1. Espaço afim associado a um espaço vectorial
Seja V um espaço vectorial sobre um corpo K.
Definição 1.1. Um conjunto A =
6 ∅ é um espaço afim associado a V
se existir uma aplicação
ϕ:A×A → V
−→
(P, Q) → P Q(:= ϕ(P, Q))
verificando os seguintes axiomas:
1. Para todo o P ∈ A e para todo o vector v ∈ V , existe um e
−→
um só elemento Q em A tal que P Q = v.
2. Para todos os elementos P, Q, R ∈ A,
−→ −→ −→
P Q + QR = P R,
(ou seja ϕ(P, Q) + ϕ(Q, R) = ϕ(P, R).)
rR
6
Pr
-rQ
1.1. Nomenclatura. Se A é um espaço afim dá-se o nome de pontos
aos elementos de A. Os pontos são usualmente indicados por letras
maiúsculas.
−→
Dados dois pontos P, Q de A, costuma-se dizer que o vector P Q é o
vector com origem em P e extremidade em Q.
1.2. Notação. Dado um ponto P de um espaço afim A associado ao
espaço vectorial V e um vector v de V , usa-se a notação simbólica P +v
−→
para indicar o único ponto Q tal que P Q = v.
−→
Dados dois pontos P, Q ∈ A, pode-se indicar o vector P Q pela
notação simbólica Q − P .
1.3. Propriedades imediatas. Sendo A um espaço afim (associado
ao espaço vectorial V ), P, Q pontos de A, então:
−→
1) P P = 0V (ou seja, um vector com origem e extremidade num
mesmo ponto é o vector nulo)
−→
−→
2) P Q = −QP (ou seja, o vector com origem em P e extremidade em Q é o vector simétrico do vector com origem em Q e
extremidade em P ).
1
2
3) Para qualquer ponto P de um um espaço afim A associado
ao espaço vectorial V e para quaisquer dois vectores u, v de V
tem-se
A + (u + v) = (A + u) + v
1.4. Estrutura de espaço afim de um espaço vectorial. Qualquer
espaço vectorial V tem uma estrutura natural de espaço afim dada pela
aplicação
ϕ:V ×V → V
(a, b) → b − a
Em particular, o espaço vectorial K n = {(x1 , ..., xn ) : xi ∈ K} tem
uma estrutura natural de espaço afim a que se dá o nome de estrutura
canónica (ou natural) de K n . Esta estrutura denota-se por vezes por
AnK ou simplesmente por An .
1.5. Subespaços afins. Sendo A um espaço afim associado ao espaço
vectorial V , um subconjunto F de A é um subespaço afim se
F = P + W := {P + w : w ∈ W }
onde P é um ponto de A e W ⊆ V é um subespaço vectorial.
O subespaço vectorial W chama-se o subespaço (ou espaço) de direcções (ou direcção) de F. Se F = P + W diz-se que F é o subespaço
afim que passa por P com direcção W .
Observação. Note-se que, pela definição, A é um subespaço afim de
A. Também um ponto P é um subespaço afim de A associado ao
espaço vectorial zero.
Propriedades. Seja F = P0 + W um subespaço afim do espaço afim
A. Então:
1) F é um espaço afim associado ao espaço vectorial W .
2) Para qualquer ponto Q ∈ F, F = Q + W .
−→
3) W = {P Q : P, Q ∈ F} (ou seja o subespaço W fica unicamente
especificado por F).
1.6. Dimensão. Sendo A um espaço afim associado ao espaço vectorial V , a dimensão de A é a dimensão de V como espaço vectorial. Em
particular, se F = P + W é um subespaço afim de A, a dimensão de
F é a dimensão de W .
Um espaço (ou subespaço) afim de dimensão 1 é uma recta.
Um espaço (ou subespaço) afim de dimensão 2 é um plano.
Um espaço (ou subespaço) afim de dimensão m é um m-plano.
3
1.7. Codimensão. Seja A um espaço afim de dimensão finita n e F
um subespaço afim de A de dimensão k. A codimensão de F é o
número n − k.
Um subespaço afim H de codimensão 1 é um hiperplano.
Observação. A noção de codimensão é relativa. A dimensão de um
hiperplano de A e a codimensão de um m-plano de A dependem da
dimensão de A. Por exemplo:
• se A tem dimensão 2 (e.g A é o espaço afim real R2 ) os hiperplanos de A são as rectas;
• analogamente se A tem dimensão 3 (e.g A é o espaço afim real
R3 ) um hiperplano de A tem dimensão 2 (ou seja é um plano);
• uma recta em R8 tem codimensão 7 enquanto que uma recta
em R2 tem codimensão 1;
• um 3-plano do espaço afim complexo C5 tem codimensão 2.
1.8. Notação. Verifica-se facilmente que, dados dois pontos distintos
P, Q ∈ A, existe uma única recta de A que os contém ( a recta que
−→
passa por P com a direcção do vector P Q). Esta recta pode-se indicar
por P Q.
Dicionário Dado um ponto Q e uma recta r de A as seguintes expressões querem dizer o mesmo:
• Q∈r
• r passa por Q
• r contém Q
• Q incide com r
• Q e r são incidentes
• r incide com Q
1.9. Paralelismo. Seja A um espaço afim e
F = P + U,
G =Q+W
dois subespaços afins de A. Os subespaços afins F e G são paralelos
se
U ⊆ W ou W ⊆ U.
Por outras palavras F e G são paralelos se o subespaço (vectorial)
de direcções de um dos subespaços afins estiver contido no subespaço
de direcções do outro subespaço afim.
Observações.
1) Um subespaço é sempre paralelo a si próprio.
2) Se F = P + U , G = Q + W têm a mesma dimensão m, então F e G
são paralelos se e só se U = W .
4
Teorema 1.2. Se dois subespaços afins de um mesmo espaço afim são
paralelos, ou têm intersecção vazia ou um deles está contido no outro.
Em particular, dois subespaços afins associados ao mesmo subespaço
vectorial, ou são disjuntos ou são iguais.
Demonstração. Sejam F = P + U e G = Q + W dois subespaços afins
paralelos do espaço afim A. Por definição de paralelismo, U ⊆ W ou
W ⊆ U.
Suponhamos, sem perda de generalidade, que U ⊆ W . Se F ∩ G 6= ∅,
existe um ponto R ∈ F ∩ G, pelo que F = R + U e G = R + W . Conclui-se que F ⊆ G, com igualdade se U = W .
Este teorema tem como consequência:
• Duas rectas distintas paralelas não se intersectam.
• Uma recta paralela a um plano ou não encontra o plano ou
está contida no plano.
• Dois hiperplanos diferentes e paralelos não se intersectam.
• Se duas rectas paralelas se encontram então são coincidentes.
• etc,...
1.10. Intersecção de subespaços afins.
Teorema 1.3. Sejam F = P + U , G = Q + W dois subespaços afins
do espaço afim A. Então, ou F ∩ G = ∅, ou F ∩ G é um subespaço
afim.
Mais precisamente se F ∩ G 6= ∅ e R é um ponto de F ∩ G, então
F ∩ G = R + (U ∩ W ).
Demonstração. Suponhamos que F ∩ G =
6 ∅ e consideremos um ponto
R ∈ F ∩ G. Podemos escrever então F = R + U e G = R + W .
Um ponto X ∈ R + (U ∩ W ) pertence obviamente a F ∩ G, donde
R + (U ∩ W ) ⊆ F ∩ G.
Por outro lado, se um ponto X está simultaneamente em F e em G,
−−→
temos que, necessariamente, o vector RX pertence a ambos os espaços
vectoriais U e W , donde F ∩ G ⊆ R + (U ∩ W ).
Concluimos então que se F ∩ G =
6 ∅, F ∩ G = R + (U ∩ W ).
O teorema anterior generaliza-se facilmente:
Teorema 1.4. A intersecção de subespaços afins ou é vazia ou é um
subespaço afim.
Mais precisamente se Bα = Pα + Uα , α ∈ I é uma famı́lia de subespaços afins associados aos subespaços vectoriais Uα (respectivamente)
então ou
∩α∈I Bα = ∅ ou
∩α∈I Bα é um subespaço afim associado ao subespaço vectorial ∩α∈I Uα .
5
Observação. Se ∩α∈I Bα 6= ∅, temos ∩α∈I Bα = R + ∩α∈I Uα , onde R é
qualquer ponto de ∩α∈I Bα .
Teorema 1.5. Sejam F = P + U , G = Q + W dois subespaços afins
−→
do espaço afim A. Então F ∩ G =
6 ∅ se e só se o vector P Q pertence
ao subespaço vectorial U + W .
Demonstração. Suponhamos que F ∩ G =
6 ∅ e seja R um ponto de
−→
F ∩ G. Então, como R ∈ F, o vector P R ∈ U . Analogamente o vector
−→
−→ −→ −→
RQ ∈ W . Como, pelo segundo axioma de espaço afim, P Q = P R+ RQ
−→
conclui-se que P Q ∈ U + W .
−→
Provámos assim que F ∩ G =
6 ∅ =⇒ P Q ∈ U + W .
−→
Suponhamos agora que P Q ∈ U + W . Então existe um vector u ∈ U
−→
e existe um vector w ∈ W tais que P Q = u + w. Por definição de F e
G, o ponto P + u ∈ F e o ponto Q − w ∈ G. Temos
−→
−→
P + u = P + (P Q − w) = (P + P Q) − w = Q − w.
−→
−→
Como P + u = P + (P Q − w) = (P + P Q) − w = Q − w, conclui-se
que F ∩ G =
6 ∅.
1.11. Subespaço afim gerado por um subconjunto. Seja C um
subconjunto não vazio de um espaço afim A. O subespaço afim gerado por C, que se indica por hCi (ou por Aff(C)), é o menor subespaço afim de A que contém C (ou de forma equivalente é a intersecção
de todos os subespaços afins de A que contêm C).
Teorema 1.6. Sejam F = P + U , G = Q + W dois subespaços afins
do espaço afim A. O subespaço gerado por F e G é o subespaço
−→
hF, Gi = P + (< P Q > +U + W ),
ou seja é o subespaço afim que passa por P e está associado ao subes−→
paço vectorial < P Q > +U + W .
Demonstração. Claramente, F e G são subconjuntos de
−→
P + (< P Q > +U + W ).
−→
Assim, por definição, hF, Gi ⊆ P + (< P Q > +U + W ).
Para mostrar que que a inclusão anterior é uma igualdade basta
mostrar que, dado qualquer subespaço afim H que contenha F e G,
−→
H contém necessariamente P + (< P Q > +U + W ). Seja então H
um subespaço afim que contém F e G e T o subespaço vectorial de
direcções de H. Como H contém F, P ∈ H e podemos escrever H =
P + T onde U ⊆ T . Como H contém G, também Q ∈ H e W ⊆ T .
6
−→
Dado que P, Q ∈ H necessariamente P Q ∈ T e concluimos então que
−→
−→
< P Q > +U + W ⊆ T donde P + (< P Q > +U + W ) ⊆ H.
Notação. Dado um conjunto de vectores v1 , ..., vp , usamos < v1 , ..., vp >
para indicar a expansão linear de v1 , ..., vp . Assim, no teorema anterior,
−→
−→
< P Q >= {λP Q : λ ∈ K}.
Teorema 1.7. Seja A um espaço afim de dimensão n e F = P + U ,
G = Q + W dois subespaços afins.
Se F ∩ G =
6 ∅ então
dimhF, Gi =dim F + dim G− dim F ∩ G.
Demonstração. Pelo teorema 1.6, a dimensão de hF, Gi é a dimensão
−→
do subespaço vectorial < P Q > +U + W . Como F ∩ G 6= ∅, pelo
−→
teorema 1.5 < P Q > +U + W = U + W .
O teorema das dimensões de álgebra linear diz-nos que para quaisquer subespaços vectoriais U e W
dim U + W = dim U + dim W − dim U ∩ W .
Como, pelo teorema 1.3, dim U ∩ W = dim F ∩ G, provámos a
afirmação.
Teorema 1.8. Seja A um espaço afim de dimensão n e F = P + U ,
G = Q + W dois subespaços afins.
Se F ∩ G = ∅ então
dimhF, Gi = 1+dim F + dim G− dim U ∩ W .
Demonstração. Pelo teorema 1.6, a dimensão de hF, Gi é a dimensão
−→
do subespaço vectorial < P Q > +U + W . Como F ∩ G = ∅, pelo
−→
teorema 1.5, dim < P Q > +U + W = 1+dim (U + W ).
De novo pelo teorema das dimensões de álgebra linear temos
dim U + W = dim U + dim W − dim U ∩ W .
e obtemos a afirmação.
Os teoremas anteriores têm várias consequências imediatas como:
• Se F e G são subespaços afins paralelos não contidos um no
outro com dimensões m, p com p ≤ m então dim hF, Gi =
m + 1. [ Em particular o subespaço afim gerado por duas
rectas paralelas disjuntas tem dimensão 2.]
• Uma recta e um hiperplano não paralelos intersectam-se num
ponto.
7
• Dois hiperplanos diferentes ou são paralelos ou intersectam-se
num subespaço afim de codimensão 2. [ Em particular num
espaço afim de dimensão 3 (e.g. R3 ) dois planos distintos ou
são paralelos ou a sua intersecção é uma recta.]
• Se F é um m-plano e G um p-plano, o subespaço afim gerado
por F e G tem no máximo dimensão m + p + 1.
Definição 1.9. Duas rectas r, l dizem-se rectas enviezadas (skew em
inglês) se o subespaço gerado por elas tiver dimensão 3 (a máxima
possı́vel).
1.12. Combinações afins de pontos. Dados um espaço afim A e um
subconjunto Σ de A, uma combinação afim de pontos P0 , ..., Pm de Σ
é qualquer ponto P que se pode escrever como
i=m
X
−−→
P = P0 +
ai P 0 P i
i=1
onde i ∈ {1, ..., m} e ai ∈ K.
Não se podem somar pontos de um espaço afim. No entanto uma
combinação afim de pontos pode ser escrita de uma forma mais homogénea como
i=m
X
bi Pi , com
i=0
(1 −
i=m
X
bi = 1,
com o significado
i=0
i=m
X
i=1
bi )P0 +
i=m
X
i=1
bi P i = P 0 +
i=m
X
−−→
b i P0 P i ,
i=1
Exemplo. Sejam P, Q, R pontos do espaço afim R2 . A combinação
−→
−→
afim 12 P + 25 Q − 2R é o ponto P + 25 P Q − 2P R que se pode escrever
−→
−→
−→
−→
também Q + 12 QP − 2QR ou R + 21 RP + 52 RQ.
Exemplo.
ser escrita
A recta r definida por dois pontos distintos P e Q pode
r = {(1 − λP ) + λQ : λ ∈ K}.
Mais em geral tem-se:
Teorema 1.10. O subespaço afim gerado por um conjunto Σ de A é o
conjunto de todas as combinações afins de pontos de Σ.
8
1.13. Pontos independentes. Num espaço afim A associado a um
espaço vectorial V um conjunto de pontos {P0 , ..., Pm } dizem-se inde−−→
−−−→
pendentes (do ponto de vista afim) se os m vectores P0 P1 , · · · , P0 Pm
forem vectores linearmente independentes.
Teorema 1.11. Num espaço afim A, m pontos são independentes se
e só se os subespaço afim gerado pelos m pontos tiver dimensão m − 1.
1.14. Referenciais. Seja A um espaço afim de dimensão n associado
a um espaço vectorial V . Um referencial R em A é um conjunto
(O; e1 , ..., en ) onde O é um ponto de A e B = (e1 , ..., en ) uma base de
V . O ponto O chama-se a origem do referencial.
A escolha de um referencial permite-nos identificar os pontos de A
com elementos de K n , da seguinte forma
−→
−→
P → OP → OP B
−→
−→
onde OP B é o vector de coordenadas de OP em relação à base (e1 , ..., en ).
−→
Com efeito, dado um ponto P existe um único vector v tal que v = OP .
Por outro lado, porque B é uma base, o vector v escreve-se de forma
única como v = a1 e1 + a2 e2 + ... + an en e, logo podemos identificar P
com o vector de coordenadas de v em relação à base B
P → vB = (a1 , ..., an ).
Diz-se que (a1 , ..., an ) são as coordenadas de P em relação ao referencial R = (O; (e1 , ..., en )). Podemos indicar PR = (a1 , ..., an ).
No espaço afim K n , com a estrutura canónica, chama-se referencial
canónico ao referencial em que o ponto O é o elemento (0, ..., 0) e a
base B é a base canónica (e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ...., 1)).
Exemplo 1. Num espaço afim real A de dimensão 3, seja R =
(O; e1 , e2 , e3 ) um referencial.
O ponto P = O + 3e1 − 2e3 tem coordenadas, em relação a R,
PR = (3, 0, −2).
O ponto Q de coordenadas, em relação a R, QR = (5, 7, 9) é o ponto
O + 5e1 + 7e2 + 9e3 .
Exemplo 2. No espaço afim R2 seja R = (O; e1 , e2 ) o referencial em
que O = (2, 3), e1 = (1, 1) e e2 = (1, 0).
−→
Sendo P o ponto (6, 3), temos OP = (4, 0). Como (4, 0) = 4e2 as
coordenadas de P em relação ao referencial R são PR = (0, 4).
O ponto Q com coordenadas (2, 3) no referencial R é o ponto Q =
O + 2e1 + 3e2 = (2, 3) + (2, 2) + (3, 0) = (7, 5).
9
1.15. Sistemas de equações e subespaços afins.
Teorema 1.12. Seja A um espaço afim de dimensão n sobre um corpo
K e R = (O; e1 , ..., en ) um referencial fixado em A.
1) Seja


a11 X1 + · · · + a1n Xn = b1



.
.

.
.


.
.


 a X + ··· + a X = b
m1 1
mn n
m
um sistema de m equações lineares nas incógnitas X1 , ..., Xn . Se o
sistema for possı́vel, o conjunto S de pontos de A, cujas coordenadas
em relação a R são as soluções do sistema, é um subespaço afim com
dimensão igual ao grau de indeterminação do sistema. O subespaço
vectorial U de direcções de S é o conjunto de vectores cujas coordenadas
em relação à base (e1 , ..., en ) são definidas pelo sistema homogéneo associado, ou seja


a11 X1 + · · · + a1n Xn = 0



.

.


.


 a X + ··· + a X = 0
m1 1
mn n
2) Inversamente, se F é um subespaço afim de A de dimensão p, existe
um sistema de equações lineares a n incógnitas, possı́vel e de caracterı́stica n−p, tal que F é o o conjunto de pontos de A cujas coordenadas
em relação a R são as soluções do sistema.
Corolário 1.13. Um subconjunto F de um espaço afim A de dimensão
n é um subespaço afim se e só se for não vazio e o conjunto de coordenadas dos pontos de F em relação a algum referencial for o conjunto
solução de um sistema de equações lineares a n incógnitas.