Matemática: Profª Patricia Borges Função Logarítmica: 1. Logaritmo: Quando falamos de Equações e Inequações Exponenciais, é possível lembrar que eram resolvidos apenas os casos em que era possível reduzir as potências a uma mesma base. Imagine que seja preciso resolver a Equação Exponencial 3 x =4 , nessa situação não é possível reduzir as potências a uma mesma base. Então, como devemos proceder para resolver a Equação Exponencial? Para isso, devemos prosseguir com os estudos e conhecer os Logaritmos. Definição: Imagine dois números positivos e reais a e b, com a ¿ 1 . Define-se por Logaritmo de b na base a, o expoente c, ou seja: l o g a b=c ⟺ a c =b Observe os exemplos resolvidos: • l o g 4 64=3 ⟺ 4 3=64 • l o g 100=2 ⟺ 102=100 Consequências da Definição: A partir da definição de logaritmo, é possível concluir: 1. “O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero.” l o g a 1=0 2. “O logaritmo da base em qualquer base é igual a um.” l o g a a=1 3. “A potência de base a e expoente l o g a b é igual a b.” a l ogab =b 4. “Dois logaritmos em uma mesma base são iguais, se e somente se, os logaritmandos são iguais.” l o g a b=l o g a c ⟺ b=c Exercícios: 1. Calcule, pela definição, cada um dos seguintes logaritmos: a) l o g 4 16=¿ 1 d) l o g 3 9 =¿ b) l o g 27 81=¿ e) c) l o g 125 25=¿ l o g1 8=¿ 4 1 f) l o g 9 27 =¿ 1. De acordo com a definição de logaritmo e suas consequências, resolva: a) l o g 21 1=¿ d) 8l o g 19=¿ b) l o g10 000=¿ e) l o g 0,1=¿ 8 c) l o g 32 32=¿ 1. Calcule a soma S abaixo: S= l o g 8 2 l o g 2 8− l o g 2 8 1. Propriedades dos Logaritmos: Existem algumas propriedades operatórias que tornam mais fáceis os cálculos com Logaritmos, entre elas temos: 1a) Logaritmo do Produto: Sendo dois logaritmos de mesma base, o logaritmo do produto entre dois números, é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. Então: l o g a b. c =l o g a bl o g a c Exemplo: l o g 6 9.7 =l o g 6 9l o g 6 7 2a) Logaritmo do Quociente: Sendo dois logaritmos de mesma base, o logaritmo do quociente entre dois números, é igual a diferença dos logaritmos de cada um desses números. Então: l o ga b =l o g a b−l o g a c c 1 Exemplo: l o g 2 2 =l o g 2 1−l o g 2 2= 0−1=−1 3a) Logaritmo da Potência: Num logaritmo de uma potência de expoente real e base real e positiva, o logaritmo é igual ao expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. Então: l o g a b c=c . l o g a b 5 Exemplo: l o g 3 2 =5 .l o g 3 2 Existe ainda outra ferramenta que pode ser utilizada para facilitar os cálculos com Logaritmos. Em alguns casos, é preciso modificar a base de um logaritmo para realizar cálculos, ou seja, para modificarmos a base do logaritmo l o g a b , para base c, utilizamos: l o g a b= l o gcb l o gc a Exemplo: Mudando para 3 a base de l o g 7 25 , temos: l o g 7 25= l o g 3 25 l o g37 Exercícios: 1. Escreva na forma de um único logaritmo: a) l o g 4 5l o g 4 9=¿ b) 3 .l o g 8 4l o g 8 16=¿ 1. Desenvolva, aplicando as propriedades dos logaritmos (a, b, e c são reais positivos): 5. a a) l o g 5 b . c =¿ b) l o g 3 a.b ² =¿ c 1. Se l o g 2=a e l o g 3=b , coloque em função de a e b os seguintes logaritmos decimais: a) l o g 6=¿ b) l o g 4=¿ 1. Determine o valor de cada expressão, considerando l o g 2=0,3 , l o g 5=0,7 e l o g 7=0,8 a) l o g 2 35=¿ b) l o g 5 28=¿ c) l o g 7 14=¿ 1. Função Logarítmica: Dada a função f : R⟶ R , definida por f x =l o g a x , onde a0 e a≠1 é chamada de Função Logarítmica. A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Exemplo: f x =l o g 3 x Gráfico de uma Função Logarítmica: Para construir o gráfico de uma Função Logarítmica, precisamos a princípio, montar uma tabela, onde serão atribuídos possíveis valores para x. Depois disso, deverão ser calculados os valores para y, encontrando os pares ordenados (x, y). Por fim serão marcados os pontos no plano cartesiano. Observe o exemplo a seguir: • f x =l o g 2 x X y=l o g 2 x 1 4 1 y=l o g 2 =−2 4 1 2 1 y=l o g 2 =−1 2 1 y=l o g 2 1=0 2 y=l o g 2 2=1 4 y=l o g 2 4=2 Depois de montado o gráfico, é possível perceber que a função é crescente, pois, quando aumentamos os valores de x, os valores de y aumentam também. A partir disso, é possível dizer que sempre que a base do logaritmo da função for um número maior que 1, a função logarítmica será Crescente. Além disso, sempre que a base do logaritmo da função for um número entre 0 e 1, a função logarítmica será Decrescente. Exercícios: 1. Esboce o gráfico de cada função: a) f x =l o g 3 x b) f x = l o g 1 x 3 1. Equações Logarítmicas: Uma Equação Logarítmica é aquela que possui uma incógnita no logaritmando ou na base do logaritmo. Exemplos: l o g 3 x− 4 =27 l o g x 3 x2 =15 l o g x2 x=l o g 5 21 Antes de iniciar a resolução das Equações Logarítmicas, é preciso primeiro verificar se ela está dentro das Condições de Existência de um Logaritmo, que são: • A base do Logaritmo deve ser positiva e diferente de 1; • O Logaritmando deverá ser positivo. Assim, só devemos considerar os valores que estiverem dentro dessas condições de existências como solução de uma Equação Logarítmica. Observe agora a resolução dos exemplos a seguir: • l o g 2 x− 3 =1 Condição de Existência: x−30 ⟹ x3 1 Resolvendo a equação: l o g 2 x− 3 =1 ⟹ x− 3=2 ⟹ x=3 2 ⟹ x=5 Como x=5 , satisfaz a condição de existência do logaritmo x3 , então a solução da equação é: S={5} • l o g x−2 2 x−4 =2 Condição de Existência: 2 x− 40 ⟹ 2 x 4 ⟹ x 4 ⟹ x 2 2 x−20 ⟹ x2 e x−2≠1⟹ x ≠3 Logo, as condições de existência são: x2 e x≠3 Resolvendo a equação: l o g x −2 Como 2 x − 4 =2 ⟹ x −2 2 =2 x − 4 ⟹ x ² −4 x 4 =2 x − 4 ⟹ x ² −6 x 8= 0 x 1 =2 x 2 =4 x 1=2 e x 2=4 , somente satisfaz as condições de existência do logaritmo, x2 e x≠3 , x 2=4 . Então, a solução da equação é: S={4 } Exercícios: 1. Resolva as equações logarítmicas: a) l o g 4 x5 = 2 d) l o g 3 5 x−6 =l o g 3 3 x−5 b) l o g 5 4 x−3 =1 c) l o g 4 3 x2 =l o g 4 2 x5 e) l o g− x−3 2 x−6 =7 f) l o g x 4−3 x =2 Bibliografia: IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar, 2: Logaritmos. 9 ed. São Paulo: Atual, 2004. SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática, 1. 1 ed. São Paulo: FTD, 2010.