muitas vezes
esses termos são utilizados com diferentes significados, pois muitos acham que se o
trabalho em feito em conjunto, ele é feito de maneira colaborativa, quando na
verdade, ele é no máximo feita de maneira cooperativa. Por isso, é importante nós
compreendermos o que é uma cultura de colaboração e diferenciá-la de outros tipos
de cultura como a colegialidade artificial e a balcanização desenvolvidas por
Hargreaves (1998).
A
colegialidade
artificial
é
uma
cultura
de
colaboração
regulada
administrativamente, não partindo de iniciativa espontânea dos professores.
Compulsiva, já que os professores são forçados a participar. Orientada para
objetivos de instâncias de poder. Além de serem previsíveis e fixas no tempo e no
26
espaço. Enquanto que a colaboração é espontânea, voluntária e orientada para
objetivos de desenvolvimento próprios do grupo. Além de ser imprevisível e
difundida no tempo e no espaço. (Hargreaves, 1998)
Já a balcanização, segundo Hargreaves (1998) é uma cultura de colaboração
que divide, pois ela é formada por pequenos grupos que pouco interagem entre si.
Segundo Fiorentini (2004), o princípio número um das culturas de
colaboração é a voluntariedade, a identidade e a espontaneidade. Os membros do
grupo devem ter vontade de trabalhar em conjunto, ou seja, serem voluntários e não
coagidos. As relações dentro do grupo devem ser espontâneas e não devem ser
“reguladas externamente, embora possam ser apoiadas administrativamente ou
mediadas / assessoradas por agentes externos” (p.53).
Assim, salienta Fiorentini (2004),
“quando diretores ou coordenadores pedagógicos, por acreditarem na
importância do trabalho coletivo, obrigam seus professores a fazerem parte
de grupos de trabalho e estudo, podem, inconscientemente, estar
contribuindo para a formação de grupos coletivos que, talvez, nunca
venham a ser, de fato, colaborativos.É nesses casos que pode surgir o que
Hargreaves (1998) tem chamado de colegialidade artificial ou de
balcanização.”(p. 53)
Outro aspecto da cultura de colaboração destacado por Fiorentini (2004) é a
liderança compartilhada ou co-responsabilidade. O próprio grupo é que deve definir
quem vai coordenar cada atividade e deve existir um rodízio entre eles para que
todos assumam e cumpram com suas responsabilidades.
Por fim, um último aspecto destacado por Fiorentini é o apoio e o respeito
mútuo entre os integrantes do grupo.
Um tipo de trabalho colaborativo que vem se desenvolvendo nos últimos anos
é o trabalho colaborativo que se desenvolve no interior de grupos de educadores
constituído por professores de escolas de Educação Básica e pesquisadores da
universidade – formadores de professores – e/ou instituições responsáveis pelos
projetos envolvendo as escolas. Esse tipo de trabalho vem sendo indicado como um
contexto propício para o desenvolvimento profissional tanto dos professores quanto
dos pesquisadores. (Lobo da Costa, 2006)
O estudo de Lobo de Costa (2004) indicou características sobre o trabalho
colaborativo, mostradas na figura 1.
27
Figura 1 – Trabalho Colaborativo: contexto para o desenvolvimento profissional docente
A pesquisadora indicou que as características que contribuíram para a
constituição do grupo de trabalho colaborativo foram: a participação ser voluntária;
relação entre os participantes ser igualitária e de confiança; todos os elementos
terem “voz” ativa; a prática pedagógica dos professores fazer parte das discussões.
Segundo Jaworski (2008) tanto os professores quanto os formadores
precisam um do outro para se desenvolver, já que, apesar deles compartilharem
conhecimentos, cada um deles possui um tipo de conhecimento específico que
completa um ao outro. Os formadores precisam saber sobre a Matemática, a
pedagogia relacionada à Matemática, a didática da Matemática, os elementos do
sistema educacional, o contexto cultural, a literatura tanto de pesquisas quanto no
campo profissional, as teorias de aprendizagem e ensino e as metodologias de
pesquisa que investigam o aprender e ensinar em escolas e sistemas educacionais.
Por outro lado, os formadores não têm o conhecimento sobre os estudantes com os
quais os professores trabalham e as particularidades das escolas onde o ensino
acontece. São os professores que possuem esses conhecimentos.
Jaworski (ibid) representa essa relação entre os conhecimentos dos
formadores e dos professores por um esquema, como o representado na figura 2.
Neste esquema os formadores estão em A e B e promovem o crescimento do
conhecimento em B e C.
28
Figura 2 – Conhecimento em Educação de Professores
7
Fonte: PPT original de Jaworski (2008)
Concluindo, a constituição de grupos de trabalho colaborativo é relevante
tanto para os formadores quanto para os professores por ser uma prática
fundamental para o desenvolvimento profissional docente.
7
Vídeo Conferência realizada no programa de Pós graduação em Educação Matemática da Uniban,
em 12 de setembro de 2008 intitulada “Mathematics Teacher Education in Global Context” – A
formação do Professor de Matemática em um Contexto Global.
29
CAPÍTULO 3
CONSIDERAÇÕES SOBRE GEOMETRIA EUCLIDIANA
Nossa intenção nesse capítulo é a de delinear fundamentos da geometria
euclidiana, isto é, rever os axiomas e postulados que embasaram a geometria até o
início do século XIX e discutir a configuração atual, que se delineou a partir do
trabalho de Hilbert no início do século XX. Na sequência analisamos a Geometria
Espacial de Posição, como foi tratada nos Elementos e no Grundlagen der
Geometrie de Hilbert. A última seção traz considerações sobre o Ensino de
Geometria no Currículo Oficial do Estado de São Paulo para a Educação Básica.
3.1 GEOMETRIA ESPACIAL DE POSIÇÃO – UM OLHAR SOBRE A HISTÓRIA
Para analisar em profundidade os trabalhos de Euclides a Hilbert, iniciamos
apresentando considerações sobre o trabalho do matemático e o modo como eles
organizam a Matemática.
O trabalho do matemático é, segundo Bicudo (2009)8:
...definir os conceitos de que se servirá e demonstrar as
propriedades desses conceitos. Ora, definir um conceito significa
explicá-lo em termos de conceitos já definidos e demonstrar uma
proposição equivale a argumentar pela sua veracidade (p.81-82)
Para definir um conceito, o explicamos a partir de outros conceitos que foram
definidos anteriormente. Por exemplo, definimos triângulo como um polígono de três
lados, mas se não soubermos o que é polígono essa definição de nada valeria.
Logo, para definir triângulo dessa maneira, temos que definir antes o que é um
polígono. Se definirmos polígono como sendo uma figura geométrica plana limitada
por linha poligonal fechada, teremos novamente a seguinte questão a enfrentar: que
o que é uma linha poligonal? Além disso, o que é uma figura plana? Vamos nos
concentrar na primeira pergunta. Uma linha poligonal é uma sucessão de segmentos
consecutivos e não colineares dois a dois. Pelo visto não adiantou muito já que
agora temos mais algumas questões como: O que são segmentos? O que significa
ser consecutivo? O que ele quer dizer com não colineares?
8
Particularmente a partir do final do século XIX e XX.
30
Como podemos perceber, para as definições matemáticas é necessário,
frequentemente, recorrer a conceitos definidos anteriormente. Porém, se toda
definição é dependente de outras definições, como definir aquelas que dão inicio a
todas as outras?
Para resolver esse problema, os matemáticos iniciam as suas teorias com os
conceitos primitivos, ou seja, conceitos esses que são aceitos sem definição, uma
vez que não existem conceitos anteriores a eles que possam ser utilizados para
defini-los.
A outra função do matemático é demonstrar as propriedades e teoremas
sobre os conceitos. Demonstrar um teorema é valida-lo por meio de consequências
lógicas das proposições já demonstradas. Da mesma maneira que as definições, os
teoremas são dependentes dos teoremas anteriores e por isso temos que partir de
algum que não é possível ser demonstrado. Surge aqui o que chamamos de
postulados ou axiomas9. Postulado ou axioma são afirmações que são aceitas sem
demonstração, ou seja, são afirmações que não podem ser contestadas, devem ser
aceitas sem questionamento.
Evidentemente o conjunto de axiomas de uma teoria matemática não pode
ser escolhido a esmo, devem ter três características (Aaboe, 1984):
1) Completude – Tudo o que será usado na teoria está contido nos axiomas,
de maneira que não ocorram hipóteses tácitas.
2) Consistência – Não é possível deduzir dois teoremas contraditórios a partir
dos axiomas.
3) Independência – Nenhum dos axiomas é consequência dos outros.
Na próxima seção apresentamos os postulados e axiomas que embasaram a
geometria euclidiana até o século XIX.
9
Hoje em dia axioma e postulado são sinônimos, mas na época de Euclides, axioma era utilizado
para as proposições lógicas não geométricas, consideradas por Euclides como sendo as noções
ligadas ao senso comum, enquanto que postulado era utilizado para as evidências relacionadas às
questões específicas da geometria. (Vitrac, 1990)
31
3.1.1 Os Elementos de Euclides
A obra “Elementos de Euclides” consiste de treze livros que incorporam todo o
conhecimento matemático acumulado na época – em torno de 300 a.C. O que mais
impressiona nessa obra é o modo como ela é organizada e apresentada, já que
Euclides inclui as deduções de todas as proposições apresentados nos seus livros
de maneira formal se apoiando apenas nas definições tácitas e nos postulados, que
são apresentados logo no início do primeiro livro.
Em praticamente todos os livros dos Elementos, logo no início de cada um
deles, são apresentadas as definições que tem por finalidade fornecer ao leitor um
“dicionário” dos termos matemáticos que serão utilizados ao longo do livro.
No primeiro livro, Euclides apresenta 23 (vinte e três) definições. Entre elas
destacamos as sete primeiras:
1. Ponto é aquilo de que nada é parte.
2. Linha é comprimento sem largura.
3. Extremidades de linhas são pontos.
4. Linha reta é a que é posta por igual com os pontos sobre si mesma.
5. Superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura.
6. Extremidades de uma superfície são retas.
7. Superfície plana é a que é posta por igual com as retas sobre si mesma.
Essas sete primeiras definições de Euclides representam o que hoje os
matemáticos denominam conceitos primitivos (ponto, reta e plano). Porém, nos dias
atuais os matemáticos aceitam tais termos sem definição, enquanto que Euclides,
em seu tempo, os definia.
Vale destacar que Euclides nessas primeiras definições não considerava a
reta e o plano como sendo ilimitados, ou seja, reta e plano para Euclides é o que
hoje conhecemos como segmento e polígono, respectivamente.
Ainda nessas primeiras definições Euclides define o que é ângulo e sua
classificação (reto, agudo e obtuso), o que são figuras retilíneas (polígonos) e
destaca o triângulo dando sua classificação quanto aos lados (escaleno, isósceles e
equilátero) e quanto aos ângulos (retângulo, acutângulo e obtusângulo), e os
quadriláteros definindo o que é o quadrado, o oblongo (retângulo), o losango, o
32
rombóide (paralelogramo) e o trapézio. Por fim, ele define o que é círculo e
circunferência, e o que são retas perpendiculares e paralelas.
Logo após as 23 definições, Euclides apresenta cinco postulados e nove
noções comuns10 que serão à base de toda a sua obra.
A seguir apresentamos os axiomas e de Euclides de acordo com a tradução
de Bicudo (2009):
Noções Comuns
1. As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si.
2. E, caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são
iguais.
3. E, caso de iguais sejam subtraídas iguais, as restantes são iguais.
4. E, caso iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais.
5. E os dobros da mesma coisa são iguais entre si.
6. E as metades da mesma coisa são iguais entre si.
7. E as coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si.
8. E o todo é maior que a parte.
9. E duas retas não contém uma área.
Percebemos que as noções comuns de Euclides são afirmações que são
válidas não somente no campo da geometria, mas também em outros campos da
matemática, como também em outras áreas do conhecimento.
Postulados
1. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto.
2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta.
3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo.
4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos.
5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça ângulos interiores e do
mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas,
ilimitadamente, encontraram-se no lado no qual estão os menores que
dois retos.
10
Bicudo optou por traduzir axioma por “noção comum”, uma vez que, como discutido em nota
anterior, na época postulado não era sinônimo de axioma como ocorre hoje. Os axiomas eram as
consideradas “noções comuns”.
33
Figura 3 - Representação do Quinto Postulado de Euclides
(Fonte: Acervo pessoal)
O primeiro postulado garante que dados dois pontos distintos é possível
traçar uma reta por eles, o que ele não garante é que essa reta é única.
Apesar de nas definições Euclides não considerar que a reta é ilimitada, em
seu segundo postulado ele afirma que a reta pode ser prolongada ilimitadamente.
O quinto postulado de Euclides é também chamado de postulado das
paralelas, já que podemos reescrevê-lo da seguinte maneira: “Por um ponto fora de
uma reta, passa uma única reta paralela.11”
Os matemáticos não conseguiam acreditar que o postulado das paralelas era
uma afirmação que não poderia ser demonstrada, já que se comparados com os
outros quatro ele não era tão natural. Foram feitas diversas tentativas de demonstrálo, mas todas sem sucesso.
No final do século XVIII, mais de dois mil depois da morte de Euclides, foi
possível provar que os postulados de Euclides eram independentes, uma vez que se
contrariarmos o postulado de Euclides – postularmos, por exemplo, que “por um
ponto fora de reta pode ser construída mais de uma reta paralela ou nenhuma reta
paralela” – criamos novas geometrias que são as chamadas geometrias não
euclidianas.
Vale notar, em relação às proposições feitas no primeiro livro, que Euclides
posterga ao máximo a utilização do seu quinto postulado. A primeira vez que ele o
utiliza é na proposição 29
A reta, caindo sobre as retas paralelas, faz tanto os ângulos alternos
iguais entre si quanto o exterior igual ao interior e oposto e os interiores e
no mesmo lado iguais a dois retos (p.120).
11
O postulado das paralelas escrito dessa forma se tornou conhecida após a publicação, em 1795,
da obra “Elementos de Geometria” por John Playfair (Matsumura, 1983).
34
12
Figura 4 – Representação apresentada na proposição 29
(Fonte: Euclides, 2009 – p. 120)
Todas as proposições anteriores independem do Postulado das Paralelas –
como ficou conhecido o quinto postulado – o que faz com que até a proposição 28,
Euclides desenvolva um tipo de geometria independente do postulado das paralelas,
geometria essa que mesmo se não tivermos o quinto postulado continuará sendo
válida. Ou seja, os casos congruência de triângulos e as construções do triângulo
equilátero, da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento, são exemplos
de propriedades que são válidas tanto na geometria Euclidiana quanto nas
geometrias que não são euclidianas, mas consideram válidos os quatro primeiros
postulados.
Depois de apresentar os postulados e as noções comuns Euclides começa a
apresentar as proposições, algumas referentes a construções geométricas e outras
referentes a demonstrações de teoremas.
Como a axiomática moderna deriva dos trabalhos de Euclides, não seria
inconveniente perguntarmos se seus livros cumprem as exigências modernas para
um modelo axiomático, ou seja, a completude, a consistência e a independência dos
postulados. Logo em sua primeira proposição (Construir uma triângulo equilátero
sobre a reta limitada dada), já podemos perceber que seus postulados não são
completos, já que ao concluir que dois arcos de circunferência se encontram em um
ponto comum, ele utilizou uma hipótese tácita, pois não há nada em seus postulados
que garanta a existência desse ponto. No decorrer do livro Euclides utiliza outras
hipóteses tácitas, principalmente as ligadas a deslocamentos e congruências. Na
verdade, somente em 1900 foi apresentado por David Hilbert um conjunto completo
de axiomas para a Geometria.
12
Observa-se pela figura que para Euclides retas são limitadas.
35
A seguir apresentamos de maneira resumida o conteúdo dos dez primeiros
livros de Euclides:
Livro I – Construções Elementares, teoremas de congruência, área de
polígonos e teorema de Pitágoras.
Livro II – Álgebra geométrica.
Livro III – Geometria do círculo.
Livro IV – Construção de certos polígonos regulares.
Livro V – A teoria das proporções de Eudoxo.
Livro VI – Figuras semelhantes.
Livro VII ao IX – Teoria dos Números.
Livro X – Classificação de certos irracionais.
Quanto aos três últimos dos treze livros de Euclides, eles tratam da
Geometria Espacial – foco deste trabalho – assim sendo, optamos por descrever os
conteúdos com um pouco mais de detalhes.
O Livro XI contém a base da Geometria Espacial e inicia apresentando 28
(vinte e oito) definições, entre as quais destacamos aquelas referentes à
classificação dos poliedros e dos corpos redondos (1, 12, 13, 14, 18, 21, 25, 26, 27 e
28).
Sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade. (Definição 1 –
Livro XI)
Pirâmide é uma figura sólida contida por planos, construída a partir de um
plano até um ponto. (Definição 12 – Livro XI)
Prisma é uma figura sólida contida por planos, dos quais os dois opostos
são tanto iguais quanto também semelhantes e paralelos, e os restantes
são paralelogramos. (Definição 13 – Livro XI)
Para Euclides figuras iguais são as que têm a mesma área. Isto pode ser
deduzido pela análise, por exemplo, da proposição 35, do Livro I. Nessa proposição
ele afirma que “os paralelogramos que estão sobre a mesma base e nas mesmas
paralelas são iguais entre si” (p. 124). Ou seja, não se tratam de figuras
congruentes.
36
Assim sendo, como para Euclides figuras iguais não são figuras congruentes,
na definição 13, além de afirmar que as figuras são iguais, ele acrescenta que elas
também são semelhantes, o que configura que são congruentes.
Esfera é a figura compreendida quando, o diâmetro do semicírculo
permanecendo fixo, o semicírculo, tendo sido levado à volta, tenha
retornado, de novo, ao mesmo lugar de onde começou a ser levado.
(Definição 14 – Livro XI)
Para ilustrar a definição de esfera dada por Euclides, veja a figura abaixo.
Figura 5 – Obtenção da Esfera a partir da definição de Euclides
(Fonte: Acervo pessoal)
Cone é a figura compreendida, quando um lado, dos à volta do ângulo
reto, de um triângulo retângulo, permanecendo fixo, o triângulo, tendo
sido levado à volta, tenha retornado ao mesmo lugar de onde começou a
se levado. (Definição 18 – Livro XI)
Para ilustrar a definição de cone dada por Euclides, veja a figura abaixo.
Figura 6 - Obtenção do Cone a partir da definição de Euclides
(Fonte: Acervo pessoal)
37
Como Euclides define cone pela rotação do triângulo retângulo, ele só
considera o caso do cone reto, o que difere da definição dos dias atuais, isto é, hoje
o cone reto é um caso particular de cone.
Cilindro é a figura compreendida, quando um lado, dos à volta do ângulo
reto,
de
um
paralelogramo
retângulo13,
permanecendo
fixo,
o
paralelogramo, tendo sido levado à sua volta, tenha retornado ao mesmo
lugar de onde começou a ser levado. (Definição 21 – Livro XI)
Para ilustrar a definição de cilindro dada por Euclides, veja a figura abaixo.
Figura 7 - Obtenção do Cilindro a partir da definição de Euclides
(Fonte: Acervo Pessoal)
Analogamente ao ocorrido na definição de cone, Euclides somente considera
o caso particular de cilindro formado pela rotação de um retângulo, ou seja, o cilindro
reto, que hoje é um caso particular de cilindro.
• Cubo é uma figura sólida contida por seis quadrados iguais. (Definição
25 – Livro XI)
• Octaedro é uma figura sólida contida por oito triângulos iguais e
equiláteros. (Definição 26 – Livro XI)
• Icosaedro é uma figura sólida contida por vinte triângulos iguais e
equiláteros. (Definição 27 – Livro XI)
• Dodecaedro é uma figura sólida contida por doze pentágonos iguais e
equiláteros e equiângulos. (Definição 28 – Livro XI)
13
Para Euclides o paralelogramo retângulo é o que hoje conhecemos como retângulo.
38
Nestas últimas definições, Euclides nomeia quatro dos poliedros regulares.
Observa-se, contudo, que não é mencionado nome para identificar a pirâmide
formada por quatro triângulos iguais e equiláteros, que hoje é o sólido denominado
tetraedro. No entanto, ele trata desse sólido na proposição 13 do Livro XIII (p.577),
abaixo.
Construir uma pirâmide e contê-la pela esfera dada e provar que o
diâmetro da esfera é, em potência14, uma vez e meia o lado da pirâmide.
Notadamente a pirâmide acima citada é o que hoje denominamos tetraedro
regular, já que a relação entre o diâmetro (D) da esfera circunscrita e o “lado da
pirâmide” – que é a aresta (a) – é D = 1,5.a . Relação essa que só é válida para a
pirâmide formada por quatro triângulos equiláteros, ou seja, o tetraedro.
No Livro XI, Euclides demonstra diversos teoremas sobre paralelismo e
perpendicularismo entre retas e planos, e entre planos, mostra como construir retas
perpendiculares ao plano tanto por um ponto fora do plano quanto por um do plano,
como construir ângulos sólidos, além de apresentar várias proposições sobre o
volume dos paralelepípedos e dos prismas.
O Livro XII é dedicado a áreas e volumes calculados pelo método da
exaustão de Eudoxo. Euclides mostra que as áreas dos círculos são proporcionais
as dos quadrados sobre seus diâmetros, que um prisma triangular pode ser dividido
em três pirâmides de mesmo volume, sendo assim o volume da pirâmide um terço
do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Além disso, ele demonstra
que o volume do cone e do cilindro são proporcionais à sua altura e que o volume do
cone é um terço do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura. Por fim,
Euclides começa o estudo do volume da esfera, porém ele não apresenta a razão
entre o volume da esfera e o volume do cilindro circunscrito, problema esse que só é
resolvido por Arquimedes um século depois.
O último livro de Euclides, o de número XIII, tem por foco a construção dos
sólidos regulares – que são cinco – todas elas devidamente justificadas. Além disso,
demonstra as relações entre as arestas de cada um desses sólidos e o diâmetro da
superfície esférica circunscrita.
14
Para Euclides ao dizer “em potência” isso significa dizer que o diâmetro está elevado ao quadrado.
39
Hoje tais sólidos: tetraedro, hexaedro, octaedro, icosaedro e dodecaedro, são
conhecidos como os sólidos platônicos regulares.
Para finalizar, Euclides prova que “exceto as cinco ditas figuras não será
construída outra figura, contida por equiláteras e também equiângulas iguais entre
si”. (2009, p. 592) Ou seja, Euclides apresenta a demonstração de que não é
possível construir nenhum outro poliedro regular além dos apresentados
anteriormente.
Hoje, a geometria espacial lecionada no Ensino Médio é basicamente o
conteúdo desses três livros.
É importante salientar que apesar dos Elementos de Euclides ser conhecida
como obra no campo da Geometria, ela também envolve tópicos de álgebra (Livro II)
e da Teoria dos Números (Livros VII ao IX).
A grande contribuição de Euclides, tanto para a época e como para os dias
atuais, foi ele ter compilado o conhecimento grego da época sobre tópicos
matemáticos de maneira organizada e lógica na obra “Os Elementos”.
A seguir apresentamos o modelo axiomático que derivou da obra de Euclides
e que é aceito até hoje como o modelo da Geometria Euclidiana.
3.1.2 A Axiomática de Hilbert
Conforme vimos anteriormente, apesar da axiomática apresentada nos
Elementos de Euclides ter sido fundamental para a organização da geometria como
um todo, ela ainda precisava ser lapidada, a fim de corrigir, além de algumas
hipóteses tácitas, outras falhas lógicas. Assim, no início do século XX, o alemão
David Hilbert (1862-1943) empreendeu a tarefa de revisar “Os Elementos” de
Euclides pelo método axiomático e reescreveu toda a geometria plana euclidiana
agregando todas as descobertas posteriores a Euclides. Em vez dos cinco
postulados de Euclides, Hilbert formulou vinte axiomas, sendo oito deles de
incidência, quatro sobre ordem, cinco sobre congruência, dois sobre continuidade e,
por último, o Postulado das Paralelas. Além dos postulados Hilbert também utiliza o
conceito de entes primitivos – para ponto, reta e plano – e o de alguns termos
indefinidos como pertence, está entre e congruência.
A seguir apresentamos o método axiomático proposto por Hilbert, segundo o
livro “Desde El Punto a la Cuarta Dimensíon” de Egmont Colerus (1955):
40
I. Termos Indefinidos
1. Ponto, reta, plano, pertence, está entre e congruência.
II. Axiomas de Incidência.
1. Dois pontos distintos determinam15 sempre uma reta.
2. Dois pontos distintos quaisquer de uma reta a determina.
3. Toda reta contém pelo menos dois pontos; e em todo plano existe pelo
menos três pontos não colineares.
4. Três pontos não colineares determinam um plano.
5. Três pontos quaisquer não colineares de um plano o determina.
6. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta está
contida no plano.
7. Se dois planos têm em um ponto em comum, então eles têm um segundo
ponto em comum.
8. Existem pelo menos quatro pontos que não pertencem a um mesmo plano.
III. Axiomas de Ordem
1. Se A, B e C são pontos de uma reta e B está entre A e C, então B está
entre C e A.
2. Para quaisquer dois pontos distintos A e C de uma reta, existe pelo menos
um ponto B pertencente à reta que está entre A e C, e pelo menos um ponto
D dessa reta tal que C está entre A e D,
3. Se três pontos distintos estão sobre uma mesma reta, não mais que um
ponto está entre os outros dois.
4. Sejam A, B e C três pontos que não estão sobre uma mesma reta e seja l
uma reta do plano (determinado por A, B e C) que não contém algum dos três
pontos. Então, se l intercepta o segmento AB, ela também intercepta o
segmento AC ou o segmento BC. (Axioma de Pasch)
IV. Axiomas de Congruência
1. Se A e B são dois pontos distintos numa reta l e A’ é um outro ponto de
uma reta l’, não necessariamente distinta da anterior, então é sempre possível
encontrar um ponto B’ em (um dado lado da reta) l’, tais que os segmentos AB
e A’B’ sejam congruentes.
15
O termo “determina” aqui é usado no sentido de que existe e que é o único.
41
2. Se um segmento A’B’ e um segmento A’’B’’, são congruentes a um mesmo
segmento AB, então os segmentos A’B’ e A’’B’’ são congruentes entre si.
3. Sobre uma reta l, sejam AB e BC dois segmentos da mesma que, exceto
por B não têm pontos em comum. Além disto, sobre uma outra ou a mesma
reta l’, sejam A’B’ e B’C’ dois segmentos que, exceto por B’ não têm pontos
em comum. Neste caso se AB = A’B’ e BC = B’C’, então AC = A’C’.
4. Se ABC é um ângulo e se B’C’ é um raio, então existe exatamente um raio
A’B’ em cada lado de B’C’ tal que A’B’C’ = ABC. Além disso, cada ângulo é
congruente a si mesmo.
5. Se para dois triângulos ABC e A’B’C’ as congruências AB = A’B’, AC = A’C’
e BAC = B’A’C’ são válidas, então a congruência ABC = A’B’C’ é satisfeita.
V. Axioma das Paralelas
1. Seja l uma reta e A um ponto não em l. Então existe no máximo uma reta
no plano que passa por A e não intercepta l.
VI. Axiomas de Continuidade
1. Axioma de Arquimedes: Se AB e CD são segmentos, então existe um
número natural n tal que n cópias de CD construídas contiguamente de A ao
longo do raio AB passará além do ponto B.
2. Axioma da Completude da Reta: Uma extensão de um conjunto de pontos
sobre uma reta com suas relações de congruência e ordem que poderiam
preservar as relações existentes entre os elementos originais, bem como as
propriedades fundamentais de congruência e ordem que seguem dos
axiomas acima é impossível.16
16
Os axiomas apresentados foram traduzidos por nós. A seguir apresentamos o texto original.
Axiomas de enlace
1. Dos puntos distintos A y B determinan siempre una recta a.
2. Dos puntos cualesquiera, distintos entre sí, de una recta, la determinan.
3. Sobre una recta existen siempre por lo menos dos puntos; en un plano existen siempre por lo
menos tres puntos no situados sobre una recta.
4. Tres puntos A, B y C no situados sobre una misma recta determinan siempre un plano α.
5. Tres puntos cualesquiera de un plano, no situados sobre una misma recta, lo determinan.
6. Si dos puntos A y B de una recta a están situados em um plano α, todo punto de a está
situado em el plano α.
7. Si dos planos α e β tienen un punto A común, tienen común por lo menos un segundo punto.
8. Existen por lo menos cuatro puntos no situados em un plano.
Axiomas de ordenación
1. Si A, B y C son puntos de una recta, y B está situado entre A y C, B estará situado también
entre C y A.
2. Si A y C son dos puntos de una recta, existe por lo menos un punto B situado entre A y C, y
por lo menos un punto D tal que C está situado entre A y D.
42
O método axiomático de Hilbert expressa o conhecimento matemático do
século XX é mais completo que o de Euclides, englobando nos seus axiomas todas
as hipóteses tácitas anteriormente utilizadas por Euclides.
Vale considerar que, um postulado importante da axiomática de Hilbert é o
postulado de congruência de triângulos – postulado cinco, também conhecido como
caso LAL (lado, ângulo, lado) de congruência –, uma vez que nos Elementos de
Euclides esse caso é uma proposição17 e não um postulado. Euclides demonstra
esse caso de congruência utilizando a ideia de justaposição dos triângulos e mostra
por absurdo que eles não podem ser diferentes, justificativa essa que se baseia
muito no senso comum, fato este que em matemática hoje não é considerado como
prova. A ideia de Hilbert para essa questão foi a de incluir esse caso de congruência
de triângulos como sendo um axioma.
3. Entre tres puntos cualesquiera de una recta, existen siempre uno e sólo uno que está situado
entre los otros dos.
4. Sean A, B, C tres puntos no situados em línea recta, y a una recta en el plano ABC que no
pasa por ninguno de estos tres puntos; si la recta a pasa por un punto del segmento AB, pasa
también por un punto del segmento BC o por un punto del segmento AC.
Axiomas de congruencia
1. Si A y B son dos puntos sobre una recta a e A’ es otro punto sobre la misma recta u otra recta
a’, se puede hallar siempre a partir de A’ y em un sentido dado sobre la recta a’, un punto B’
tal que el segmento AB se igual o congruente al segmento A’B’.
2. Si un segmento AB es congruente tanto al segmento A’B’ com al segmento A’’B’’, los
segmentos A’B’ y A’’B’’ también son congruentes.
3. Si AB y BC son dos segmentos sin puntos comunes sobre una recta a y A’B’ y B’C’ dos
segmentos sobre la misma recta u otra a’, igualmente sin puntos comunes; y si AB ≡ A’B’ y
BC ≡ B’C’, será igualmente AC ≡ A’C’.
4. Sean dados un ángulo < (h, k) en un plano α y una recta a’ em un plano α’, así como un
semiplano determinado por a’ sobre α’. Si h’ significa una semirrecta de la recta a’ que parte
del punto 0’, existe em el plano α’ una semirrecta k’ y una sola, tal que < (h, k) sea congruente
o igual al ángulo < (h’, k’) y que todos los puntos interiores del ángulo < (h’, k’) estén situados
em el semiplano citado.
5. Si para dos triángulos ABC y A’B’C’ se verifican las congruencias AB ≡ A´B’, AC ≡ A’C’ y
<BAC ≡ <B’A’C’, se verificarán también las congruencias <ABC ≡ <A’B’C’ y <ACB ≡ <A’C’B’.
Axioma de paralelismo
1. Sean a una recta cualquiera y A un punto exterior a ella. Em el plano determinado por a y A
existe a lo sumo uma recta que pase por A y no corte a a. Esta recta recibe el nombre de la
paralela a a por A.
Axiomas de continuidad
1. Sea A1 un punto culaquiera sobre uma recta entre los puntos A y B dados arbitrariamente;
constrúyanse luego los puntos A2, A3, A4, ..., de modo que A1 esté situado entre A y A2, A2
entre A1 y A3, A3 entre A2 e A4, etc., y de modo, además, que los segmentos AA1, A1A2, A2A3,
A3A4, ..., sean iguales. Em la serie de puntos A2, A3, A4, ..., existirá siempre um punto An tal
que B esté situado entre A y An.
2. Los elementos (puntos, rectas, planos) de la Geometría constituyen um sistema de entes
incapaces de ampliancion al conservar todos los axiomas, o sea: es imposible agregar al
sistema de puntos, rectas, planos um nuevo sistema de <entes> tales que en el sistemaque
resulta de su agregación se satisfagan todos los otros axiomas.
17
Proposição 4 do Livro 1.
43
Com relação ao postulado das paralelas de Hilbert, é importante notar que ele
afirma que “por um ponto fora de uma reta passa no máximo uma reta paralela”, o
que não garante a existência da reta paralela, somente que se existir ela é única.
Vale ressaltar que existem outros sistemas axiomáticos mais recentes, mas
em linhas gerais eles seguem o modelo de Hilbert.
3.1.3 Geometria Espacial de Posição
Nesta seção analisamos como a geometria espacial de posição é tratada nos
Elementos de Euclides e apresentamos um comparativo com a obra de Hilbert.
Buscamos nos livros de Euclides, referências sobre os tópicos, a seguir:
1) Posição relativa entre retas
a. Retas Paralelas
b. Retas Concorrentes
c. Retas Reversas
2) Posição relativa entre retas e planos
a. Reta paralela ao plano
b. Reta contida no plano
c. Reta secante ao plano
3) Posição relativa entre planos
a. Planos Paralelos
b. Planos Secantes
4) Determinação de um plano
a. Por três pontos não colineares
b. Por uma reta e um ponto fora dela
c. Por duas retas concorrentes
d. Por duas retas paralelas
Com relação às posições relativas entre retas, dentre as três citadas
anteriormente, Euclides só define formalmente que são retas paralelas (definição 23
do livro I), as retas concorrentes ele não define, apesar de definir o que são retas
perpendiculares (definição 10 do Livro I) – que é um caso particular de retas
concorrentes. Já as retas reversas não são definidas em momento algum de seus
livros.
44
Quanto às posições relativa entre retas e planos, todas elas são comumente
utilizadas nas definições e proposições, inclusive no Livro XI, Euclides apresenta
definições e demonstra diversos teoremas sobre as posições entre retas e planos.
Uma definição que faz referência à reta secante ao plano é a de número 3 do Livro
XI de Euclides (2009) apresentada abaixo:
E uma reta está em ângulos retos relativamente a um plano, quando faça
ângulos retos com todas as outras retas que a tocam e que estão no
plano [suposto] (p. 481)
Dessa forma Euclides define o que é reta perpendicular ao plano, novamente
por meio de um caso particular de reta secante a plano.
Uma proposição que evidencia como Euclides abordava o estudo das
posições relativas entre retas e planos é a proposição 1 do Livro XI
Não está uma parte de uma linha reta no plano suposto e uma outra
parte, em um mais elevado. (p. 483)
Figura 8 – Representação apresentada na proposição 1
(Fonte: Euclides, 2009 – p. 483)
O que para Euclides foi considerada uma proposição, na obra de Hilbert é
considerada um postulado (sexto postulado de incidência).
Com relação às posições relativas entre planos, Euclides define o que são
planos paralelos (definição 8 do Livro XI)
Planos paralelos são os que não se encontram (p. 481)
45
Apesar de não definir planos secantes, ele define um caso particular, o de
planos perpendiculares (definição 4 do Livro XI)
Um plano está em ângulos retos relativamente a um plano, quando as
retas traçadas, em um dos planos, em ângulos retos com a seção comum
dos planos, estejam em ângulos retos com o plano restante. (p. 481)
Vale destacar que para definir planos perpendiculares ele utiliza a seção
comum entre eles, ou seja, a intersecção entre os planos. Porém, ele nada afirma
sobre a sua natureza. Somente na proposição 3 do Livro XI, ele explicita:
Caso dois planos cortem-se, a seção comum deles é uma reta (p. 484)
Ou seja, ele deixa evidente que se dois planos se interceptarem, então, a
seção é uma reta.
Por fim, com relação à determinação de planos, Euclides não se preocupa em
explicitar na obra maneiras de se determinar um plano, mas em uma das
proposições prova que duas retas paralelas determinam um plano, trata-se da
proposição 7 do Livro XI
Caso duas retas sejam paralelas, e sejam tomados pontos, encontrados
ao acaso, em cada uma delas, a reta sendo ligada nos pontos está no
mesmo plano que as paralelas. (p. 488).
Figura 9 – Representação apresentada na proposição 7
(Fonte: Euclides, 2009 – p. 488)
Observamos que, embora Euclides não tenha apresentado um estudo sobre
as posições relativas entre retas e planos e nem sobre as maneiras de se determinar
um plano de maneira formal, muitos dos conceitos e teoremas referentes a esses
conceitos foram definidos e demonstrados por ele. Entretanto, em relação à obra de
46
Hilbert, constatamos que seus postulados se preocuparam mais com tais conceitos,
uma vez que existe um postulado para a determinação de planos e sobre a
existência de pontos tanto no plano como fora dele.
3.2 ENSINO DE GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
Aprender Geometria é fundamental para o desenvolvimento do letramento
matemático18 do aluno, uma vez que ela o auxilia a desenvolver a percepção
espacial e as capacidades de abstração e de generalização de propriedades e
figuras. Além disso, o aluno ao lidar com o sistema axiomático e ao tentar justificar e
demonstrar propriedades e teoremas desenvolve tanto o raciocínio lógico quanto
habilidades tais como as de argumentação e sistematização.
Como expõem Ponte, Brocardo e Oliveira (2009):
A geometria é particularmente propícia, desde os primeiros anos de
escolaridade, a um ensino fortemente baseado na exploração de situações
de natureza exploratória e investigativa. É possível conceber tarefas
adequadas a diferentes níveis de desenvolvimento e que requerem um
número reduzido de pré-requisitos. No entanto, a sua exploração pode
contribuir para a compreensão de fatos e relações geométricas que vai
muito além da memorização e utilização de técnicas para resolver
exercícios (p. 71).
Assim sendo, entendemos que a Geometria deve ser ensinada desde o
Ensino Fundamental, tanto que nos PCN – Parâmetros Curriculares Nacionais
(Brasil, 1998) e nos PCN+ (Brasil, 2002)19, a Geometria ocupa parte importante no
currículo de Matemática tanto no Ensino Fundamental quanto no Médio, pois, por
meio dela, segundo os PCN (Brasil, 1998) “o aluno desenvolve um tipo especial de
pensamento que lhe permite compreender, descrever e representar, de forma
organizada, o mundo em que vive” (p. 51).
18
Entendemos “letramento matemático”, tal como a concepção é definida no Pisa (Programa
Internacional de Avaliação de Estudantes)*. Para a OECD/Pisa (2003), o letramento é definido como
sendo: “a capacidade do indivíduo em identificar e compreender o papel que a matemática
desempenha no mundo; usá-la para bem fundamentar seus julgamentos e aproveitá-la para as
necessidades da vida individual de um cidadão consciente, construtivo e reflexivo” (p. 15 e p. 16). –
tradução nossa.
* O PISA – Program International of Students Assessment – a partir de 1997 supervisiona os
resultados dos sistemas educacionais dos paises membros do OCDE (Organization for Economic Cooperation and Development, Paris), pelo desempenho amostral de alunos de 15 anos em uma prova
comum a esses paises.
19
Os PCN+ (2002) contêm Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares
Nacionais para o segmento do Ensino Médio.
47
A Geometria, na Educação Básica, aborda propriedades associadas às
posições relativas das formas e as associadas às medidas. De acordo com os
PCN+.
... isso dá origem a duas maneiras diferentes de pensar em Geometria, a
primeira delas marcada pela identificação de propriedades relativas a
paralelismo, perpendicularismo, interseção e composição de diferentes
formas e a segunda, que tem como foco quantificar comprimentos, áreas e
volumes. (Brasil, 2002, p.123)
Conclui-se, portanto, que para o desenvolvimento do pensamento geométrico,
não basta ensinar apenas as propriedades métricas envolvendo cálculos de
distâncias, áreas e volumes, é necessário também, segundo os PCN+(Brasil, 2002),
contemplar:
“o estudo de propriedades de posições relativas de objetos geométricos;
relações entre figuras espaciais e planas em sólidos geométricos;
propriedades de congruência e semelhança de figuras planas e espaciais;
análise de diferentes representações das figuras planas e espaciais, tais
como desenho, planificações e construções com instrumentos” (p.123).
No Ensino Fundamental, os PCN (Brasil, 1998) indicam que ensinar
Geometria tem por objetivo o desenvolvimento do pensamento geométrico. Por meio
dele, o aluno poderá:
• resolver situações-problema de localização e deslocamento de pontos no
espaço, reconhecendo nas noções de direção e sentido, de ângulo, de
paralelismo e de perpendicularismo – elementos fundamentais para a
constituição de sistemas de coordenadas cartesianas;(p. 64)
• estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas,
envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista,
construindo e interpretando suas representações; (p. 65)
• produzir e analisar transformações e ampliações/reduções de figuras
geométricas planas, identificando seus elementos variantes e invariantes,
desenvolvendo o conceito de congruência e semelhança; (p. 82)
• ampliar e aprofundar noções geométricas como incidência, paralelismo,
perpendicularismo e ângulo para estabelecer relações, inclusive as
métricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais. (p. 82)
• obter e utilizar fórmulas para cálculo da área de superfícies planas e para
cálculo de volumes de sólidos geométricos (prismas retos e composições
desses prismas). (p. 82)
De acordo com os PCN (Brasil, 1998), é necessário ainda no Ensino
Fundamental propiciar aos alunos uma primeira reflexão através da experimentação
e de deduções informais sobre as propriedades geométricas.
Os PCN+ (Brasil, 2002) indicam que no Ensino Médio, a Geometria a ser
ensinada deve envolver quatro unidades temáticas: Geometria Plana, Geometria
Espacial, Geometria Métrica e Geometria Analítica. Na unidade referente à
48
Geometria Plana o foco principal está em semelhança e congruência e
representações de figura. Na Geometria Espacial os tópicos principais são os
elementos dos poliedros, sua classificação e representação; corpos redondos;
propriedades relativas à posição dos entes geométricos; e inscrição e circunscrição
de sólidos. Ainda nessa unidade temática, os PCN+ (ibid) indicam que os alunos
devem “compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e
reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência
com forma especifica para validar resultados (p. 125).”
Os PCN+ (ibid) enfatizam que não se trata de memorização dos postulados e
de demonstrações, mas da “oportunidade de perceber como a ciência Matemática
valida e apresenta seus conhecimentos, bem como propiciar o desenvolvimento do
pensamento lógico dedutivo e dos aspectos mais estruturados da linguagem
matemática” (p. 124).
Na Geometria Métrica os tópicos principais são: quantificar e calcular áreas e
volumes de figuras utilizando as propriedades geométricas, além de efetuar
medições e reconhecer a necessária precisão de dados ou resultados, estimando
erros.
Na Geometria Analítica os tópicos principais são as representações no plano
cartesiano das figuras geométricas e suas equações; intersecção e posições
relativas de figuras. Além de “construir uma visão sistemática das diferentes
linguagens e campos de estudo da Matemática, estabelecendo conexões entre eles”
(p.125).
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio da Secretária da Educação
Básica (Brasil, 2006) indicam que o ensino de Geometria:
“deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver
problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no
espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer
propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes
unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter
uma oportunidade especial, com certeza não a única, de apreciar a faceta
da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse
estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a
geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes.” (p. 75)
A partir de 2008 o Estado de São Paulo introduziu uma nova Proposta
Curricular para a Educação Básica, que no ano seguinte se tornou o Currículo Oficial
do Estado de São Paulo. Nele a Matemática foi considerada uma área específica do
conhecimento, como, aliás, já ocorria no Currículo anterior de São Paulo de 1991.
49
Neste currículo oficial de São Paulo de 2010, o bloco temático de Geometria:
“diz respeito diretamente à percepção de formas e de relações entre
elementos de figuras planas e espaciais; a construção e a representação de
formas geométricas, existentes ou imaginadas, e a elaboração de
concepções de espaço que sirvam de suporte para a compreensão do
mundo físico que nos cerca.” (São Paulo, p.39)
Em relação ao conteúdo de Geometria, tal Currículo contempla boa parte do
que os PCN indicam. Os quadros a seguir expõem os tópicos de conteúdo a serem
ensinados e as habilidades a serem desenvolvidas do 6º ano do Ensino
Fundamental ao 3º ano do Ensino Médio e o bimestre em que são exigidos, segundo
o Currículo Oficial do Estado de São Paulo de 2010.
3º Bimestre
Quadro 1 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – 6º e 7º Anos
6º Ano – Ensino Fundamental
Conteúdos
Habilidades
•
Saber
identificar
e classificar formas planas e
Formas geométricas
espaciais
em
contextos
concretos e por meio de suas
• Formas planas
representações
em
desenhos
e em malhas
• Formas espaciais
• Saber planificar figuras espaciais e identificar figuras
espaciais a partir de suas planificações
Perímetro e área
• Compreender a noção de área e perímetro de uma
• Unidades de medida
figura, sabendo calculá-los por meio de recursos de
• Perímetro de uma figura
contagem e de decomposição de figuras
plana
• Compreender a ideia de simetria, sabendo reconhecê• Cálculo de área por
composição e decomposição. la em construções geométricas e artísticas, bem como
• Problemas envolvendo área utilizá-la em construções geométricas elementares.
e perímetro de figuras planas
7º Ano – Ensino Fundamental
Habilidades
• Compreender a ideia de medida de um ângulo (em
grau), sabendo operar com medidas de ângulos e usar
instrumentos geométricos para construir e medir
ângulos
• Compreender e identificar simetria axial e de rotação
nas figuras geométricas e nos objetos do dia a dia
Geometria
• Saber calcular a soma das medidas dos ângulos
• Ângulos
internos de um triângulo e estender tal cálculo para
• Polígonos
polígonos de n lados
• Circunferência
•
Saber aplicar os conhecimentos sobre a soma das
• Simetrias
medidas
dos ângulos de um triângulo e de um polígono
• Construções geométricas
em
situações
práticas
• Poliedros
• Saber identificar elementos de poliedros e classificar
os poliedros segundo diversos pontos de vista
• Saber planificar e representar (em vistas) figuras
espaciais.
3º
Bimestre
2º Bimestre
Conteúdos
• Razões constantes na
Geometria: pi
• Conhecer o significado do número pi como uma razão
constante da Geometria, sabendo utilizá-lo para realizar
cálculos simples envolvendo o comprimento da
circunferência ou de suas partes
50
Quadro 2 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – 8º e 9º Anos
8º Ano – Ensino Fundamental
4º Bimestre
Conteúdos
Geometria
• Teorema de Tales
• Teorema de Pitágoras
• Área de polígonos
• Volume do prisma
Habilidades
• Reconhecer e aplicar o teorema de Tales como uma
forma de ocorrência da idéia de proporcionalidade, na
solução de problemas em diferentes contextos
• Compreender o significado do teorema de Pitágoras,
utilizando-o na solução de problemas em diferentes
contextos
• Calcular áreas de polígonos de diferentes tipos, com
destaque para os polígonos regulares.
• Saber identificar prismas em diferentes contextos,
bem como saber construí-los e calcular seus volumes.
9º Ano – Ensino Fundamental
3º Bimestre
Geometria/Relações
Proporcionalidade na
Geometria
• O conceito de semelhança
• Semelhança de triângulos
• Razões trigonométricas
4º Bimestre
Conteúdos
Geometria
Corpos redondos
• O número pi; a
circunferência, o círculo e
suas partes; área do círculo
• Volume e área do cilindro
Habilidades
• Saber reconhecer a semelhança entre figuras planas,
a partir da igualdade das medidas dos ângulos e da
proporcionalidade
entre
as
medidas
lineares
correspondentes
• Saber identificar triângulos semelhantes e resolver
situações-problema
envolvendo
semelhança
de
triângulos
• Compreender e saber aplicar as relações métricas dos
triângulos retângulos, particularmente o teorema de
Pitágoras, na resolução de problemas em diferentes
contextos
• Compreender o significado das razões trigonométricas
fundamentais (seno, cosseno e tangente) e saber
utilizá-las para resolver problemas em diferentes
contextos
• Conhecer a circunferência, seus principais elementos,
suas características e suas partes
• Compreender o significado do pi como uma razão e
sua utilização no cálculo do perímetro e da área da
circunferência
• Saber calcular de modo compreensivo a área e o
volume de um cilindro
51
Quadro 3 – Currículo de Geometria do Estado de São Paulo (2010) – Ensino Médio
4º Bimestre
Conteúdos
Geometria/Relações
Geometria-Trigonometria
• Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos
• Polígonos regulares:
inscrição, circunscrição e
pavimentação de superfícies
• Resolução de triângulos
não retângulos: Lei dos
Senos e Lei dos cossenos
1º Bimestre
4º Bimestre
Conteúdos
Geometria
Geometria métrica espacial
• Elementos de geometria de
posição
• Poliedros, prismas e
pirâmides
• Cilindros, cones e esferas
Conteúdos
Geometria/Relações
Geometria analítica
• Pontos: distância, ponto
médio e alinhamento de três
pontos
• Reta: equação e estudo dos
coeficientes; problemas
lineares
• Ponto e reta: distância
• Circunferência: equação
• Reta e circunferência:
posições relativas
• Cônicas: noções, equações,
aplicações
1º Ano – Ensino Médio
Habilidades
• Saber usar de modo sistemático relações métricas
fundamentais entre os elementos de triângulos
retângulos, em diferentes contextos
• Conhecer algumas relações métricas fundamentais
em triângulos não retângulos, especialmente a Lei dos
Senos e a Lei dos Cossenos
• Saber construir polígonos regulares e reconhecer
suas propriedades fundamentais
• Saber aplicar as propriedades dos polígonos regulares
no problema da pavimentação de superfícies
• Saber inscrever e circunscrever polígonos regulares
em circunferências dadas
2º Ano – Ensino Médio
Habilidades
• Compreender os fatos fundamentais relativos ao
modo geométrico de organização do conhecimento
(conceitos primitivos, definições, postulados e
teoremas)
• Saber identificar propriedades características, calcular
relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e
volumes) de sólidos como o prisma e o cilindro,
utilizando-as em diferentes contextos
• Saber identificar propriedades características, calcular
relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e
volumes) de sólidos como a pirâmide e o cone,
utilizando-as em diferentes contextos
• Saber identificar propriedades características, calcular
relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e
volumes) da esfera e de suas partes, utilizando-as em
diferentes contextos
• Compreender as propriedades da esfera e de suas
partes, relacionando-as com os significados dos fusos,
das latitudes e das longitudes terrestres
3º Ano – Ensino Médio
Habilidades
• Saber usar de modo sistemático sistemas de
coordenadas cartesianas para representar pontos,
figuras, relações, equações
• Saber reconhecer a equação da reta, o significado de
seus coeficientes, as condições que garantem o
paralelismo e a perpendicularidade entre retas
• Compreender a representação de regiões do plano
por meio de inequações lineares
• Saber resolver problemas práticos associados a
equações e inequações lineares
• Saber identificar as equações da circunferência e das
cônicas na forma reduzida e conhecer as propriedades
características das cônicas
52
Podemos perceber, ao analisar o quadro, que apesar de estarem
contemplados no 4º bimestre do 2º ano do ensino médio, os tópicos de interesse
dessa pesquisa – Geometria Espacial de Posição e a Geometria axiomática – são
apenas indicados de uma maneira superficial. Eles estão incluídos no tema
“Geometria métrica espacial”, fato esse que comprova que analisar conceitos
primitivos e a axiomática, assim como os teoremas e proposições da Geometria
Espacial de Posição não se constituem no foco do desenvolvimento geométrico do
bimestre. As indicações vão ao sentido da Geometria Espacial Métrica, ou seja, do
tratamento de medidas e cálculos de áreas e volumes de sólidos.
Por outro lado, o fato dos Elementos de Geometria de Posição estar
contemplado no Currículo, ainda que como um item isolado, evidencia que, embora
tais conceitos sejam fundamentais para o desenvolvimento do pensamento
geométrico, pouca ênfase tem sido dada para o estudo dos axiomas e postulados
que, paulatinamente têm sido retirados da área de Matemática no Currículo Oficial
do Estado de São Paulo para a Educação Básica. Consideramos tal fato
preocupante, uma vez que ele segue a orientação dos parâmetros nacionais.
Observa-se no texto do PCNEM (Brasil, 2000) que:
... a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou
instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas
características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que
as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a
função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que
servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas. (p.41)
Analisando a afirmação acima, percebemos que o texto legal destaca a
importância de se desenvolver com os alunos a percepção sobre a estrutura da
Matemática, suas definições, conceitos e demonstrações. Contudo o mesmo texto
indica que:
... as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de
aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas
com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as
formas e propriedades geométricas na representação e visualização de
partes do mundo que o cerca. (p.44)
Em nosso entender os estudos sobre as formas e as suas propriedades
geométricas, com vistas a uma melhor compreensão do mundo no qual o aluno está
inserido, embora sejam relevantes na construção de seu conhecimentos geométrico,
não dão conta de toda a complexidade da temática e tal indicação no documento legal
espelha uma visão reducionista do trabalho docente com a Geometria no Ensino
Médio.
53
CAPÍTULO 4
METODOLOGIA DA PESQUISA
4.1 CENÁRIO DA INVESTIGAÇÃO – O CONTEXTO DO PROJETO
OBSERVATÓRIO DA EDUCAÇÃO
O Projeto maior, no qual nossa pesquisa está inserida, é intitulado Educação
Continuada de Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio:
Constituição de um Núcleo de Estudos e Investigações de Processos Formativos é
ligado ao Programa Observatório da Educação, financiado pela Capes, e se
desenvolve no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Uniban/SP.
O Projeto maior – cuja proposta é a constituição de um grupo colaborativo
formado por professores de Matemática do ensino fundamental e médio, por
docentes da Universidade e por alunos de mestrado e doutorado – tem duas
dimensões: uma de formação e outra de pesquisa. A formação e a pesquisa
acontecem em momentos alternados de ações presenciais e a distância – com a
utilização da plataforma Tidia-Ae20.
A dimensão de formação tem por objetivo incorporar à prática docente
resultados de pesquisas da área de Educação Matemática, tais como: didática do
conteúdo, história da educação matemática e o uso de tecnologias, proporcionando
aos
professores
de
Matemática
uma
formação
continuada
baseada
no
conhecimento de conteúdos de Matemática, no conhecimento didático de conteúdos
e no conhecimento de questões curriculares. Para tanto, diversos temas definidos
pelo grupo são objeto de estudo, dentre eles a resolução de problemas; os meios
para fazer Matemática na sala de aula – em particular com o uso das tecnologias
digitais (softwares de geometria dinâmica, softwares para exploração de funções,
etc.)
O grupo de formação e pesquisa iniciou suas atividades em agosto de 2009,
contando com trinta e um professores de diversas escolas públicas localizadas na
Zona Norte da cidade de São Paulo, oito docentes do programa de pós-graduação
20
Tidia-Ae (Tecnologia da Informação no Desenvolvimento da Internet Avançada - Aprendizado
Eletrônico) é uma iniciativa induzida de pesquisa financiada pela FAPESP em desenvolvimento desde
2004. Maiores informações, vide http://agora.tidia-ae.usp.br/ e http://tidia-ae.incubadora.fapesp.br/
54
em Educação Matemática da Uniban/SP, cinco alunos de mestrado e dois de
doutorado (Grupo 200921). Desde então tem se reunido quinzenalmente22.
No início de 2010, a configuração do Grupo 2009 foi modificada, uma vez que
professores participantes dos encontros de 2009 deixaram o grupo e outros que não
fizeram parte desses encontros começaram a frequentá-los, de modo que
consideramos o estabelecimento de uma nova configuração, denominada Grupo
2010 –, formado pelos mesmos docentes do programa de pós-graduação em
Educação Matemática, três alunos de mestrado e dois de Doutorado além de 30
professores de escolas da rede pública da Zona Norte da cidade de São Paulo –
destes, são nove os que fizeram parte desde o início do Projeto, ou seja,
frequentaram os encontros de 2009 e os de 2010.
A figura abaixo esquematiza os grupos de professores formados nos dois
anos do Observatório. Na parte A, são os sujeitos que fizeram parte apenas do
Grupo 2009 – 22 professores – a parte C aqueles que fizeram parte apenas do
Grupo 2010 – 21 professores – e a intersecção B, aqueles que participaram dos dois
grupos – 9 professores – que a partir de agora vamos denominá-lo de Grupo
Nuclear.
Figura 10 – Grupos formados no projeto Observatório
21
Decidimos dar nome aos grupos, pois com o desenvolvimento do projeto, os integrantes do grupo
do Observatório se modificaram e as características do grupo como um todo se alteraram.
22
Reuniões às terças-feiras, das 13h30 às 17h30, com calendário pré estabelecido em conjunto.
55
Nesta pesquisa centramos nosso olhar nos sujeitos do Grupo Nuclear e, por
isso, apresentamos de forma resumida o caminho percorrido pelos sujeitos desse
grupo durante todos os encontros anteriores a essa pesquisa.
4.1.1 Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório
O Projeto, como já mencionado na seção anterior, teve inicio em agosto de
2009 e vários assuntos foram discutidos nos encontros presenciais. Quanto aos
conteúdos discutidos, o quadro abaixo os expõe organizados por temas.
2010
2009
Quadro 4– Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório nos Encontros Presenciais
Assuntos Discutidos
Abordagem Comportamentalista, Cognitivista e Construtivista
Epistemologia Genética de Piaget
Teorias da
Teoria Sociocultural de Vygotsky
Aprendizagem
Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
Cognição Situada
Construcionismo de Papert
Níveis de Parzysz
Didática da Matemática
Teoria dos registros de representação Semiótica de Duval
Atividades do Caderno do Professor
Teorema de Pitágoras – Demonstrações e Aplicações
Resolução e Discussão de Atividades de Geometria Plana
Tópicos de Geometria
Área de Figuras Planas - Demonstrações
Resolução e Discussão de Atividades de Geometria Métrica
Espacial
Tópicos de Álgebra
Módulo sobre Ensino da Função Polinomial do Segundo Grau
utilizando o software Winplot.
Vale destacar que, como um dos mestrandos participantes do Grupo
Observatório, vivenciamos todas as discussões e interações ocorridas nos encontros
e resolvíamos junto com os professores participantes o que era proposto. Além
disso, participamos das reuniões de preparação das atividades e da metodologia a
ser utilizada em seu desenvolvimento; atuamos tanto como auxiliares quanto como
aprendizes, ou seja, nosso papel era o de compartilhar conhecimentos.
Entre os conteúdos discutidos, observa-se que a Geometria teve papel
predominante. A didática da Geometria esteve na pauta, tendo sido discutido os
níveis de Parzysz23. Além disso, demonstrações de teoremas e de fórmulas de área
23
O texto e a atividade propostos no encontro encontram-se no anexo A.
56
de figuras planas foram feitas e discutidas aplicações de teoremas e resolução de
problemas tanto de Geometria Plana quanto de Geometria Métrica Espacial.
Vale destacar que o estudo do quadro teórico de Parzysz (2003), teve por
finalidade propiciar ao professor a possibilidade de articular aspectos teóricos com o
seu fazer pedagógico, auxiliando o professor a refletir sobre o ensino de Geometria.
Bernard Parzysz (2003) destaca quatro níveis de aprendizagem na
apresentação de uma atividade relacionada à compreensão de um conceito
geométrico que se articulam segundo o esquema seguinte:
Quadro 5 – Níveis de aprendizagem de Geometria segundo Parzysz (2003)
Geometrias não axiomáticas
Geometrias axiomáticas
Nível de
Concreta*
Espaço-Gráfico
Proto-
Axiomática
Aprendizagem
(G0)
(G1)
axiomática (G2)
(G3)
Objetos
Físicos
Teóricos
Validações
Perceptivo-dedutivos
Hipotético-dedutivos
Nos níveis G0 e G1, os objetos estudados são físicos e as validações ou
justificativa das propriedades são feitas pela percepção, ou seja, pelo “olhar”,
enquanto que nos níveis G2 e G3, os objetos são teóricos e as validações ou
demonstrações são feitas por hipóteses.
- a geometria concreta (G0): nesse nível, os objetos em estudo são
representações materiais dos entes geométricos, apresentando características –
como cor, material, entre outras – que não fazem parte do objeto geométrico. Neste
nível de ensino de geometria o toque, o manejo e o olhar dos objetos é que levam o
aluno a fazer as validações.
- a geometria espaço-gráfico (G1): nesse nível, os objetos já não são mais
concretos, mas sim representações bidimensionais como figuras produzidas no
papel ou tela de um computador. As percepções neste nível são feitas pelo olhar.
- a geometria proto-axiomática (G2): nesse nível, os objetos são teóricos,
ou seja, mesmo que utilizemos uma figura para representar um objeto geométrico,
as deduções ou validações das suas propriedades não são feitas somente pelo
percebido, mas nada nos impede de nos apoiarmos nela. Neste nível, não há a
necessidade de utilizamos um sistema de axiomas explícito.
- a geometria axiomática (G3): nesse nível, há a necessidade de que o
sistema de axiomas seja explicitado completamente.
57
Salientamos que, além das discussões realizadas nos encontros presenciais,
o Grupo Observatório interagia no intervalo de tempo entre os encontros por meio de
uma plataforma de educação à distância no ambiente Tidia-Ae.
O
ambiente
colaborativo
Tidia-Ae
(Tecnologia
da
Informação
no
Desenvolvimento da Internet Avançada - Aprendizado Eletrônico) é uma plataforma
de aprendizado eletrônico que oferece suporte ao ensino presencial. O ambiente é
“organizado em diferentes áreas de trabalho com distintas funcionalidades,
permitindo que os usuários (educadores/alunos) possam criar cursos, gerenciá-los e
participar de maneira colaborativa na execução de trabalhos, tarefas, pesquisas e
projetos.” O ambiente também “possibilita ao usuário manter um perfil pessoal, uma
agenda compartilhada, interagir com professores e/ou alunos via ferramentas como
chat ou videoconferência, realizar testes, disponibilizar e compartilhar conteúdo
didático, entre outras formas de colaboração.”24
A figura abaixo mostra a tela de entrada do Projeto
Figura 11 – Página Inicial da Plataforma Tidia-Ae do Projeto Observatório da Uniban
Fonte: <http://tidia-ae.usp.br/portal/site/fd49011e-eb48-4393-80ad-d7300ec52b08>
As principais ações do Grupo Observatório nesse ambiente, ao longo do
Projeto, estão apresentadas no quadro abaixo.
24
Informações constantes no site: <http://tidia-ae.usp.br/portal> Acessado em 10 de nov 2011
58
Quadro 6 – Caminhos Percorridos pelo Grupo Observatório no Ambiente Virtual
Ações Desenvolvidas
Ambiente Virtual
Tidia-Ae
Fóruns
Atividade:
Memorial
Reflexivo
Familiarização com o Ambiente
Discussão sobre os temas:
• Descobrindo o Gosto pela Geometria
• Insegurança em Ensinar Geometria
• Geometria, Nova Disciplina?
• A Formação do Professor é Deficiente?
• Por que ensinar Geometria na Educação Básica?
• Tópicos Fundamentais para o ensino da Geometria na Educação Básica
• Teorema de Pitágoras
• Licenciaturas em Matemática: deficiências no ensino de Geometria?
• Geometria é fácil?
Texto produzido por cada um dos participantes para registrar suas
experiências no grupo e refletir sobre tudo que discutido sobre Geometria.
Observa-se que as ações no ambiente virtual podem ser agrupadas em três
blocos: ações de familiarização com o Ambiente virtual, fóruns de discussão e
atividade de postagem de memorial reflexivo.
Os assuntos discutidos nos fóruns do ambiente virtual, tanto eram
relacionados aos encontros presenciais, quanto a assuntos diversos levantados
pelos próprios professores participantes. Novamente a Geometria desempenhou
papel central nas discussões.
Quanto à atividade individual de Memorial reflexivo, ela teve por objetivo
registrar o percurso de cada participante no Projeto, a partir da própria visão - Três
perguntas foram traçadas para orientar a produção desse Memorial:
• O que você aprendeu no período em que discutimos Geometria no
Observatório da Educação?
• Que dificuldades enfrentou e o que o ajudou a superá-las?
• Outros comentários ou sugestões.
Durante
todas
essas
ações,
tanto
presenciais
quanto
a
distância,
participamos do grupo, atuando tanto como aprendizes quanto como formadores. As
atividades desenvolvidas pelos professores eram também desenvolvidas por nós e
algumas vezes fizemos intervenções atuando como formador, como no caso em que
59
apresentamos a demonstração de Leonardo da Vinci para o Teorema de Pitágoras e
na resolução de problemas referentes à Geometria Plana e Espacial.
Pelos caminhos percorridos pelo grupo, observa-se que a Geometria foi
discutida desde o início do Projeto e, por isso, a escolha de nossos sujeitos de
pesquisa seguiu a condição de que eles tivessem vivenciado todo esse caminho. No
total nove professores tinham esse perfil e, assim sendo, foram escolhidos como
sujeitos desta pesquisa.
4.2 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA PESQUISA
A metodologia desta pesquisa é a qualitativa sobre grupos de estudos, mais
especificamente sobre o Grupo Nuclear (vide figura 7), que foi formado pelos
professores que participaram durante todo o tempo do Grupo Observatório.
Consideramos a pesquisa qualitativa a partir das características apontadas
pelos autores Bogdan e Biklen (1994, p. 47-50), a saber:
1. “Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal”;
2. “A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita assume
particular importância na abordagem qualitativa, tanto para o registro dos
dados como para a disseminação dos resultados”;
3. “Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-se
no modo como as definições (as definições que os professores têm dos
alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se
formam”;
4. “Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma
indutiva”;
5. “O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os
investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que
lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista do
informador”.
Os procedimentos metodológicos, descritos abaixo, foram determinados
tendo em vista o objetivo da pesquisa de analisar uma experiência formativa
(inserida em Projeto de Formação e Pesquisa) que privilegia uma abordagem
exploratório-investigativa, particularmente quanto às reflexões feitas por professores
relativas a conceitos geométricos e ao ensino de geometria na Educação Básica.
Nesse sentido, estabelecemos como questão de pesquisa, que recolocamos
a seguir:
60
Que problematizações e reconceituações os professores evidenciam em
uma formação caracterizada por privilegiar uma abordagem exploratórioinvestigativa sobre geometria espacial de posição?
A questão foi desdobrada em duas perguntas diretrizes: (1) Quais
problematizações são relacionadas ao conteúdo de Geometria Espacial de Posição
com vistas à reconceituação? (2) Quais problematizações são relacionadas ao
ensino de Geometria Espacial de Posição no sentido de (re)pensar metodologias ou
estratégias para a prática pedagógica?
Para atingir o objetivo adotamos os seguintes procedimentos:
• Construir uma experiência formativa. No caso, denominada Módulo de
Geometria Espacial de Posição;
• Desenvolver o Módulo com um grupo de professores. No caso, o Grupo
Observatório;
• Analisar as problematizações e/ou as reconceituações ocorridas ao longo do
desenvolvimento do módulo, especificamente do Grupo Nuclear
A seguir apresentamos o planejamento dos encontros do módulo de
Geometria Espacial de Posição.
4.2.1 Criação do Módulo de Geometria Espacial de Posição
O módulo de Geometria Espacial de Posição foi concebido para ser
desenvolvido com suporte de tecnologia, particularmente utilizando o software de
Geometria Dinâmica Cabri 3D.
O Cabri-Géomètre é um software de Geometria Dinâmica que permite
construir em ambiente virtual as figuras geométricas que podem ser traçadas com a
ajuda de uma régua e de um compasso. Uma vez construídas geometricamente, as
figuras podem se movimentar conservando as propriedades que lhes haviam sido
atribuídas. Essa possibilidade de deformação permite o acesso rápido e contínuo a
61
todos os casos, constituindo-se numa ferramenta rica de validação experimental de
fatos geométricos.25
Hoje existem duas versões do Cabri, uma para a Geometria Plana – Cabri II
plus – e outra para a Geometria Espacial – Cabri 3D. Em ambas, o princípio
norteador é o da Geometria Dinâmica – de conservação de propriedades
geométricas das figuras – discutido acima, porém cada uma delas apresenta
especificidades próprias. No nosso módulo utilizamos as duas versões, com maior
ênfase na versão 3D.
O Cabri 3D é um software no qual se pode construir, visualizar e manipular
rapidamente todo o tipo de objetos tridimensionais: retas, planos, poliedros, corpos
redondos. Nele podem ser feitas construções dinâmicas, das mais simples às mais
complexas, além de possibilitar medir objetos, integrar dados numéricos e mesmo
repetir o processo de construção de uma figura.26
O módulo, desenvolvido por nós, surgiu a partir das discussões com os
professores participantes do Grupo Observatório durante os encontros anteriores e
da demanda desses professores em continuarmos discutindo assuntos relacionados
à Geometria, em especial sobre o tema acima. A proposta do módulo foi motivadora
para eles que demonstraram interesse em conhecer e explorar o software Cabri 3D
para o ensino de Geometria Espacial, uma vez que, apesar de alguns deles estarem
familiarizados com o Cabri II, a versão 3D não era conhecida por qualquer dos
participantes.
O objetivo do módulo foi o de empreender discussões referentes a tópicos de
Geometria, dando maior enfoque à Geometria Espacial de Posição, com a utilização
de atividades que incluíam o uso do software Cabri 3D.
Os assuntos discutidos foram:
•
os entes primitivos da Geometria (Ponto, Reta e Plano); postulados e
axiomas ;
25
26
•
a Geometria Dinâmica;
•
Geometria Espacial Métrica versus Geometria Espacial de Posição;
•
Tópicos de Geometria de Posição:
as maneiras de determinar um de plano;
as posições relativas entre retas no espaço;
Informações retiradas do site: < http://www.cabri.com.br/oquee.php>
Informações retiradas do site: < http://www.cabri.com.br/cabri3d.php>
62
as posições relativas entre retas e planos no espaço;
as posições relativas entre planos no espaço;
Além desses tópicos, também discutimos algumas das demonstrações de
teoremas da Geometria de Posição utilizando os postulados e axiomas
apresentados. Vale enfatizar que, essas demonstrações mencionadas, assim como
uma discussão mais detalhada dos axiomas e postulados da Geometria euclidiana
não se referem diretamente à Geometria Espacial de Posição, assim sendo não
seriam privilegiadas no módulo, mas devido à demanda percebida e ao pedido dos
professores ao longo dos encontros eles foram inseridos no cronograma do módulo.
Além dos encontros presenciais, o módulo incluiu atividades desenvolvidas a
distância com a utilização da plataforma Tidia-Ae.
A intenção, no módulo, foi construir atividades que tivessem um caráter
exploratório investigativo de modo a favorecer problematizações e discussões com o
grupo.
Relatamos nos próximos itens o planejamento do módulo. Tal planejamento
foi feito em dois momentos: um para os três primeiros encontros e o outro, baseado
no ocorreu nos encontros inicias, para os três últimos encontros. Contudo, optamos
por relatar o conteúdo do módulo como um todo, o que apresentamos a seguir.
4.2.1.1 Planejamento do Módulo
Como mencionado na seção anterior, o planejamento do Módulo de
Geometria Espacial de Posição, apresenta-se dividido em dois momentos. O
primeiro momento planejado para três encontros, previstos para ocorrerem no final
do primeiro semestre e o segundo momento planejado posteriormente a fim de se
adequar e atender a demanda dos professores, para outros três encontros a
ocorrerem no início do segundo semestre,.
A seguir descreveremos o planejamento dos dois momentos.
4.2.1.1.1 Planejamento do Momento 1
Como suporte aos primeiros encontros, preparamos uma apresentação de
slides (Ver Apêndice A), para a introdução centrando o foco na discussão dos
conceitos.
63
Especificamente, ao longo da apresentação o objetivo é o de discutir sobre os
seguintes tópicos de Geometria.
•
Conceitos primitivos - ponto, reta e plano
•
Geometria Dinâmica e a diferença entre desenhar e construir;
•
Geometria Espacial Métrica versus Geometria Espacial de Posição.
Consideramos que iniciar pela discussão dos conceitos primitivos e dos
postulados seja fundamental, uma vez que os mesmos são indispensáveis na
construção da Geometria Euclidiana.
Como vamos utilizar o software de Geometria Dinâmica Cabri 3D, é relevante
a discussão sobre a diferença entre desenhar e construir. Para isso a ideia é propor a
leitura e discussão do texto “Desenhar e construir”27 (Anexo C),
Desenhar é reproduzir uma imagem cuja validade é apenas para uma posição
particular, enquanto construir é reproduzir uma imagem utilizando suas propriedades
e cuja validade se conserva para além de uma posição particular. Na Geometria
Dinâmica a construção é de fundamental importância, pois ao construir uma figura e
movimentar um de seus pontos as propriedades permanecem inalteradas. Isso faz
com que a Geometria Dinâmica seja uma ferramenta poderosa para o ensino, pois
através das construções podemos fazer diversas conjecturas, diferentemente dos
desenhos que só nos fornecem casos particulares.
Além de apresentar e discutir o texto, nesse tópico preparamos quatro arquivos
digitais no Cabri II com o objetivo de evidenciar situações com figuras desenhadas e
com figuras construídas. Tais arquivos continham:
1)
•
Estar28 Isósceles (Triangulo Isósceles desenhado)
•
Ser29 Isósceles (Triangulo Isósceles construído)
•
Estar Eqüilátero (Triangulo Eqüilátero desenhado)
2) •
27
Ser Eqüilátero (Triangulo Eqüilátero construído)
Texto de Bongiovanni (2006) retirado do livro “Utilizando resultados de pesquisa sobre o ensino e
aprendizagem em geometria”
28
Utilizamos o termo “estar” para o caso da figura desenhada, pois ao abrir o arquivo ela se
apresenta como a figura desejada. Porém, como não foram usadas as propriedades da figura, ao
deslocarmos um dos seus pontos ela perde a característica inicial.
29
Utilizamos o termo “ser” para o caso da figura construída, já que, como foram utilizadas as
propriedades da figura desejada, mesmo com o deslocamento de qualquer de seus pontos as
características originais se mantêm.
64
3)
4)
•
Estar Quadrado (Quadrado desenhado)
•
Ser Quadrado (Quadrado construído)
•
Estar Tangente (Reta tangente a circunferência desenhada)
•
Ser Tangente (Reta tangente a circunferência construída)
No Apêndice B encontram-se as telas preparadas e uma descrição do modo
como os arquivos digitais foram construídos para subsidiar a discussão com o grupo.
A ideia é problematizar com os professores as telas preparadas e comprovar
que apesar das figuras apresentadas parecerem ter as mesmas características, ao
deslocarmos pelo menos um de seus pontos, as propriedades geométricas se
mantêm apenas nas figuras construídas.
Vale
destacar
que
apesar
dessas
figuras
serem
preparadas
com
antecedência por nós e disponibilizadas já prontas, durante o encontro as possíveis
construções dessas figuras e os teoremas que as embasam serão discutidas e
reproduzidas com os professores.
Por fim, no tópico Geometria Espacial Métrica versus Geometria Espacial de
Posição, planejamos discutir que a Geometria Espacial envolve muito mais do que
calcular áreas e volumes. Entendemos que isso seja fundamental para desde o
início provocar reflexões sobre o conteúdo do módulo e criar situações que
favoreçam a problematização.
Ao término da apresentação, o restante do Momento 1 está planejado para
ser desenvolvido com o software Cabri 3D, e devido a isso, antes de iniciar o estudo
com as atividades preparadas sobre Geometria de Posição, a proposta é apresentar
aos professores as principais funções do software e reservar tempo para que eles o
manipulem e se familiarizem com a nova ferramenta.
Para esses encontros iniciais preparamos quatro atividades, a saber:
•
Atividade 1 - Determinação30 de um Plano (Apêndice C);
•
Atividade 2 - Posições Relativas entre Retas no Espaço (Apêndice D);
•
Atividade 3 - Posições Relativas entre Reta e Plano no Espaço
(Apêndice E);
•
30
Atividade 4 - Posições Relativas entre Planos no Espaço (Apêndice F).
O termo “determinar” é utilizado aqui no sentido de encontrar um único.
65
Em todas as atividades, o objetivo é que os professores explorem,
investiguem e descubram as maneiras de determinar um plano e as posições
relativas entre retas e planos no espaço.
Para a investigação, optamos por indicar aos professores que iniciassem
todas as atividades a partir da construção de um paralelepípedo reto retângulo com
estilo de superfície vazio31, utilizando a função “Paralelepípedo XYZ”32, já que nele
temos os vértices que podem são pontos, as arestas e as faces que servem de
suporte para construir retas e planos, respectivamente.
Figura 12 – Paralelepípedo construído com a função “Paralelepípedo XYZ”
Quadro 7 – Instruções iniciais das quatro primeiras atividades
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando a função
“Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo reto retângulo por meio de sua
diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a tecla Shift
pressionada.
Assim, uma síntese do planejamento do Momento 1 é o apresentado no
quadro, a seguir.
31
Estilo de superfície vazio é um recurso do software Cabri 3D que permite visualizar apenas as
arestas e os vértices do poliedro.
32
Está função permite criar um paralelepípedo reto retângulo por meio de sua diagonal.
66
Quadro 8 – Síntese do Planejamento dos três primeiros encontros
Atividades Desenvolvidas
Objetivos
• Compreender os entes primitivos;
• Texto sobre Geometria Dinâmica
diferença entre desenhar e construir;
–
• Construções geométricas
software Cabri II;
o
utilizando
Encontro
2º
• Discutir Geometria Dinâmica (GD)
• Vantagens das construções geométricas em GD;
• Geometria Métrica e de Posição;
• Familiarização com o Cabri 3D.
Encontro
3º
1º Momento
Encontro
1º
• Entes primitivos – ponto, reta e plano;
Atividades no Cabri 3D: de determinação de
um Plano e iniciar o estudo de Posições
Relativas
Atividades no Cabri 3D - Posições Relativas
no Espaço: entre Plano e Reta e entre
Planos no Espaço
• Definir o campo da Geometria Métrica e o da
Geometria de Posição;
• Apresentar e utilizar as principais ferramentas do
software Cabri 3D.
•
Determinar e discutir as quatro formas
possíveis de determinação de um plano;
•
Determinar e discutir as três posições
relativas possíveis entre retas no espaço.
•
Determinar e discutir as três posições
relativas possíveis entre reta e plano no espaço.
•
Determinar e discutir as três posições
relativas possíveis entre planos no espaço.
4.2.1.1.2 Planejamento do Momento 2
O planejamento dos três últimos encontros do módulo de Geometria Espacial
de Posição, como já mencionado foi feito depois da ocorrência dos três primeiros
encontros e por isso algumas das propostas apresentadas foram inseridas com base
no que aconteceu anteriormente.
Como suporte para esses últimos encontros, preparamos uma apresentação
de slides (Ver Apêndice G), com o objetivo de apresentar os fundamentos da
Geometria, ou seja, o modo como ela é concebida. Nesta apresentação incluímos a
discussão sobre postulado e axioma versus teorema, os postulados e axiomas da
Geometria Euclidiana, algumas noções preliminares sobre Geometrias não
Euclidianas e a demonstração de um teorema, no caso, o seguinte: uma reta e um
ponto fora dela determinam um plano.
Nesta apresentação a ideia é dialogar com os professores e não somente
apresentar os postulados e axiomas como se fosse uma palestra. Nossa intenção é
discutir e refletir junto com eles sobre os conceitos abordados.
Com relação a demonstração do teorema nossa intenção não é o de
apresentar uma prova extremamente rigorosa, mas sim de discutir com os
professores o modo como ela se compõem, encadeada logicamente e utilizando
postulados e teoremas previamente provados.
Ao término da apresentação planejamos propor aos professores outras seis
atividades, com o objetivo de problematizar e discutir demonstrações, discutir a
67
veracidade de afirmações sobre os tópicos da Geometria Espacial de Posição
desenvolvidos nos encontros anteriores e apresentar o quadrilátero reverso.
As atividades preparadas são:
•
Atividade 5 - Determinação de Planos (Apêndice H);
•
Atividade 6 - Posições Relativas entre Retas (Apêndice I);
•
Atividade 7 - Posições Relativas entre Retas e Planos (Apêndice J);
•
Atividade 8 - Posições Relativas entre Planos(Apêndice K).
•
Atividade 9 – Quadrilátero (Apêndice L).
•
Atividade 10 - Quadrilátero Reverso (Apêndice M).
O objetivo das quatro primeiras atividades é fazer discussões sobre o tema
proposto em cada uma delas, a partir de afirmações problematizadoras verdadeiras
ou falsas. Além disso, nossa intenção é verificar se os professores considerarão
todos os casos possíveis para validar sua resposta ou se com algum caso
verdadeiro ele já generalizam para todos os casos possíveis.
As duas últimas atividades têm por objetivo discutir as condições para que
quatro pontos no espaço sejam vértices de um quadrilátero, discutir se sempre
existe um plano que contem os quatro vértices de um quadrilátero e fazer emergir
um novo tipo de quadrilátero – o quadrilátero reverso.
A opção por apresentar o quadrilátero reverso é por problematizar uma ideia
enraizada em muitos professores e alunos de que as figuras não-planas são sempre
poliedros ou corpos redondos. A partir dessa constatação, discutir a existência de
figuras no espaço tais como o pentágono reverso, hexágono reverso, etc., não
contidas em um único plano, além de discutir a não existência do triângulo reverso.
Assim, uma síntese do planejamento dos três últimos encontros está
apresentado no Quadro 8, abaixo.
Quadro 9 – Síntese do Planejamento dos três últimos encontros
• Postulado versus Teorema
• Compreender os fatos fundamentais relativos ao
modo geométrico de organização do conhecimento;
• Enfatizar a importância do postulado de Euclides na
• O postulado de Euclides
Encontro
4º
2º Momento
• Postulados / Axiomas da Geometria
• As Geometrias Não Euclidianas
•
Demonstrações
de
construção da Geometria Euclidiana;
Teoremas
• Fazer demonstrações de teoremas.
utilizando os postulados.
• Atividade
planos
sobre
determinação
• Apresentar as Geometrias não Euclidianas;
de
• Discutir algumas afirmações verdadeiras ou falsas
sobre a determinação de planos.
Encontro
6º
Encontro
5º
68
Atividades sobre posições relativas entre
retas, entre plano e reta e entre planos.
(Uso do Cabri 3D como suporte)
• Discutir o tema proposto em cada uma das
atividades a partir de afirmações verdadeiras ou
falsas a fim de verificar a assimilação do que foi
discutido nos encontros anteriores.
Atividades no Cabri 3D – Quadrilátero
Reverso.
• Discutir as condições para que quatro pontos no
espaço sejam vértices de um quadrilátero;
•
Apresentar o quadrilátero reverso e discutir as
posições relativas dos seus lados e diagonais.
4.2.1.1.3 Atividades a Distância
Além dos encontros presenciais, o módulo prevê ações desenvolvidas no
ambiente virtual. Planejamos cinco atividades a serem disponibilizadas no ambiente
virtual, uma no término do Momento 1 do módulo e as outras quatro ao final do
Momento 2 do módulo. Além das atividades prevemos um fórum de discussão para
promover interação entre os participantes do grupo. Todas as atividades virtuais
serão desenvolvidas pelos participantes e deverão ser postadas na plataforma
TidiaAe, em páginas customizadas especialmente para o módulo.
A primeira atividade, chamada Atividade Virtual – Junho/Julho 2010
(Anexo D) tem como objetivo levar o professor à reflexão sobre o seu caminho ao
longo de sua participação no Grupo Observatório. As outras quatro atividades
referem-se ao conteúdo específico do módulo e estão na integra nos apêndices
conforme listagem abaixo:
•
Atividade 1 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice N);
•
Atividade 2 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice O);
•
Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula (Apêndice P);
•
Atividade 4 – Caminhos Percorridos (Apêndice Q).
As duas primeiras, respectivamente Atividade 1 – Módulo Geometria
Espacial (Apêndice N) e Atividade 2 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice
O), por meio de afirmações às quais deve ser atribuído o valor verdadeiro ou falso,
têm como objetivo levar os professores a refletirem sobre as discussões ocorridas
durantes os encontros presenciais.
A fim de levar o professor a estabelecer as conexões entre o que está sendo
discutido no módulo e sua prática na sala de aula, preparamos a Atividade 3 –
69
Pensando na Sala de Aula (Apêndice P), cujo objetivo é levá-los a planejar uma
atividade pedagógica a partir da vivência nos encontros relacionados a Geometria.
Por fim, a Atividade 4 – Caminhos Percorridos (Apêndice Q) tem por
finalidade fazer um levantamento dos caminhos trilhados pelos professores do
Grupo Observatório referentes aos encontros nos quais foram discutidos tópicos de
Geometria, além de identificar a relevância de cada um deles para sua formação.
No planejamento das atividades a distância, também está previsto a interação
entre os participantes do Grupo Observatório em um fórum de discussão. A
finalidade do fórum é propiciar aos professores, além dos momentos presenciais,
outro meio de comunicação entre eles para discussões ou reflexões que surjam fora
do momento presencial.
4.2.2 Procedimentos para a Coleta e Análise de Dados
Os procedimentos para a coleta de dados de pesquisa são os seguintes:
• Participar e observar as reuniões quinzenais presenciais do grupo
Observatorio, as quais são gravadas e filmadas;
• Observar e participar das interações dos participantes no ambiente de
educação à distância;
• Compor um diário de notas de campo com nossas anotações sobre os
encontros do Grupo Observatório;
• Analisar questionários do Projeto Observatório;
• Analisar os materiais disponibilizados pelo grupo na plataforma virtual, assim
como analisar os registros virtuais do fórum e demais ferramentas.
Com relação à análise de dados, o processo de triangulação será o adotado.
Tal processo consiste em comparar diferentes instrumentos de coleta de dados, de
teorias explicativas e de conclusões de pesquisadores, de forma a fazer emergir as
evidências, assim como constatar as contradições e também evidenciar o que é
inconclusivo a partir das informações coletadas. Segundo Mathison (1988, apud
Lobo da Costa, 2004) na triangulação de dados “utilizamos não somente resultados
convergentes, mas também resultados inconsistentes e contraditórios em nossos
esforços para compreender o fenômeno social” (p. 129).
70
Em nossa pesquisa consideramos que esse método seja o mais adequado,
uma vez que os dados da pesquisa provêm de diversos instrumentos, tanto os
produzidos por coleta presencial nos encontros, como os diversos materiais
produzidos pelos professores tanto nos encontros quanto fora deles, nas atividades
virtuais e nas interações no fórum de discussão.
71
CAPÍTULO 5
A PESQUISA DE CAMPO
Neste capítulo iniciamos pela caracterização dos sujeitos de pesquisa e
algumas de suas percepções iniciais sobre o ensino de geometria na Educação
Básica. Na sequência, discutimos e analisamos tanto os encontros do módulo de
Geometria Espacial de Posição quanto o desenvolvimento das atividades a
distância.
5.1 SUJEITOS DE PESQUISA
Como já exposto na seção 4.1 o módulo de geometria espacial de posição foi
uma experiência formativa para o Grupo Observatório, contudo para esta pesquisa
consideramos como sujeitos os nove professores que participaram desde o início
dos encontros do Projeto maior – no qual esta pesquisa se aloja – e que passaram
por todo o processo formativo. Esses professores compõem o que denominamos
Grupo Nuclear.
Para traçar o perfil dos sujeitos de pesquisa e suas percepções sobre o
ensino e aprendizagem de Geometria foram analisados dois questionários que estão
na íntegra no Anexo B e no Anexo E, ambos aplicados no início do projeto.
O primeiro questionário se propôs a levantar características individuais e
profissionais do Grupo Observatório, assim como a motivação para participar do
Projeto, além da percepção dos professores sobre os assuntos que os alunos têm
dificuldades na Educação Básica e os que ele considera difíceis para ensinar.
5.1.1 Caracterização dos Sujeitos
O Grupo Nuclear é formado por nove professores, dos quais oito são
mulheres e um é homem, todos são residentes da Zona Norte de São Paulo, são
todos licenciados em Matemática por Universidades particulares e trabalham
exclusivamente como professores de Matemática.
Quanto ao tempo de exercício da docência, o grupo se constitui da seguinte
forma: um deles tem menos de dez anos de experiência no magistério, seis têm de
dez a quinze anos e dois têm mais de 15 anos de experiência. Entre os nove
72
professores, dois são efetivos33 na rede pública do Estado de São Paulo e os outros
sete lecionam como OFA34. Sete deles afirmam ministrar aulas em apenas uma
escola, um deles em duas e um professor leciona em quatro escolas. Oito deles
lecionam no Ensino Médio (não exclusivamente).
Um resumo de características do Grupo Nuclear encontra-se no gráfico abaixo
Figura 13 – Perfil do Grupo Nuclear
Quanto à formação continuada, cinco professores relatam que participaram
de cursos de formação, pelo menos uma vez, e os outros quatro declararam nunca
ter participado.
Quanto à motivação as respostas foram as seguintes: manter-se atualizado
(3), melhorar a prática docente (3) adquirir experiências (3), aprender (2)
compartilhar experiências (1), discutir sobre Educação Matemática (1)
33
Professor Efetivo – denominação utilizada para o concursado, que é funcionário público estadual, e
ocupa um cargo que o vincula a uma determinada escola sede na qual tem o direito a escolher uma
carga horária fixa anual de aulas.
34
Ocupante de Função Atividade – Professor temporário que a cada ano se submete a prova
classificatória e escolhe aulas remanescentes após a escolha dos professores efetivos.
73
Figura 14 – Motivação para participar do Projeto
O quadro abaixo apresenta de maneira sucinta o perfil de cada um dos
sujeitos que receberam nomes fictícios quais sejam: Amarela, Azul, Branca, Cinza,
Laranja, Preta, Rosa, Verde e Vermelho.
Quadro 10 – Perfil dos Sujeitos de Pesquisa
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do Estado de
São Paulo, e leciona há dez anos na rede estadual – Ciclo II do EF e EM, atuando
Amarela exclusivamente como professora. Trabalha em uma única escola e não é efetiva.
Declara ter participado de vários cursos de formação continuada e motivou-se em
fazer parte do Projeto Observatório da Educação para manter-se atualizada,
informada e compartilhar experiências.
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do Estado de
São Paulo, lecionando há dezesseis anos na rede pública estadual – Ciclo II do EF e
EM, atuando exclusivamente como professora, trabalha em uma única escola e é
Azul
efetiva. Relata ter feito vários cursos de formação continuada proporcionados pela
SEE e que se motivou em participar do Projeto Observatório para discutir sobre a
Educação Matemática e aprender maneiras práticas de ensinar o conhecimento
matemático aos seus alunos.
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do Estado de
São Paulo, lecionando há quinze anos na rede pública estadual – Ciclo II do EF e
Branca EM, atuando exclusivamente como professora, trabalha em uma única escola e não
é efetiva. Relata que se motivou em participar do Projeto Observatório para adquirir
experiência.
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do Estado de
São Paulo, lecionando há onze anos na rede pública estadual – Ciclo II do EF,
Cinza
atuando exclusivamente como professora, trabalha em uma única escola e não é
efetiva. Relata que se motivou em participar do Projeto Observatório para aprender e
se reciclar.
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do Estado de
São Paulo, lecionando há dez anos na rede pública estadual – Ciclo II do EF e EM,
Laranja atuando exclusivamente como professora, trabalha em uma única escola e não é
efetiva. Relata ter feito vários cursos de formação continuada proporcionados pela
SEE e que se motivou em participar do Projeto Observatório para adquirir
experiência.
A professora é licenciada por uma instituição particular do Estado de São Paulo, e
leciona há dez anos, sendo cinco em escola particular e cinco na rede estadual –
Ciclo II do EF e EM. Trabalha atualmente em uma única escola na qual é efetiva.
Preta
Relata ter participado de alguns cursos de formação continuada propostos pela SEE,
e motivou-se em participar do Projeto Observatório da Educação para propor um
aprendizado melhor aos seus alunos.
74
Rosa
Verde
Vermelho
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do estado de
São Paulo, e leciona há dez anos na rede estadual – Ciclo II do EF e EM, atuando
exclusivamente como professora; trabalha em uma única escola e não é efetiva.
Participou de cursos de formação continuada promovidos pela Diretoria de Ensino
Região Norte 2 da SEE, e motivou-se em compor o grupo do Projeto Observatório da
Educação para ampliar os seus conhecimentos.
A professora é licenciada em Matemática por uma instituição particular do estado de
São Paulo, e leciona há quatro anos na rede pública estadual – ciclo II do EF e EM,
atuando exclusivamente como professora trabalhando em quatro escolas e não é
efetiva. Relata que se motivou a participar do Projeto Observatório da Educação
Matemática pela busca da sua atualização profissional, para se aprimorar como
professora.
O professor é formado é licenciado em Matemática por uma instituição particular do
Estado de São Paulo, lecionando há dezoito anos na rede pública estadual – Ciclo II
do EF e EM, atuando exclusivamente como professor, trabalha em duas escolas e
não é efetivo. Relata que se motivou em participar do Projeto Observatório para
adquirir experiência.
Quanto ao segundo questionário (Anexo E), ele objetivou levantar
informações sobre questões relacionadas ao ensino e ao aprendizado de tópicos de
Geometria durante a vida de cada um dos professores e em que momento eles
aconteceram, se eles ensinam Geometria a seus alunos e quais dificuldades
enfrentam no processo de ensino de Geometria Plana e Espacial e se eles
conhecem softwares de Geometria Dinâmica e se já os utilizaram durante suas
aulas.
Com relação ao aprendizado de Geometria, na condição de estudantes de
Educação Básica, apenas dois professores o avaliaram como tendo sido “Bom”,
quatro como “Regular”, dois como “Ruim” e ainda um como “Péssimo”. Já com
relação ao ensino Superior, o aprendizado foi considerado melhor, um professor
considerou “Ótimo”, três como “Bom”, um como “Regular”, três como “Ruim” e um
como “Péssimo”.
Figura 15 – Avaliação do próprio aprendizado de Geometria pelos professores
75
Especificamente em relação à Geometria Espacial, todos eles afirmam que só
aprenderam poliedros e os corpos redondos, ou seja, apenas a geometria espacial
métrica e especificamente o estudo das figuras espaciais. Nenhum deles citou a
Geometria de posição como objeto de estudo.
A análise sobre o próprio processo de aprendizagem em geometria, quando
estudantes, evidenciou que esses professores não se sentem satisfeitos com a
forma como aprenderam Geometria e por isso, mesmo ensinando Geometria em
suas aulas eles os fazem de uma “maneira bastante básica” (Professora Amarela) e
sentem dificuldade por não dominarem adequadamente os conteúdos (Professora
Rosa). Um dos professores afirmou que não ensina Geometria, (Professora Laranja).
Com relação à dificuldade em ensinar Geometria aos alunos, a resposta mais
comum entre os professores foi a de que essa dificuldade está ligada à falta de
interesse do aluno, ou seja, a motivação. Esse fato talvez provenha de outra
dificuldade, também apontada por eles que é a falta de conhecimentos prévios ou
das noções comuns.
Além dessas, outra dificuldade apontada por eles, principalmente em relação
ao ensino de Geometria Espacial, é em relação à visualização dos objetos
geométricos. Eles afirmam que uma maneira de auxiliar os alunos e contornar esse
problema, seria a utilização de materiais concretos, mas que esses materiais nem
sempre estão disponíveis nas escolas.
Figura 16 – Dificuldades encontradas elos professores no Ensino de Geometria
76
Com relação a conhecer softwares de Geometria Dinâmica, seis dos sujeitos
de pesquisa afirmaram que conhecem o Cabri II e o restante declarou não conhecer
nenhum software para o ensino de geometria. Entre os seis professores do grupo
que responderam conhecer o Cabri II, três declararam já terem utilizado softwares
de Geometria Dinâmica em sala de aula.
No quadro abaixo são apresentadas as respostas dos professores de uma
maneira sucinta.
Quadro 11 – Resumo Questionário de Geometria
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica e no Ensino Superior deixou a desejar, já que ela afirma que não
se lembra de quase nada que foi ensinado na escola e apenas de Geometria
Amarela Analítica na Universidade. Ela procura ensinar Geometria aos seus alunos, mas de
uma maneira básica, já que faltam recursos na escola. Afirma que os alunos têm
dificuldade de visualização e que os materiais concretos são indispensáveis. Ela
conhece e já trabalhou com o software de Geometria Dinâmica Cabri, e diz que é
muito importante, pois desperta a curiosidade do aluno.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica e no Ensino Superior foi bom, mas muito mecânico e acabou no
esquecimento. Ela procura ensinar Geometria aos seus alunos, mas afirma ser muito
Azul
difícil. A maior dificuldade, segundo ela, é a falta de interesse dos alunos, que eles
não têm as noções básicas e a falta de material concreto para visualização. Afirma
ainda que falta tempo para ela se atualizar e estudar. Ela conhece e já trabalhou com
o software de Geometria Dinâmica Cabri.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica foi regular e no Ensino Superior foi bom, mas que em Geometria
espacial só aprendeu sobre prismas, cilindros, cones e pirâmides. Ela procura ensinar
Branca Geometria aos seus alunos, pois acredita ser muito importante. A maior dificuldade,
segundo ela, é a falta de interesse dos alunos, que eles não têm as noções básicas e
a falta de material concreto para visualização. Ela conhece e já trabalhou com o
software de Geometria Dinâmica Cabri.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica e no Ensino Superior foi básico, e que em Geometria espacial só
aprendeu sobre prismas e cones. Ela procura ensinar Geometria aos seus alunos,
Cinza
pois acredita ser muito importante. A maior dificuldade, segundo ela, é a falta de
interesse dos alunos e que eles não têm as noções básicas. Ela conhece o software
de Geometria Dinâmica Cabri, mas nunca trabalhou em sala de aula.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica foi regular e no Ensino Superior foi péssimo. Ela não procura
Laranja ensinar Geometria aos seus alunos, pois afirma que nunca dá tempo e ela não se
sente confortável. A maior dificuldade, segundo ela, é a falta de interesse dos alunos.
Ela não conhece nenhum software de Geometria Dinâmica.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica foi regular e no Ensino Superior foi fraco, e que em Geometria
espacial só aprendeu sobre os poliedros. Ela procura ensinar Geometria aos seus
Preta
alunos, pois acredita ser muito importante, mas afirma que falta tempo. A maior
dificuldade, segundo ela, é a dificuldade de visualização. Ela conhece o software de
Geometria Dinâmica Cabri, mas nunca trabalhou em sala de aula.
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial,
na Educação Básica foi péssimo, pois nunca tinha aula e no Ensino Superior foi fraco,
devido a sua dificuldade. Ela procura ensinar Geometria aos seus alunos, mas
Rosa
depende do assunto, já que não domina os conteúdos. A maior dificuldade, segundo
ele, é a falta de interesse dos alunos. Ela não conhece nenhum software de
Geometria Dinâmica.
77
Verde
Vermelho
A professora avalia que seu aprendizado em Geometria Plana na Educação Básica
foi superficial, pois sempre era deixado pro final e no Ensino Superior foi bom. Já a
Geometria Espacial, ela afirma que nunca aprendeu. Ela procura ensinar Geometria
aos seus alunos, mas afirma que falta material básico. A maior dificuldade, segundo
ela, é a dificuldade de visualização. Ela não conhece nenhum software de Geometria
Dinâmica.
O professor avalia que seu aprendizado em Geometria, tanto plana como espacial, na
Educação Básica foi bom e no Ensino Superior foi ótimo, mas que em Geometria
espacial só aprendeu sobre os poliedros e os corpos redondos. Ele procura ensinar
Geometria aos seus alunos, principalmente a parte de desenho geométrico. A maior
dificuldade, segundo ele, é a falta de interesse do aluno e dificuldade para o professor
explicar. Ele conhece o software de Geometria Dinâmica Cabri, mas nunca trabalhou
em sala de aula.
5.2 OS ENCONTROS – DESCRIÇÃO E ANÁLISE
O módulo foi desenvolvido em seis encontros de 04 horas de duração, sendo
que os três primeiros foram antes do recesso de julho35, e os três últimos no
segundo semestre letivo36.
5.2.1 Momento 1
Relatamos nas próximas seções a descrição e a análise dos três encontros
iniciais do módulo de Geometria Espacial de Posição.
5.2.1.1 Primeiro Encontro
O primeiro encontro foi dividido em duas partes, a primeira na sala de aula
equipada com projetor e a segunda no laboratório de informática, (conforme o
planejamento) objetivava:
35
36
•
Compreender os entes primitivos;
•
Discutir a Geometria Dinâmica (GD)
•
Comentar as vantagens das construções geométricas em GD;
•
Definir o campo da Geometria Métrica e o da Geometria de Posição;
•
Apresentar e utilizar as principais ferramentas do software Cabri 3D.
Ocorrendo nos dias 01, 08 e 22 de junho de 2010.
Depois do recesso nos dias 10, 17 e 31 de agosto de 2010.
78
A metodologia utilizada por nós ao discutir sobre os entes primitivos – ponto,
reta e plano – foi o diálogo; instigando os professores por meio de perguntas como,
por exemplo:
“qual é a “definição” de cada um dos entes primitivos?”.
Os professores se mostraram receosos em responder as perguntas, mas
algumas respostas surgiram, tais como:
“O ponto é o início de um desenho. É o início de tudo.”
“Se eu tomo dois números (coordenadas), eu posso determinar um ponto.”
“A reta é união de dois pontos.”
“Reta é um conjunto de pontos.”
“Plano Alfa, Beta, Gama.”
“O plano é um pouco mais complicado, pois é muito mais abstrato, e seria como se
fosse um telhado ou o céu.”
A partir dessas colocações, afirmamos que o ponto, a reta e o plano não têm
definição, que são considerados os entes primitivos da Geometria Euclidiana e que
somente existem no nosso imaginário.
Foram discutidas a seguir maneiras de auxiliar a imaginá-los e algumas de
nossas sugestões foram:
Podemos imaginar um ponto como sendo um grão de areia, a reta como uma linha
muito fina, quase transparente, bem esticada que não tem começo e nem fim e o
plano como uma folha de papel bem grande e fina, quase transparente, sem bordas.
A ideia de que os entes primitivos da Geometria – ponto, reta e plano - só
existem na nossa imaginação e são concebidos sem definição, deixou os
professores surpresos, já que todos eles tentavam explicar o que é ponto, reta e
plano a partir de uma definição como mostra a fala da professora Preta:
“Ponto existe em qualquer lugar, são infinitos.”
“Reta são vários pontinhos um do ladinho do outro enfileirado.”
Vale ressaltar que a ideia de considerar esses conceitos primitivos como sem
definição não foi algo que surgiu rapidamente e de maneira simples na história.
Como discutimos no capítulo 3, na obra Elementos de Euclides são apresentadas
definições para o ponto, a reta e o plano. Considerá-los como entes primitivos só
ocorrerá tempos depois. Podemos levantar uma suposição que seja por esse motivo
que muitos dos professores ainda se sintam incomodados em admitir que existam
conceitos matemáticos que não possamos definir.
79
Entendemos que, nesse momento de discussão com o grupo, tais conceitos
foram problematizados e, a partir do diálogo e do debate eles refletiram sobre os
conceitos que haviam construído sobre ponto, reta e plano.
Na sequência, eles começaram a questionar se discutir tais questões ao
ensinar seria ou não apropriada para seus alunos, por ser muito abstrata. Isso
mostra que nesse momento da formação continuada o professor refletiu sobre o que
ele estava reconceituando e as possíveis consequências para a sala de aula.
Podemos dizer que eles aprenderam algo novo com relação ao conteúdo e já
pensaram em algo para a sala de aula e foram feitas discussões sobre isso?
Aparece aqui Shulman sobre conhecimento do conteúdo e do pedagogico?
Discutimos, então, que realmente a abordagem deve se adequar à faixa
etária dos alunos e de outras características do curso, mas a discussão desse tema
entre professores de matemática é relevante. Várias ideias surgiram entre os
professores, tal como, por exemplo, utilizar um modelo de sólido geométrico e
considerar os vértices como pontos, as arestas como segmentos de reta e as faces
como partes do plano para auxiliar os alunos na visualização dos entes primitivos.
Para iniciar a discussão sobre Geometria Dinâmica e a diferença entre
desenhar e construir propusemos a leitura e discussão do texto “Desenhar e
construir”37 (Anexo C), que como já nos referimos anteriormente destaca a diferença
em Geometria Dinâmica entre “desenhar” e “construir”. Sendo que desenhar não
preserva propriedades, enquanto que construir uma figura significa obtê-la a partir
de suas propriedades, o que garante que suas características sejam preservadas
independe da posição em que estejam na tela.
Após a leitura, os professores debateram sobre as ideias do texto e a
discussão foi bastante relevante, já que muitos deles declararam nunca ter se
atentado para a diferença existente entre desenhar e construir quando se trabalha
com Geometria Dinâmica (tal discussão não tem razão de ser quando se utiliza o
papel e lápis).
A fim de problematizar e procurar levar os professores a refletir sobre alguns
dos conceitos geométricos apresentamos a eles os arquivos digitais preparados por
nós no Cabri II.
37
Texto de Bongiovanni (2006) retirado do livro “Utilizando resultados de pesquisa sobre o ensino e
aprendizagem em geometria”
80
Iniciamos pelo arquivo contendo o Triângulo Isósceles Desenhado (Estar
Isósceles) e o Triângulo Isósceles Construído (Ser Isósceles). Ao abrimos o arquivo,
perguntamos aos professores o que eles observavam em relação às figuras
apresentadas. Os professores foram unânimes em dizer que viam dois triângulos
isósceles.
A fim de problematizar, questionamos os professores se eles estavam certos
de que as duas figuras representavam triângulos isósceles, já que em GD só
podemos afirmar que uma figura apresenta certa propriedade se ela continuar válida
para qualquer posição, o que significa dizer que devemos movimentar a figura para
observar se ela preserva as propriedades. Ao deslocarmos um dos pontos em
ambas as figuras comprovamos que apenas uma delas representava realmente um
triângulo isósceles, enquanto que a outra “estava” isósceles apenas na posição
particular no momento da abertura do arquivo.
Figura 17 – Triângulo Isósceles Desenhado e Construído
A seguir, abrimos os outros arquivos preparados – Triângulo Equilátero,
Quadrado e Reta Tangente a Circunferência – e utilizando o mesmo procedimento
anterior comprovamos que apenas nas figuras construídas as propriedades
geométricas se mantinham para qualquer posição.
Abaixo, apresentamos as figuras desenhadas e construídas por nós tanto
antes quanto depois de um deslocamento de alguns de seus pontos (como
exemplo).
81
Figura 18 – Triângulo Equilátero Desenhado e Construído
Figura 19 – Quadrado Desenhado e Construído
Figura 20 – Reta Tangente Desenhada e Construída
Entendemos que neste momento os conceitos de desenhar e construir foram
problematizados e podem ter sido reconceituados pelos professores.
Para continuar problematizando, propusemos aos professores que nos
ajudassem a refazer as construções apresentadas. Como não estávamos no
laboratório de informática e esse assunto se destinava à introdução a Geometria
Dinâmica, a manipulação do software foi feita por nós, mas os procedimentos e
ideias de construção foram propostos pelos professores.
Na construção do triângulo isósceles, os professores propuseram traçar a
mediatriz da base do triângulo e selecionar um ponto qualquer dela – excluindo o
82
ponto médio da base – como terceiro vértice, mas não sabiam explicar o motivo da
construção. Isso mostra que eles sabem uma propriedade importante de todo
triângulo isósceles, mas não sabem mostrar o motivo dela ser válida, ou seja, eles
não estão acostumados com as demonstrações.
Na construção do triângulo equilátero, os professores propuseram iniciar da
mesma forma que no triângulo isósceles, ou seja, trançando a mediatriz da base do
triângulo. A seguir, tiveram certa dificuldade em encontrar o terceiro vértice, já que
diferentemente do caso anterior, não podemos selecionar qualquer ponto da
mediatriz. Alguns professores sugeriram transportar a medida da base a fim de
encontrar o terceiro vértice, mas não surgiu a ideia de utilizar circunferências para
transportar segmentos. Após transportarmos a medida sugerida encontramos o
terceiro vértice e traçamos o triângulo equilátero.
Mais uma vez problematizamos e os professores reconceituaram.
Na construção do quadrado, os professores propuseram traçar um dos lados
e a seguir traçar duas retas perpendiculares nos extremos do segmento traçado. Na
sequência, a fim de encontrar os dois vértices restantes do quadrado, eles sugeriam
transportar a medida do lado do quadrado nas duas retas perpendiculares traçadas
anteriormente. A partir dos vértices encontrados traçamos o quadrado. Outras
maneiras para a construção do quadrado foram sugeridas, como por exemplo,
trançando apenas uma perpendicular e duas paralelas. Vale destacar que neste
momento eles já começaram a usar as circunferências para transportar medidas.
Isso mostra que eles estão reconceituando. Chame Shulman pois estão construindo
conhecimentos do conteúdo
A construção da reta tangente à circunferência foi demorada, já que é uma
construção não trivial, que exige teoremas de geometria, que os professores não
conseguiram de imediato colocar em ação a fim de construir a reta. Eles exploraram
a situação e investigaram por tentativa e erro, ou seja, eles estavam explorando as
possibilidades. Porém, não identificaram quais as propriedades que levariam à
construção da reta tangente. Isso só enfatiza o que dissemos anteriormente sobre
as propriedades e suas demonstrações.
83
Figura 21 – Construção da reta tangente a circunferência
O teorema utilizado nessa construção foi que se um triângulo inscrito numa
circunferência é retângulo, então a hipotenusa é o diâmetro dessa circunferência.
As construções das figuras foram bastante proveitosas e geraram discussões
sobre propriedades geométricas da Geometria Plana conhecidas e desconhecidas
dos professores.
Para finalizar essa primeira parte perguntamos aos professores qual a
diferença entre a Geometria Espacial Métrica e a Geometria Espacial de Posição.
Os professores responderam que a Métrica está relacionada às medidas tais como
cálculos de área e volume. Vale destacar que quanto a Geometria de Posição,
muitos deles não souberam responder corretamente, confundindo-a com a
Geometria Dinâmica.
Discutimos que a Geometria de Posição estuda as posições relativas entre os
entes geométricos e que esse seria o assunto dos próximos encontros.
A discussão sobre a diferença entre Geometria Métrica e de Posição mostrou
que o nosso módulo será relevante para a reconstrução de conceitos geométricos
de Geometria de Posição, pois, apesar de saberem bem o que é Geometria Métrica,
alguns dos professores declararam não conhecer muito de Geometria de Posição .
Feita essa exploração inicial passamos ao laboratório de informática e a
segunda parte do encontro foi reservada à apresentação do software Cabri 3D, uma
vez que os professores não o conheciam.
Neste primeiro contato com o software, foram apresentadas as funções
básicas, tais como: criar pontos, retas, polígonos e poliedros e explorada a barra de
ferramentas e diversas possibilidades de vistas que o software permite de um objeto.
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A seguir, os professores exploraram o software de maneira livre para manipulação e
familiarização com suas ferramentas.
Vale destacar que o software apresenta a função “Ajuda”38, porém ela não foi
explorada nesse momento, uma vez que tal função poderia interferir na execução da
atividade sobre determinação de planos.
Na familiarização do Cabri 3D, ficou claro que só com apenas alguns minutos
de manipulação os professores já começavam a pensar na sala de aula utilizando
esse software com seus alunos. Eles diziam que com esse tipo de recurso os alunos
se interessariam muito mais pela Geometria. Isso mostra de novo que os
professores sempre que eles estão no contexto do grupo de estudos eles não
esquecem de suas aulas.
5.2.1.2 Segundo Encontro
O segundo encontro, que foi todo no laboratório de informática utilizando o
software Cabri 3D, (conforme o planejamento) objetivava:
•
Determinar e discutir as quatro formas possíveis de determinação de
um plano;
•
Determinar e discutir as três posições relativas possíveis entre retas no
espaço.
Inicialmente retomamos as principais funções do software, já que os
professores estavam com muitas dúvidas sobre a sua utilização. Mostramos,
também, como construir um paralelepípedo utilizando a função “Paralelepípedo
XYZ”39, pois todas as quatro próximas atividades programadas necessitavam desse
poliedro.
38
39
Essa função explica e mostra como utilizar cada uma das ferramentas disponíveis no software.
Está função permite criar um paralelepípedo reto retângulo por meio de sua diagonal.
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Figura 22 –Paralelepípedo construído com a função “Paralelepípedo XYZ”
Para a investigação, conforme planejado, optamos por indicar aos
professores que iniciassem todas as atividades a partir da construção de um
paralelepípedo reto retângulo com estilo de superfície vazio40, já que nele temos os
vértices que podem ser considerados como pontos, as arestas e as faces que
servem de suporte para construir retas e planos, respectivamente.
Quadro 12 – Instruções iniciais das quatro primeiras atividades
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando a função
“Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo reto retângulo por meio de
sua diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a tecla Shift
pressionada.
Propusemos a Atividade 1 – Determinação de um Plano (Apêndice C) e
solicitamos que eles trabalhassem em duplas ou trios. O objetivo dessa atividade é
determinar e discutir as quatro formas possíveis de se determinar um plano:
40
•
Por três pontos não colineares. (Postulado)
•
Por uma reta e um ponto fora dela. (Teorema)
•
Por duas retas concorrentes. (Teorema)
•
Por duas retas paralelas distintas. (Teorema)
Estilo de superfície vazio é um recurso do software Cabri 3D que permite visualizar apenas as
arestas e os vértices do poliedro.
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A ideia da atividade é que o professor construa planos nas faces do
paralelepípedo utilizando procedimentos diferentes e verifique as condições que
garantem a unicidade do plano.
Quadro 13 – Atividade 1 – Determinação de um Plano
Atividade 1 – Determinação de um Plano
• Criar um plano que contenha a face superior do paralelepípedo utilizando a função
“plano”.
Qual foi o procedimento utilizado para essa construção?
•
Crie um plano que contenha uma face qualquer do paralelepípedo, diferente da anterior,
utilizando um procedimento diferente do utilizado anteriormente.
Qual foi o novo procedimento utilizado?
Lembre-se que, se necessário, podemos mudar a vista da figura com o botão direito do
mouse.
•
Será que existem outras maneiras diferentes de construir um plano? Se sim, descrevaas e utilize o Cabri para verificar a veracidade de suas afirmações?
•
Síntese da atividade: Descreva os modos que um plano pode ser determinado.
Observe que além da manipulação e construção do plano, os professores
devem explicitar os procedimentos por eles efetuados e analisar outras
possibilidades de modo a termos subsídios para discussões mais amplas.
Durante o desenvolvimento da atividade nos envolvemos com diversas duplas
ou trios discutindo as conjecturas e conclusões obtidas.
Poe ser a primeira atividade utilizando o software, os professores tiveram um
pouco de dificuldade em executá-las.
Na atividade sobre determinação de planos, o uso do software foi
fundamental, uma vez que com ele os professores puderam encontrar as diversas
maneiras de determinar um plano e também discutir situações – a partir de
explorações - nas quais os elementos considerados não determinam um plano. Por
exemplo, utilizando o software Cabri 3D e a função “Plano” ao escolhermos apenas
dois pontos, o plano fica “solto”, ou seja, ele ainda não está definido. Ele só fica
definido ao escolhermos o terceiro ponto não colinear aos outros. Outro exemplo, ao
escolhermos uma reta qualquer, o plano fica “solto” também, e se tentarmos
selecionar uma reta que seja reversa com a selecionada anteriormente, o software
não permite, o que nos leva a refletir que não é possível um plano conter essas duas
retas, ou seja, elas não são coplanares.
87
Ao final da atividade foi aberta uma discussão para verificar quantas e quais
maneiras eles encontraram para determinar um plano e formalizar as quatro
maneiras existentes. Durante esta discussão utilizamos termos como postulados e
teoremas, o que gerou muitas dúvidas e interesse dos professores sobre os
postulados da Geometria.
Neste momento, mostramos aos professores a função “Ajuda” do software e
pudermos comprovar junto com os professores que as quatro maneiras de
determinar um plano eram apresentadas nela. A terceira maneira apresentada pelo
software contempla tanto a definida por duas retas concorrentes quanto a por duas
paralelas distintas.
Figura 23 – Função “Ajuda” para a Ferramenta “Plano” do Cabri 3D
A seguir demos início a Atividade 2 – Posições Relativas entre Retas no
Espaço (Apêndice D). Mantivemos o mesmo procedimento da atividade anterior,
trabalhar em dupla ou trio. O objetivo dessa atividade é determinar e discutir as três
posições relativas possíveis entre retas distintas no espaço:
•
Concorrentes.
•
Paralelas.
•
Reversas.
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A ideia da atividade é levar o professor a construir retas suporte das arestas
do paralelepípedo, verificar suas posições relativas e definir de maneira correta cada
uma delas.
Quadro 14 – Atividade 2 – Posições Relativas entre Retas no Espaço
Atividade 2 – Posições Relativas entre Retas no Espaço
•
Crie duas retas distintas quaisquer, utilizando a função “reta”, que sejam retas suportes
das arestas do paralelepípedo. Qual a posição relativa entre essas retas? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa nova reta em
relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa nova reta em
relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa nova reta em
relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre duas retas no espaço.
Observe que além da manipulação, construção e determinação da posição
relativa dos pares de retas, o professor deve explicitar o motivo da escolha através
de definições e analisar a validade dessas definições para outros pares de retas.
Diferente da atividade anterior, onde os professores tiveram muitas dúvidas
em utilizar o software, nessa atividade à manipulação do software não foi um
empecilho para o seu desenvolvimento.
Ao final da atividade abrimos a discussão para verificar quantas e quais
posições relativas entre retas eles encontraram e formalizar as três posições
existentes. Durante a discussão ficou claro que a ideia de reta paralela, entre os
professores, era apenas de retas que não se encontravam, ou seja, que não tem
ponto comum. Ao falarmos em retas reversas, muitos deles afirmaram desconhecêlas.
Pedimos a eles que dessem a definição de retas paralelas, retas concorrentes
e retas reversas. Com relação à reta concorrente a definição foi unânime – retas que
se cruzam, ou seja, tem apenas um ponto em comum. Já com relação às retas
paralelas a definição proposta continuava a mesma – retas que não tem ponto
comum. Ao questioná-los sobre as retas reversas eles começaram a mudar a
definição e alguns já propunham adicionar que as retas paralelas tinham a mesma
direção. Uma das professoras falou que elas estavam no mesmo plano.
A atividade sobre as posições relativas entre retas foi a mais discutida
principalmente as definições de retas paralelas e retas reversas. Durante a atividade
89
aconteceram alguns momentos que provocaram perturbações nos professores,
principalmente ao aparecerem as retas reversas.
Um exemplo disso foi o dialogo entre a professora Rosa e o pesquisador,
durante a atividade:
Ao escolher duas retas suportes das arestas do paralelepípedo pergunto:
Pesquisador: Essas retas são o que?
Rosa: Paralelas.
Pesquisador: Por quê?
Rosa: Não sei te falar.
Pesquisador: Você precisa me dar uma definição de retas paralelas. Se você me
disse que elas são paralelas você sabe uma definição. Elas têm que ter uma
característica que as difere das outras. Qual é?
Rosa: Elas não se encontram.
Pesquisador: Ahhh, já é uma definição, mas será que é suficiente? Vamos escolher
outras retas e analisar.
Ao escolher outras duas retas e mudar a vista do paralelepípedo Rosa afirma: Essas
retas não se cruzam.
Pesquisador: Ahhh, então segundo a sua definição elas são paralelas.
Rosa: Mas elas não são paralelas!!!!!!
Pesquisador: Mas o que é que está errado?
Depois de muito pensar ela afirma que deve ser a definição de reta paralela que está
errada, mas ela não consegue dar outra definição.
Ao analisar as retas r e s suportes das arestas do paralelepípedo (ver figura
abaixo) a professora Rosa afirma que elas são paralelas, pois elas não se cruzam.
Isso mostra que para ela a definição de retas paralelas, são as retas que não se
encontram.
Figura 24 – Retas Paralelas Construídas pela Professora Rosa
90
Para dar continuidade à atividade, Rosa construiu a reta t (ver figura abaixo) e
passou a analisar as posições relativas entre ela e as retas r e s. Ao analisar a
posição entre as retas s e t, ela percebeu que as retas se cruzavam e que elas eram
concorrentes, apesar de não lembrar o nome. Porém, ao analisar a posição entre as
retas r e t foi que a perturbação ocorreu.
Figura 25 – Retas Construídas pela Professora Rosa
A princípio, Rosa afirmou que as retas r e t eram concorrentes também.
Pedimos que ela mudasse a posição do ponto de vista do observador da figura e
analisasse melhor a posição entre elas. Ao mudar a vista (ver figura abaixo) ela
percebeu que as retas não se encontravam e mudou de opinião. O fato de ela achar
que as retas se encontravam se deve ao fato do Cabri 3D utilizar a perspectiva
cônica41.
Aqui um fato relevante apareceu, pois os professores eram unânimes em
dizer que com o uso da tecnologia a visualização das figuras espaciais era bem mais
fácil, mas esse caso mostra que o software pode ser mal interpretado e que por si só
não é suficiente para a construção dos conceitos.
41
O Cabri 3D utiliza por default a perspectiva cônica. O observador está a 50 cm do plano vertical.
91
Figura 26 – Mudança de Vista das retas de Rosa
Ao perceber que as retas não se cruzavam, Rosa ficou perturbada, pois ela
não conseguia classificá-las. Perguntei a ela se não eram paralelas, já que segundo
a definição dela para retas paralelas, essas duas se encaixavam perfeitamente. Ela
disse que apesar disso, elas não eram paralelas, pois pela posição delas na tela
elas não pareciam ser. Isso mostra que a professora não sabe a definição de reta
paralela de uma maneira formal, mas visualmente ela sabe reconhecer quando são.
Questionei-a se, então, a definição dela para reta paralela não estava errada.
Ela hesitou em afirmar que sim, já que para ela a definição que ela tinha de paralela
sempre foi de que eram de retas que não se cruzavam e que ela não sabia que
existiam retas que não se encontravam e que não fossem paralelas.
Tive que intervir e definir as retas reversas e dar uma nova definição para as
retas paralelas.
Como comentamos anteriormente, no momento da discussão entre o grupo
todo, a conversa foi muito parecida com a que tive com a professora Rosa.
Outro conflito que apareceu durante a discussão em grupo, foi em relação às retas
paralelas coincidentes, já que essas retas têm pontos em comum. Nesse caso
discutimos outra definição de retas paralelas definida pela distância entre elas. Os
professores confessaram não conhecer essa definição e gostaram muito dela.
92
Outra discussão que ocorreu foi a diferença entre retas perpendiculares e
retas ortogonais.
Neste
encontro,
em
vários
momentos
diversos
conceitos
foram
problematizados e houveram algumas reconceituações de conceitos geométricos,
como o conceito de reta paralela, retas reversas e retas ortogonais.
5.2.1.3 Terceiro Encontro
O terceiro encontro, que se desenvolveu no laboratório de informática
utilizando o software Cabri 3D, (conforme o planejamento) objetivava:
•
Determinar e discutir as três posições relativas possíveis entre reta e
plano no espaço.
•
Determinar e discutir as três posições relativas possíveis entre planos
no espaço
Inicialmente retomamos as principais ideias discutidas no encontro anterior
propondo uma síntese que foi feita com o grupo todo e, a seguir demos início as
atividades remanescentes.
Propusemos a Atividade 3 – Posições Relativas entre Plano e Reta no
Espaço (Apêndice E) e solicitamos que eles continuassem trabalhando em duplas
ou trios. O objetivo dessa atividade é determinar e discutir as três posições relativas
possíveis entre plano e reta no espaço:
•
Reta paralela ao Plano.
•
Reta secante ou concorrente ao Plano.
•
Reta contida no plano.
Do mesmo modo que, na atividade anterior, nesta também a ideia é que o
professor construa retas suportes das arestas do paralelepípedo e verifique as
posições relativas delas, desta vez, em relação ao plano da base42 que foi o
considerado na atividade.
Observe que como nas atividades anteriores essa atividades também envolve
mais do que simples manipulação e construção porque os professores devem inferir,
analisar e sintetizar o que observaram.
42
Plano da Base é o plano que serve como base para as construções no Cabri 3D. Ao iniciarmos o
software esse plano já está construído.
93
Quadro 15 – Atividade 3 – Posições Relativas entre Plano e Reta no Espaço
Atividade 3 – Posições Relativas entre Plano e Reta no Espaço
• Crie uma reta qualquer, utilizando a função “reta”, que seja reta suporte de uma aresta
do paralelepípedo. Qual a posição relativa entre essa reta e o plano da base? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Essa nova reta deve apresentar uma
posição relativa com o plano da base diferente da anterior. Qual a nova posição relativa
dessa nova reta em relação ao plano da base? Por quê?
•
Crie outras retas utilizando a função “reta” e verifique se existem outras posições
relativas entre reta e plano diferentes das encontradas anteriormente.
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre reta e plano no espaço.
Durante o desenvolvimento da atividade nos envolvemos com diversas duplas
ou trios discutindo as conjecturas e conclusões obtidas.
Ao final da atividade abrimos a discussão para verificar quantas e quais
posições relativas entre uma reta e um plano eles encontraram e formalizar as três
posições existentes. Nesta atividade os professores não tiveram grandes
dificuldades e todas as posições relativas foram contempladas.
A seguir, foi desenvolvida a Atividade 4 – Posições Relativas entre Planos
no Espaço (Apêndice F) e mantivemos o mesmo procedimento da atividade
anterior, trabalhar em dupla ou trio. O objetivo dessa atividade é determinar e
discutir as duas possíveis posições relativas entre planos distintos no espaço:
•
Secantes.
•
Paralelos
A ideia da atividade é que o professor construa diversos planos nas faces do
paralelepípedo e verifique as posições relativas deles em relação ao plano da base
(que foi o considerado na atividade).
Do mesmo modo que na atividade anterior a atividade 4 também envolvem
mais do que simples manipulação e construção.
Quadro 16 – Atividade 4 – Posições Relativas entre Planos no Espaço
Atividade 4 – Posições Relativas entre Planos no Espaço
•
Criar um plano que contenha uma das faces do paralelepípedo utilizando a função
“plano”. Qual a posição relativa desse plano em relação ao plano da base? Por quê?
•
Criar um novo plano que contenha uma das faces do paralelepípedo utilizando a função
“plano”. Este plano deve apresentar uma posição relativa com o plano da base diferente
do anterior. Qual a posição relativa desse plano em relação ao plano da base? Por quê?
•
Crie outros planos utilizando a função “plano” e verifique se existem outras posições
relativa entre planos diferentes das encontradas anteriormente.
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre planos no espaço.
94
De mesma maneira que a atividade anterior, fizemos uma discussão para
verificar quantas e quais posições relativas entre planos eles encontraram e
formalizar as duas posições existentes. Nesta atividade, do mesmo modo que na
anterior, todas as posições relativas foram contempladas.
O uso do software novamente foi relevante pra a atividade, já que as posições
entre os entes geométricos foram visualizados rapidamente.
A única dificuldade nestas atividades foram as nomenclaturas das posições
relativas, pois os professores admitiram que não conheciam por não terem estudado
Geometria de Posição quando eram estudantes. O motivo dessas atividades terem
ocorrido de maneira mais natural, se deve ao fato dos professores já estarem
familiarizados com o software e das discussões prévias que aconteceram no
encontro anterior.
Por ser o último encontro antes das férias foi feito um fechamento das
atividades. Devido ao grande interesse mostrado por alguns professores fizemos
uma enquete durante este encontro para verificar se os professores consideravam
interessante discutir os postulados e axiomas da Geometria. Como a resposta foi
positiva, acordamos que retornaríamos no segundo semestre letivo com esse tema.
5.2.1.4 Atividade no Ambiente Virtual – Momento 1
Ao final do Momento 1 foi solicitado a cada componente do Grupo
Observatório uma análise de seu caminho no projeto. Embora as questões
propostas na Atividade Virtual não explorem apenas o caminho do grupo no módulo
de Geometria Espacial de Posição, elas nos interessam por evidenciar o caminho
percorrido pelos nossos sujeitos, ou seja, pelo Grupo Nuclear.
No quadro abaixo apresentamos a atividade como um todo.
Quadro 17 - Atividade Virtual – Junho/Julho 2010
Atividade Virtual
Analise o seu caminho ao longo do período que você tem participado do Observatório.
Considere as seguintes questões
• Desde quando você iniciou no projeto elenque quantos encontros você participou e quais
foram as temáticas (ou conceitos matemáticos/assuntos) tratados?
• O que mais foi interessante para você? Explique o porquê.
• O que menos foi interessante para você? Explique o porquê.
• O que foi trabalhado no Observatório que você considerada que pode ser aplicado em sua
prática pedagógica? Explique o porquê.
95
•
•
•
•
•
Exemplifique uma situação que você experienciou no Observatório e considera que foi um
avanço em matemática para o seu desenvolvimento profissional.
Exemplifique uma situação que você vivenciou no Observatório e que pode ser útil ou fez
você repensar o ensino.
Considerando que o grupo apontou a necessidade de estudar mais sobre geometria, em
sua opinião, as oficinas que foram implementadas a partir dessa demanda têm auxiliado o
seu aprendizado? Em que aspectos? Explique ou exemplifique uma situação que foi
significativa para você.
O que você gostaria de sugerir para os próximos encontros? Argumente.
Para que o nosso grupo se constitua efetivamente como colaborativo quais ações/práticas
você considera necessárias nos encontros?
Quanto ao Grupo Nuclear, vale enfatizar que muitos deles consideraram as
atividades propostas nos primeiros encontros do módulo de Geometria Espacial de
Posição como das mais interessantes.
Algumas das respostas para essa questão encontram-se abaixo:
“Geometria espacial, muito interessante e prático, podendo aplicar em sala de aula.”
(Professor Vermelho)
“Eu achei interessante, a Criação do paralelepípedo no Cabri 3D com suas 4
atividades.” (Professora Branca)
“Das aulas de geometria do 2˚ semestre de 2009 e atualmente do Cabri. Porquê eu
gosto de aprender e lecionar geometria.” (Professora Preta)
“CABRI 3D – pois a construção geométrica me encanta.” (Professora Cinza)
“O uso dos softwares gráficos (Winplot e Cabri), eu não conhecia e adorei conhecer
e aprender a trabalhar com eles.” (Professora Verde)
Com relação ao que foi menos interessante, apenas a professora Rosa citou
assuntos de Geometria.
“Não gosto e não domino geometria, que foi o tema trabalhado neste módulo, tentei
me “interar” do assunto (confesso que muitas vezes, fiquei completamente perdida,
“boiando” no assunto) junto com os meus colegas, pois apesar de toda a minha
dificuldade, tive muita ajuda e apoio por parte deles, e sou muito grata por isso.”
(Professora Rosa)
Percebe-se que o motivo pelo qual a professora tenha considerado menos
interessante é a falta de conhecimento dela em relação à Geometria – declarado
pela própria –, contudo ela afirma que o suporte dos colegas tem ajudado muito.
Isso mostra que o trabalho em conjunto é relevante para os professores construírem
conhecimentos. Esse fato é corroborado pela escrita da professora Verde em
96
relação ao que ela acha ser necessária a fim de que o Grupo Observatório se torne
colaborativo.
“O nosso grupo se constituirá efetivamente como colaborativo em nossos encontros
enquanto forem propostas ações e práticas concretizadas em grupo. Ao propor
atividades para serem executadas em grupos teremos um grupo colaborativo entre
si, mesmo que este grupo se componha de apenas 2 (duas) pessoas ou mais, mas
sempre deve ser enfatizado aos componentes deste grupo a sua efetiva participação
e colaboração nas atividades propostas. Eu acredito que com o trabalho em equipe
podemos compartilhar experiências e aprimorar nossas práticas em salas de aulas.”
(Professora Verde)
Um fator considerado por vários professores como sendo fundamental para o
seu desenvolvimento profissional e que promoveu reflexão sobre suas aulas foi o
uso da tecnologia, ou seja, o uso de softwares matemáticos como o Cabri 3D. isto
pode ser constatado por algumas respostas dos professores para a pergunta
referente a repensar a prática de ensino, tais como:
“O uso de tecnologia nas aulas de matemática.” (Professora Laranja)
“O Cabri 3D, porque é um recurso em que podemos apresentar as posições entre
retas e planos no espaço.” (Professora Branca)
“O uso de sofware em sala de aula.” (Professor Vermelho)
“A utilização da informática (software).” (Professora Cinza)
Com relação à questão se as oficinas de Geometria têm auxiliado o aprendizado dos
professores e se elas foram significativas, os integrantes do Grupo Nuclear
responderam:
“Sim, com certeza, pois como já disse anteriormente, tenho muita dificuldade em
geometria e as aulas me ajudaram, sei que depende também de mim, sentar e
estudar geometria.” (Professora Rosa)
“Sim. Eu pude relembrar conceitos e aplicações de vários conteúdos.” (Professora
Laranja)
“Sim, tem me ajudado bastante, pois já vimos maneiras diferentes de ensinar, e em
como podemos utilizar a geometria de diversas formas e ainda quando trocamos
ideias entre os outros participantes deste projeto temos também outras experiências
para utilizar em minhas aulas.” (Professora Azul)
“Ainda não tive oportunidade de aplicar as oficinas de Geometria em minhas aulas,
pois necessito mais aprimoramento.” (Professor Vermelho)
“Sim, no aspecto em que podemos utilizar outras ferramentas, para que nossos
alunos possam ter melhor visualização da Geometria Espacial.” (Professora Branca)
97
“Sim, no aspecto da construção do próprio conhecimento, pois não tinha noção de
geometria. O fato de entender sobre planos, retas, pontos entre outros facilita muito o
entendimento da própria geometria espacial.” (Professora Amarela)
“Sim, várias situações foram importantes para mim. Os exercícios com recortes,
montagens me ajudaram em sala de aula. Porém, os mais interessantes estão sendo
as aulas de Cabri, em que eu posso trabalhar com as figuras geométricas onde a
visualização se torna mais explicativa.” (Professora Preta)
“O grupo de atividades de resolução de problemas que eu já havia visto, mas não
sabia resolvê-los. A partir dali eu sei um pouco mais, foi o que percebi quando
realizei as provas dos OFA´s e a prova do último Concurso Público do Estado;
quando peguei estas provas me senti capaz de ler e resolver os problemas sobre
Geometria. E, por causa disto eu espero ter outras atividades envolvendo assuntos e
problemas pedidos e cobrados em provas e em concursos públicos para
professores.” (Professora Rosa)
“Aprofundamento do CABRI3 com mais atividades práticas”. (Professora Cinza)
Percebe-se que muitos dos professores admitem precisam estudar mais
Geometria e que não tem conceitos básicos e por isso se sentem inseguros em
ensiná-la. E com relação ao nosso módulo, alguns deles citam que gostariam de
aplicar com seus alunos essas atividades, mas que ainda não se sentem preparadas
para tal tarefa.
5.2.2 Momento 2
Relatamos nas próximas seções a descrição do Momento 2.
5.2.2.1 Quarto Encontro
O quarto encontro, que foi dividido em duas partes, a primeira na sala de aula
equipada com projetor e a segunda no laboratório de informática, (conforme
planejado) objetivava:
•
Compreender os fatos fundamentais relativos ao modo geométrico de
organização do conhecimento;
•
Enfatizar a importância do postulado de Euclides na construção da
Geometria Euclidiana;
•
Apresentar as Geometrias não Euclidianas;
•
Fazer demonstrações de teoremas.
98
•
Discutir
algumas
afirmações
verdadeiras
ou
falsas
sobre
a
determinação de planos.
Conforme combinado no final do último encontro, iniciamos a segunda parte
do módulo apresentando os postulados da Geometria. Para isso preparamos uma
apresentação de slides (Ver Apêndice G), que continha:
•
Postulado/Axioma versus Teorema;
•
Postulados de Existência;
•
Postulados de Determinação;
•
Postulados de Inclusão;
•
Postulado de Euclides ou Postulados das Paralelas;
•
Geometrias Não Euclidianas.
Quadro 18 – Postulados apresentados
Postulados Apresentados
Postulado 01: Existe reta e existem infinitos pontos pertencentes a ela.
Postulado 02: Qualquer que seja a reta existem infinitos pontos não pertencente a ela.
Postulado 03: Existe plano e existem infinitos pontos pertencentes a ele.
Postulado 04: Qualquer que seja o plano existem infinitos pontos não pertencente a ele.
Postulado 05: O espaço tem infinitos pontos.
Postulado 06: Dois pontos distintos determinam uma reta que passa por eles.
Postulado 07: Três pontos não colineares (não alinhados) determinam um plano que passa por
eles.
Postulado 08: Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano então a reta está
contida no plano.
Postulado 09: Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm outro ponto em
comum.
Postulado 10: Um ponto P separa uma reta r em dois conjuntos disjuntos convexos r’ e r’’
chamados semi-retas abertas tais que se X ∈ r’ e Y ∈ r’’ então P ∈
XY .
Postulado 11: Uma reta r contida num plano a separa o plano em dois conjuntos disjuntos
convexos α’ e α’’ tais que se X ∈ α’ e Y ∈ α’’ então
XY ∩ r ≠ φ.
Postulado 12: Um plano a separa o espaço E em dois conjuntos disjuntos convexos E’ e E’’ tais
que se X ∈ E’ e Y ∈ E’’ então
XY ∩ α ≠ φ.
Postulado 13: Por um ponto fora de uma reta passa apenas uma reta paralela à reta dada.
Durante a apresentação sobre os postulados e axiomas da Geometria,
tivemos vários momentos onde o professor pode refletir sobre assuntos sobre
conceitos que eles confessaram que não tinham anteriormente. A ideia de que
99
existem afirmações que não podem ser demonstradas e que devem ser aceitas sem
demonstração fez com que os professores refletissem bastante sobre como toda
teoria precisa ter uma base solidificada e sem “furos” para ser aceita.
Outro fato interessante foi ver a reação dos professores dizendo que alguns
axiomas e postulados eram muito óbvios e que não eram necessários. Isso mostra
que os professores nunca tiveram contato com esse tipo de discussão, já que a base
de toda a Geometria estudada nas escolas só é possível aceitando que essas
afirmações são verdadeiras.
A discussão sobre o postulado de Euclides foi a mais interessante, pois
podemos exemplificar o que dissemos no início de que se não considerarmos
algumas afirmações como verdadeiras não é possível desenvolver a teoria.
Apesar de somente mostramos que podem existir outros tipos de Geometria,
os professores discutiram bastante esse tema, apesar de dizerem que seria muito
complexo para eles. Porém, as ideias iniciais que queríamos passar foi atingida, pois
eles perceberam que se trocando apenas um postulado uma teoria toda pode ser
alterada.
As Geometrias Não Euclidianas foram apenas apresentadas, sem nenhum
aprofundamento, por não constituíram o foco do módulo.
Para finalizar essa apresentação decidimos fazer a demonstração de um
teorema de Geometria Espacial – uma reta e um ponto fora dela determinam um
plano
–
utilizando
apenas
os
postulados
apresentados
anteriormente.
A
demonstração, embora não tenha sido feita de forma extremamente formal e
completa, procurava explicitar como argumentar de maneira lógica sobre os
conceitos e a partir de uma hipótese chegar a uma tese.
Para finalizar essa apresentação, retomamos as formas de se determinar um
plano e, como havíamos percebido anteriormente que os professores não estão
acostumados com demonstrações, decidimos fazer a demonstração de um teorema
de Geometria Espacial – uma reta e um ponto fora dela determinam um plano –
utilizando apenas os postulados apresentados anteriormente. Vale ressaltar que
nossa intenção não era fazer uma demonstração formal do teorema e por isso só
demonstramos a existência do plano. Faltou provar a unicidade do plano. Durante o
encontro deixamos isso claro aos professores e ressaltamos que o nosso objetivo
era apresentar como a partir de algumas afirmações pré-determinadas podemos
provar outras.
100
Demonstração Teorema
Teorema: Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
Demonstração:
Seja a reta r e o ponto A fora dela.
Pelo postulado 2, garantimos a existência do
ponto A não pertencente a reta r.
Como a reta contém infinitos pontos
(postulado 1), podemos selecionar dois
pontos distintos quaisquer (B e C) da reta r.
Como os pontos A, B e C não estão
alinhados podemos determinar um plano α
(postulado 4).
Se B e C são pontos de r e também de α,
então (pelo postulado 8) r está contida em α.
Figura 27 – Demonstração de teorema
Ao fazer em grupo ficou claro que eles realmente apresentam dificuldades em
organizar uma demonstração, mas eles afirmaram que não parecia ser tão difícil.
Ao término da apresentação, propusemos a Atividade 5 – Determinação de
Planos (Apêndice H) a ser desenvolvida em duplas ou trio, cujo objetivo é fazer
duas demonstrações e fazer discussões sobre o tema a partir de afirmações
problematizadoras, cuja intenção é investigá-las e classificá-las em verdadeiras ou
falsas, além de corrigir as falsas.
Quadro 19 – Atividade 5 – Determinação de Planos
Atividade 5 - Determinação de Planos
Parte 1
Atividade A - Demonstrar que um plano pode ser determinado por duas retas distintas paralelas.
Atividade B - Demonstrar que um plano pode ser determinado por duas retas concorrentes.
Parte 2
43
Atividade C - Comente as afirmações abaixo:
a) Uma reta e um ponto determinam um plano.
b) Uma reta e um ponto são sempre coplanares.
c) Existe um único plano que passa por duas retas distintas paralelas.
d) Existe um único plano que passa por duas retas concorrentes.
e) Duas retas que têm um ponto em comum determinam um plano.
f) Duas retas distintas determinam um plano.
Para a primeira parte da atividade disponibilizamos uma lista com os
postulados apresentados (ver Quadro 12) e durante o desenvolvimento da atividade
43
As atividades 5, 6, 7 e 8 foram baseadas em atividades da apostila Geometria Euclidiana Espacial
de Posição -. PUC-SP de autoria de Vincenzo Bongiovanni.
101
nos envolvemos com diversas duplas ou trios discutindo as conjecturas e validando
ou refutando seus argumentos.
Nesta parte os professores tiveram muita dificuldade para realizar as
demonstrações, apesar de terem dito que não parecia ser tão difícil no momento da
apresentação. Tivemos que retornar algumas vezes na demonstração apresentada
para ilustrar o modo de pensar logicamente e provar a afirmação.
Ao criar a atividade nossa intenção era que eles utilizassem além dos
postulados apresentados, o teorema que havíamos demonstrados anteriormente, já
que durante a apresentação deixamos claros que ao demonstrar um teorema
podemos utilizá-lo nas demonstrações de outros. Porém, isso não ocorreu, os
professores somente utilizavam os postulados, talvez por tentarem seguir a “receita”
da demonstração apresentada, em vez de refletir sobre outras maneiras. Isso
corrobora o que já havíamos percebido sobre a falta de conhecimento de
demonstrações dos professores.
Ao final da primeira parte da atividade recolhemos as demonstrações dos
professores e abrimos uma discussão para verificar e discutir as demonstrações
feitas pelos professores. Elas eram muito parecidas com a que foi apresentada
anteriormente, apesar de os professores não se preocuparem em argumentarem
seus raciocínios. Esperava-se que os professores utilizassem o teorema já
demonstrado para provar os seguintes, mas nenhum deles o utilizou.
Essa atividade foi problematizadora, pois houveram várias reconceituações,
como, por exemplo, a maneira de argumentar em matemática.
A seguir fomos para o laboratório de informática realizar a segunda parte da
atividade 5 com o auxílio do software Cabri 3D. Durante a atividade os professores
continuaram trabalhando em duplas ou trios.
A intenção das atividades no laboratório era que eles discutissem conceitos
trabalhados nos encontros anteriores validando ou não afirmações. Nossa intenção
era que eles utilizassem o software para tentar visualizar o que acontecia, porém,
percebemos que os professores no início não estavam utilizando, tentando validar
as afirmações somente utilizando os conceitos adquiridos sem tentar “ver” se
estavam corretos. Talvez, eles ainda não tinham o domínio do software e por isso
não o utilizaram.
Devido à falta de tempo, não foi possível fazer o encerramento dessa
atividade.
102
5.2.2.2 Quinto Encontro
O quinto encontro, que foi todo no laboratório de informática utilizando o
software Cabri 3D, (conforme planejado) objetivava:
• Discutir o tema proposto em cada uma das atividades a partir de
afirmações verdadeiras ou falsas a fim de verificar a assimilação do
que foi discutido nos encontros anteriores.
Iniciamos o encontro fazendo o encerramento da atividade do encontro
anterior.
A seguir analisamos as respostas de algumas afirmações dadas pelos
professores.
Afirmação 1: Uma reta e ponto determinam um plano.
No início da atividade a maioria dos professores afirmou que essa afirmação
era verdadeira, pois essa afirmação era um teorema. Porém, alguns professores
perceberam que ela não afirmava que o ponto estava fora da reta.
Afirmação 2: Uma reta e um ponto são sempre coplanares.
Nossa intenção era que os professores analisassem os dois casos possíveis
– o ponto pertencente a reta e o ponto fora da reta – e percebessem que em ambos
os casos eles seriam coplanares. Porém, alguns deles afirmaram que isso era
errado. Veja a justificativa da Professora Branca.
Não, pois o postulado 8 diz que dois pontos distintos pertencem a um plano, se
pegarmos um ponto fora do plano eles não estarão no mesmo plano da reta.
A escolha mostra que a professora ainda confunde a idéia de objetos
coplanares e a idéia de definir um plano, pois ela acredita que todos os planos que
contenham a reta devam conter também o ponto.
Afirmações 3 e 4 :
Existe um único plano que passa por duas retas distintas paralelas.
Existe um único plano que passa por duas retas concorrentes.
103
A maioria dos professores afirmou que poderíamos ter infinitos planos nos
dois casos. Isso mostra que eles não fizeram a relação entre as afirmações e as
maneiras de determinar um plano.
Afirmação 5: Duas retas que tem um ponto em comum determinam um plano.
Essa afirmação contém foi bastante controversa, pois todos os professores
não consideram o caso que se uma reta tem um ponto em comum ele não é,
necessariamente, único. Neste caso podemos ter duas retas coincidentes e por elas
passam infinitos planos.
Afirmação 6: Duas retas distintas determinam um plano.
Poucos professores se lembraram do caso das reversas e responderam que
sim.
A seguir, propusemos a Atividade 6 – Posições Relativas entre Retas
(Apêndice I), a Atividade 7 – Posições Relativas entre Reta e Plano (Apêndice
J) e a Atividade 8 – Posições Relativas entre Planos (Apêndice K). O mesmo
procedimento de organização da atividade anterior foi utilizado nessas atividades. O
objetivo dessas atividades é e fazer discussões sobre o tema a partir de afirmações
problematizadoras, cuja intenção é investigá-las e classificá-las em verdadeiras ou
falsas, além de corrigir as falsas. Além disso, nossa intenção era verificar se os
professores considerariam todos os casos possíveis para validar sua resposta ou se
com apenas com um caso positivo ele já generalizavam para todos os casos
possíveis.
Quadro 20 – Atividade 6 – Posições relativas entre retas
Atividade 6 – Posições relativas entre retas
Atividade A - Comente as afirmações abaixo:
a) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são paralelas.
b) Duas retas são paralelas ou concorrentes.
c) Duas retas distintas não paralelas são concorrentes.
d) Duas retas coincidentes são coplanares.
e) Duas retas distintas de um mesmo plano são paralelas ou concorrentes.
104
f)
Duas retas que têm um ponto comum são coincidentes ou concorrentes.
g) A condição r ∩ s = φ é necessária para que r e s sejam reversas.
h) A condição r ∩ s = φ é suficiente para que r e s sejam reversas
Atividade B - Classificar em V (verdadeiro) ou F (falso) e comentar.
Dadas duas retas reversas a e b,
a) Sempre existe uma reta que se apóia em ambas.
b) Existem infinitas retas que se apóiam em ambas.
c) Existe uma única reta que se apóia em ambas.
d) Não existe reta que se apóia em ambas.
Quadro 21 – Atividade 7 – Posições relativas entre retas e planos
Atividade 7 – Posições relativas entre retas e planos
Atividade A – Dados um plano α e um ponto P tal que P∉α. Comente as afirmações abaixo:
a) Por P passam infinitas retas paralelas ao plano α.
b) Por P passa somente uma reta paralela ao plano α.
c) Por P não passa nenhuma reta paralela ao plano α.
d) Toda reta que passa por P intersecta o plano α.
e) Uma só reta que passa por P intersecta o plano α.
Atividade B – Comente as afirmações abaixo:
a) Se uma reta é paralela à intersecção de dois planos secantes, então ela é paralela aos
dois planos.
b) Se duas retas são paralelas, então todo plano paralelo a uma delas é paralelo à outra.
c) Se dois planos são secantes, então toda reta de um encontra o outro.
d) Se uma reta a é paralela a uma reta b, b ⊂ α então a // α.
e) Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a uma reta do plano.
f)
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a infinitas retas do plano.
Atividade C – Considere duas retas reversas a e b que contêm as arestas do cubo ABCDEFGH
conforme figura abaixo:
Comente as afirmações abaixo:
a) Existe um único plano paralelo a ambas as retas a e b.
b) Existem infinitos planos paralelos a ambas as retas a e b.
c) Existe um plano que contém a e é paralelo à reta b.
d) Existe um plano que contém b e é paralelo à reta a.
105
e) Existem infinitas retas que passam por E e que se apóiam em a e b.
f)
Não existem retas que passam por H e que se apóiam em a e b.
g) Existe uma única reta que passa por M e que se apóia em a e b.
Quadro 22 – Atividade 8 – Posições relativas entre planos
Atividade 8 – Posições relativas entre planos
Atividade A - Comente as afirmações abaixo:
a) Dados dois planos distintos e paralelos, toda reta que tem um ponto comum com um,
tem um ponto comum com o outro.
b) Se uma reta é paralela a dois planos distintos, então esses planos são paralelos.
c) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um é paralela a qualquer reta do
outro.
d) Se dois planos são distintos e paralelos, então toda reta paralela a um é paralela ao
outro.
e) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é paralela ao outro.
Atividade 2 - Considere três retas a= AE, b=FG e c=DC reversas duas a duas que contém as
arestas de um cubo ABCDEFGH.
Comente as afirmações abaixo:
a) Existe uma reta que passa por H e que se apóia em a, b e c.
b) Por qualquer ponto de uma das retas, passa uma reta que se apóia nas outras duas.
c) Existe uma reta paralela a uma das retas e que se apóia nas outras duas.
d) Existe um plano que é paralelo às retas, a, b e c.
Como na atividade anterior, a intenção das atividades no laboratório era de
promover a discussão entre eles sobre os conceitos trabalhados nos encontros
anteriores validando ou não afirmações. Nesse encontro propusemos que eles
tentassem validar suas afirmações utilizando o Cabri 3D, mas eles continuavam
tentando discutir as afirmações sem a utilização do mesmo. Isso mostra que talvez
os professores não se apropriaram do software.
Muitas das afirmações eram corretas para diversas soluções, mas não para
todas. Os professores ao perceberem uma posição válida, argumentavam que ela
estava correta sem tentar comprovar se eram válidas para todas as posições. Isso
106
mostra que eles não estão acostumados que a linguagem geométrica deve ser
precisa.
A partir do momento que discutirmos algumas dessas afirmações com os
professores e mostramos que existiam brechas em várias afirmações eles começam
a refletir sobre as outras com maior profundidade e tentar validá-las. Isso mostra que
os professores começaram a se apropriar da linguagem geométrica.
A finalização do encontro foi por uma discussão da atividade 6 a fim de fazer
um encerramento. As demais ficaram para serem melhor exploradas no próximo
encontro.
5.2.2.3 Sexto Encontro
O sexto encontro, que foi todo no laboratório de informática utilizando o
software Cabri 3D, (conforme planejado) objetivava:
•
Discutir as condições para que quatro pontos no espaço sejam vértices
de um quadrilátero;
•
Apresentar o quadrilátero reverso e discutir as posições relativas dos
seus lados e diagonais.
Iniciamos o encontro fazendo o encerramento das atividades do encontro
anterior. Nesse encerramento a discussão das afirmações propostas foi fundamental
para que os professores percebessem que a linguagem geométrica tem ser clara e
precisa, já que se não for válida para uma determinada posição, a afirmação não
pode ser considerada verdadeira.
A seguir, propusemos a Atividade 9 – Quadrilátero (Apêndice L) e na
sequência a Atividade 10 – Quadrilátero Reverso (Apêndice M) a ser
desenvolvida em duplas ou trios. O objetivo dessas atividades é discutir as
condições para que quatro pontos no espaço sejam vértices de um quadrilátero,
além de discutir se sempre existe um plano que contem os quatro vértices de um
quadrilátero.
107
Quadro 23 – Atividade 9 – Quadrilátero
Atividade 9 – Quadrilátero
• Considere 4 pontos A, B, C e D distintos no espaço.
• É sempre possível construir um quadrilátero cujos vértices sejam esses pontos?
• Construa um quadrilátero ABCD.
• Determine o plano que passa por A, B e C, o ponto D pertence a este plano?
Figura 28 – Quadriláteros construídos no Cabri 3D
A Atividade 10 – Quadrilátero Reverso (Apêndice M) tem como objetivo
apresentar aos professores o quadrilátero reverso e investigar e discutir as posições
relativas dos seus lados e diagonais.
Figura 29 –Quadrilátero Reverso construído no Cabri 3D
108
Quadro 24 – Atividade 10 – Quadrilátero Reverso
Atividade 10 – Quadrilátero Reverso
1) Construa um paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH, utilizando o Cabri 3D.
Lembre-se que a tecla “Shift” deve estar acionada para tirar o ponto do plano de base.
2) Considere 4 vértices distintos e não coplanares do paralelepípedo e construa um
quadrilátero.
3) Investigue as posições relativas das retas suportes dos lados desse quadrilátero, que é
chamado de quadrilátero reverso.
Liste as posições encontradas.
4) Investigue e responda:
•
As diagonais de um quadrilátero reverso são sempre reversas?
•
Dois lados opostos de um quadrilátero reverso são sempre reversos?
Com relação ao quadrilátero reverso, houve construção de conhecimento, pois os
professores foram unânimes em dizer que não o conheciam e ficaram bastante
surpresos e interessados.
Um fato relevante que mostra que os professores não associam as ideias
presentes em nas figuras geométricas com as da determinação de planos é que ao
questioná-los se existia o triângulo reverso, muitos deles disseram que se existe o
quadrilátero deve existir o triângulo. Eles não fizeram relação com o postulado de
determinação do plano.
Na parte final do encontro discutimos as atividades, iniciamos a discussão
das atividades a fim de fazer um encerramento. Os professores confessaram que
nunca tinham ouvido falar do quadrilátero reverso e muitos ainda questionaram se
era realmente um quadrilátero. Algumas questões não foram discutidas devido à
falta de tempo e por isso a colocamos para ser discutida no fórum do ambiente
virtual.
Para finalizar a parte presencial do módulo, instruímos os professores que as
discussões sobre os temas discutidos continuariam no ambiente virtual.
5.2.2.4 Análise das Atividades Virtuais do módulo
Como presencialmente não foi possível terminamos todas as discussões
planejadas, iniciamos um fórum – que chamamos de Compartilhando Saberes – cuja
proposta era discutir sobre a Atividade 10 iniciada no sexto encontro.
109
Quadro 25 - Início do Fórum Compartilhando Saberes do Quadrilátero Reverso
Retomando a Atividade Quadrilátero Reverso, reproduzida abaixo, vamos discutir sobre os
itens 3 e 4.
Atividade Quadrilátero Reverso
1) Construa um paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH, utilizando o Cabri 3D.
Lembre-se que a tecla “Shift” deve estar acionada para tirar o ponto do plano de base.
2) Considere 4 vértices distintos e não coplanares do paralelepípedo e construa um
quadrilátero.
3) Investigue as posições relativas das retas suportes dos lados desse quadrilátero, que é
chamado de quadrilátero reverso.
Liste as posições encontradas.
4) Investigue e responda:
•
As diagonais de um quadrilátero reverso são sempre reversas?
•
Dois lados opostos de um quadrilátero reverso são sempre reversos?
Iniciemos pelo 3: Quais posições relativas que vocês encontraram?
Além do fórum preparamos quatro atividades para serem desenvolvidas à
distancia e postadas no ambiente, a saber:
•
Atividade 1 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice N);
•
Atividade 2 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice O);
•
Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula (Apêndice P);
•
Atividade 4 – Caminhos Percorridos (Apêndice Q).
As Atividade 1 – Módulo Geometria Espacial (Apêndice N) e Atividade 2 –
Módulo Geometria Espacial (Apêndice O) tinham como objetivo verificar se os
encontros ajudaram os professores a refletir sobre os temas discutidos nos
encontros presenciais.
Quadro 26 – Atividade 1 – Módulo Geometria Espacial – Ambiente Virtual
Atividade 1
Leiam as frases abaixo. Reescrevam para que elas possam expressar afirmativas verdadeiras – isto
é, válidas para todos os casos.
Sobre Determinação de Planos
• Uma reta e um ponto determinam um plano.
• Duas retas que têm um ponto em comum determinam um plano.
• Duas retas distintas determinam um plano.
Sobre Posições relativas entre planos
110
•
•
•
Dados dois planos distintos e paralelos, toda reta que tem um ponto comum com um, tem
um ponto comum com o outro.
Se uma reta é paralela a dois planos distintos, então esses planos são paralelos.
Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um é paralela a qualquer reta do outro.
Quadro 27 – Atividade 2 – Módulo Geometria Espacial – Ambiente Virtual
Atividade 2
Leiam as frases abaixo. Reescrevam para que elas possam expressar afirmativas verdadeiras – isto
é, válidas para todos os casos.
Sobre Posições relativas entre retas
• Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são paralelas.
• Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
• A condição r ∩ s = φ é suficiente para que r e s sejam reversas
Sobre Posições relativas entre retas e planos
• Dados um plano α e um ponto P tal que P ∉ α, por P passa somente uma reta paralela ao
plano α.
• Se uma reta é paralela à intersecção de dois planos secantes, então ela é paralela aos dois
planos.
• Se duas retas são paralelas, então todo plano paralelo a uma delas é paralelo à outra.
• Se dois planos são secantes, então toda reta de um encontra o outro.
• Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a somente uma reta do plano.
Sobre o Quadrilátero Reverso
1. Dados os pontos distintos A, B, C e D coplanares, é possível construir um quadrilátero
reverso cujos vértices sejam esses pontos.
2. Dados os pontos distintos A, B, C e D não coplanares, é possível construir um quadrilátero
reverso cujos vértices sejam esses pontos.
3. É possível construir um triângulo reverso?
A Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula (Apêndice P) tinha por objetivo
fazer com que os professores fizessem a conexão das discussões dos encontros do
módulo com a sala de aula.
Quadro 28 – Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula – Ambiente Virtual
Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula
A partir de sua vivência nos encontros de geometria crie uma atividade pedagógica para a
Educação Básica
Tema:
Série:
Conceitos geométricos envolvidos:
Justificativa da escolha:
Recursos:
Descrição da atividade:
Comentários: (opcional)
A Atividade 4 – Caminhos Percorridos (Apêndice Q) tinha por objetivo
fazer um levantamento dos caminhos trilhados pelos professores desde o primeiro
módulo do Observatório referentes aos encontros que foram discutidos tópicos de
Geometria. Além, de levantar a relevância de cada um deles para sua formação.
111
Quadro 29 – Atividade 4 – Caminhos Percorridos – Ambiente Virtual
Atividade 4 – Caminhos Percorridos
1) Assinale as atividades de Geometria realizadas por você durante o curso:
Ensino de Geometria – Análise de um quadro teórico (Bernard Parzysz)
Atividades de geometria utilizando o Caderno do Professor
Teorema de Pitágoras – Demonstrações
Teorema de Pitágoras – Aplicações
Discussão de atividades de Geometria Plana (Marcelo/ Olga)
Discussão de Atividades Geometria Métrica Espacial (Olga)
Participação no fórum – Tópicos fundamentais no ensino de geometria
Leitura de texto sobre Geometria Euclidiana
Leitura de texto sobre Geometria Dinâmica
Axiomas e Postulados da Geometria (Fernando)
Geometria Espacial de Posição (Fernando)
Atividades sobre Geometria de Posição no laboratório de informática
Participação no fórum – Compartilhando saberes
2) Analise a contribuição das atividades assinaladas acima para desenvolver seus conhecimentos
em geometria, ou seja, para promover reflexões sobre os conceitos, para repensar novas
estratégias de ensino, etc. Atribua a cada uma delas um valor utilizando a escala de 0 (se não
contribui nada) até 5 (contribui muito).
Justifique suas respostas.
3) O software Cabri 3D na sua vivência nas oficinas auxiliou a:
Visualização
Percepção de propriedades
Concretização das noções estudadas
Outras
4) O uso do Cabri 3D foi relevante para a realização das atividades? Por quê?
As atividades 1 e 2 eram sobre afirmações referentes ao que foi discutido nos
encontros. As respostas dos professores mostram que eles já estavam justificando
melhor suas respostas e refletindo sobre os diversos casos possíveis. Isso mostra
que eles reconstruíram esses conceitos.
A atividade 3 era para o professor propor uma atividade de Geometria para
ser utilizada na sala de aula.
A professora Laranja propôs uma atividade com o tema: Postulado de
Euclides.
Isso mostra que ela achou relevante que seus alunos saibam desse postulado
por ser ele que permitiu que toda a Geometria estudada por seus alunos fosse
construída.
(Refletem sobre o ensino) Ela percebeu possibilidades para a sua
prática docente.
A professora Preta propôs uma atividade com poliedros e suas planificações,
mas um dos objetivos era que eles tivessem contato com os conceitos primitivos da
112
Geometria. Isso mostra que ela acha relevante que eles conheçam esses conceitos.
(Refletem sobre o ensino). Um trecho da atividade 3 da professora é reproduzida
abaixo:
Conceitos geométricos envolvidos: Ponto, reta, plano e figuras geométricas.
Justificativa da escolha:
- Fazer com que o aluno tenha contato com ponto, reta, plano e figuras geométricas.
- Que o aluno observe a planificação dos poliedros.
- Verificação de que com dobradura de figuras planas montamos poliedros.
- Desenvolver a criatividade e habilidades matemáticas e artísticas.
A professora Cinza propôs uma atividade sobre a diferença entre prismas e
pirâmides. Ela usa o conceito de vértices, arestas e faces, mas não os utiliza
fazendo relação com ponto, reta e plano.
Na atividade 4 os professores analisaram a contribuição das atividades
desenvolvidas durante todos os encontros do observatório relacionados a Geometria
para desenvolver seus conhecimentos em geometria, ou seja, para promover
reflexões sobre os conceitos, para repensar novas estratégias de ensino, etc. De
uma maneira geral os professores acreditam que os encontros contribuíram muito.
Com relação ao software Cabri 3D, os professores acreditam que o ele auxilia
na visualização, na percepção das propriedades e na concretização das noções
estudadas.
113
CAPITULO 6
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Utilizamos para a análise algumas questões norteadoras, como por exemplo:
• Quais problematizações são relacionadas ao conteúdo de Geometria Espacial
de Posição com vistas à (re)conceituação?
Retas Paralelas provocou bastante isso. Eles diziam que retas paralelas são
retas que não se cruzam. Porém durante as atividades, ao representarem duas retas
no paralelepípedo e verificar sua posição relativa eles perceberam que elas não se
cruzavam, mas eles mesmos diziam não ser paralelas. Eles ficaram bastante
perturbados e não sabiam explicar o motivo disso. Esse fato mostra que os
professores tinham como conceito de reta paralela apenas o de retas que não tem
ponto comum, sem fazer a conexão que isso só é válido para retas coplanares, isso,
talvez, se deva ao fato de discussões como as posições relativas de retas no espaço
serem pouco exploradas em sala de aula.
• Quais problematizações são relacionadas ao ensino de Geometria Espacial
de Posição no sentido de (re)pensar metodologias ou estratégias para a
prática pedagógica?
Ele pode em diversos momentos, pois sempre foi aberta a discussão para que todos
falassem e dissessem aquilo que sabia. As atividades eram investigativas e não foi
dado em nenhum momento aula sobre os conceitos. Os conceitos antigos eram
(re)construídos gerando novos conceitos. Muitos dos conceitos apresentados os
professores já tinham, apenas foram ampliados e formalizados.
Notei que a formalidade matemática era pouco explorada pelos professores, eles
não se preocupavam em dar a definição de maneira correta. Por exemplo, se
dizermos que três pontos distintos determinam um plano, matematicamente falando
essa definição está errada, pois temos que considerar um caso especial que não
determina o plano que é quando os pontos estão alinhados. Logo, a definição
114
correta seria que três pontos não colineares determinam um plano. Deixamos claro
para ele que a afirmação tem que ser valida para todos os casos e não para apenas
alguns deles. No começo os professores verificavam apenas um caso e diziam se a
sentença era valida ou não, mas depois de algumas sentenças discutidas eles
começaram a tentar analisar diversos casos, apesar de muitas vezes ainda terem
dificuldade de considerar todos os casos.
115
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
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118
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Online de Formação Continuada de Professores. Tese (Doutorado em Educação
Matemática) Universidade Estadual Paulista – UNESP, Rio Claro, 2007.
119
ANEXOS
Anexo A – Texto e Atividade sobre Didática da Geometria
Ensino de geometria – análise de um quadro teórico
Bernard Parsysz (apud Bongiovanni, 2001), pesquisador francês, em seus
estudos destacou quatro níveis de aprendizagem na apresentação de uma atividade
relacionada à compreensão de um conceito geométrico, quais sejam:
-a geometria concreta (nível G0); nesse nível parte-se da realidade, do concreto e
os objetos são materializados.
-a geometria espaço-gráfica (nível G1), que é a geometria das representações
figurais e gráficas; nesse nível os objetos são bidimensionais como por exemplo
desenhos produzidos numa folha ou numa tela de um computador. A justificativa de
propriedades é feita pelo “olhar” .
-a geometria proto-axiomática (nível G2); nesse nível os conceitos são objetos
teóricos e as demonstrações dos teoremas são feitas a partir de premissas aceitas
pelos alunos de modo intuitivo; os objetos e o caminho da validação são
“localmente” os mesmos que na geometria axiomática mas não há necessidade de
explicitar um sistema de axiomas. É possível que nesse nível elementos de G0 e G1
sejam incorporados no G2, ou seja, é possível que o sabido se apóie ainda no
percebido.
-a geometria axiomática (nível G3); nesse nível os axiomas são explicitados
completamente.
Observa-se que em dois desses níveis, os dois primeiros, os níveis G0 e G1,
as validações são perceptivas enquanto que nos outros dois, G2 e G3, elas são
dedutivas. Nos níveis G0 e G1 as justificativas são feitas pelo percebido, no nível G2
por propriedades evidentes e no nível G3 por um sistema de axiomas.
Parsysz (1998), no seu artigo, faz a hipótese de que os professores da França
do primeiros ciclos do Ensino Fundamental não distinguem claramente os níveis G1
e G2 e como conseqüência não distinguem validações perceptivas de validações
teóricas.
Os níveis de Parsysz podem ser caracterizados pelas atividades
desenvolvidas pelos alunos.
120
Por exemplo, no problema de determinar a soma das medidas dos três
ângulos de um triângulo, se o aluno confeccionar um triângulo de papel e a seguir
recortar com uma tesoura os três ângulos, formando com eles uma semi-círculo, ele
estará no nível 0 que corresponde a uma geometria concreta. Se ele desenhar um
triângulo e a seguir medir os três ângulos com um transferidor (ou construir um
triângulo com a ajuda de um software) e medir os ângulos e observar a soma das
suas medidas comparando-a com a soma dos seus colegas, ele estará no nível G1,
ou seja, na geometria espaço-gráfica. Se ele traçar uma paralela a um dos lados e
utilizar o fato (que não é justificado) que retas paralelas determinam ângulos alternos
internos congruentes para provar que a soma das medidas dos ângulos é igual a
180°, ele estará no nível G2 que é o da geometria proto axiomática; e se ele fizer
uma demonstração apoiado num sistema axiomático de referência ele estará no
nível 3 que é o da geometria axiomática.
Uma das tarefas do professor de matemática no ensino da geometria é
promover o salto de validações perceptivas para validações dedutivas.
Níveis de Aprendizagem
de Geometria
Não Axiomáticas
Objetos físicos
Validações perceptívas
Geometria
Concreta
G0
Geometria
Espaço-gráfica
G1
Axiomáticas
Objetos teóricos
Validações dedutivas
Geometria
Proto-axiomática
G2
Geometria
axiomática
G3
Níveis de aprendizagem de Geometria segundo Parzysz (Poloni & Lobo da Costa, 2009)
REFERÊNCIAS
BONGIOVANNI, V.: Concepção de um módulo de geometria para uma formação continuada de professores de matemática do
ensino médio.- PUC-SP, 2001.
PARSYSZ, B. Articulação entre percepção e dedução num meio geométrico para professores da escola elementar (Colóquio
COPIRELEM-Tours-2001), Parâmetros Curriculares Nacionais (MEC/SEF, 1998).
POLONI, M. & LOBO DA COSTA, N. “A Ressignificação de Conceitos Geométricos na Formação Continuada do Professor dos
anos Iniciais com o uso do Software Cabri-Géomètre”, artigo aceito para apresentação no ESFEM, 2009.
121
Atividade proposta
Na primeira série do Ensino Médio, um professor de matemática entrega aos alunos
uma folha com um desenho de um triângulo de lados 7 cm, 6 cm e 5 cm e pede a
sua área. Nesse nível de ensino, uma provável estratégia a ser utilizada estaria
situada no nível G2. Em relação aos níveis de Parsysz, qual seria uma estratégia de
resolução
a) situada no G0?
b) situada no G1?
c) situada no G2?
122
Anexo B – Questionário aplicado aos Professores
Questionário para Perfil dos Participantes do Projeto Observatório.
1. Você mora na cidade de São Paulo? ( ) Sim ( ) Não
Se você disse sim informe o Bairro e a Zona: ______________________________
Se você respondeu não informe a cidade: _________________________________
2. Quais são suas atividades profissionais?
a) atuo exclusivamente como professor. ( )
b) atuo como diretor de escola e professor. ( )
c) sou afastado da sala de aula para exercer função de coordenador em escola ou
em oficina pedagógica de Diretoria de Ensino. ( )
d) exerço cargo técnico em Secretaria de Educação (municipal ou estadual) ( )
e) atuo como professor e em outra atividade não vinculada diretamente à educação.
( )
f) não atuo como professor e nem em outra atividade relacionada à Educação. ( ).
g) outra situação ( ):_______________________________________________
3. Há quantos anos você atua como professor?
Menos de 01 ano. ( )
De 01 a 05 anos. ( )
De 05 a 10 anos. ( )
De 10 a 20 anos. ( )
De 20 a 25 anos. ( )
Mais de 25 anos. ( )
4. Tempo (em anos) no magistério EF:__________________________________
5. Tempo (em anos) no magistério no EM:_______________________________
6. Tempo (em anos) total no magistério: ________________________________
7. Exerce ou exerceu atualmente outra atividade fora do magistério? Qual? Há
123
quanto tempo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
8.
Série(s)
/Grau
de
ensino
que
está
lecionando
em
2009:
__________________________________________________________________
9.
Série(s)
/Grau
de
ensino
em
que
acumula
maior
experiência
docente:__________________________________________________________
10. Em quantas escolas você trabalha como professor, incluindo a rede pública e a
rede privada?
1 escola, apenas. ( )
2 escolas. ( )
3 escolas. ( )
4 escolas ou mais. ( )
11. Motivações para fazer o Curso Observatório em Educação Matemática:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
12. Você concluiu o curso de licenciatura e/ou Bacharelado em Matemática?
Sim ( ) Não ( )
Se sim, informe a Instituição: _________________________________________
Se
não,
informe
o
curso
em
que
você
se
graduou
e
a
Instituição:
__________________________________________________________________
13. Você já fez curso de especialização (360 h) ou aperfeiçoamento (180h)?
Sim ( ) Não ( )
124
Se sim informe o(s) curso(s) e a(s) instituição (ões):
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
14. Você já fez curso de extensão?
Sim ( ) Não ( )
Se sim informe o(s) curso(s), a(s) instituição (ões) e o número de horas:
___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
15. Quais assuntos seus alunos têm dificuldade em aprender?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
16. Há algum conteúdo matemático que você não goste ou tenha dificuldade de
ensinar? Qual (is)?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
__________________________________________________________________
17. Você leva em conta os resultados do Saresp e do Saeb ou outros indicadores de
avaliação externa para planejar suas aulas? Justifique sua resposta.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
18. Dê suas sugestões para os conteúdos matemáticos e assuntos mais gerais
sobre educação que você gostaria que fossem discutidos e desenvolvidos no
Observatório da Educação. Se Possível, justifique suas indicações (procure colocar
125
em ordem de preferência).
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________
19. Escreva no espaço a seguir outras observações que você julgar importantes.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_____________________________________________________________
126
Anexo C – Texto Geometria Dinâmica
127
Anexo D– Atividade Virtual – Junho/Julho 2010
ATIVIDADE NO TIDIA – 22/06/2010
Analise o seu caminho ao longo do período que você tem participado do
Observatório.
Considere as seguintes questões
1) Desde quando você iniciou no projeto elenque quantos encontros você
participou e quais foram as temáticas (ou conceitos matemáticos/assuntos)
tratados?
2) O que mais foi interessante para você? Explique o porquê.
3) O que menos foi interessante para você? Explique o porquê.
4) O que foi trabalhado no Observatório que você considerada que pode ser
aplicado em sua prática pedagógica? Explique o porquê.
5) Exemplifique uma situação que você experienciou no Observatório e
considera que foi um avanço em matemática para o seu desenvolvimento
profissional.
6) Exemplifique uma situação que você vivenciou no Observatório e que pode
ser útil ou fez você repensar o ensino.
7) Considerando que o grupo apontou a necessidade de estudar mais sobre
geometria, em sua opinião, as oficinas que foram implementadas a partir
dessa demanda têm auxiliado o seu aprendizado? Em que aspectos?
Explique ou exemplifique uma situação que foi significativa para você.
8) O que você gostaria de sugerir para os próximos encontros? Argumente.
9) Para que o nosso grupo se constitua efetivamente como colaborativo quais
ações/práticas você considera necessárias nos encontros?
128
Anexo E– Questionário referente a Geometria
Questionário Referente a Geometria
1. Dados pessoais:
Nome: ___________________________________________________________
2. Quando estudante você aprendeu geometria plana? Se sim, quais assuntos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
3. Se você teve ensinamentos de geometria plana, em que momentos eles
aconteceram?
Ensino Fundamental (
)
Ensino Médio (
)
Ensino Superior (
)
Comente:____________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
4. Quando estudante você aprendeu geometria espacial? Se sim, quais assuntos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
5. Se você teve ensinamentos de geometria espacial em que momentos eles
aconteceram?
Ensino Fundamental (
)
Ensino Médio (
)
Ensino Superior (
)
Comente:____________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________6.
129
Como você avalia seu aprendizado de geometria quando estudante na Educação
Básica?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
7. Como você avalia seu aprendizado de geometria quando estudante no Ensino
Superior?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
8. Quando você era aluno (a), durante as aulas de geometria, eram utilizados
materiais concretos? Quais? E outros recursos didáticos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
9. Na época em que você era aluno (a), algum de seus professores de Matemática
marcou positivamente sua vida estudantil a ponto de, hoje, você, como profissional
da educação, espelhar-se nele para ensinar seus alunos? Comente.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
10. Na época em que você era aluno (a), algum de seus professores marcou
negativamente sua vida estudantil? Comente.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
11. Você procura ensinar Geometria para seus alunos? Comente.
130
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
12. Quais são suas dificuldades para ensinar Geometria? Apenas falta de tempo?
Comente.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
13. Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o
processo de aprendizagem de geometria plana? E de espacial?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
14. Você conhece softwares de Geometria Dinâmica? Quais?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
15. Você já trabalhou algum software para ensinar Geometria? Se sim, qual? Você
considera um recurso importante? Qual foi a reação dos alunos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
16. Para você as atividades no laboratório de informática podem: (assinale quantas
alternativas quiser)
131
•
•
•
•
•
•
•
•
auxiliar a sua prática pedagógica como professor (
)
tornar a aula mais lúdica. (
)
motivar o aluno. ( )
despertar a curiosidade do aluno a respeito do assunto abordado. (
)
facilitar a compreensão, pelos alunos, dos conceitos abordados. (
)
proporcionar ao o aluno uma mudança de ambiente de aprendizagem que pode,
algumas vezes, levá-lo a desconcentrar-se do assunto que se pretende ensinar. (
)
propiciar ao aluno várias opções de uso do computador tais como internet e
outros softwares desviando-lhe a atenção do assunto que se pretende ensinar. (
)
levar o aluno a considerar a aula apenas como um passatempo que não
necessita de concentração. (
)
17. Depois da aula de laboratório você acha necessário retomar os assuntos em
sala de aula? Por quê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
18. Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre o processo de ensino e
aprendizagem da Geometria?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
________________________________________________________________
19. Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________________________________
Agradecemos
132
APÊNDICES
Apêndice A – Apresentação de Power Point dos Primeiros Encontros
133
Apêndice B– Construções preparadas no Cabri II
Triângulo Isósceles
Na construção do triângulo isósceles traçamos um segmento AC – um dos
lados do triângulo – construímos a mediatriz desse segmento e criamos um ponto B
pertencente a mediatriz, tal ponto é o terceiro vértice do triângulo. Essa construção
se justifica pelo fato de que todo ponto da mediatriz é equidistante dos extremos do
segmento, garantindo que dois lados do triângulo sejam congruentes. É fundamental
destacar que os pontos do segmento podem ser deslocados de maneira livre,
diferentemente do terceiro ponto que é “preso” a mediatriz.
Triângulo Isósceles Desenhado e Construído
Triângulo Equilátero
Na construção do triângulo equilátero, traçamos um segmento AC – um dos
lados do triângulo – construímos duas circunferências de raio AC – uma de centro
em A e outra de centro em C – e criamos o ponto B em uma das duas intersecções
dessas circunferências, tal ponto é o terceiro vértice do triângulo. Essa construção
se justifica pelo fato de que todo ponto da circunferência está à mesma distância em
relação ao seu centro, garantindo assim que a distância do terceiro vértice em
relação aos outros dois seja congruente a AC.
Vale destacar que poderíamos utilizar um procedimento semelhante ao do
triângulo isósceles, já que as propriedades deste tipo de triângulo são válidas para o
triângulo equilátero. Poderíamos ter construído a mediatriz do segmento AC, mas,
neste caso, não poderíamos criar um ponto qualquer na mediatriz, deveríamos
construir uma circunferência de centro em A ou em C de raio AC e criar o ponto B
em uma das intersecções entre essa circunferência e a mediatriz.
134
Triângulo Equilátero Desenhado e Construído
Quadrado
Na construção do quadrado, traçamos o segmento AB – um dos lados do quadrado
–- construímos duas retas perpendiculares ao segmento AB – uma em A e outra em
B – e uma circunferência de raio AB e centro em B. O vértice C, foi obtido em uma
das intersecções da circunferência com a perpendicular construída pelo B. Para criar
o vértice D do quadrado, traçamos a reta paralela ao segmento AB pelo ponto C e
criamos o ponto pretendido na intersecção entre a reta paralela e a reta
perpendicular construída pelo ponto A. Essa construção se justifica pelo fato de que
os ângulos internos do quadrado são todos retos e todos os lados têm a mesma
medida, além dos lados opostos serem paralelos. Outras maneiras para a
construção do quadrado podem ser postas em ação.
Quadrado Desenhado e Construído
135
Reta Tangente a Circunferência
Na construção da reta tangente a circunferência, traçamos uma circunferência
de centro O e raio qualquer e um ponto P externo a circunferência. Construímos o
segmento OP e o ponto médio Q desse segmento. A seguir, construímos a
circunferência de centro em Q e raio QP e criamos o ponto M de tangência em uma
das intersecções dessa circunferência com a circunferência original. Essa
construção se justifica pelo fato da reta tangente ser perpendicular à reta traçada
pelo ponto de tangência e o centro da circunferência e que se um triângulo inscrito
numa circunferência é retângulo, então a hipotenusa é o diâmetro dessa
circunferência.
Reta Tangente Desenhada e Construída
136
Apêndice C– Atividade 1 – Determinação de um Plano
Atividade 1 – Determinação de um plano
•
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando
a função “Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo
reto retângulo por meio de sua diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a
tecla Shift pressionada.
•
Criar um plano que contenha a face superior do paralelepípedo utilizando a
função “plano”.
Qual foi o procedimento utilizado para essa construção?
•
Crie um plano que contenha uma face qualquer do paralelepípedo, diferente
da anterior, utilizando um procedimento diferente do utilizado anteriormente.
Qual foi o novo procedimento utilizado?
Lembre-se que, se necessário, podemos mudar a vista da figura com o
botão direito do mouse.
•
Será que existem outras maneiras diferentes de construir um plano? Se sim,
descreva-as e utilize o Cabri para verificar a veracidade de suas
afirmações?
•
Síntese da atividade: Descreva os modos que um plano pode ser
determinado.
137
Apêndice D – Atividade 2 – Posição relativa entre retas no espaço
Atividade 2 – Posição relativa entre retas no espaço
•
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando
a função “Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo
reto retângulo por meio de sua diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a
tecla Shift pressionada.
•
Crie duas retas distintas quaisquer, utilizando a função “reta”, que sejam
retas suportes das arestas do paralelepípedo. Qual a posição relativa entre
essas retas? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa
nova reta em relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa
nova reta em relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Qual a posição relativa dessa
nova reta em relação às retas criadas anteriormente? Por quê?
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre duas retas no
espaço.
138
Apêndice E – Atividade 3 – Posição relativa entre plano e reta no espaço
Atividade 3 – Posição relativa entre plano e reta no espaço
•
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando
a função “Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo
reto retângulo por meio de sua diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a
tecla Shift pressionada.
•
Crie uma reta qualquer, utilizando a função “reta”, que seja reta suporte de
uma aresta do paralelepípedo. Qual a posição relativa entre essa reta e o
plano da base? Por quê?
•
Crie uma nova reta utilizando a função “reta”. Essa nova reta deve
apresentar uma posição relativa com o plano da base diferente da anterior.
Qual a nova posição relativa dessa nova reta em relação ao plano da base?
Por quê?
•
Crie outras retas utilizando a função “reta” e verifique se existem outras
posições relativas entre reta e plano diferentes das encontradas
anteriormente.
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre reta e plano no
espaço.
139
Apêndice F – Atividade 4 – Posição relativa entre planos no espaço
Atividade 4 – Posição relativa entre planos no espaço
•
Crie um paralelepípedo ABCDEFGH com estilo de superfície vazio utilizando
a função “Paralelepípedo XYZ”. Está função permite criar um paralelepípedo
reto retângulo por meio de sua diagonal.
Lembre-se que para criar um ponto fora do plano da base é preciso manter a
tecla Shift pressionada.
•
Criar um plano que contenha uma das faces do paralelepípedo utilizando a
função “plano”. Qual a posição relativa desse plano em relação ao plano da
base? Por quê?
•
Criar um novo plano que contenha uma das faces do paralelepípedo
utilizando a função “plano”. Este plano deve apresentar uma posição relativa
com o plano da base diferente do anterior. Qual a posição relativa desse
plano em relação ao plano da base? Por quê?
•
Crie outros planos utilizando a função “plano” e verifique se existem outras
posições relativa entre planos diferentes das encontradas anteriormente.
•
Síntese da atividade: Descreva as posições relativas entre planos no
espaço.
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Apêndice G – Apresentação de Power Point dos Últimos Encontros
141
142
143
Apêndice H – Atividade 5 – Determinação de Planos
Atividade 5 – Determinação de Planos
Atividade A - Demonstrar que um plano pode ser determinado por duas retas
distintas paralelas.
Atividade B - Demonstrar que um plano pode ser determinado por duas retas
concorrentes.
Atividade C - Comente as afirmações abaixo:
a) Uma reta e um ponto determinam um plano.
b) Uma reta e um ponto são sempre coplanares.
c) Existe um único plano que passa por duas retas distintas paralelas.
144
d) Existe um único plano que passa por duas retas concorrentes.
e) Duas retas que têm um ponto em comum determinam um plano.
f) Duas retas distintas determinam um plano.
145
Apêndice I – Atividade 6 – Posição relativas entre retas
Atividade 6 – Posições relativas entre retas
Atividade A - Comente as afirmações abaixo:
a) Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são paralelas.
b) Duas retas são paralelas ou concorrentes.
c) Duas retas distintas não paralelas são concorrentes.
d) Duas retas coincidentes são coplanares.
e) Duas retas distintas de um mesmo plano são paralelas ou concorrentes.
f) Duas retas que têm um ponto comum são coincidentes ou concorrentes.
g) A condição r ∩ s = φ é necessária para que r e s sejam reversas.
146
h) A condição r ∩ s = φ é suficiente para que r e s sejam reversas
Atividade B - Classificar em V (verdadeiro) ou F (falso) e comentar.
Dadas duas retas reversas a e b,
a) Sempre existe uma reta que se apóia em ambas.
b) Existem infinitas retas que se apóiam em ambas.
c) Existe uma única reta que se apóia em ambas.
d) Não existe reta que se apóia em ambas
147
Apêndice J – Atividade 7 – Posições relativas entre retas e planos
Atividade 7 – Posições relativas entre retas e planos
Atividade A – Dados um plano α e um ponto P tal que P∉α. Comente as
afirmações abaixo:
a) Por P passam infinitas retas paralelas ao plano α.
b) Por P passa somente uma reta paralela ao plano α.
c) Por P não passa nenhuma reta paralela ao plano α.
d) Toda reta que passa por P intersecta o plano α.
e) Uma só reta que passa por P intersecta o plano α.
Atividade B – Comente as afirmações abaixo:
a) Se uma reta é paralela à intersecção de dois planos secantes, então ela é
paralela aos dois planos.
b) Se duas retas são paralelas, então todo plano paralelo a uma delas é
paralelo à outra.
148
c) Se dois planos são secantes, então toda reta de um encontra o outro.
d) Se uma reta a é paralela a uma reta b, b ⊂ α então a // α.
e) Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a uma reta do plano.
f) Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a infinitas retas do
plano.
Atividade C – Considere duas retas reversas a e b que contêm as arestas do cubo
ABCDEFGH conforme figura abaixo:
Comente as afirmações abaixo:
a) Existe um único plano paralelo a ambas as retas a e b.
149
b) Existem infinitos planos paralelos a ambas as retas a e b.
c) Existe um plano que contém a e é paralelo à reta b.
d) Existe um plano que contém b e é paralelo à reta a.
e) Existem infinitas retas que passam por E e que se apóiam em a e b.
f) Não existem retas que passam por H e que se apóiam em a e b.
g) Existe uma única reta que passa por M e que se apóia em a e b.
150
Apêndice K – Atividade 8 – Posições relativas entre planos
Atividade 8 – Posições relativas entre planos
Atividade A - Comente as afirmações abaixo:
a) Dados dois planos distintos e paralelos, toda reta que tem um ponto comum
com um, tem um ponto comum com o outro.
b) Se uma reta é paralela a dois planos distintos, então esses planos são
paralelos.
c) Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um é paralela a qualquer
reta do outro.
d) Se dois planos são distintos e paralelos, então toda reta paralela a um é
paralela ao outro.
e) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é paralela ao
outro.
Atividade 2 - Considere três retas a= AE, b=FG e c=DC reversas duas a duas que
151
contém as arestas de um cubo ABCDEFGH.
Comente as afirmações abaixo:
a) Existe uma reta que passa por H e que se apóia em a, b e c.
b) Por qualquer ponto de uma das retas, passa uma reta que se apóia nas
outras duas.
c) Existe uma reta paralela a uma das retas e que se apóia nas outras duas.
d) Existe um plano que é paralelo às retas, a, b e c.
152
Apêndice L – Atividade 9 – Quadrilátero
Atividade 9 – Quadrilátero
• Considere 4 pontos A, B, C e D distintos no espaço.
• É sempre possível construir um quadrilátero cujos vértices sejam
esses pontos?
• Construa um quadrilátero ABCD.
• Determine o plano que passa por A, B e C, o ponto D pertence a
este plano?
153
Apêndice M – Atividade 10 – Quadrilátero Reverso
Atividade 10 – Quadrilátero Reverso
• Construa um paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH,
utilizando o Cabri 3D.
Lembre-se que a tecla “Shift” deve estar acionada para tirar o
ponto do plano de base.
• Considere 4 vértices distintos e não coplanares do
paralelepípedo e construa um quadrilátero.
• Investigue as posições relativas das retas suportes dos lados
desse quadrilátero, que é chamado de quadrilátero reverso.
Liste as posições encontradas.
• Investigue e responda:
• As diagonais de um quadrilátero reverso são sempre reversas?
• Dois lados opostos de um quadrilátero reverso são sempre
reversos?
154
Apêndice N – Atividade 1 – Tidia
Atividade 1 – Tidia
Leiam as frases abaixo. Reescrevam para que elas possam expressar
afirmativas verdadeiras – isto é, válidas para todos os casos
Sobre Determinação de Planos
•
Uma reta e um ponto determinam um plano.
•
Duas retas que têm um ponto em comum determinam um plano.
•
Duas retas distintas determinam um plano.
Sobre Posições relativas entre planos
•
Dados dois planos distintos e paralelos, toda reta que tem um ponto comum
com um, tem um ponto comum com o outro.
•
Se uma reta é paralela a dois planos distintos, então esses planos são
paralelos.
•
Se dois planos distintos são paralelos, toda reta de um é paralela a qualquer
reta do outro.
155
Apêndice O – Atividade 2 – Tidia
Atividade 2 – Tidia
Leiam as frases abaixo. Reescrevam para que elas possam expressar
afirmativas verdadeiras – isto é, válidas para todos os casos
Sobre Posições relativas entre retas
•
Se duas retas não têm ponto em comum, então elas são paralelas.
•
Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
•
A condição r ∩ s = φ é suficiente para que r e s sejam reversas
Sobre Posições relativas entre retas e planos
•
Dados um plano α e um ponto P tal que P∉α, por P passa somente uma
reta paralela ao plano α.
•
Se uma reta é paralela à intersecção de dois planos secantes, então ela é
paralela aos dois planos.
•
Se duas retas são paralelas, então todo plano paralelo a uma delas é
paralelo à outra.
•
Se dois planos são secantes, então toda reta de um encontra o outro.
•
Se uma reta é paralela a um plano então ela é paralela a somente uma reta
do plano.
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Sobre o Quadrilátero Reverso
4. Dados os pontos distintos A, B, C e D coplanares, é possível construir um
quadrilátero reverso cujos vértices sejam esses pontos.
5. Dados os pontos distintos A, B, C e D não coplanares, é possível construir
um quadrilátero reverso cujos vértices sejam esses pontos.
6. É possível construir um triângulo reverso?
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Apêndice P – Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula
Atividade 3 – Pensando na Sala de Aula
A partir de sua vivência nos encontros de geometria crie uma atividade pedagógica
para a Educação Básica.
Tema:
Série:
Conceitos geométricos envolvidos:
Justificativa da escolha:
Recursos:
Descrição da atividade:
Comentários: (opcional)
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Apêndice Q – Atividade 4 – Caminhos Percorridos
Atividade 4 – Caminhos Percorridos
1) Assinale as atividades de Geometria realizadas por você durante o curso:
Ensino de Geometria – Análise de um quadro teórico (Bernard Parzysz)
Atividades de geometria utilizando o Caderno do Professor
Teorema de Pitágoras – Demonstrações
Teorema de Pitágoras – Aplicações
Discussão de atividades de Geometria Plana (Marcelo/ Olga)
Discussão de Atividades Geometria Métrica Espacial (Olga)
Participação no fórum – Tópicos fundamentais no ensino de geometria
Leitura de texto sobre Geometria Euclidiana
Leitura de texto sobre Geometria Dinâmica
Axiomas e Postulados da Geometria (Fernando)
Geometria Espacial de Posição (Fernando)
Atividades sobre Geometria de Posição no laboratório de informática
Participação no fórum – Compartilhando saberes
2) Analise a contribuição das atividades assinaladas acima para desenvolver seus
conhecimentos em geometria, ou seja, para promover reflexões sobre os
conceitos, para repensar novas estratégias de ensino, etc. Atribua a cada uma
delas um valor utilizando a escala de 0 (se não contribui nada) até 5 (contribui
muito).
Ensino de Geometria – Análise de um quadro teórico (Bernard Parzysz)
Atividades de geometria utilizando o Caderno do Professor
Teorema de Pitágoras – Demonstrações
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Teorema de Pitágoras – Aplicações
Discussão de atividades de Geometria Plana (Marcelo/ Olga)
Discussão de Atividades Geometria Métrica Espacial (Olga)
Participação no fórum – Tópicos fundamentais no ensino de geometria
Leitura de texto sobre Geometria Euclidiana
Leitura de texto sobre Geometria Dinâmica
Axiomas e Postulados da Geometria (Fernando)
Geometria Espacial de Posição (Fernando)
Atividades sobre Geometria de Posição no laboratório de informática
Participação no fórum – Compartilhando saberes
Justifique suas respostas.
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O software Cabri 3D na sua vivência nas oficinas auxiliou a:
Visualização
Percepção de propriedades
Concretização das noções estudadas
Outras
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O uso do Cabri 3D foi relevante para a realização das atividades? Por que?
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