Amintas
engenharia
Unidade 4 – Vetores no Plano e no Espaço
Grandezas Comprimento (mm, m, ...)
Escalares
Grandezas
Vetoriais
Massa (g, Kg...)
Forças físicas:
Peso, normal,
velocidade, aceleração, ...
GRANDEZAS VETORIAIS SEMPRE ESTÃO
ASSOCIADAS AO:
MÓDULO, DIREÇÃO E SENTIDO
• Um

A
vetor é uma matriz A que contém uma
única coluna ou uma única linha.
A = [ a1
a2 ... an ] ou A = [ a1

A
a2 ... an ] t
• Uma
reta define uma direção
• Segmento Orientado:
Um segmento orientado é determinado por
um par ordenado (A, B) de pontos. A é a
origem e B é a extremidade do segmento
orientado.
B
B
A
C
A
D
D
C
• Dado um segmento orientado (A, B) o seu
vetor correspondente é representado por AB.
• Quando não há o interesse na origem e
extremidade do vetor podemos representar o
vetor com uma letra minúscula, v.
1.1 Soma de Ponto com Vetor
• A cada ponto A e um vetor v fica associado
um ponto B indicado por:
B=A+v
v=B-A
(Notação de Grassman)
1.2 Adição de Vetores
Há duas formas de somarmos dois vetores:
I. Quando a extremidade do vetor está ligada
com a origem de outro.
Ex: Dados dois vetores AB e BC obtenha AB
+ BC.
AC = AB + BC
u B
v
A
C
u+v
Basta “fechar” o triângulo formado pelos
dois vetores para se obter a soma dos
mesmos.
II. Quando os dois vetores possuem a
mesma origem:
Ex: Dados dois vetores AB e AC obtenha AB + AC.
B
A
u
v
u+v
D
AD = AB + AC
C
A soma é obtida utilizando a
REGRA DO PARALELOGRAMO.
Observações Importantes:
I. O vetor resultante sempre “sai” da origem do
sistema.
II. Quando os vetores não possuem as origens e
as extremidades especificadas por letras, a soma
dos vetores pode ser feita por qualquer um dos
casos mostrados.
III. O vetor BA possui sentido oposto ao do vetor
AB, pode-se também representar BA = -AB.
1.3 Multiplicação de um número real por um vetor.
Se o interesse é aumentar ou diminuir um
vetor, multiplicamos tal vetor por um
número maior que 1 ou por um número
entre 0 e 1, respectivamente.
Obs: Se multiplicarmos o vetor por um
número negativo, o sentido do vetor é
invertido.
Ex:
u
2u
-u
½u
1.4 Vetores Colineares
Dois ou mais vetores são colineares se
tiverem a mesma direção.
Ex: Dados os vetores u, v , com u // v abaixo:
u
2u
u
v
Vetores coincidentes,
colineares, “ mesma
linha”
Vetores paralelos,
colineares
1.5 Vetores Coplanares
São vetores presentes no mesmo plano.
Observações
2 vetores
3 vetores
4 vetores
n (n  Z)
são
são
são
vetores são
sempre
sempre
sempre
sempre
coplanares coplanares coplanares coplanares
no R2
no R3
no Rn - 1
Nº de vetores maior
que a dimensão do
espaço
Pelo menos um vetor é
COMBINAÇÃO LINEAR
dos outros vetores.
Vamos mostrar dois exemplos com relação
a observação anterior:
I) Dados u e v vetores no R2
u
w
w=u+v
v
w é combinação linear de u e v
Combinação linear nada mais é que a soma
dos vetores ponderados por coeficientes.
II) Dados u, v e w vetores no R3
u
R3
k
a1u
w
a3w
a2v
v
K = a1u + a2v + a3w , k é combinação linear
de u, v e w ponderados pelos coeficientes a1,
a2, a3. Portanto u, v e w são coplanares.
1.6 Representação de um Vetor no Plano
Um vetor v = (x1, y1) é representado no plano
(R2) conforme a figura abaixo.
y
y1
(x1, y1)
x1
x
Basta marcar os pontos dados no plano e
traçar o vetor v, partindo da origem do
sistema.
Obs: Quando a origem do vetor não é
indicada o ponto (0, 0) do plano é utilizado
como ponto inicial.
1.6.1 Operações com Vetores no Plano
Ex: Dados vetores u = (1, 1) e v = (3, 1)
determine u + v.
A idéia é somar coordenada com
coordenada, isto é, “x com x” e “y com y”.
u + v = (1, 1) + (3, 1) = (1 + 3, 1 + 1) = (4, 2)
y
2
1
1
3
4
x
Intuitivamente um vetor só depende do outro
se esse “outro” existir.
y 2b
Vetor u = (a, b)
2u = (2a, 2b),
½u = (½a, ½b)
b
½b
½a
a
2a
x
Geometricamente vetores colineares
(ou paralelos) são linearmente dependentes
(L.D.), caso contrário são L.I.
Algebricamente vetores colineares são
múltiplos , ou seja,
Caso o vetor u = kv dizemos que u e v são
L.D, caso contrário são L.I.
Dados 3 vetores u, v e w dizemos que
estes vetores são L.D se u = a1v + a2w, caso
não exista a1 e a2 os vetores são L.I.
R2
u
R3
2
k
a1u
w
1
a3w
a2v
1
3
4
v
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