Funções
Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra,
estamos trabalhando com conceito de função.
Por exemplo, um taxista abastece seu carro no posto de combustível e sabe que o preço
(variável y) que irá pagar depende diretamente do preço da gasolina e do número de litros (variável
x) que irá colocar no tanque de seu carro.
Se, num determinado posto, a gasolina está a R$ 2,50 o litro, podemos criar uma tabela,
como segue:
Volume (x) em litros
1
2
3
4
5
Preço (y) em reais
2,50
5,00
7,50
10,00
12,50
Logo, o preço a ser pago é função do número de litros, onde matematicamente fica:
y = 2,50 x
E através da função y = 2,5 x podemos calcular o valor de qualquer volume, em litros.
Dizemos que y é a variável dependente e x a independente, porque o valor pago depende do
volume em litros que o carro é abastecido.
Outro exemplo: Uma formiga, próxima a uma trena de 10 metros, encontra-se na posição
2,45 m e desloca-se na direção da posição 10 m paralelamente à trena. Um observador mede o
tempo que a formiga leva para ir da posição 2,45 m até a posição 7,85 m. Esse tempo foi de 3
segundos. Dividindo o deslocamento (7,85 – 2,45=) pelo tempo 3s, obtém-se a velocidade média ( )
da formiga. Ou seja,
(
)
(
)



Se considerarmos que a posição inicial 2,45 m e a velocidade média 1,8 m/s são valores fixos
podemos escrever a função:
y = 2,45 + 1,8 t
onde y é a posição da formiga num determinado tempo e t é o instante em que a formiga
encontra-se em determinada posição.
Assim, temos uma função matemática onde podemos estudar o movimento da formiga,
sendo y a variável dependente de t. Chamamos t de variável independente.
Se quisermos saber onde chegaria a formiga ao completar 5 s de movimento, bastaria
fazermos y = 2,45 + 1,8 (5)  y = 11,45 m. Não precisamos ficar olhando o deslocamento da
formiga, ao lado de uma trena. A função matemática nos dá a resposta.
EXERCÍCIOS
a) Uma torneira vazando, além de desperdiçar água, pode aumentar muito a conta a ser paga
no final do mês. Suponha uma situação em que a quantidade de água desperdiçada por uma
torneira gotejando pode ser obtida pela fórmula (ou função) Q = 2,4 t, onde Q é a
quantidade de água, em litros e t é o tempo, em horas. Pede-se:
a) construir uma tabela indicando a quantidade de água desperdiçada por essa torneira a
cada intervalo de 1 hora, de 1 a 10 horas.
b) quantos litros de água essa torneira desperdiçará em:
b.1) 1 dia?
b.2) 1 mês (30 dias)?
b.3) 1 ano (365 dias)?
b) Dê outros exemplos de funções presentes no nosso cotidiano, ou seja criativo e imagine
situações, que possam ser resolvidas por funções matemáticas.
Algumas definições para melhor compreender uma função
Produto Cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, não vazios, é dado pelos conjuntos de pares
ordenados (x,y), sendo que x pertence a A e y pertence a B. A simbologia de produto cartesiano é A
x B, onde lemos produto cartesiano de A por B.
A x B = { (x,y)| x ϵ A e y ϵ B}
O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B)
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = { -2, 3}, então:
A x B = {(3, -2), (3, 3), (5, -2), (5, 3), (7, -2), (7, 3)}
Observe que o número de elementos (pares ordenados) do conjunto A x B é 6, ou seja, 3 x 2.
O número de elementos de A x B é dado por n (A) . n(B).
Relação
Denominamos relação R de A em B, qualquer subconjunto do produto cartesiano A x B.
Exemplo:
Sejam os conjuntos A = {1, 3, 5} e B = { 3, 5, 7, 9}, dizemos que a relação R de A em B é
definida pela função y = x +2, sendo x ϵ A e y ϵ B, pois:
Sendo
x =1  y = x +2  y = 1 +2  y = 3
x =3  y = x +2  y = 3 +2  y = 5
x =5  y = x +2  y = 5 +2  y = 7
Assim,
A relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)}
Essa relação pode ser representada por um diagrama de flechas.
A
.1
.3
.5
B
.3
.5
.7
.9
Plano Cartesiano Ortogonal
Uma relação pode ser representada num plano cartesiano que consiste em dois eixos x e y
que se cruzam perpendicularmente.
y
b
Chamamos o eixo x de eixo das abscissas,
o eixo y de eixo das coordenadas
e o par ordenado (a,b) são as coordenadas de um ponto
no gráfico.
(a,b)
x
a
eixo das ordenadas
Os eixos x e y se cruzam num ponto O, chamado origem
do sistema cartesiano. Esses eixos dividem o plano em 4
quadrantes, conforme desenho ao lado.
y
2º quadrante
1º quadrante
eixo das abscissas
x
3º quadrante
4º quadrante
Vamos usar o exemplo anterior e localizar os pares ordenados da relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} no
plano cartesiano.
Veja:
y8
7
6
5
4
3
2
1
(5,7)
(3,5)
(1,3)
1
2
3
1
4
5
6
x
EXERCÍCIOS
1. Dados os conjuntos A = { -2, 0, 2} , B = { 0, 1, 3} e C = {3, 4}, represente por meio de conjuntos
de pares ordenados:
a) A x B
d) C x A
b) A x C
e) B x C
c) B x A
f) C x B
2. Determine o número de elementos de A x B, sabendo que A = { 1, 2, 3} e B = {3, 4, 5, 6}
3. Para cada item construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados da relação.
a) R = {(-1,-2), (0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}
b) S = { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4)}
c) T = {(0,-1), (1,0), (2,3), (-1,0)}
d) U = {(5,0), (6,1), (7,2), (4, -1)}
4. Sendo os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {0, 1, 2, 4, 6}, represente por meio de conjunto de
pares ordenados e de diagramas de flechas as relações:
a) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x -1}
b) R2 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2}
c) R1 = {(x,y) ϵ A x B | y = x2 - x}
Definindo Funções
Dados dois conjuntos A e B, chamamos função a toda relação f: A B na qual, para todo
elemento de A, existe um único correspondente em B.
Exemplos:
1) A
2) A
3) A
B
B
B
Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em B, ou seja,
nenhuma função de A em B terão seus elementos com dois ou mais correspondentes em B e ainda,
poderão sobrar elementos em B, mas nunca sobram elementos em A sem um parceiro em B.
Domínio (D), contradomínio (CD) e imagem(Im)
O conjunto A é chamado de domínio (D) e B de contradomínio (CD).
O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im) da função.
Exemplo1 : Dado o diagrama abaixo, podemos determinar que:
A
B
1
-1
2
3
1
4
9
8
6
D = A = {-1, 1,2, 3}
CD = B = {1, 4, 6, 8, 9}
Im = {1, 4, 9}
Exemplo2 :
Dados A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e f: A B definida por f = {(x, y) x ϵ A X B| y = 2x+1},
obtenha a imagem dessa função.
xϵA
y = 2x+1
A
0
y = 2(0)+1  y =1
B
0
1
1
y = 2(1)+1  y =3
3
1
2
2
y = 2(2)+1  y =5
5
4
f= {(0,1), (1,3), (2,5)}
2
06
então,
Im = {1, 3, 5}
Observe que o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados e a
imagem, pelos segundos elementos.
Gráfico de uma função
Da mesma forma que uma relação, uma função pode ser representada em gráficos. O mais
comum é representarmos num plano cartesiano onde o eixo das abscissas conterá o domínio e o
eixo das coordenadas, o contradomínio.
Exemplos
1. Dada a função f(x) =2x +1, construa o gráfico num sistema de coordenadas cartesianas.
NOTA: Caso não seja dado o domínio, atribui-se alguns valores reais ao x e calculamos as
respectivas imagens, formando uma tabela. A partir da tabela se constrói o gráfico.
x
-1
0
1
2
y
0
1
3
5
(x,y)
(-1,0)
(0,1)
(1,3)
(2,5)
Cálculos:
Se f(x) =2x +1 então y =2x +1
Se x = -1  y =2(-1) +1 
Se x = 0  y =2(0) +1 
Se x = 1  y =2(1) +1 
Se x = 2  y =2(2) +1 
y
5
4
3
2
1
y = -1
y=1
y=3
y=5
-2
-1
0
-1
1
2
3
x
2. Seja a função y = - x2, construa o gráfico para o domínio ]-2,2[ e, em seguida, escreva a
imagem dessa função
NOTA: Neste caso, foi dado o domínio na forma de intervalo. Logo, espera-se a imagem na forma de
intervalo.
x
y
y
1 2
-2
-4
-2 -1
x
-1
-1
-1
Im = ] -4,0]
-2
0
0
-3
Im = { y ϵ R|-4 < y  0}
1
-1
-4
2
-4
EXERCÍCIOS
1. Refaça o exemplo anterior para a função y = (-x)2.
2. Construa o gráfico da função f: A R, dada por y = x + 3, onde A = { 0, 1, 2, 3}.
3. Construa os gráficos das funções f: R R, dadas por:
a) f(x) = 3x
b) g(x) = 2 – 5x
c) y = x2
d) f(x) = x2 – 4
e) y = 1/x
f)
g)
h)
i)
g(x) = x2 - 3x
f(x) = x
y = 2x + 3x
y = -2x + 1
Raiz de uma função
Denominamos de raiz ou zero de uma função aos valores de x para y =0. Assim, as raízes de
uma função são os valores em que gráfico corta o eixo das abscissas.
Para calcularmos a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação.
Exemplos:
1. Seja a função f(x) = 3x - 12. Calcular a sua raiz.
Resolução: Fazemos f(x) = 0 (zero), ou seja, 3x – 12 = 0 e resolvemos a equação.
3x – 12 = 0
3x = 12
X=4
Logo, a raiz dessa função é 4
2. Seja a função g(x) = x2 – 3x +2, qual a(s) sua(s) raiz(es)?
Resolução: Fazemos x2 – 3x +2 = 0 e, usando Báscara determinamos suas raízes.
√
√(
)
( )( )
( )
e
Logo, as raízes dessa função são 1 e 2.
EXERCÍCIOS
Determine, se existir, as raízes das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
f(x) = 3x + 42
f(x) = x2 – 49
g(x) = 3x + 42
g(x) = x2 – 5x
y = 5 x2 – 7x + 3
y = x(x – 2)
f(x) = 3x – 2
f(x) = 40x -200
1. Dada a função f(x) = 2 x + k, determine o valor de k para que sua raiz seja -3
2. Calcule m para que a função:
a) f(x) = m2x – 9 tenha 1 como raiz
b) f(x) = x – m2 tenha 2 como raiz
c) f(x) = = 2x + m2 tenha -2 como raiz
d) f(x) = mx2 + 2 mx + 4 tenha -1 como raiz
e) f(x) =
tenha 3 como raiz
3. Extraia a raiz de cada função abaixo e, em seguida, construa o gráfico
correspondente:
a) ( )
c) ( )
b) ( )
d)
A inversa de uma função
Dada a relação R de A em B, denominamos relação inversa R-1 de B em A a relação definida por:
R-1 = {(y,x)|(x,y)  R}
Por exemplo, se R = {(1,3), (2,6), (3,9)}, então R-1 = {(3,1), (6,2), (9,3)}
Assim, podemos determinar a função inversa (Fx-1) de uma função dada, usando o seguinte artifício:
1º) Dada uma função qualquer, troca-se o x por y e o y por x;
2º) Em seguida, isala-se o y, obtendo-se assim a inversa da função dada.
Exemplo:
( )
Dado:
Trocamos y por x e x por y
Fica:
( )
Logo:
OBSERVAÇÃO: Obtêm-se função inversa apenas de função bijetiva (ou bijetora), ou seja, aquela que
tem uma correspondência biunívoca, na relação A e B.
EXERCÍCIOS
Determine as inversas das funções abaixo:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(
(
(
(
)
)
)
)
7.
8.
9.
10.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
REPENSANDO GRÁFICOS E RAÍZES DE UMA FUNÇÃO
Gráfico e Raiz(es) de uma função
Para construir um gráfico, a partir de qualquer função, é preciso atribuir valores a variável x que
consta na função. Resolvendo a expressão numérica encontrada, acha-se o valor de y correspondente àquele
valor de x, ou seja, temos um par ordenado (x, y). Esse par ordenado é que forma o ponto no gráfico, ou seja,
são as coordenadas do gráfico. NOTA: Nunca esqueça que cada eixo x e y, que formam o plano cartesiano,
deve ser dividido, a partir do zero, de forma proporcional. Somente assim, o gráfico terá sua forma correta:
Exemplo: Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, a variável x pode ser substituída por qualquer valor e a partir
dele se determina o valor de y.
Observe que, nesta função, se escolhermos 6 para a variável x e substituirmos na função dada, temos:
2
f(x) = x – 19x + 84
2
y = (6) – 19(6) + 84
y = 36 – 114 + 84
y=6
E assim, vamos escolhendo outros valores para x e formando os diversos pares ordenados, necessários para
TABELA
formar o gráfico.
Se usamos x = 6, então, y = 6
2
Se fizermos x = 7, então y = (7) – 19(7) + 84 e, y = 0
2
Se fizermos x = 8, então y = (8) – 19(8) + 84 e, y = -4
2
Se fizermos x = 9, então y = (9) – 19(9) + 84 e, y = -6
2
Se fizermos x = 10, então y = (10) – 19(10) + 84 e, y = -6
2
Se fizermos x = 11, então y = (11) – 19(11) + 84 e, y = -4
2
Se fizermos x = 12, então y = (12) – 19(12) + 84 e, y = 0
2
Se fizermos x = 13, então y = (13) – 19(13) + 84 e, y = 6
X
6
7
8
9
10
11
12
13
Os valores encontrados formam a tabela ao lado:
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
(x,y)
(6,6)
(7,0)
(8,-4)
(9,-6)
(10,-6)
(11,-4)
(12,0)
(13,6)
Ponto
A
B
C
D
E
F
G
H
NOTA: Lembre-se que a função dada é uma equação do 2º grau. Logo, são necessário, no mínimo, 6 pares ordenados
para que se obtenha a curva característica de uma equação do 2º grau. Se fosse uma equação do 1º grau, bastariam 2 pontos,
porque a função do 1º grau é sempre representada por uma reta e para traçar uma reta, dois pontos são suficientes.
y
O gráfico fica:
6
4
2
-2
-4
-6
A
H
B
G
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
x
D E
Raiz (ou raízes) de uma função são os valores de x para que y seja igual a zero. No gráfico acima,
esses valores são x = 7 e x = 12.
Como calcular as raízes de uma função, sem fazer o gráfico?
Dada a função f(x) = x2 – 19x + 84, as raízes da função são obtidas igualando essa função a zero e
determinando o valor de x. Veja:
O(s) valor(es) que corta(m) o eixo do x, ou seja, quando y é igual a zero, pode(m) ser obtido(s) pela resolução da
equação obtida. No caso,
x2 – 19x + 84 = 0
√
( )(
)
( )
√(
)
√
√
“Quando você for construir o
gráfico de uma função qualquer,
calcular antes a(s) raíz(es) da
função facilita o processo porque
já fica determinado um par
ordenado.” Justifique essa
afirmação, com um exemplo.
I - Calcule a(s) raiz(es), se houver(em), de cada função:
2
1) f(x) = x + 13x + 30
2) f(x) = 7x – 56
2
3) g(x) = x – 3x – 54
4) h(x) = 26 – 13x
2
5) g(x) = x – 144
2
6) h(x) = 9x + 4x
7) y = 9 – 4(x – 2)
8) y = 3(x – 2) – 5
9) f(x) = 4 – 2 x + 15
2
10) f(x) = 3x – 5x + 7
II – Escolha 3 funções acima e construa o gráfico correspondente.
EXERCÍCIOS ADICIONAIS
1. Extraia a raiz das funções abaixo:
2
a) f(x) = 2x -26
b) g(x) = x – 81
c) y = 3 - x
2. Construa o gráfico, apresentando também a tabela com os pares ordenados de cada função abaixo:
a) f(x) = x -2
b) g(x) = 2x
c) y = x
2
3. Determine a(s) raiz(es) de cada função representada nos gráficos abaixo:
y
a)
b)y
c) y
3
x
-10
-4
9
27
x
11
x
4. Classifique em crescente, decrescente ou constante cada função abaixo:
y
y
a)
y
b)
c)
8
2
25
-6
x
-5
5. Determine a inversa de cada função abaixo:
a) f(x) = x - 5
b) f(x) =
x
4
x
c) f(x)= 3x – 1
Função Exponencial
Recordando potenciação e suas propriedades:
Sabemos que:
4
3
= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Identificamos o 3 como a base da potência, o 4 como o expoente da potência e o 81 o resultado da
potenciação indicada.
Calcule:
1)
9) √
2)
10)
3)
11)
4) ( )
12)
5)
13) ( )
6)
14)
7)
8) (
15) ( )
)
Propriedades da Potenciação
Propriedade 1:
Propriedade 2:
para
Propriedade 3: (
)
Propriedade 4:
para
)
Propriedade 5: (
Efetue:
1)
2)
3) ( ) (
4)
5)
( )
( )
=
)
=
=
Determinando a raiz de uma função exponencial
Toda função (equação) que contém incógnita no expoente é chamada de função (equação)
exponencial. Exemplos:
a)
b)
c)
Para resolver uma equação exponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências
de mesma base. Aplicamos as definições e propriedades da potenciação, sempre se > 0,
1,
sendo a incógnita, para toda equação do tipo
onde
.
Exemplos:
1)
Transformamos ambos os membros para potência de mesma base. Fatorando 4 fica
fatorando 512 temos . Então:
( )
2 =9
Logo, a raiz dessa equação é .
Ou ainda, o conjunto verdade é V ={ }
e